No primeiro post sobre números reais vimos a definição de números reais e seus subconjuntos importantes. Agora está na hora de começarmos a falar sobre as propriedades dos números reais. Essas propriedades são divididas em três grupos, os quais são, propriedades algébricas, propriedades de ordem e completude. As propriedades algébricas são aquelas relacionadas com as operações de soma e produto dos números reais, que são de fundamental importância para fazer cálculos, resolver equações e inequações e também para fazer demonstrações. As propriedades de ordem estão relacionadas com a ordem natural que conhecemos dos números (isto é, dados dois números, identificar qual é o menor e o maior entre eles, se não forem iguais). Esse grupo de propriedades é importante para se resolver inequações, definir e trabalhar com intervalos de números reais, analisar sinal de expressões algébricas e etc.. Por último, temos a completude dos números reais, o que tem a ver com o fato de $\mathbb{R}$ poder ser representado por uma reta (como se fosse uma régua infinita). Aqui nesse post, vamos tratar das propriedades algébricas dos números reais.
julho 23, 2021
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No conjunto dos números reais estão definidas duas operações, a adição (ou soma), denotada por $+$, e a multiplicação (ou produto), denotada por $\cdot$. Dado um par de números $x,y \in \mathbb{R}$, a adição associa a esse par de números um único número real $x+y$ e a multiplicação associa a esse par de números um único número real $x \cdot y$ (por simplicidade, algumas vezes omitiremos o símbolo $\cdot$ e escreveremos apenas $xy$).
Dados $x,y,z \in \mathbb{R}$, temos as seguintes propriedades:
(A1) $(x+y)+z = x+(y+z)$ (propriedade associativa da adição).
(A2) $x+y = y+x$ (propriedade comutativa da adição).
(A3) Existe um elemento $0 \in \mathbb{R}$, chamado de elemento neutro da adição, tal que, para todo $x \in \mathbb{R}$ tem-se
$$x+0 = 0+x = x.$$
(A4) Para cada $x \in \mathbb{R}$, existe um elemento $-x \in \mathbb{R}$, chamado elemento oposto de $x$, tal que,
$$x+(-x) = -x+x = 0.$$
(M1) $(xy)z = x(yz)$ (propriedade associativa da multiplicação).
(M2) $xy=yx$ (propriedade comutativa da multiplicação).
(M3) Existe um elemento $1 \in \mathbb{R}$, chamado de elemento neutro da multiplicação, tal que, para todo $x \in \mathbb{R}$ tem-se
$$x \cdot 1 = 1 \cdot x = x.$$
(M4) Para cada $x \in \mathbb{R}$ diferente de zero, existe um elemento $\displaystyle\frac{1}{x} \in \mathbb{R}$, chamado elemento inverso de $x$, tal que
$$\displaystyle\frac{1}{x} \cdot x = x \cdot \displaystyle\frac{1}{x} = 1.$$
(D) $x(y+z) = xy+xz$ e $(x+y)z = xz+yz$ (propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição).
Observação importante: Devido às definições de igualdade (intuitiva) e de operações (que podemos ver futuramente), dados $x,y,z \in \mathbb{R}$, se $x=y$, então $x+z = y+z$ e $xz=yz$. Isso significa que, dada uma igualdade, pode-se somar o mesmo valor e multiplicar pelo mesmo valor dos dois lados da igualdade sem alterar a igualdade. A recíproca também é verdadeira, se $x+z=y+z$, podemos somar $-z$ em ambos os lados da igualdade e, assim, vamos obter
$$x+z=y+z \Rightarrow (x+z)+(-z) = (y+z)+(-z) \Rightarrow x+(z+(-z)) = y+(z+(-z)) \Rightarrow x+0=y+0 \Rightarrow x=y.$$
Também, se $xz=yz$ com $z \neq 0$, podemos multiplicar essa igualdade por $\displaystyle\frac{1}{z}$ e, assim
$$xz=yz \Rightarrow (xz)\displaystyle\frac{1}{z} = (yz)\displaystyle\frac{1}{z} \Rightarrow x(z\displaystyle\frac{1}{z}) = y(z\displaystyle\frac{1}{z}) \Rightarrow x \cdot 1=y \cdot 1 \Rightarrow x=y.$$
Logo acima eu mencionei que em $\mathbb{R}$ há duas operações, a adição e a multiplicação. Bom, depois disso você deve ter se perguntado: e a subtração e a divisão? Na verdade, a subtração é uma soma e a divisão é uma multiplicação, por esse motivo consideramos $\mathbb{R}$ com somente as operações de adição e multiplicação. Para essa questão ficar mais clara, vamos definir a subtração e a divisão.
Definimos a subtração (ou diferença) dos números reais $x$ e $y$ como sendo a adição de $x$ com o oposto de $y$. Denotando a subtração de $x$ e $y$ por $x-y$ temos, então, que
$$x-y = x+(-y).$$
Definimos a divisão dos números reais $x$ e $y$, com $y \neq 0$, como sendo a multiplicação de $x$ com o inverso de $y$. Denotando a divisão de $x$ e $y$ por $x \div y$ temos, então, que
$$x \div y = x \cdot \displaystyle\frac{1}{y} = \displaystyle\frac{x}{y}.$$
Por exemplo:
$$9-5 = 9+(-5) = 4 \mbox{ e } 12-15 = 12+(-15) = -3;$$
$$4 \div 5 = 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{5} = \displaystyle\frac{4}{5} \mbox{ e } 8 \div (-4) = 8 \cdot \displaystyle\frac{1}{-4} = \displaystyle\frac{8}{-4} = -2.$$
Vamos ver agora exemplos para cada propriedade algébrica dos números reais.
(A1) $(1+3)+5 = 4+5=9$ e $1+(3+5) = 1+8 = 9$.
(A2) $3+7 = 10$ e $7+3 = 10$.
(A3) $-5+0 = -5$ e $0+(-5) = -5$.
(A4) O oposto de $11$ é $-11$ pois $11+(-11) = 0$ e $-11+11 = 0$.
(M1) $(2 \cdot 3) \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$ e $2 \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 15 = 30$.
(M2) $10 \cdot 11 = 110$ e $11 \cdot 10 = 110$.
(M3) $1 \cdot 2 = 2$ e $2 \cdot 1 = 2$.
(M4) O inverso de $6$ é $\displaystyle\frac{1}{6}$, visto que $6 \cdot \displaystyle\frac{1}{6} = 1$ e $\displaystyle\frac{1}{6} \cdot 6 = 1$.
(D) $3(x+7) = 3x+3\cdot 7 = 3x+21$ e $(2+y)5 = 2 \cdot 5 + y5 = 5y+10$.
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