Esse é o terceiro post sobre Teoria dos Conjuntos. No primeiro post tratamos sobre a definição de conjuntos e elementos e no segundo tratamos sobre subconjuntos. Se você ainda não deu uma olhada lá, sugiro que dê. Nesse post vamos misturar um pouco as coisas, vamos tratar de conjuntos, elementos e subconjuntos tudo misturado.. É muito importante saber quando usar a relação de inclusão ("contido em" e "não está contido em") e a relação de pertinência ("pertence a" e "não pertence a"). Vamos lá!
Sobre a diferença entre a relação de pertinência e a relação de inclusão
Dado um um objeto $x$ e um conjunto $A$, podemos verificar se $x \in A$ ou se $x \not\in A$. Essa é a relação de pertinência entre objetos e conjuntos. Dados dois conjuntos $A$ e $B$, podemos verificar de $A \subset B$ ou se $A \not\subset B$. Essa é a relação de inclusão de conjuntos. Aqui, nós podemos perceber que a relação de pertinência se dá entre objetos e conjuntos e a relação de inclusão se dá entre dois conjuntos. Sendo assim, é errado dizer que um elemento está contido num conjunto e que um conjunto pertence a outro conjunto.
Sobre a notação de conjunto
Dado um objeto qualquer $x$, $x$ e $\{x\}$ significam coisas diferentes. O primeiro é simplesmente o objeto $x$, o segundo é o conjunto que só tem $x$ como elemento. Um elemento sozinho, sem estar entre chaves, nunca será um conjunto.
Um conjunto pode ser um elemento?
Bom, vimos acima que um objeto sozinho nunca será um conjunto, mas é possível que um conjunto seja um elemento de outro conjunto? A resposta é sim.
Considere o seguinte conjunto:
$$P = \{\{a\}, b, c\}$$
Os elementos desse conjunto são $\{a\}$, $b$ e $c$. Nesse caso, o conjunto $\{a\}$ é um elemento do conjunto $P$. Assim, podemos dizer que $\{a\}$ pertence a $P$, ou em símbolos, $\{a\} \in P$. E, porquê isso? Simplesmente porque $\{a\}$ está listado como elemento de $P$. Como $\{a\}$ é um elemento de $P$, está errado dizer que $\{a\} \subset P$, pois para que isso fosse verdade, teríamos que ter $a \in P$, mas isso não ocorre, $a$ (sozinho, sem as chaves) não é listado como elemento de $P$.
Exemplo
1. Dado os seguintes conjuntos
$$A = \{a,b,c,d\}, \mbox{ } B=\{\{a\}, b, c,\} \mbox{ e } C = \{\{a,b\}, c\}$$
verifique quais afirmação são verdadeiras e quais são falsas.
(a) $a \in A$
(b) $\{a\} \subset B$
(c) $\{a,b\} \in C$
(d) $\{c\} \subset B$
(e) $\{a,b\} \subset A$
Solução:
(a) Verdadeiro. O objeto $a$ está listado como elemento de $A$.
(b) Falso. O conjunto $\{a\}$ é um elemento de $B$, logo $\{a\} \not\subset B$. Para que $\{a\} \subset B$, deveríamos ter $a \in A$, o que não ocorre.
(c) Verdadeiro. Quando olhamos os elementos de $C$, vemos que $\{a,b\}$ está listado em $C$.
(d) Verdadeiro. Observe que $c \in B$, o que nos dá $\{c\} \subset C$.
(e) Verdadeiro. Como $a,b \in A$, segue $\{a,b\} \subset B$.
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