Agora que sabemos quem são os números reais e suas propriedades (inclusive o jogo de sinais), podemos ir mais a fundo no estudo dos números reais, ou seja, vamos estudar um pouco, digamos, da "estrutura" dos números reais. Nesse post vamos falar sobre a completude dos números reais. A palavra "completude" nos lembra a palavra "completo" e, essa propriedade dos números reais tem a ver mesmo com "estar completo". Bom, o que significa que o conjunto dos números reais está completo? Vamos entender isso agora.
Completude dos números reais
A noção de que um número está entre outros dois números é algo bem natural para nós, por exemplo, o número $2$ está entre o $0$ e o $3$, pois $2$ é maior que $0$ e menor que $3$. De um modo geral, dizemos que $x \in \mathbb{R}$ está entre $a \in \mathbb{R}$ e $b \in \mathbb{R}$, com $a <b$, se, e somente se, $x >a$ e $x < b$.
Agora, o que esta relação de "estar entre" tem a ver com essa história da completude dos números reais? Tem tudo a ver. A completude dos números reais significa que vale o seguinte:
Dados quaisquer números $a,b \in \mathbb{R}$ com $a <b$, sempre existe um número $x \in \mathbb{R}$ tal que $x>a$ e $x<b$.
Podemos reescrever a afirmação acima de outra forma:
No conjunto dos números reais sempre existe um número entre quaisquer outros dois números distintos.
Desse modo, o nome "completude" e a noção de "estar completo" fazem sentido, isto é, no conjunto dos números reais não há buracos. Sempre que você escolher dois números reais aleatórios distintos, vai existir um número real entre eles, por mais que esses primeiros dois números que você escolheu estejam próximos. Por exemplo, escolhendo os números $5,125342$ e $5,125343$, vemos que $5,125342 < 5,125343$ e a diferença entre eles é $0,000001$, o que significa que estão bem próximos. Entre esses dois números, está o número $5,1253425$, pois $5,1253425 > 5,125342$ e $5,1253425 < 5,125343$. Pensando de uma forma geral, dados $a,b \in \mathbb{R}$ com $a < b$, o número $x = \displaystyle\frac{a+b}{2}$, que é a média entre $a$ e $b$, sempre estará entre $a$ e $b$.
Essa propriedade da completude dos números reais nos traz uma outra noção, a noção de que o conjunto dos números reais é "contínuo". Como observei acima, a completude nos diz que $\mathbb{R}$ não possui buracos. Podemos pensar nessa ideia de não ter buracos, também, da seguinte forma: Considere o número $0$. Qual é o número que vem em seguida do $0$, ou ainda, partindo do $0$, qual é o próximo número? Seria o $0,1$? Não, por que $0,01$ é menor que $0,1$. Mas, também não é $0,01$, pois $0,001$ é menor que $0,01$. Poderíamos continuar com esse raciocínio infinitamente. Mas o que isso significa? Significa que, no conjunto dos números reais, para "ir de um número a outro" você precisa passar por todos os números que estão entre eles e, entre esses números, como vimos, não há buracos, logo, esse caminho para ir de um número ao outro é contínuo. Por esse motivo, por essa "continuidade" é que podemos representar o conjunto dos números reais como sendo uma reta ou, até mesmo, uma régua infinita. Uma reta não tem começo e nem fim, não tem nenhum buraco. Podemos associar a cada número real um e, somente um, ponto da reta. Geometricamente, temos:
Nesse momento você pode estar pensando: Isso não funciona para todos os outros conjuntos numéricos? Não, não funciona.
Pensando nos números naturais $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\dots\}$, quais são os números naturais que estão entre $2$ e $3$? Não existe número natural entre $2$ e $3$. Entre outras palavras, entre $2$ e $3$ há um "buraco". Logo, a propriedade de completude não vale para o conjunto dos números naturais, as noções de "estar completo" e de "ser contínuo" não funcionam em $\mathbb{N}$.
Se considerarmos o conjunto dos números inteiros $\mathbb{Z} = \{\dots, -2,-1,0,1,2,\dots\}$, usando o mesmo argumento usado no conjunto dos números naturais, vemos que a completude não vale em $\mathbb{Z}$.
A completude também não vale no conjunto dos números racionais $\mathbb{Q} = \left\{\displaystyle\frac{a}{b}: a,b \in \mathbb{Z} \mbox{ com } b\neq 0 \right\}$. Considerando os números $3$ e $4$ em $\mathbb{Q}$, o número $\pi$, que é irracional e, portanto, não pode ser escrito como uma fração, está entre $3$ e $4$. Assim, entre $3$ e $4$, quando consideramos somente números racionais, há um "buraco" (onde está o $\pi$).
Por último, no conjunto dos números irracionais $\mathbb{I} = \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ (todos os reais menos os racionais), entre os números $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}$ está o número $1,5 = \displaystyle\frac{3}{2}$, que não é irracional. Portanto, a completude também não vale em $\mathbb{I}$.
A completude faz com que $\mathbb{R}$ seja realmente um conjunto especial. A partir disso conseguimos estudar os intervalos de números reais. A noção de intervalo só existe nos números reais, devido à sua completude. Mas não é só isso, tudo o que se estuda em Cálculo I (disciplina estudada em 95% dos cursos que possuem disciplinas de matemática), Cálculo II, Equações Diferenciais, Análise Real, e etc. depende da noção de intervalo. Por isso, vale o esforço de entender a completude dos números reais.
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