A Matemática Como Ela É

junho 03, 2021 |

Teoria dos Conjuntos #3 - Detalhes sobre as relações de pertinência e de inclusão

Esse é o terceiro post sobre Teoria dos Conjuntos. No primeiro post tratamos sobre a definição de conjuntos e elementos e no segundo tratamos sobre subconjuntos. Se você ainda não deu uma olhada lá, sugiro que dê. Nesse post vamos misturar um pouco as coisas, vamos tratar de conjuntos, elementos e subconjuntos tudo misturado.. É muito importante saber quando usar a relação de inclusão ("contido em" e "não está contido em") e a relação de pertinência ("pertence a" e "não pertence a"). Vamos lá!

Sobre a diferença entre a relação de pertinência e a relação de inclusão

Dado um um objeto $x$ e um conjunto $A$, podemos verificar se $x \in A$ ou se $x \not\in A$. Essa é a relação de pertinência entre objetos e conjuntos. Dados dois conjuntos $A$ e $B$, podemos verificar de $A \subset B$ ou se $A \not\subset B$. Essa é a relação de inclusão de conjuntos. Aqui, nós podemos perceber que a relação de pertinência se dá entre objetos e conjuntos e a relação de inclusão se dá entre dois conjuntos. Sendo assim, é errado dizer que um elemento está contido num conjunto e que um conjunto pertence a outro conjunto.

Sobre a notação de conjunto

Dado um objeto qualquer $x$, $x$ e $\{x\}$ significam coisas diferentes. O primeiro é simplesmente o objeto $x$, o segundo é o conjunto que só tem $x$ como elemento. Um elemento sozinho, sem estar entre chaves, nunca será um conjunto.

Um conjunto pode ser um elemento?

Bom, vimos acima que um objeto sozinho nunca será um conjunto, mas é possível que um conjunto seja um elemento de outro conjunto? A resposta é sim.

Considere o seguinte conjunto:

$$P = \{\{a\}, b, c\}$$

Os elementos desse conjunto são $\{a\}$, $b$ e $c$. Nesse caso, o conjunto $\{a\}$ é um elemento do conjunto $P$. Assim, podemos dizer que $\{a\}$ pertence a $P$, ou em símbolos, $\{a\} \in P$. E, porquê isso? Simplesmente porque $\{a\}$ está listado como elemento de $P$. Como $\{a\}$ é um elemento de $P$, está errado dizer que $\{a\} \subset P$, pois para que isso fosse verdade, teríamos que ter $a \in P$, mas isso não ocorre, $a$ (sozinho, sem as chaves) não é listado como elemento de $P$.

Exemplo

1. Dado os seguintes conjuntos

$$A = \{a,b,c,d\}, \mbox{ } B=\{\{a\}, b, c,\} \mbox{ e } C = \{\{a,b\}, c\}$$

verifique quais afirmação são verdadeiras e quais são falsas.

(a) $a \in A$

(b) $\{a\} \subset B$

(d) $\{c\} \subset B$

(e) $\{a,b\} \subset A$

Solução:

(a) Verdadeiro. O objeto $a$ está listado como elemento de $A$.

(b) Falso. O conjunto $\{a\}$ é um elemento de $B$, logo $\{a\} \not\subset B$. Para que $\{a\} \subset B$, deveríamos ter $a \in A$, o que não ocorre.

(c) Verdadeiro. Quando olhamos os elementos de $C$, vemos que $\{a,b\}$ está listado em $C$.

(d) Verdadeiro. Observe que $c \in B$, o que nos dá $\{c\} \subset C$.

(e) Verdadeiro. Como $a,b \in A$, segue $\{a,b\} \subset B$.

Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.

Teoria dos Conjuntos #2: Subconjuntos

Esse é o segundo post sobre Teoria dos Conjuntos. Nele vamos aprender o que são subconjuntos de um conjunto. Se você ainda não leu o primeiro post, aqui está ele. Nessa primeira postagem abordamos as definições de elemento e conjuntos, a relação de pertinência, a maneira correta de escrever um conjunto e também fizemos alguns exemplos. Sem mais enrolações, vamos falar sobre os subconjuntos.

Subconjuntos

Considere dois conjuntos $A$ e $B$. Dizemos que o conjunto $A$ é um subconjunto do conjunto $B$ se todo elemento de $A$ também é um elemento de $B$, ou seja, se todo elemento de $A$ pertence a $B$. Se $A$ é um subconjunto de $B$, dizemos que $A$ está contido em $B$ ou que $B$ contém $A$.

O conjunto $A$ não é um subconjunto de $B$ quando existe pelo menos um elemento de $A$ que não pertence a $B$. Quando isso acontece, dizemos que $A$ não está contido em $B$ ou que $B$ não contém $A$.

Aqui está estabelecida uma relação entre dois conjuntos, a relação de inclusão. Dados dois conjuntos quaisquer, podemos decidir se um dos conjuntos está contido no outro ou não, verificando se todos os elementos de um deles está no outro.

Notação

Para dizer que $A$ está contido em $B$, usamos o símbolo $\subset$. Desse modo, $A \subset B$ é lido como $A$ está contido em $B$ ou $A$ é subconjunto de $B$. Usamos o símbolo $\supset$ para dizer que $B$ contém $A$, assim, $B \supset A$ é lido como $B$ contém $A$, ou ainda, $A$ é um subconjunto de $B$.

Ainda se tratando da inclusão de conjuntos, temos mais dois símbolos que podem ser usados. O símbolo $\not\subset$ é usado para dizer que um conjunto não está contido no outro, ou seja, $A \not\subset B$ significa $A$ não está contido em $B$. O símbolo $\not\supset$ é usado para dizer que um conjunto não contém o outro, assim, $B \not\supset A$ significa $B$ não contém $A$.

Podemos visualizar a relação de inclusão de conjuntos por meio de diagramas:

$A \not\subset B$ ou $B \not\supset A$ $A \not\subset B$ ou $B \not\supset A$ $A \subset B$ ou $B\supset A$

Exemplos

1. Considere os seguintes conjuntos:

$$A = \{1,2,5,7,10\}, \mbox{ } B = \{1,6,7,10,12\} \mbox{ e } C=\{1,7,10\}.$$

Entre esses conjuntos, temos as seguintes relações:

$C \subset A$ pois todos os elementos de $C$, que são $1,7 \mbox{ e } 10$, estão também em $A$, ou seja, $1,7,10 \in A$;
$C \subset B$ pois todos os elementos de $C$, que são $1,7 \mbox{ e } 10$, estão também em $B$, ou seja, $1,7,10 \in B$;
$A \not\subset B$ pois $2 \in A$ e $2 \not\in B$, ou seja, existe pelo menos um elemento em $A$ que não está em $B$;
$A \not\supset B$ pois $12 \in B$ e $12 \not\in A$, ou seja, existe pelos um elemento em $B$ que não está em $A$;

A ideia por trás da relação de inclusão de conjuntos parece ser bem fácil, porém dependendo dos conjuntos envolvidos, pode não ser tão fácil de dizer se um conjunto está ou não contido em outro.

2. Considere os seguintes conjuntos:

$$A = \{2,6,8,10\}, \mbox{ } B = \{x \in \mathbb{Z}: x \mbox{ é par}\} \mbox{ e } C=\{x \in \mathbb{R}: 0<x<8\}.$$

Classifique as seguintes afirmações em verdadeira ou falsa.

(a) $A \subset B$

(b) $C \supset A$

(d) $A \not\supset B$

(e) $B \not\subset C$

Solução:

(a) Verdadeiro. O conjunto $A$ é formado pelos elementos $2, 6, 8$ e $10$, que são números pares. O conjunto $B$ não é dado pela listagem de seus elementos, mas por uma propriedade de seus elementos, que é ser número par. Assim, tendo verificado que $2, 6, 8$ e $10$ são pares, com certeza, esses números estão também em $B$. Portanto $A \subset B$.

(b) Falso. O conjunto $C$ é formado por todos os números reais que estão entre $0$ e $8$, assim, o número $10 \not\in C$. Observe que $ 10 \in A$. Logo, existe um elemento de $A$ que não está em $C$. Portanto $C \not\supset A$.

(c) Falso. O conjunto $C$ é formado pelos números reais entre $0$ e $8$, então $\frac{1}{2} \in C$. No conjunto $A$ estão somente os elementos $2,6,8$ e $10$, logo $\frac{1}{2} \not\in A$. Portanto $C \not\subset A$.

(d) Verdadeiro. O número $0$ é par e, assim, $0 \in B$. Como $0 \not\in A$, segue que $A \not\supset B$.

(e) Verdadeiro. O número $8 \in B$ pois é um número par, mas $8 \not\in C$, visto que, para um número estar em $C$, ele dever ser real, maior que 0 e menor que 8. Logo $B \not\subset C$.

Observação: Para mostrar que um conjunto $A$ está contido num conjunto $B$, devemos mostrar que todo elemento de $A$ também é um elemento de $B$. Agora, para mostrar que $A$ não está contido em $B$, devemos apresentar um elemento que está em $A$, mas não está em $B$. No exemplo 2(c), para justificar que $C \not\subset A$, mostrei que $\frac{1}{2} \in C$ e $\frac{1}{2} \not\in A$, mas poderia tem usado no lugar do $\frac{1}{2}$ o elemento $\frac{3}{5} \in C$, pois $\frac{3}{5}$ também não pertence a $A$.

Nesse exemplo 2 não basta somente olhar os elementos dos conjuntos para decidir se um conjunto é subconjunto de outro, é necessário olhar as propriedades que caracterizam esses conjuntos e verificar se os elementos satisfazem ou não essas propriedades.

Antes de finalizar, é importante observar que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. E, por que isso acontece? Para que um conjunto $A$ não esteja contido num conjunto $B$, deve existir algum elemento em $A$ que não pertence a $B$. Bom, dado um conjunto $A$ qualquer, existe algum elemento no conjunto vazio que não pertence a $A$? Não, pois no vazio não há elemento algum. Logo $\emptyset \subset A$ para qualquer conjunto $A$.

Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.

Teoria dos Conjuntos #1: Conjuntos e Elementos

Acredito que a Teoria dos Conjuntos é uma parte fundamental da Matemática. Ela simplesmente aparece em todas as áreas da Matemática (em todas mesmo). Não é possível estudar Cálculo, Geometria, Álgebra Linear, Álgebra, Equações Diferenciais, etc., sem saber, pelo menos, o básico da Teoria dos Conjuntos. Então, esse é um assunto que não pode ser deixado de lado. Por esse motivo, nesse post, vamos começar do começo, vamos definir o que é um conjunto, o que é um elemento de um conjunto e algo muito importante, como escrever um conjunto de maneira correta. Além disso, veremos também os conjuntos numéricos. Ao final veremos alguns exemplos.

Definição de conjuntos e elementos

Na Matemática, a palavra conjunto tem o mesmo significado que usamos no português (isso pode ter parecido estranho, mas na Matemática, aberto não é antônimo de fechado). Assim, um conjunto é uma coleção, um agrupamento ou uma classe de objetos que podem ser abstratos ou não. Os objetos nesse conjunto são chamados de elementos ou membros do conjunto. Dizemos que um elemento do conjunto pertence ao conjunto. Se um objeto não é um elemento de um dado conjunto, dizemos que ele não pertence a esse conjunto. Assim, está definida a relação que existe entre objetos e conjuntos, a chamada relação de pertinência, isto é, dado um objeto e um conjunto, podemos dizer se este objeto pertence ou não pertence ao conjunto, verificando se ele é um elemento do conjunto.

Notações

De um modo geral (e isto não é uma regra), os conjuntos são comumente denotados por letras maiúsculas:

$$A, B, C, \dots$$

Também de um modo geral, os elementos são denotados por letras minúsculas:

$$a,b,c, \dots$$

Usamos o símbolo $\in$ para dizer que um objeto pertence a um conjunto e o símbolo $\not\in$ para dizer que um objeto não pertence. Por exemplo, dados um objeto $x$ e um conjunto $A$, escrevemos $x \in A$ se $x$ pertence a $A$, ou seja, se $x$ é um elementos de $A$ e escrevemos $x \not\in A$ se $x$ não pertence a $A$, ou seja, se $x$ não é um elemento de A.

Podemos representar conjuntos usando diagramas:

$x \in A$ e $y \not\in A$

Maneiras de Escrever um Conjunto

Agora, vamos aprender a escrever um conjunto. Podemos escrever um conjunto de duas formas diferentes, a saber:

1. Listando os elementos entre chaves (não entre colchetes e nem entre parênteses, mas entre chaves).

Vejamos alguns exemplos:

(a) $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,5,\dots\}$ (conjunto dos números naturais)

(b) $\mathbb{Z} = \{\dots -3,-2,-1, 0,1,2,3,\dots\}$ (conjunto dos números inteiros)

(d) $B = \{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\}$

(e) $C = \{2,4,6,8\}$

(f) $D = \{\dots,-2,-1,0,1,2,3, \dots\}$

Essa maneira de descrever um conjunto é mais adequada quando o conjunto é finito ou infinito com um padrão bem claro de como são obtidos os elementos que não estão propriamente escritos no conjunto. Para dizer que o padrão do conjunto se repete, usamos reticências, que podem aparecer antes, no meio, ou depois dos elementos listados. Nos itens 1(a) e 1(b) temos as definições dos conjuntos dos números naturais e dos números inteiros, denotados respectivamente por $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$. No item 1(c) temos o conjunto dos números naturais ímpares menores 101, no item 1(d) o conjunto dos inteiros pares, no item 1(e) um conjunto finito no qual todos seus elementos estão listados e no item 1(f) os inteiros menores que 4.

2. Descrevendo os elementos do conjunto por meio de uma propriedade (e isso também entre chaves).

Para ficar mais claro, de um modo geral, essa segunda maneira de escrever um conjunto tem a seguinte forma:

$$\{x : x \mbox{ possui a propriedade P}\}, \mbox{ ou }$$

$$\{x \in U : x \mbox{ possui a propriedade P}\}$$

Aqui, esses dois pontos significam tal que e podem ser substituídos por uma barra vertical $|$. Assim, a primeira forma é lida como conjunto dos elementos $x$ tal que x possui a propriedade P e a segunda forma é lida como conjunto dos elementos x pertencentes a $U$ tal que $x$ possui a propriedade P. O conjunto $U$ é chamado de conjunto universo.

Vejamos alguns exemplos:

(a) $\mathbb{Q} = \left\{\displaystyle\frac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z} \mbox{ e } b \neq 0\right\}$ (conjunto dos números racionais)

(b) $\mathbb{R} = \{x : x \mbox{ pode ser escrito na forma decimal}\}$ (conjunto dos números reais)

(d) $Y = \{ x \in \mathbb{R} : x > 0\}$

(e) $Z = \{a \in \mathbb{N} : a \mbox{ divide } 36\}$

(f) $S = \{ x \in \mathbb{R} : 0<x<1\}$

Essa maneira de descrever um conjunto é mais usada quando o conjunto é infinito ou quando os elementos não possuem um padrão de repetição. Porém, nada impede que essa forma seja usada para descrever conjuntos finitos ou com um padrão de repetição bem claros. Nos itens 1(a) e 1(b) temos os conjuntos numéricos dos racionais e dos reais, denotados respectivamente por $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$. No item 2(c) temos um conjunto formado por elementos na forma $\displaystyle\frac{1}{n}$ onde $n \in \mathbb{N}$. Por exemplo, os números $\displaystyle\frac{1}{2}$ e $\displaystyle\frac{1}{10}$ são elementos desse conjunto. O conjunto no item 2(d) não pode ser descrito listando seus elementos, pois não há um padrão nos números reais maiores que zero. Desse fato, escrever esse conjunto com a propriedade que ele possui é a maneira correta de escrevê-lo. Os números naturais que dividem 36 são: 1, 2, 3, 6, 12 e 18. Isto é, o conjunto do item 2(e) é finito e poderia ser escrito listando os seus elementos. Pelo mesmo motivo do item 2(d), o conjunto do item 2(f) deve ser escrito meio de sua propriedade.

Observação: Há mais um conjunto numérico, chamado de conjunto dos números irracionais, o qual é denotado e definido por:

$$\mathbb{I} = \{x \in \mathbb{R} : x \not\in \mathbb{Q}\}$$

Saiba mais sobre esse conjunto lendo esse post.

Dica valiosa de um professor universitário: Estudar essas coisas de elementos e conjuntos, maneiras de escrever conjuntos, parece ser meio chato. Bom, talvez seja (eu não acho). Porém isso é muito importante, pois quando você chegar no ensino superior (se você já não estiver lá), não será cobrado somente para resolver um exercício de maneira correta, mas também para escrever a solução de maneira correta. Nos relatórios, provas, trabalhos que você for fazer, lembre-se disso, você vai ser cobrado para escrever de maneira correta, não só no português, mas também na matemática.

Exemplos:

1. Considere os conjuntos:

$$A = \{1,2,17, 34\}, \mbox{ } B = \{5,6,7,8,9, \dots\} \mbox{ e } C = \{x \in \mathbb{R} : x < 9\}.$$

Verifique se as seguintes afirmação são verdadeiras ou falsas:

(a) $2 \in A$ (b) $1 \in B$ (c) $-1 \not\in C$

(d) $\frac{9}{5} \in C$ (e) $100 \not\in B$ (d) $0 \in A$

Solução:

(a) Verdadeiro. O número 2 está listado entre os elementos de $A$.

(b) Falso. Em $B$ estão somente os números naturais maiores ou iguais 5, seguindo seu padrão de repetição. Como 1 é menor que 5, 1 não é um elemento de $B$.

(d) Verdadeiro. O número $\frac{9}{5}$ é menor que 9, portanto está em $C$.

(e) Falso. Em $B$ estão todos os números naturais maiores ou iguais a 5. O número 100 é maior que 5, logo 100 é um elemento de $B$.

(d) Falso. O número 0 não está listado entre os elementos de $A$.

2. Em cada item, escreva o conjunto dadas suas propriedades.

(a) Números naturais múltiplos de 5.

(b) Números inteiros múltiplos de 5.

(d) Números reais maiores que -1 e menores que 1.

(e) Números inteiros divisores de 10.

Solução:

(a) $\{0,5,10,15,20, \dots\}$ ou $\{5x: x \in \mathbb{N}\}$.

(b) $\{\dots, -10,-5,0,5,10,\dots\}$ ou $\{5x: x \in \mathbb{Z}\}$.

(d) $\{x \in \mathbb{R} : -1< x < 1\}$.

(e)$\{1,2,5\}$

Antes de finalizar, existe um conjunto muito importante na Matemática, chamado conjunto vazio. O conjunto vazio, por definição é o conjunto que não possui elementos e é denotado por $\emptyset$ ou $\{\}$.

Gostou dessa postagem? Foi útil? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.