Barnsley's Fern - Python

Você já ouviu falar do fractal chamado Barnsley's fern? Esse fractal é, literalmente, uma folha de samambaia. É isso mesmo, podemos usar transformações no plano cartesiano e estatística para desenhar a samambaia de Barnsley. Abaixo está um vídeo com a explicação de como a samambaia de Barnsley é construída. Logo após o vídeo está um código em Python que faz o desenho da samambaia de Barnsley marcando ponto a ponto desse fractal.

Barnsley's Fern  (Samambaia de Barnsley)

Vídeo com a explicação de como o Barnsley's Fern é construído:

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Cógido em Python que gera o Barnsley's Fern:

import turtle
import random

pen = turtle.Turtle()
pen.shapesize(0.1,0.1,0.1)
pen.speed(100)
pen.color("green")
pen.penup()

x = 0
y = 0
for n in range(50000):
    pen.goto(65 * x, 37 * y - 252) 
    pen.pendown()
    pen.dot(3)
    pen.penup()
    r = random.random()
    if r < 0.01:
        x, y =  0.00 * x + 0.00 * y,  0.00 * x + 0.16 * y + 0.00
    elif r < 0.86:
        x, y =  0.85 * x + 0.04 * y, -0.04 * x + 0.85 * y + 1.60
    elif r < 0.93:
        x, y =  0.20 * x - 0.26 * y,  0.23 * x + 0.22 * y + 1.60
    else:
        x, y = -0.15 * x + 0.28 * y,  0.26 * x + 0.24 * y + 0.44

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Funções #7: Gráfico de funções de uma variável

Chegamos a um ponto muito importante no estudo de funções, nessa e nas próximas postagens vamos estudar os gráficos de funções reais de uma variável real. Entender o que é e saber fazer o esboço do gráficos de algumas funções é importante pois, por meio deles, conseguimos visualizar informações essenciais sobre o comportamento de uma função. Um gráfico não é simplesmente um desenho ou figura. O gráfico nos indica, por exemplo, a imagem da função, para quais subconjuntos do domínio a função é crescente ou decrescente, pontos de descontinuidade, pontos de máximo e míninos locais ou absolutos, se a função é limitada, se possui zeros, etc.. Talvez você não esteja familiarizado ainda com os conceitos citados acima, exceto a imagem de uma função, mas, acredite em mim, esses conceitos todos são muito importantes e devem ser bem compreendidos por qualquer estudante de ensino superior que esteja fazendo as disciplinas Cálculo I e II. É muita coisa, não é? Mas, fique tranquilo. Aqui no blog, vamos começar com calma, o objetivo é te fornecer a base, para que, quando for estudar os conceitos que mencionei acima e mais alguns outros, você esteja preparado. Essa primeira postagem será dedicada à definição de gráfico somente. A partir da próxima é que vamos aprender como fazer alguns gráficos. Então, sem enrolação, vamos lá!

Gráfico de funções de uma variável

Começaremos definindo o gráfico de uma função real de uma variáel real.

Definição: Seja $f: A \rightarrow B$ uma função real de uma variável real. Definimos o gráfico da função $f$, denotado por $G(f)$, como sendo o subconjunto do plano

$$G(f) = \{(x, f(x)) \in \mathbb{R}^2: x \in A\}.$$

Vamos entender melhor essa definição. Uma coisa que pode parecer "estranha" nessa definição é que o gráfico é definido como um subconjunto do plano $(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R})$. Como assim, subconjunto do plano? Não é um desenho ou figura? O gráfico de uma função é mesmo um subconjunto do plano, formado pelos pontos $(x, f(x))$ onde $x$ percorre todo o domínio da função $f$. Quando tomamos cada ponto desse e os representamos (desenhamos) no plano, ao observamos todos desenhados, vemos uma curva (ou uma reta). 

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

1. Considere a função $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = x-1$. O gráfico dessa função é

$$G(f) = \{(x, f(x)) \in \mathbb{R}^2: x \in \mathbb{R}\},$$

ou ainda,

$$G(f) = \{(x, x-1) \in \mathbb{R}^2: x \in \mathbb{R}\}.$$

Desenhando cada ponto desse conjunto no plano cartesiano, obtemos a seguinte representação gráfica de $f$.

2. Considere a função $g(x) = \sqrt{x}$. Temos que $D(g) = [0, +\infty)$ e o seu gráfico  é

$$G(g) = \{(x, g(x)) \in \mathbb{R}^2: x \in [0, +\infty)\},$$

ou ainda,

$$G(g) = \{(x, \sqrt{x}) \in \mathbb{R}^2: x \in [0, +\infty)\}.$$

Desenhando cada ponto desse conjunto no plano cartesiano, obtemos o gráfico de $g$.

3. Considere a função $h(x) = \displaystyle\frac{x}{x-2}$. Temos que $D(h) = \mathbb{R} - \{2\}$ e o seu gráfico  é

$$G(h) = \{(x, h(x)) \in \mathbb{R}^2: x \in \mathbb{R} - \{2\}\},$$

ou ainda,

$$G(g) = \left\{\left(x, \displaystyle\frac{x}{x-2}\right) \in \mathbb{R}^2: x \in [0, +\infty)\right\}.$$

No plano, o gráfico de $h$ é:

Os gráficos dos exemplos acima foram gerados pelo GeoGebra. Ele possui versões on-line e alpicativos para celular e computador. Conheça o GeoGebra por esse link: https://www.geogebra.org. Ele é bem intuitivo e, em caso de dúvida, basta ir na própria ajuda do GeoGebra ou ver algum dos vários tutorias no YouTube.

Uma pergunta que pode nos ocorrer é a seguinte: os gráficos de funções são curvas no plano, mas será que toda curva no plano o gráfico de uma função? A resposta é: não.

Isso é uma consequência da definição de função. Uma função do conjunto $A$ no conjunto $B$ é uma regra que associa cada elemento de $A$ a um único elemento de $B$. Graficamente, isso quer dizer que, uma curva no plano será o gráfico de uma função se, ao passarmos uma reta vertical por toda a extensão dessa curva, a reta sempre tocorá em um único ponto da curva. Isso nos garante que, essa dada curva é formada por pontos $(X,Y)$ tais que o $Y$ é único para cada $X$ o que caracteriza uma função. 

Abaixo, a curva em azul é o gráfico de uma função, mesmo que não saibamos qual é. Arraste a reta vertical para a direita e para a esquerda e veja que essa reta toca a curva em apenas um ponto por toda a extensão da curva, formando pares $(X,Y)$, onde para cada $X$ há um único $Y$. 

Considere a figura abaixo.

Observe que a curva em azul não pode ser o gráfico de uma função, pois, ao considerarmos uma reta percorrendo toda a extensão da curva, pelo menos em um momento, a reta vai tocar dois pontos da curva. Isto é, existe um $X$, para o qual temos associados dois valores distintos, o $Y_1$ e o $Y_2$.

Podemos usar o procedimento descrito acima para verificar se uma dada curva é o gráfico de uma função, ou seja, dada uma curva, imaginamos uma reta vertical passando por toda a curva. Se ela sempre tocar em um único ponto, a curva é o gráfico de uma função, agora, se em algum momento tocar em dois pontos da curva, então não temos o gráfico de uma função. Esse procedimento é conhecido como teste da reta vertical.

Vamos parar por aqui nessa postagem. Já sabemos o que é o gráfico de uma função e como saber se uma curva qualquer é ou não é o gráfico de uma função. Na próxima postagem, aprenderemos como fazer o esboço do gráfico de algumas funções importantes.

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Polígonos Estrelados Regulares - Python

Essa é mais uma postagem com um código em Python. Dessa vez eu fiz um código para gerar polígonos estrelados regulares. Estudo programação quando posso, então, acredito que esse código pode ser, com certeza, melhorado. Sinta-se à vontade para fazer comentários, dar sugestões e também de usar o código onde quiser. Esse código pode ser usado para mostrar o que podemos fazer com Python a estudantes de matemática e computação. Pode ser usado também como um ótimo exercício para quem está estudando Python.

Antes do vermos o código, vamos entender o que é um polígono estrelado regular. 

Chamamos de poligonal uma sequência finita de segmentos de reta que são desenhados de forma que, onde um segmento acaba, outro começa. Uma poligonal é chamada simples quando os segmentos que a formam não se cruzam. Uma poligonal é chamada fechada quando o ponto inicial do primeiro segmento de reta coincide com o ponto final do último segmento de reta na poligonal. 

Definimos um polígono estrelado, formalmente, da seguinte forma: um polígono estrelado é uma poligonal não simples fechada, tal que, para cada três segmentos consecutivos quaisquer, os dois segmentos extremos estão no mesmo semiplano em relação ao segmento do meio. Tais polígonos são classificados como regulares se possuem todos os lados e ângulos congruentes.

Informalmente, um polígono estrelado regular é uma estrela onde os segmentos que a formam e os ângulos em sua pontas são congruentes (possuem a mesma medida).

Podemos construir um polígono estrelado regular de $n > 3$ pontas seguindo os passos:

1. Construa um círculo de raio qualquer e o divida em $n$ partes iguais;

2. Calcule $a = \displaystyle\frac{n}{2}$;

3. Liste os números inteiros $k$ tais que $2 < k \leq a$;

4. Determine o números $k$ tais que $\mbox{mdc}(k,n) = 1$;

5. A quantidade de números $k$ tais que $\mbox{mdc}(k,n) = 1$ é a quantidade de polígonos estrelados distintos que existem com $n$ pontas;

6. Ligando os pontos da divisão do círculo feita no passo 1, de $k$ em $k$, para cada $k$, vamos obter todos os polígonos estrelados regulares com $n$ pontas (paramos de ligar os pontos quando chegamos no ponto inicial, ou seja, ao ligarmos os pontos de $k$ em $k$, os pontos inicial e final devem coincidir).

Polígonos estrelados em Python

Esse é o código:

# Importando os pacotes
import math
from numpy import linspace
import matplotlib.pyplot as plt

# Introdução do app

print(10*'*', 'Bem vindo ao Gerador de Polígonos Estrelados Regulares', 10*'*')

print('\nVocê sabe o que é um polígono estrelado regular?')

texto1 = '\nUm polígono estrelado é uma poligonal (sequência de segmentos de reta), não simples \
        \n(os segmentos se cruzam) fechada (os pontos inicial e final são os mesmos), tal que \
\npara cada três segmentos consecutivos quaisquer, os dois segmentos extremos estão \
 \nno mesmo semiplano em relação ao segmento do meio. Tais polígonos são classificados \
\ncomo regulares se possuem todos os lados e ângulos congruentes.'

print(texto1)

texto2 = '\nA seguir, digite um número de pontas para ver quantos polígonos estrelados ' \
         'existem com esse número de pontas e vizualizá-los.'

print(texto2)

# Função para calcular o mdc
def mdc(a,b):
    if a % b == 1:
        return 1
    else:
        r = -1
        while r != 0:
            r = a % b
            a = b
            b = r
        return a

# Função para transformar grau em radiano
def rad(x):
    return (x * math.pi) / 180

# Função com os passos
def lista_passos(x,y):
    passos = []
    lista = list(range(2, x + 1))
    for i in lista:
        if mdc(y, i) == 1:
            passos.append(i)
    return passos

# Função para desenhar as estrelas
def plotagem(lista_x, lista_y):
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(5,5))
    circle = plt.Circle((0, 0), 1, fill=False, color='red')
    ax.add_artist(circle)
    plt.plot(lista_x, lista_y)
    plt.ylim(-1.1,1.1)
    plt.xlim(-1.1,1.1)
    plt.show()

# Função para trocar a ordem dos pontos
def restos(passo,y):
    lista = list(range(0, passo * y + 1, passo))
    lista_restos = [i % y for i in lista]
    return lista_restos

def main():
    pontas = 0
    cont = False
    while cont == False:
        try:
            pontas = int(input('\nDigite o número de pontas (inteiro maior que 0): '))
            if pontas > 0:
                cont = True
            else:
                print('Você digitou um valor inválido. Tente novamente')
        except ValueError:
            print('Você digitou um valor inválido. Tente novamente')
    div_circulo = linspace(0, 360, num=pontas + 1)
    max = math.floor(pontas / 2)
    lista_de_passos = lista_passos(max, pontas)
    quantidade_estrelados = len(lista_de_passos)
    if quantidade_estrelados == 0:
        print('\nNão é possível construir um polígono estrelado regular com ' + str(pontas) + ' pontas.')
    else:
        print('\nExiste(m) ' + str(quantidade_estrelados) + ' polígono(s) estrelado(s) regular(es) com ' + str(pontas) + ' pontas.')
        input('\nPressione qualquer tecla para vizualizá-los.')
        pontos_x = [math.cos(i) for i in [rad(j) for j in div_circulo]]
        pontos_y = [math.sin(i) for i in [rad(j) for j in div_circulo]]
        for i in lista_passos(max, pontas):
            aux_x = [pontos_x[j] for j in restos(i, pontas)]
            aux_y = [pontos_y[j] for j in restos(i, pontas)]
            plotagem(aux_x, aux_y)

main()

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Funções #6 - Composição de funções

Na última postagem estudamos as operações com funções reais, mais específicamente, aprendemos como somar, subtrair, multiplicar e dividir funções. Além disso, aprendemos como calcular o domínio das funções resultantes dessas operações. Agora, vamos falar de uma outra operação importante com funções, vamos estudar a composição de funções. Vamos ver todos os detalhes sobre a composição de funções e também como determinar o domínio de uma função que é obtida da composição de outras funções. Mas, antes de entrarmos na postagem de fato, para entendê-la bem, você vai precisar ter conhecimentos sobre domínios de funções e também sobre como resolver inequações. Agora, vamos lá!

Composição de funções

Vamos começar com a definição de composição com funções.

Definição: Sejam $f: A \rightarrow B$ e $g: B \rightarrow C$ duas funções reais de uma varável real. Definimos a função composta de $g$ com $f$, denotada por $g \circ f : A \rightarrow D$, como sendo 

$$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$

para todo $x \in A$.

Antes de continuarmos, vamos entender melhor o que a definição de composição de funções nos diz. Primeiramente, observe que o conjunto $B$ é tanto o contradomínio de $f$ como o domínio de $g$. Coloquei a definição dessa forma, pois quando calculamos $g(f(x))$, o valor de $f(x)$ deve estar no domínio de $g$ para que esse cálculo faça sentido. Outro motivo de ter colocado a definição dessa forma é que fica mais fácil de entender o que de fato a composição de funções faz. Vamos visualizar isso por meio do seguinte diagrama: 

No diagrama acima podemos ver exatamente o que a composição de funções faz. Podemos dizer que ela "encurta" o caminho de $A$ até $C$. Temos que $f$ leva os elementos de $A$ em $B$ e $g$ leva os elementos de $B$ em $C$, enquando que $g \circ f$ leva os elementos de $A$ diretamente em $C$. Outro aspecto importante desse diagrama é que parece que tem algo de errado nele. Repare só, quando olhamos o caminho acima, temos $f$ aplicada primeiramente em $x$ e depois temos $g$ aplicada em $f(x)$. Por outro lado, quando olhamos o caminho de baixo, vemos a função $g \circ f$ que sai de $A$ e vai para $C$. Ao compararmos esses dois caminhos, parece que um está ao contrário em relação ao outro, não é? Mas não estão, quando escrevemos $(g \circ f)(x)  =  g(f(x))$ estamos dizendo exatamente que a função $f$ é aplicada primeiro e depois aplicamos a $g$ no resultado da $f$.

Observação 1: Existem outras maneiras de definir a composição de duas funções, não exatamente a operação de composição, mas a condição para se fazer a composição. No lugar de considerar $f: A \rightarrow B$ e $g: B \rightarrow C$ na definição acima, poderíamos escrever $f: A \rightarrow B$ e $g: C \rightarrow D$ com $Im(f) \subseteq D(g)$, o que não mudaria em nada a operação de composição. Em alguns livros não é colocada nenhuma condição para se fazer a composição de funções, nesse caso, se considera que é possível fazer a composição.

Observação 2: Na definição de função composta acima, temos somente duas funções, mas podemos definir a composição para um número qualquer de funções. Por exemplo, considere as funções $f: A \rightarrow B$,  $g: B \rightarrow C$ e $h: C \rightarrow D$. A função composta de $h$, $g$ e $f$, denotada por $h \circ g \circ f$, é definida por

$$(h \circ g \circ f)(x) = h(g(f(x))).$$

Vamos seguir agora com exemplos de como calcular a composição de funções sem nos preocuparmos com os domínios das funções e nem o domínio da função composta. Vamos fazer isso para treinar os cálculos e depois veremos a questão do domínio da função composta.

Exemplos:

1. Considere as funções $f(x) = x^2 +1$ e $g(x) = x+2$. Calcule $g \circ f$.

Solução: Primeiramente, devemos escrever a definição de função composta para não errarmos os cálculos. Temos,

$$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$

Observe que devemos aplicar a composição em $x$, isto é, devemos escrever $(g \circ f)(x) = \cdots$. Isso deve ser feito para encontrarmos a expressão que define a função $g \circ f$. Se escrevermos $g \circ f = \cdots$, está errado. Agora, continuando os cálculos à partir da definição de função composta que já escrevemos, vamos substituir as funções de dentro para fora, da seguinte forma:

\begin{eqnarray} (g \circ f)(x) &=& g(f(x)) \\ &=& g(x^2 +1) \end{eqnarray}

Veja que a função $g$ leva o $x$ em $x+2$, isso significa que a função $g$ leva "qualquer coisa" em "qualquer coisa"$+ 2$. Assim, para calcularmos $g(x^2+1)$, basta colocar a expressão $x^2+1$ no lugar do $x$ que está na expressão que define $g$. Temos então,

\begin{eqnarray} (g \circ f)(x) &=& g(f(x)) \\ &=& g(x^2 +1) \\ &=& (x^2+1) + 2 \\ &=& x^2+1+2 \\ &=& x^2+3 \end{eqnarray}

Portanto, $(g \circ f)(x) = x^2 + 3$.

2. Seja $f(x) = x^2 +1$. Calcule $f \circ f$.

Solução:  Nesse exemplo, iremos um pouco mais direto, usando exatamente o mesmo raciocínio do exemplo anterior. Observe que esse exemplo nos pede para fazermos a composta entre duas funções iguais. Isso pode ser feito? Sim. Então, vamos fazer.

\begin{eqnarray} (f \circ f)(x) &=& f(f(x)) \\ &=& f(x^2+1) \\ &=& (x^2+1)^2 + 1 \\ &=& x^4 + 2x^2 +1  +1 \\ &=&  x^4 + 2x^2 + 2\end{eqnarray}  

Portanto, $(f \circ f)(x) = x^4 + 2x^2 + 2$.

3. Considere as funções $g(x) = \displaystyle\frac{x}{x^2-3}$ e $h(x) = 4x +1$. Calcule $g \circ h$ e $h \circ g$.

Solução: Nesse exemplo temos as funções $g$ e $h$ e vamos calcular $g \circ h$ e $h \circ g$. Sempre que temos duas funções, podemos calcular essas duas composições. Vamos ver que, na maioria das vezes, elas dão resultados diferentes. Vamos calcular primeiramente $g \circ h$, temos:

\begin{eqnarray} (g \circ h)(x) &=& g(h(x)) \\ &=& g(4x+1) \\ &=& \frac{4x+1}{(4x+1)^2-3} \\ &=& \frac{4x+1}{16x^2+8x+1 -3} \\ &=& \frac{4x+1}{16x^2+8x-2} \end{eqnarray}

Logo, $(g \circ h)(x) = \displaystyle\frac{4x+1}{16x^2+8x-2}$

Vamos calcular agora $h \circ g$. Temos,

\begin{eqnarray} (h \circ g)(x) &=& h(g(x)) \\ &=& h\left(\frac{x}{x^2-3}\right) \\ &=& 4 \cdot \frac{x}{x^2-3} +1 \\ &=& \frac{4x}{x^2-3} + 1 \end{eqnarray}

Logo, $(h \circ g)(x) =  \displaystyle\frac{4x}{x^2-3} + 1$

4. Considere as funções $f(x) = x^2$, $g(x) = 2x+1$ e $h(x) = -x$. Calcule $f \circ g \circ h$.

Solução: Nesse exemplo, vamos calcular a composição de três funções. Nesse caso, a definição de composição de funções fica na forma,

$$(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$$

Para calcularmos essa composição, podemos, primeiramente, fazer a composição $g(h(x))$ e depois aplicamos $f$ ao resultado dessa composição. Vamos fazer isso. Temos

\begin{eqnarray} (g \circ h)(x) &=& g(h(x)) \\ &=& g(-x) \\ &=& 2(-x) +1 \\ &=& -2x + 1 \end{eqnarray}

Logo, $g(h(x)) = -2x+1$.  Agora, vamos aplicar $f$ em $g(h(x))$. Temos

\begin{eqnarray} (f \circ g \circ h)(x) &=& f(g(h(x))) \\ &=& f(-2x+1) \\ &=& (-2x+1)^2 \\ &=& 4x^2-4x+1 \end{eqnarray}

Portanto, $(f \circ g \circ h)(x) = 4x^2-4x+1$.

Vamos falar um pouco agora sobre o domínio de uma função composta.

Domínio de uma função composta

Dadas duas funções $f$ e $g$, segue da definição de função composta que, o domínio da função $g \circ f$ é formado por todo $x$ no domínio de $f$ tal que $f(x)$ pertence ao domínio de $g$. Em símbolos, temos

$$D(g \circ f)(x) = \{x \in D(f): f(x) \in D(g)\}.$$

Vamos fazer alguns exemplos de como calcular o domínio de uma função composta.

Exemplos:

5. Considere as funções $f(x) = \sqrt{x-4}$ e $g(x) = x^4+2$. Calcule $f \circ g$ e calcule seu domínio.

Solução: Primeiramente, como fizemos nos exemplos anteriores, vamos calcular $f \circ g$. Temos

\begin{eqnarray} (g \circ f)(x) &=& g(f(x)) \\ &=& g(\sqrt{x-4}) \\ &=& \left(\sqrt{x-4}\right)^4 + 2 \\ &=& (x-4)^2 + 2 \\ &=& x^2-8x + 16 + 2 \\ &=& x^2-8x+18 \end{eqnarray}

Logo, $(g \circ f)(x) = x^2-8x+18$. Agora, muito cuidado ao calcular o domínio dessa função composta. Olhando para a função $g \circ f$, vemos que ela é dada por meio de um polinômio, assim, poderíamos concluir que o seu domínio é $\mathbb{R}$. Mas, isto está errado. Como $g \circ f$ é uma função composta, devemos usar a definição do domínio de uma função composta que vimos acima, isto é, 

$$D(g \circ f)(x) = \{x \in D(f): f(x) \in D(g)\}.$$

Assim, para calcular o domímio dessa função composta, precisamos primeramente calcular os domínos de $f$ e $g$. Não é difícil ver que $D(f) = [4, +\infty)$ e $D(g) = \mathbb{R}$. Logo, $D(g \circ f)$ é formado por todo $x \in [4, +\infty)$ tal que $f(x) \in \mathbb{R}$. Como $f$ é uma função real, $f(x) \in \mathbb{R}$ para todo $x \in [4, +\infty)$. Portanto, $D(g \circ f) = [4, +\infty)$ (o qual é diferente de $\mathbb{R}$, que poderíamos ter concluído erroneamente depois de calcularmos $g \circ f$). 

6. Considere as funções $g(x) = \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x-3}}$ e $f(x) = x^2-1$. Calcule $g \circ f$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos começar calculando a função composta.

\begin{eqnarray} (g \circ f)(x) &=& g(f(x)) \\ &=& g(x^2-1) \\ &=& \frac{x^2-1}{\sqrt{(x^2-1)-3}} \\ &=& \frac{x^2-1}{\sqrt{x^2-1-3}} \\ &=& \frac{x^2-1}{\sqrt{x^2-4}}  \end{eqnarray}

Logo, $(g \circ f)(x) = \displaystyle\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2-4}}$. O domínio da função $g \circ f$ é formado por todo $x \in D(f)$ tal que $f(x) \in D(g)$. Temos que $D(f) = \mathbb{R}$ e $D(g) = (3, +\infty)$ e, assim, $D(g \circ f)$ é formado por todo $x \in \mathbb{R}$ tal que $f(x) \in (3, +\infty)$, ou ainda, tal que $x^2-1 \in (3, +\infty)$. Assim, devemos então, determinar os valores de $x$ reais tais que $x^2-1 > 3$. Essa última inequação é equivalente a $x^2-4 > 0$. Pensando rapidamente, a solução dessa inequação é o conjunto $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. Portanto $D(g \circ f) = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Vamos fazer mais um exemplo.

7. Considere as funções $g(x) = \displaystyle\frac{1}{x^2-1}$ e $h(x) = \sqrt[4]{x}$. Calcule $h \circ g$ e determine seu domínio.

Solução: Calculando a função composta temos

\begin{eqnarray} (h \circ g)(x) &=& h(g(x)) \\ &=& h\left(\frac{1}{x^2-1}\right) \\ &=& \sqrt[4]{\frac{1}{x^2-1}} \end{eqnarray}

Portanto, $(h \circ g)(x) = \displaystyle\sqrt[4]{\frac{1}{x^2-1}}$.

Agora, temos que $D(h \circ g)$ é formado por todo $x \in D(g)$ tal que $g(x) \in D(h)$. Observe que $D(g) = (-\infty,-1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$ e que $D(h) = [0, +\infty)$. Sendo assim, $D(h \circ g)$ é formado por todo $x \in (-\infty,-1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$ tal que $\displaystyle\frac{1}{x^2-1} \in [0, +\infty)$, ou ainda, $\displaystyle\frac{1}{x^2-1} \geq 0$. Esta ultima inequação é equivalente a $x^2-1 > 0$. Resolvendo-a, encontramos o conjunto solução $x \in (-\infty,-1) \cup (1, +\infty)$. Portanto, $D(g \circ h) = x \in (-\infty,-1) \cup (1, +\infty)$ (Veja que $(-\infty,-1) \cup (1, +\infty) \subset (-\infty,-1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$).

Exemplo em vídeo:

Acredito que, depois dessa postagem, você não vai mais errar o cálculo de funções compostas e nem o cálculo de seus domínios.

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Triângulo de Sierpinski - Python

Nessa postagem está um código em Python com uma forma de construir o famoso fractal chamado Triângulo de Sierpinski. Sinta-se a vontade para comentar e dar sugestões para melhorar o código. Fique à vontade para usá-lo também. Não sou programador, apenas estudo quando posso. Acredito que essa construção geométrica seja bem interessante para mostrar aos estudantes, tanto de matemática quanto de programação, o que pode ser feito com Python. A explicação de como a construção desse fractal é feita está no próprio código. 

Triângulo de Sierpinski em Python

Esse é o código:

# importar o matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import math

# Intro do app

print('\n'+ 10*'*' + ' Triângulo de Sierspinsk ' + 10*'*')
print('\nVamos construir o famoso fractal chamado "Triângulo de Sierpinski".')

texto1 = '\nPara isso, vamos considerar três pontos não colineares que formam os vértices de um triângulo equilátero.'
texto2 = 'Esses pontos possuem coordenadas no plano cartesiano iguais a (0,0), (8,0) e (4,8sqrt(3)).'
texto3 =  'Esses pontos foram escolhidos simplesmente para termos um triângulo equilátero.'
print(texto1)
print(texto2)
print(texto3)

print('\nNo plano cartesiano, temos:')

# Vértices dados do triângulo
P = [0, 0]
Q = [8, 0]
R = [4, 8 * math.sqrt(3)]

input('Pressione ENTER para ver os vértices do triângulo.')

plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter([P[0], Q[0], R[0]], [P[1], Q[1], R[1]], s=3)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Triângulo de Siepinski")
plt.show()

# Explicação do processo de construção do Triângulo de Sierpinski
print('O processo de construção do Triângulo de Sierspinski funciona da seguinte forma:')
print('\n1. Primeiramente escolhemos um ponto aleatóriamente sobre os lados do triângulo ou no interior do triângulo;')
print('2. Em seguida, marcamos os pontos médios entre o ponto escolhido e os vértices do triângulo;')
print('3. Após isso, marcamos os pontos médios entre os pontos obtidos no passo anterior e os vértices do triângulo;')
print('4. Agora é só repetir o passo anterior e teremos o Triângulo de Sierpinski.')

# Fim da intro do app

print('\nVamos começar. Escolha um ponto qualquer sobre os lados do triângulo ou no interior do triângulo.')

# Função que virifica se os dados de entrada estão corretos
def verificador():
    cont_x = False
    while cont_x == False:
        try:
            Sx = float(input("\nCoordenada x do ponto: "))
            cont_x = True
        except ValueError:
            print('Digite uma coordenada válida (use o ponto para separar as casas decimais). Tente novamente.')

    cont_y = False
    while cont_y == False:
        try:
            Sy = float(input("\nCoordenada y do ponto: "))
            cont_y = True
        except ValueError:
            print('Digite uma coordenada válida (use o ponto para separar as casas decimais). Tente novamente.')
    return [Sx, Sy]

# Funcão para verificar se o ponto está nos lados ou no interior do trângulo
def esta(ponto):
    if ponto[1] >= 0 and ponto[1] <= 4*math.sqrt(3)*ponto[0] and ponto[1] <= -4*math.sqrt(3)*(ponto[0]-8):
        return True
    else:
        return False

# Função para calcular o ponto médio
def ponto_medio(a, b):
    x_1 = (a[0]+b[0]) / 2
    y_1 = (a[1]+b[1]) / 2
    return [x_1, y_1]

# Função para plotar o ponto inicial
def ponto_inicial(x, y, x_0, y_0):
    plt.figure(figsize=(8, 6))
    plt.scatter(x, y, s=1)
    plt.scatter(x_0, y_0, s=1, c='red')
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
    plt.title("Triângulo de Sierpinski")
    plt.show()

def sierpinski(S, x_0, y_0):
    passos = 9
    inicio = [S]
    x = []
    y = []
    while passos >= 0:
        novos = []
        for ponto in inicio:
            novos.append(ponto_medio(P,ponto))
            novos.append(ponto_medio(Q,ponto))
            novos.append(ponto_medio(R,ponto))
        for i in range(len(novos)):
            x.append(novos[i][0])
            y.append(novos[i][1])
        inicio = novos
        plt.figure(figsize=(8,6))
        plt.scatter(x, y, s=0.2, c='black')
        plt.scatter([P[0], Q[0], R[0]], [P[1], Q[1], R[1]], s = 3, c='blue')
        plt.scatter(x_0, y_0, s=3, c='red')
        plt.xlabel("x")
        plt.ylabel("y")
        plt.title("Triângulo de Siepinski")
        plt.show()
        passos = passos - 1

def main():
    S = verificador()
    while esta(S) == False:
        print('O ponto', S, 'não está no triângulo. Tente novamente.')
        S = verificador()
    print('\nO ponto ' + '(' + str(S[0]) + ', ' + str(S[1]) + ') ' + 'está no triângulo.')
    input('\nPressione ENTER para ver o ponto S.')
    ponto_inicial([P[0], Q[0], R[0], S[0]], [P[1], Q[1], R[1], S[1]], [S[0]], [S[1]])
    input('\nPressione ENTER para ver a construção do Triângulo de Sierpinski passo a passo.')
    sierpinski(S, [S[0]], [S[1]])
    print('\nQuer construir novamente o triângulo de Sierpinski começando por ponto?')
    encerrar = input('Digite "s" para sim, "n" para não e pressione ENTER: ')
    if encerrar == 's':
        main()

main()

print('Muito obrigado.')

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Funções #5: Operações com funções

Já estamos na quinta postagem sobre funções reais de uma variável real, que ótimo! Até aqui estudamos o conceito de função de um modo geral, depois passamos para as funções reais de uma variável real e estudamos, em detalhes, o domínio de uma função e como determiná-lo. Então, estamos num ponto onde conhecemos bem esse objeto chamado função real de uma variável real. Nessa postagem, vamos aprender como construir novas funções à partir de duas ou mais funções por meio das operações de soma, subtração, multiplicação e divisão de funções. É isto mesmo, nessa postagem vamos aprender como somar, subtrair, multiplicar e dividir funções. Saber como fazer essas operações com funções é muito importante, isso pode simplicar cálculos mais complicados como cálculos de limite, derivadas e integrais de funções. Então, sem enrolação, vamos aprender como fazer essas operações com funções.

Operações com funções

Considere duas funções reais de uma variável  $f=f(x)$ e $g = g(x)$ quaisquer (escrevemos $f=f(x)$ para dizer que estamos considerando uma função com nome $f$ e que seus valores dependem da variável $x$). Vamos definir as operações de soma (adição), subtração (diferença), multiplicação (produto) e divisão (quociente) de funções.

A soma (adição) das funções $f$ e $g$ é definida por 

$$(f+g)(x) = f(x)+g(x).$$

A igualdade acima nos diz que, a partir das funções $f$ e $g$, construímos a função $f+g$ que associa a cada $x$ o número real $f(x) + g(x)$.

A subtração (diferença) das funções $f$ e $g$ é definida por 

$$(f-g)(x) = f(x)-g(x).$$

A igualdade acima nos diz que, a partir das funções $f$ e $g$, construímos a função $f-g$ que associa a cada $x$ o número real $f(x) - g(x)$.

A multiplicação (produto) das funções $f$ e $g$ é definida por 

$$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x).$$

A igualdade acima nos diz que, a partir das funções $f$ e $g$, construímos a função $f \cdot g$ que associa a cada $x$ o número real $f(x) \cdot g(x)$. Geralmente, denotamos o produto de funções sem o uso da notação $\cdot$, escrevemos simplesmente $fg$ e $f(x)g(x)$.

Na multiplicação de função temos o caso particular onde uma das funções é constante. Podemos chamar esse caso de multiplicação de uma função por uma constante. Seja $a$ uma constante real qualquer e $f(x)$ uma função. A multiplicação da função $f$ pela constante $a$ é definida por

$$(af)(x) = af(x)$$

Multiplicar uma função $f$ por uma constante é o mesmo que multiplicar a expressão que define a função $f$ por essa constante.

A divisão (quociente) das funções $f$ e $g$ é definida por 

$$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \mbox{ com } g(x) \neq 0.$$

A igualdade acima nos diz que, a partir das funções $f$ e $g$, construímos a função $\displaystyle\frac{f}{g}$ que associa a cada $x$ o número real $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}$ desde que $g(x) \neq 0$.

Observação 1: Dadas duas funções $f$ e $g$ quaisquer, para que possamos calcular $(f+g)(x)$, $(f-g)(x)$ e $(fg)(x)$, o número real $x$ deve estar nos domínios de $f$ e de $g$, isto é, $x \in D(f) \cap D(g)$. Assim, concluímos que $D(f+g) = D(f) \cap D(g)$, $D(f - g) = D(f) \cap D(g)$ e $D(fg) = D(f) \cap D(g)$. Para calcularmos $\displaystyle\frac{f}{g}(x)$, além de que $x$ deve estar nos domínios de $f$ e $g$, também devemos ter $g(x) = 0$, pois não existe divisão por zero. Logo, $D\left(\displaystyle\frac{f}{g}\right) = \{x \in \mathbb{R} : x \in D(f) \cap D(g) \mbox{ e } g(x) \neq 0\}$.

Vamos fazer alguns exemplos com essas operações de funções.

Exemplos:

1. Calcule a soma das funções $f(x) = x^2 -2x+1$ e $g(x) = \sqrt{x+1}+x+4$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos calcular primeiramente a soma de $f$ e $g$. Temos

\begin{eqnarray} (f+g)(x) &=& f(x) + g(x) \\ &=& x^2-2x+1 + \sqrt{x+1} + x + 4 \\ &=& x^2  + \sqrt{x+1} - x + 4 \end{eqnarray}

Logo, $(f+g)(x) = x^2  + \sqrt{x+1} - x + 4$. Como podemos perceber, a soma de duas funções é igual à soma das expressões que a definem.

Agora vamos determinar o domínio de $(f+g)$. Na obsevação 1 que fizemos acima, vimos que $D(f+g) = D(f) \cap D(g)$, assim, vamos determinar o domínio de $f$ e de $g$ separadamente e depois vamos fazer a interseção deles. A função $f$ é uma função polinomial, logo, $D(f) = \mathbb{R}$. Na função $g$ existe uma raiz quadrada com a expressão $x+1$ dentro. Desse modo, devemos ter $x + 1 \geq 0$, ou de forma equivalente, $x \geq -1$. Logo $D(g) = [-1, +\infty)$.

Portanto $D(f+g) = \mathbb{R} \cap [-1, +\infty) = [-1, +\infty)$.

2. Calcule a soma das funções $f(x) = \displaystyle\frac{3x}{x+1}$ e $g(x) = \sqrt{x}$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos calcular $f+g$. Temos

\begin{eqnarray} (f+g)(x) &=& f(x) + g(x) \\ &=& \frac{3x}{x+1} + \sqrt{x}. \end{eqnarray}

Se parássemos por aqui, já estaria correto, mas podemos continuar, reescrevendo a soma acima com um termo só.

\begin{eqnarray} (f+g)(x) &=& \frac{3x}{x+1} + \sqrt{x} \\ &=& \frac{3x + \sqrt{x}(x+1)}{x+1}. \end{eqnarray}

Assim, $(f+g)(x) = \displaystyle\frac{3x + \sqrt{x}(x+1)}{x+1}$. A função $f$ é um quociente com a expressão $x+1$ na parte de baixo. Sendo assim, não podems ter $x+1 = 0$, ou ainda, $x =-1$. Logo, $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$. Na função $g$ temos a expressão $\sqrt{x}$ e, desse modo, devemos ter $x \geq 0$. Logo, $D(g) = [0, +\infty)$. Portanto, 

\begin{eqnarray} D(f+g) &=& \left((-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)\right) \cap [0, +\infty)  \\ D(f+g) &=& [0, +\infty). \end{eqnarray}

3. Calcule $p-q$ onde $p(x) = x^5+3x^2-x+1$ e $q(x) = 2x^5-4x^4-x^3+x^2+x-1$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos calcular primeiramente a diferença de $p$ e $q$. Temos:

\begin{eqnarray} (p-q)(x) &=& p(x) - q(x) \\ &=& x^5+3x^2-x+1 - (2x^5-4x^4-x^3+x^2+x-1) \\ &=& x^5+3x^2-x+1 - 2x^5+4x^4+x^3-x^2-x+1 \\ &=& -x^5+4x^4+x^3+2x^2-2x+2.  \end{eqnarray}

Logo, $(p-q)(x) = -x^5+4x^4+x^3+2x^2-2x+2$. Como podemos perceber, a diferença de duas funções é igual à diferença das expressões que a definem. Aqui, no caso da diferença, fique muito atento ao jogo de sinais.

Pela observação que vimos acima, o domínio da diferença $p-q$ é igual à interseção dos domínio de $p$ e $q$, isto é, $D(p-q) = D(p) \cap D(q)$. Assim, vamos determinar os domínios de $p$ e $q$ separadamente para depois fazer a interseção deles. As funções $p$ e $q$ são funções polinomiais, logo, $D(p) = D(q) = \mathbb{R}$. Portanto, $D(p-q) = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} =  \mathbb{R}$.

4. Calcule a diferença entre as funções $g(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}$ e $h(x) = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{x+1}}$. Determine $D(g - h)$.

Solução: Vamos calcular $g-h$. Temos:

\begin{eqnarray}(g-h)(x) &=& g(x) - h(x) \\ &=& \frac{1}{\sqrt{x}} - \left(\frac{2}{\sqrt{x+1}}\right) \\ &=& \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x+1}}. \end{eqnarray}

Se parássemos os cálculos por aqui com $(g-h)(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}} - \displaystyle\frac{2}{\sqrt{x+1}}$, estaria corrreto. Mas, se quisermos, podemos continuar da seguinte forma

\begin{eqnarray} (g-h)(x) &=&  \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x+1}} \\ &=& \frac{\sqrt{x+1} - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}} \\ &=& \frac{\sqrt{x+1} - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x(x+1)}}.  \end{eqnarray}

Assim, $(g-h)(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{x+1}-2\sqrt{x}}{\sqrt{x(x+1)}}$. Na função $g$ temos um quociente onde a expressão $\sqrt{x}$ está em baixo, assim, ela não pode ser zero e nem o que está dentro dela pode ser negativo. Isso implica $x > 0$. Logo, $D(g) = (0, +\infty)$. Na função $h$ também temos um quociente, mas com a expressão $\sqrt{x+1}$ na parte de baixo. Analogamente, devemos ter $x+1 > 0$, ou seja, $x > -1$. Logo, $D(h) = (-1, +\infty)$. Portanto $D(g-h) = (0, +\infty) \cap (-1, +\infty) = (0, +\infty)$.

5. Calcule $lm$ com $l(x) = x^2+x$ e $m(x) = \displaystyle\frac{1}{x} + 4$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos começar fazendo o produto das funções $l$ e $m$. Temos:

\begin{eqnarray}(lm)(x) &=& l(x)m(x) \\ &=& (x^2+x)\left(\frac{1}{x} + 4\right) \\ &=& x^2 \cdot \frac{1}{x} + x^24 + x \cdot \frac{1}{x} + x4 \\ &=& x+4x^2+1+4x \\ &=& 4x^2+5x+1. \end{eqnarray}

Assim, $(lm)(x) = 4x^2+5x+1$. O domínio de $lm$ é interseção dos domínios de $l$ e $m$ e, assim, vamos calculá-los separadamente de depois faremos a interseção deles. A função $l$ é uma função polinomial e, então, $D(l) = \mathbb{R}$. Na função $m$ temos o termo $\displaystyle\frac{1}{x}$, assim, devemos ter $x \neq 0$, isto é, $D(m) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Portanto,

\begin{eqnarray} D(lm) &=& \mathbb{R} \cap \left( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \right) \\ D(lm) &=& (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\end{eqnarray}

Observação 2: Depois desses exemplos que fizemos, você pode estar se perguntando: "Quando fazemos uma operação com duas funções e calculamos o seu domínio, podemos calcular o domínio da função que obtemos no resultado, ou temos que calcular o domínio das funções envolvidas na operação e depois fazer a interseção deles?" A resposta é: "temos que calcular o domínio das funções envolvidas na operação e depois fazer a interseção deles". Mas por que devemos fazer isso? Isso parece ser mais complicado. Isso até pode ser mais complicado, vou justificar essa resposta usando o exemplo anterior.

No exemplo anterior, obtivemos $(lm)(x) = 4x^2+5x+1$ e, olhando somente para esse resultado, não vemos nenhuma raiz de índice par e nenhum quociente. Por isso, poderíamos concluir, erroneamente, que seu domínio é $\mathbb{R}$. Conforme vimos anteriormente, seu domínio é $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Isso ocorre pois a função $lm$ é o produto de $l$ por $m$ e, para que o valor de $(lm)(x)$ seja calculado, deve ser possível calcular $m(x)$ e $l(x)$, visto que $(ml)(x) = m(x)l(x)$. Se tivéssemos a função $p(x) = 4x^2+5x+1$, terímaos $D(p) = \mathbb{R}$, pois ela não vem de nenhuma outra, ela própria é dada por essa expressão, para calcularmos os valores de $p(x)$, o $x$ não precisa passar por nhuma outra função previamente.

6. Calcule o produto das funções $f(x) = \displaystyle\frac{x^2+1}{x^2-1}$ e $g(x) = \displaystyle\frac{x^3}{x^2+2}$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos fazer o produto $fg$. Temos:

\begin{eqnarray}(fg)(x) &=& f(x)g(x) \\ &=&\frac{x^2+1}{x^2-1} \cdot \frac{x^3}{x^2+2} \\ &=& \frac{(x^2+1)x^3}{(x^2-1)(x^2+2)} \\ &=& \frac{x^5+x^3}{x^4+x^2-2}. \end{eqnarray}

Logo, $(fg)(x) = \displaystyle\frac{x^5+x^3}{x^4+x^2-2}$. A função $f$ é uma função racional e não podemos ter nela $x^2-1 = 0$. As soluções dessa equação são $-1$ e $1$. Logo, não podemos ter $x = \pm 1$ e, assim, $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1,1) \cup (1, +\infty)$. A função $g$ também é uma função racional com o polinômio $x^2+2$ na parte de baixo. Esse polinômio não possui raízes reais e, por isso, $D(g) = \mathbb{R}$. Portanto, 

\begin{eqnarray} D(fg) &=&  \left((-\infty, -1) \cup (-1,1) \cup (1, +\infty)\right) \cap \mathbb{R} \\ D(fg) &=& (-\infty, -1) \cup (-1,1) \cup (1, +\infty)\end{eqnarray}

7. Calcule o quociente entre as funções $g(x) = x^2-3x+1$ e $h(x) = \sqrt{x-3}$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos calcular o quociente de $g$ por $h$. Temos

\begin{eqnarray} \left(\frac{g}{h}\right)(x) &=& \frac{g(x)}{h(x)} \\ &=& \frac{x^2-3x+1}{\sqrt{x-3}}. \end{eqnarray}

Logo, $\left(\displaystyle\frac{g}{h}\right)(x) = \displaystyle\frac{x^2-3x+1}{\sqrt{x-3}}$. O domínio da função $\displaystyle\frac{g}{h}$ é a interseção dos domínios de $g$ e de $h$ sem os valores de $x$ onde $h(x) = 0$. Como a função $g$ é um polinômio, temos que $D(g) = \mathbb{R}$. Na função $h$, devemos ter $x-3 \geq 0$, o que nos dá $x \geq 3$, ou seja, $D(h) = [3, +\infty)$. Sendo assim, $D(g) \cap D(h) = [3,+\infty)$. Esse ainda não é o domínio de $\displaystyle\frac{g}{h}$, ainda devemos retirar desse conjunto os valores de $x$ tais que $h(x) = 0$. Temos,

\begin{eqnarray} h(x) &=& 0 \\ \sqrt{x-3} &=& 0 \\ x-3 &=& 0 \\ x &=& 3 \end{eqnarray}

Assim, devemos retirar o número $3$ de $[3,+\infty)$. Portanto, o domínio de $\displaystyle\frac{f}{g}$ é igual a $(3, +\infty)$.

8. Calcule $\displaystyle\frac{f}{g}$ onde $f(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$ e $g(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^3+8}$ e determine seu domínio.

Solução: Calculando $\displaystyle\frac{f}{g}$, temos

\begin{eqnarray} \left(\frac{f}{g}\right)(x) &=& \frac{f(x)}{g(x)} \\ &=& \frac{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}}{\frac{\sqrt{x}}{x^3+8}} \\ &=& \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \cdot \frac{x^3+8}{\sqrt{x}} \\ &=& \frac{\sqrt{x^2-1}(x^3+8)}{x\sqrt{x}} \\ &=& \frac{\sqrt{x^2-1}(x^3+8)}{\sqrt{x^3}}   \end{eqnarray}

Logo, $\left(\displaystyle\frac{f}{g}\right)(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{x^2-1}(x^3+8)}{\sqrt{x^3}}$. O domínio de $f$ é formado por todo $x \in \mathbb{R}$ tal que $x^2-1 \geq 0$ e $x \neq 0$. A solução da inequação $x^2-1 \geq 0$ é a união de intervalos $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. Observe que $x = 0$ não faz parte desse conjunto e, assim, $D(f) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. O domínio de $g$ é formado por todo $x$ real tal que $x \geq 0$ e não podemos ter $x^3+8 = 0$. A única solução para a equação anterior é $x = -2$, isto é, $x = -2$ não está no domínio de $g$. Como $x \geq 0$ engloba a condição $x \neq -2$,  temos que $D(g) = [0, +\infty)$. Desse, temos que 

\begin{eqnarray} D(f) \cap D(g) &=& \left((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)\right) \cap [0, +\infty) \\ &=& [1, +\infty) \end{eqnarray}

Agora, falta verificarmos quais são os valores de $x$ tais que $g(x) = 0$, pois esses valores não estão no domínio do quociente de $f$ por $g$. Temos

\begin{eqnarray} h(x) &=& 0 \\ \frac{\sqrt{x}}{x^3+8} &=& 0 \\ \sqrt{x} &=& 0 \\ x &=& 0. \end{eqnarray}

Já temos que $x=0$ não está em $[1, +\infty)$, segue que $D\left(\displaystyle\frac{f}{g}\right) = [1, +\infty).$

Observação 3: Podemos estender as definições de somas, subtração e multiplicação de funções para mais de duas funções de maneira análoga. Também de maneira análoga, calculamos os domínios das funções resultantes de operações.

Vamos ver agora uma outra forma de se aplicar as operações com funções.

Uma outra forma de aplicar as operações com funções

Considere a função $f(x) = \sqrt{x} + x^2$. Veja que essa função é a soma de dois termos, sendo eles $\sqrt{x}$ e $x^2$. Veja também que cada termo desse depende de $x$, isto é, podemos considerar esses termos como funções de $x$. Desse modo, se fizermos $g(x) = \sqrt{x}$ e $h(x) = x^2$, podemos escrever a função $f$ na forma 

$$f(x) = \sqrt{x} +x^2 = g(x) + h(x) = (g+h)(x)$$

Podemos então escrever a função $f$ como a soma das funções $g$ e $h$, que são mais simples que $f$. Esse processo de resscrever uma função como uma ou mais operações entre outras funções é muito importante. Em algumas situações na matemática é necessário "quebrar" uma funções em partes mais simples para facilitar os cálculos. Vamos ver mais exemplos com as outras operações.

Exemplos:

9. A função $f(x) = x^2-3x +1$ pode ser escrita como a soma das funções $f_1(x) = x^2$, $f_2(x) = -3x$ e $f_3(x) = 1$. Ainda podemos reescrever $f$ de outra forma, $f(x) = f_1(x) - f_4(x) + f_3(x)$ onde $f_4(x) = 3x$.

10. A função $g(x) = 8\sqrt[3]{x}(1-x^3)$ pode ser escrita como o produto das funções $g_1(x) = 8\sqrt[3]{x}$ e $g_2(x) = 1-x^3$. Considerando  a função $g_3(x) = \sqrt[3]{x}$, ainda podemos rescrever a função $g$ na forma $g(x) = 8g_3(x)g_2(x)$.

11. A função $h(x) = \displaystyle\frac{x-2}{\sqrt{4x-3}}$, pode ser reescrita como o quociente das funções $h_1(x) = x-2$ e $h_2(x) = \sqrt{4x-3}$.

12. Podemos usar uma cobinação de operações de funções para reescrever uma função. Considere a função $q(x) = \displaystyle\frac{x(x+1)}{2\sqrt[4]{x^3+x}} - 3x$. Considerando as funções $q_1(x) = x$, $q_2(x) = x+1$, $q_3(x) = \sqrt[4]{x^3+x}$ e $q_4(x) = x$, temos que $q(x) = \displaystyle\frac{q_1(x)q_2(x)}{2q_3(x)} - 3q_4(x)$.

Exemplo em vídeo:

Acredito que, com as definições e exemplos que foram feitos aqui nessa postagem, você não terá maiores dificuldades para fazer operações com funções e determinar seus domínios. Além disso, conseguirá perceber como reescrever funções como operações entre outras funções.

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