Você já para parou para pensar sobre a ordem dos números? Bom, essa é uma ideia que aprendemos logo cedo na escola, o que faz com que essa noção de ordem dos números seja bem natural para nós. Se eu te apresentar os números $2$ e $5$ e te perguntar qual é o maior deles, acredito que você me responderá que o maior deles é o $5$ em menos de um segundo. Agora outra pergunta: Você já parou para pensar que nem todos os conjuntos numéricos ou objetos matemáticos possuem uma ordem natural como esta? Sim, nem todos os conjuntos numéricos ou objetos matemáticos podem ser colocados em ordem, ou pelo menos, na ordem natural que conhecemos. Para dar exemplos disso, precisamos ir um pouco além do ponto em que estamos. Considere os dois números complexos $2+5i$ e $1-7i$. Usando a mesma noção que temos de ordem nos números reais, quais desses números complexos é maior que o outro? Não dá para fazer essa comparação. Vamos de outro exemplo, considere os polinômios $p(x) = x^2-1$ e $q(x) = x^5-2x+7$, Qual desses polinômios é maior que o outro? Novamente, não é possível fazer essa comparação usando a noção de ordem que temos nos números reais.
E o que podemos concluir com isso? A ordem é uma característica importante que não pode ser implementada de qualquer forma em qualquer conjunto. Isso justifica a necessidade de estudá-la, pois se um conjunto possui uma ordem, ou seja, é um conjunto ordenado, ele se diferencia dos outros conjuntos e, essa ordem vai influenciar todo objeto matemático no qual esse conjunto está envolvido. Isso ficará claro na postagem sobre a completude dos números reais.
Para que o assunto tratado aqui fique claro, é bom ter o conhecimento do que é um número real e de suas propriedades algébricas.
Propriedades de ordem dos números reais
O conjunto dos números reais é ordenado, ou seja, podemos comparar dois números reais distintos dizendo se um é maior (menor) que o outro.
Vamos ver os símbolos que usamos para comparar dois números reais com relação à ordem. Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, temos
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{Símbolo} & \mbox{Leitura} \\ \hline \hline a>b & a \mbox{ é maior que } b \\ \hline a<b & a \mbox{ é menor que } b \\ \hline a \geq b & a \mbox{ é maior ou igual a } b \\ \hline a \leq b & a \mbox{ é menor ou igual a } b \\ \hline \end{array}$$
Os símbolos $>$, $<$, $\geq$ e $\leq$ são chamados símbolos de desigualdade.
Observação:
(i) $a$ é positivo se, e somente se, $a > 0$;
(ii) $a$ é positivo ou zero se, e somente se, $a \geq 0$;
(iii) $a$ é negativo se, e somente se, $a < 0$;
(iv) $a$ é negativo ou zero se, e somente se, $a \leq 0$.
Para todos $a,b,c \in \mathbb{R}$ temos as seguintes propriedades:
(1) $a \leq a$ (propriedade reflexiva).
(2) Se $a \leq b$ e $b \leq a$, então $a=b$ (propriedade transitiva).
(3) Se $a \leq b$ e $b \leq c$, então $a \leq c$ (propriedade transitiva).
(4) Se $a \leq b$, então $a + c \leq b+c$ para todo $c \in \mathbb{R}$ (compatibilidade da ordem com a adição).
(5) Se $a \leq b$ e $c > 0$, então $ac \leq bc$.
(6) Se $a \leq b$ e $c < 0$, então $ac \geq bc$.
(7) Se $a > 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} > 0$.
(8) Se $a < 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} < 0$.
(9) Se $a$ e $b$ são ambos negativos ou ambos positivos, então $a < b$ implica $\displaystyle\frac{1}{a} > \displaystyle\frac{1}{b}$.
As propriedades (1) e (2) continuam valendo se trocarmos o símbolo $\leq$ pelo símbolo $\geq$ e as propriedades de (3) a (6), continuam valendo se trocarmos o símbolo de $\leq$ pelos símbolos $\geq$, $<$ ou $>$.
Vamos ver um exemplo para cada propriedade citada acima.
Exemplo
(1) $2 \leq 2$.
(2) Somente dois números iguais satisfazem a condição de ser menor ou igual e maior ou igual ao outro ao mesmo tempo, por exemplo $3 \leq 3$ e $3 \geq 3$.
(3) Temos $5 \leq 6$ e $6 \leq 10$, o que implica, $5 \leq 10$.
(4) Temos que $-1 \leq 3$. Ao somarmos o mesmo número em ambos os lados do sinal de desigualdade, o sinal irá se manter. Somando $4$ em ambos os lados da desigualdade, obtemos
$$-1 \leq 3 \Rightarrow -1+4 \leq 3+4 \Rightarrow 3 \leq 7.$$
(5) Sabemos que $-2 \leq 1$. Multiplicando por $\frac{1}{2}$ (observe que $\frac{1}{2} > 0$) em ambos os lados do símbolo de desigualdade obtemos
$$-2 \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot (-2) \leq \frac{1}{2} \cdot 1 \Rightarrow -1 \leq \frac{1}{2}.$$
(6) Temos que $-3 \leq 4$. Ao multiplicarmos ambos os lados do sinal de desigualdade por um número negativo, por exemplo, o $-2$, o sinal de desigualdade inverte.
$$-3 \leq 4 \Rightarrow -2 \cdot (-3) \leq -2 \cdot 4 \Rightarrow 6 \geq -8.$$
(7) Como $6 >0$, então $\displaystyle\frac{1}{6} >0.$
(8) Como $-2 < 0$, então $\displaystyle\frac{1}{-2} = -\displaystyle\frac{1}{2} <0.$
(9) Para os números $7$ e $11$ temos $7 < 11$, o que implica, $\displaystyle\frac{1}{7} > \displaystyle\frac{1}{11}$. Considerando agora $-5$ e $-6$, temos $-6 < -5$ e, assim, $-\displaystyle\frac{1}{6} > -\displaystyle\frac{1}{5}$. Podemos ver essa propriedade da seguinte forma: Quando invertemos os números envolvidos numa desigualdade, a desigualdade também inverte.
Vamos ver alguns exemplos teóricos de como essas propriedades são aplicadas. À partir dessas propriedades obtemos outras propriedades importantes.
Mais exemplos (teóricos)
1. Sejam $x,y,z,w \in \mathbb{R}$. Mostre que, se $x \leq y$ e $z \leq w$, então $x+z \leq y+w$.
Demonstração: Por hipótese, temos que $x \leq y$. Assim, pela propriedade (4), segue que $x+z \leq y+z$. Também por hipótese, temos que $z \leq w$. Novamente pela propriedade (4), obtemos $z+y \leq w+y$, ou ainda, $y+z \leq y+w$. Desse modo, temos que $x+z \leq y+z$ e $y+z \leq y+w$ e, da propriedade (3), obtemos $x+z \leq y+w$ como queríamos demonstrar.
2. Sejam $x,y,z,w \in \mathbb{R}$, todos maiores ou iguais a zero. Mostre que, se $x \leq y$ e $z \leq w$, então $xz \leq yw$.
Demonstração: Por hipótese, temos que $x \leq y$ e que ambos são positivos. Assim, pela propriedade (5), segue que $xz \leq yz$. Também por hipótese, temos que $z \leq w$. Novamente pela propriedade (5), obtemos $zy \leq wy$, ou ainda, $yz \leq yw$. Desse modo, temos que $xz \leq yz$ e $yz \leq yw$ e, da propriedade (3), obtemos $xz \leq yw$ como queríamos demonstrar.
3. Sejam $x,y \in \mathbb{R}$, todos maiores ou iguais a zero. Mostre que, se $x \leq y$ então $x^2 \leq y^2$.
Demonstração: Temos por hipótese que $x$ e $y$ são ambos positivos e que $x \leq y$. Usando o exemplo 2 com $z=x$ e $w=y$, segue de imediato que $x^2 \leq y^2$.
Em alguns desses exemplos foram usadas as regras de jogos de sinais. Em breve explicaremos e justificaremos essas regras.
Conhecendo bem essas propriedades, você será capaz de resolver qualquer inequação ou qualquer outra coisa que envolva sinais de desigualdades.
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