Esse já é o quarto post sobre os números reais. Nos três primeiros posts (acesse-os aqui) definimos os números reais, conhecemos alguns de seus subconjuntos importantes, aprendemos suas propriedades algébricas e de ordem. Tendo visto isso, estamos prontos para falar sobre o jogo de sinais, que é consequência das propriedades dos números reais. Bom, mais o que é o tal do jogo de sinais? É aquilo que aprendemos na escola, de uma forma bem simples:
- mais vezes mais é mais;
- mais vezes menos é menos;
- menos vezes mais é menos;
- menos vezes menos é mais;
De uma forma um pouco mais formal: quando multiplicamos dois números positivos ou dois números negativos, o resultado é um número positivo e quando multiplicamos dois números com sinais opostos (um positivo e o outro negativo) o resultado é negativo.
Quando vimos isso pela primeira vez, nós simplesmente decoramos e pronto. Mas acredito que você sempre se perguntou: Por que menos vezes menos é mais? Dois números negativos multiplicados não deveria ter como resultado um número "mais negativo ainda"? E por que quando os sinais são diferentes, o resultado é negativo? Isso tudo parece mágica. No entanto, na Matemática, não existe mágica, tudo é consequência das definições, das propriedades e dos teoremas. Concordo que algumas coisas são um pouquinho mais complicadas que outras, mas não é o caso do jogo de sinais.
Vamos entender tudo sobre o jogo de sinais agora!
Jogo de sinais
Vamos entender como o jogo de sinais funciona por meio de proposições. E o que são proposições? São afirmações que precisam ser justificadas, que precisam ser demonstradas, assim como os teoremas. Já tivemos proposições usadas como exemplos nos posts anteriores.
A primeira proposição é algo bastante óbvio para nós. Vamos provar que qualquer número real vezes zero é igual a zero. Isso é importante para demonstrar as regras do jogo de sinais.
Proposição 1: Dado qualquer $a \in \mathbb{R}$, $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$.
Demonstração: Sabemos que $0 = 0+0$, pois $0$ é o elemento neutro da soma. Desse modo, multiplicando os dois lados dessa igualdade por $a \in \mathbb{R}$ qualquer, temos
$$a \cdot 0 = a \cdot (0+0).$$
Usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, temos que $a \cdot (0+0) = a \cdot 0 + a \cdot 0$. Assim, obtemos
$$a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0.$$
No post sobre as propriedades algébricas dos números reais, vimos que todo número real possui um oposto. Como $a \cdot 0$ é um número real, então existe o oposto de $a \cdot 0$ que é $-a \cdot 0$. Somando $-a \cdot 0$ em ambos os lados da igualdade anterior, segue que
$$\begin{eqnarray*} a \cdot 0 &=& a \cdot 0 + a \cdot 0 \\ a \cdot 0 + (-a \cdot 0) &=& (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-a \cdot 0) \\ 0 &=& a \cdot 0 + (a \cdot 0 + (-a \cdot 0)) \\ 0 &=& a \cdot 0 + 0 \\ 0 &=& a \cdot 0 \end{eqnarray*}$$
Portanto, $0 = a \cdot 0$ para qualquer que seja $a \in \mathbb{R}$. Agora, como a multiplicação dos números reais é comutativa, segue que $a \cdot 0 = 0$. Assim a proposição está provada.
Agora vamos passar às regras do jogo de sinais.
Proposição 2: Dados quaisquer $a,b \in \mathbb{R}$, $(-a) \cdot b = -a \cdot b$.
Demonstração: Primeiramente, note que, para $a,b \in \mathbb{R}$ quaisquer, temos, usando a propriedade distributiva e a Proposição 1, que
$$(-a) \cdot b + a \cdot b = (-a + a) \cdot b = 0 \cdot b = 0.$$
A igualdade acima nos dá que $(-a) \cdot b + a \cdot b = 0$. Vamos somar, nos dois lados dessa última igualdade, o número $-a \cdot b$ (que é o oposto de $a \cdot b$). Assim,
$$\begin{eqnarray*} (-a) \cdot b + a \cdot b &=& 0 \\ ((-a) \cdot b + a \cdot b) + (-a \cdot b) &=& 0 + (-a \cdot b) \\ (-a) \cdot b + (a \cdot b + (-a \cdot b)) &=& 0 + (-a \cdot b) \\ (-a) \cdot b + 0 &=& - a \cdot b \\ (-a) \cdot b &=& - a \cdot b \end{eqnarray*}$$
Portanto $(-a) \cdot b = - a \cdot b$.
Na Proposição 2 demonstramos que um número negativo vezes um número positivo é um número negativo. Vamos continuar.
Proposição 3: Dados quaisquer $a,b \in \mathbb{R}$, $a \cdot (-b) = -a \cdot b$.
Demonstração: De modo análogo à proposição anterior, para quaisquer $a,b \in \mathbb{R}$, usando a propriedade distributiva e a Proposição 1, temos
$$a \cdot (-b) + a \cdot b = a \cdot (-b + b) = a \cdot 0 = 0.$$
Da igualdade acima, segue que $a \cdot (-b) + a \cdot b = 0$. Vamos somar, nos dois lados dessa última igualdade, o número $-a \cdot b$ (que é o oposto de $a \cdot b$). Dese modo,
$$\begin{eqnarray*} a \cdot (-b) + a \cdot b &=& 0 \\ (a \cdot (-b) + a \cdot b) + (-a \cdot b) &=& 0 + (-a \cdot b) \\ a \cdot (-b) + (a \cdot b + (-a \cdot b)) &=& 0 + (-a \cdot b) \\ a \cdot (-b) + 0 &=& -a \cdot b\\ a \cdot (-b) &=& - a \cdot b \end{eqnarray*}$$
Portanto $a \cdot (-b) = - a \cdot b$.
Na Proposição 3 demonstramos que um número positivo vezes um número negativo é um número negativo. Vamos para o próximo caso.
Proposição 4: Dados quaisquer $a,b \in \mathbb{R}$, $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$.
Demonstração: Considere $a,b \in \mathbb{R}$ quaisquer. Novamente usando a propriedade distributiva e a Proposição 1, temos que
$$(-a) \cdot (-b) + (-a) \cdot b = (-a) \cdot (-b + b) = (-a) \cdot 0 = 0.$$
Desse modo, temos a igualdade $(-a) \cdot (-b) + (-a) \cdot b = 0$. Ao somarmos, em ambos os lados dessa última igualdade, o número $a \cdot b$, vamos ter
$$\begin{eqnarray*} (-a) \cdot (-b) + (-a) \cdot b &=& 0 \\ ((-a) \cdot (-b) + (-a) \cdot b) + a \cdot b &=& 0 + a \cdot b \\ (-a) \cdot (-b) + ((-a) \cdot b + a \cdot b) &=& 0 + a \cdot b \\ (-a) \cdot (-b) + (-a \cdot b + a \cdot b) &=& a \cdot b \mbox{ } [\mbox{observe que }(-a) \cdot b = -ab \mbox{ pela Proposição 2}] \\ (-a) \cdot (-b) + 0 &=& a \cdot b\\ (-a) \cdot (-b) &=& a \cdot b \end{eqnarray*}$$
Portanto $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$.
Assim, provamos na Proposição 4 que dois números negativos multiplicados tem como resultado um número positivo.
Observação importante:
Não há uma proposição para o caso da multiplicação de dois números positivos. E por que não há? Bom, na verdade, essas proposições mostram um pouco mais do que o jogo de sinais. Em outras palavras, elas provam o seguinte:
Proposição 2: O oposto de $a$ vezes $b$ é igual ao oposto de $ab$.
Proposição 3: O número $a$ vezes o oposto de $b$ é igual ao oposto de $ab$.
Proposição 4: O oposto de $a$ vezes o oposto de $b$ é igual à $ab$.
Assim, essas proposições tratam da multiplicação envolvendo elementos opostos com o objetivo de saber como isso vai interferir nos resultados. Por isso, o caso $a$ vezes $b$ não é abordado, pois sempre teremos $a \cdot b = a \cdot b$, ou seja, se não tivermos opostos envolvidos na multiplicação, nada muda no resultado com relação ao "sinal". Logo, a multiplicação de números positivos continua sendo um número positivo.
Entendendo como essas regras funcionam, com certeza isso não será mais um problema para você.
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