Esse é o segundo post sobre Teoria dos Conjuntos. Nele vamos aprender o que são subconjuntos de um conjunto. Se você ainda não leu o primeiro post, aqui está ele. Nessa primeira postagem abordamos as definições de elemento e conjuntos, a relação de pertinência, a maneira correta de escrever um conjunto e também fizemos alguns exemplos. Sem mais enrolações, vamos falar sobre os subconjuntos.
Subconjuntos
Considere dois conjuntos $A$ e $B$. Dizemos que o conjunto $A$ é um subconjunto do conjunto $B$ se todo elemento de $A$ também é um elemento de $B$, ou seja, se todo elemento de $A$ pertence a $B$. Se $A$ é um subconjunto de $B$, dizemos que $A$ está contido em $B$ ou que $B$ contém $A$.
O conjunto $A$ não é um subconjunto de $B$ quando existe pelo menos um elemento de $A$ que não pertence a $B$. Quando isso acontece, dizemos que $A$ não está contido em $B$ ou que $B$ não contém $A$.
Aqui está estabelecida uma relação entre dois conjuntos, a relação de inclusão. Dados dois conjuntos quaisquer, podemos decidir se um dos conjuntos está contido no outro ou não, verificando se todos os elementos de um deles está no outro.
Notação
Para dizer que $A$ está contido em $B$, usamos o símbolo $\subset$. Desse modo, $A \subset B$ é lido como $A$ está contido em $B$ ou $A$ é subconjunto de $B$. Usamos o símbolo $\supset$ para dizer que $B$ contém $A$, assim, $B \supset A$ é lido como $B$ contém $A$, ou ainda, $A$ é um subconjunto de $B$.
Ainda se tratando da inclusão de conjuntos, temos mais dois símbolos que podem ser usados. O símbolo $\not\subset$ é usado para dizer que um conjunto não está contido no outro, ou seja, $A \not\subset B$ significa $A$ não está contido em $B$. O símbolo $\not\supset$ é usado para dizer que um conjunto não contém o outro, assim, $B \not\supset A$ significa $B$ não contém $A$.
Podemos visualizar a relação de inclusão de conjuntos por meio de diagramas:
$A \not\subset B$ ou $B \not\supset A$ $A \not\subset B$ ou $B \not\supset A$ $A \subset B$ ou $B\supset A$
Exemplos
1. Considere os seguintes conjuntos:
$$A = \{1,2,5,7,10\}, \mbox{ } B = \{1,6,7,10,12\} \mbox{ e } C=\{1,7,10\}.$$
Entre esses conjuntos, temos as seguintes relações:
- $C \subset A$ pois todos os elementos de $C$, que são $1,7 \mbox{ e } 10$, estão também em $A$, ou seja, $1,7,10 \in A$;
- $C \subset B$ pois todos os elementos de $C$, que são $1,7 \mbox{ e } 10$, estão também em $B$, ou seja, $1,7,10 \in B$;
- $A \not\subset B$ pois $2 \in A$ e $2 \not\in B$, ou seja, existe pelo menos um elemento em $A$ que não está em $B$;
- $A \not\supset B$ pois $12 \in B$ e $12 \not\in A$, ou seja, existe pelos um elemento em $B$ que não está em $A$;
A ideia por trás da relação de inclusão de conjuntos parece ser bem fácil, porém dependendo dos conjuntos envolvidos, pode não ser tão fácil de dizer se um conjunto está ou não contido em outro.
2. Considere os seguintes conjuntos:
$$A = \{2,6,8,10\}, \mbox{ } B = \{x \in \mathbb{Z}: x \mbox{ é par}\} \mbox{ e } C=\{x \in \mathbb{R}: 0<x<8\}.$$
Classifique as seguintes afirmações em verdadeira ou falsa.
(a) $A \subset B$
(b) $C \supset A$
(c) $C \subset A$
(d) $A \not\supset B$
(e) $B \not\subset C$
Solução:
(a) Verdadeiro. O conjunto $A$ é formado pelos elementos $2, 6, 8$ e $10$, que são números pares. O conjunto $B$ não é dado pela listagem de seus elementos, mas por uma propriedade de seus elementos, que é ser número par. Assim, tendo verificado que $2, 6, 8$ e $10$ são pares, com certeza, esses números estão também em $B$. Portanto $A \subset B$.
(b) Falso. O conjunto $C$ é formado por todos os números reais que estão entre $0$ e $8$, assim, o número $10 \not\in C$. Observe que $ 10 \in A$. Logo, existe um elemento de $A$ que não está em $C$. Portanto $C \not\supset A$.
(c) Falso. O conjunto $C$ é formado pelos números reais entre $0$ e $8$, então $\frac{1}{2} \in C$. No conjunto $A$ estão somente os elementos $2,6,8$ e $10$, logo $\frac{1}{2} \not\in A$. Portanto $C \not\subset A$.
(d) Verdadeiro. O número $0$ é par e, assim, $0 \in B$. Como $0 \not\in A$, segue que $A \not\supset B$.
(e) Verdadeiro. O número $8 \in B$ pois é um número par, mas $8 \not\in C$, visto que, para um número estar em $C$, ele dever ser real, maior que 0 e menor que 8. Logo $B \not\subset C$.
Observação: Para mostrar que um conjunto $A$ está contido num conjunto $B$, devemos mostrar que todo elemento de $A$ também é um elemento de $B$. Agora, para mostrar que $A$ não está contido em $B$, devemos apresentar um elemento que está em $A$, mas não está em $B$. No exemplo 2(c), para justificar que $C \not\subset A$, mostrei que $\frac{1}{2} \in C$ e $\frac{1}{2} \not\in A$, mas poderia tem usado no lugar do $\frac{1}{2}$ o elemento $\frac{3}{5} \in C$, pois $\frac{3}{5}$ também não pertence a $A$.
Nesse exemplo 2 não basta somente olhar os elementos dos conjuntos para decidir se um conjunto é subconjunto de outro, é necessário olhar as propriedades que caracterizam esses conjuntos e verificar se os elementos satisfazem ou não essas propriedades.
Antes de finalizar, é importante observar que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. E, por que isso acontece? Para que um conjunto $A$ não esteja contido num conjunto $B$, deve existir algum elemento em $A$ que não pertence a $B$. Bom, dado um conjunto $A$ qualquer, existe algum elemento no conjunto vazio que não pertence a $A$? Não, pois no vazio não há elemento algum. Logo $\emptyset \subset A$ para qualquer conjunto $A$.
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