Funções Quadráticas #6: Vértice de uma parábola e máximo e mínimo de uma função quadrática

Agora que já sabemos por que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola, podemos estudar alguns elementos da parábola que podem ser obtidos à partir função quadrática que possui como gráfico esta parábola. Nesse post vamos estudar o máximo e o mínimo de uma parábola e também o vértice da parábola, vamos aprender como calcular o máximo e o mínimo de uma função quadrática e também como calcular o vértice de uma parábola. Vamos começar definindo o que é ponto de máximo e valor máximo e ponto de mínimo e valor mínimo de uma parábola. 

Máximo e mínimo de uma parábola

Considere $f(x) = ax^2+bx+c$, com coeficientes reais e $a \neq 0$, uma função quadrática qualquer.  

Um número real $p$ é um ponto de máximo da função $f$ se $f(p) \geq f(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Nesse caso, $f(p)$ é chamado valor máximo de $f$. Em outras palavras, $p$ é um ponto de máximo da função $f$ se $f(p)$ é o maior valor possível da função $f$.

Um número real $p$ é um ponto de mínimo da função $f$ se $f(p) \leq f(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Nesse caso, $f(p)$ é chamado valor mínimo de $f$. Em outras palavras, $p$ é um ponto de mínimo da função $f$ se $f(p)$ é o menor valor possível da função $f$.

Sabendo agora a definição de pontos de máximo e mínimo e valores máximo e mínimo de uma função quadrática, as perguntas que surgem são:

• Qualquer função quadrática possui um ponto de máximo ou um ponto de mínimo?
• Se uma função quadrática possui um ponto de máximo ou mínimo, como calcular os valores máximo e mínimo da função?

Antes de responder a essas perguntas, vamos escrever uma função quadrática qualquer $f(x) = ax^2+bx+c$, com $a,b,c \in \mathbb{R}$, de uma forma diferente. Vejamos

               $f(x) = ax^2+bx+c$

                         $= ax^2+\displaystyle\frac{2ab}{2a}x+\displaystyle\frac{b^2}{4a} - \displaystyle\frac{b^2}{4a} + \displaystyle\frac{4ac}{4a}$

                         $=a\left(x^2+\displaystyle\frac{2b}{2a}x+\displaystyle\frac{b^2}{4a^2}\right) - \displaystyle\frac{b^2}{4a} + \displaystyle\frac{4ac}{4a}$

                         $=a\left(x^2+2x\displaystyle\frac{b}{2a}+\left(\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2\right) - \displaystyle\frac{b^2-4ac}{4a}$

                         $=a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 - \displaystyle\frac{\Delta}{4a}$

onde $\Delta = b^2-4ac$. Desse modo, qualquer que seja $f(x)=ax^2+bx+c$, ela pode ser escrita na forma

$$f(x) = a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 - \displaystyle\frac{\Delta}{4a}.$$

Agora vamos responder às perguntas feitas anteriormente. Para fazer isso, vamos estudar dois casos.

1º Caso: Considere uma função quadrática $f(x) = ax^2+bx+c$ com $a,b,c \in \mathbb{R}$ e $a >0$. Como acabamos de ver, podemos escrever $f$ na forma

$$f(x) = a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 - \displaystyle\frac{\Delta}{4a}.$$

Observe que o número $\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2$ sempre é maior ou igual a $0$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$, pois é um quadrado (isso se deve ao fato que números com sinais iguais, quando multiplicados, o resultado sempre é positivo e, se um deles for zero, o resultado é zero). Assim, podemos escrever

$$a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 \geq 0$$

visto que $a>0$ (pois dois números positivos multiplicados produzem um resultado positivo).

Somando, em ambos os lados da inequação acima, a expressão $-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$ obtemos

$$a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}\geq-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$$

Note que, no lado esquerdo da inequação acima, temos $f(x)$. Logo, podemos escrever

$$f(x)\geq-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$$

Desse modo, mostramos o seguinte: para qualquer $x \in \mathbb{R}$, temos que $f(x)  \geq -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$, ou seja, para qualquer que seja $x \in \mathbb{R}$, $f(x)$ sempre será maior ou igual a $-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$.

Agora, observe o seguinte,

$$f\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}\right)=a\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2-\displaystyle\frac{\Delta}{4a} = a \cdot 0 -\displaystyle\frac{\Delta}{4a} = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}.$$

isto é, $f\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}\right) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$. Logo 

$$f\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}\right) \leq f(x) \mbox{ para todo } x \in \mathbb{R}.$$

Portanto, $f(x) = ax^2+bx+c$, com $a >0$ possui um ponto de mínimo $p = -\displaystyle\frac{b}{2a}$ e um valor mínimo $f(p) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$.

2º Caso: Considere agora uma função quadrática $f(x) = ax^2+bx+c$ com $a,b,c \in \mathbb{R}$ e $a <0$. Sabemos que podemos escrever $f$ na forma

$$f(x) = a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 - \displaystyle\frac{\Delta}{4a}$$

qualquer que seja a função quadrática $f$.

Observe que o número $\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2$ sempre é maior ou igual a $0$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$, pois é um quadrado. Assim, podemos escrever

$$a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2 \leq 0$$

visto que $a<0$.

Somando, em ambos os lados da inequação acima, a expressão $-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$ obtemos

$$a\left(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}\leq-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}.$$

Note que, no lado esquerdo da inequação acima, temos $f(x)$. Logo, podemos escrever

$$f(x)\leq-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}.$$

Nesse caso, o que conseguimos mostrar foi o seguinte: para qualquer $x \in \mathbb{R}$, temos que $f(x)  \leq -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$, ou seja, para qualquer que seja $x \in \mathbb{R}$, $f(x)$ sempre será menor ou igual a $-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$.

Agora, observemos o seguinte,

$$f\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}\right)=a\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}+\displaystyle\frac{b}{2a}\right)^2-\displaystyle\frac{\Delta}{4a} = a \cdot 0 -\displaystyle\frac{\Delta}{4a} = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}.$$

isto é, $f\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}\right) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$. Desse modo, 

$$f\left(-\displaystyle\frac{b}{2a}\right) \geq f(x) \mbox{ para todo } x \in \mathbb{R}.$$

Portanto, $f(x) = ax^2+bx+c$, com $a >0$ possui um ponto de máximo $p = -\displaystyle\frac{b}{2a}$ e um valor máximo $f(p) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$.

Resumindo o que vimos aqui, temos o seguinte:

Considere $f(x) = ax^2+bx+c$, com $a,b,c \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Se $a>0$, ou seja, se  o gráfico de $f$ é uma parábola com concavidade para cima, então $f$ possui um ponto de mínimo $p = -\displaystyle\frac{b}{2a}$ com valor mínimo $f(p) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$. Se $a<0$, isto é, se o gráfico de $f$ é uma parábola com concavidade para baixo, então $f$ possui um ponto de máximo $p = -\displaystyle\frac{b}{2a}$ com valor máximo $f(p) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$.

Em qualquer caso, o ponto $p$ é chamado de ponto extremo de $f$ e $f(p)$ é chamado valor extremo de $f$. 

Vértice da parábola

O vértice da parábola, que é o gráfico da função $f(x) = ax^2+bx+c$, é o ponto $(p,f(p))$ do gráfico de $f$ onde $p=-\displaystyle\frac{b}{2a}$ e $f(p) = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$ são ponto e valor extremos de  $f$, respectivamente.. 

Muitas vezes, encontramos a seguinte nomenclatura e notação: o vértice da parábola é $V = (V_x,V_y)$ onde

$V_x$ é chamado $x$ do vértice onde $V_x=-\displaystyle\frac{b}{2a}$ e

$V_y$ é chamado $y$ do vértice onde $V_y=-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$.

Exemplos

1. Considere a função quadrática $f(x) = x^2+3x+2$. Calcule o valor mínimo da função $f$.

Solução:Nesse exercício está sendo pedido somente o valor mínimo de $f$. Para encontrarmos esse valor, basta usarmos o que demonstramos anteriormente, isto é, como nessa função quadrática temos $a=1>0$, seu valor mínimo será dado por $-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$. Vamos fazer as contas, temos:

$$\Delta = b^2-4ac = 3^2-4\cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1,$$

e, assim, o valor mínimo de $f$ será

$$-\displaystyle\frac{\Delta}{4a} = - \displaystyle\frac{1}{4\cdot 1} = -\displaystyle\frac{1}{4}.$$

2. Considere a função $g(x) = -2x^2+x-6$. Calcule o ponto de máximo e o valor máximo de $g$.

Solução: Na função quadrática $g$ temos $a = -2<0$, $b=1$ e $c=-6$ Logo, pelo que vimos anteriormente, seu ponto de máximo será $-\displaystyle\frac{b}{2a}$ e seu valor máximo será $-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$. Fazendo as contas, obtemos:

$$-\displaystyle\frac{b}{2a} = -\displaystyle\frac{1}{2\cdot(-2)} = \displaystyle\frac{1}{-4} = \displaystyle\frac{1}{4}$$

e

$$-\displaystyle\frac{\Delta}{4a} = -\displaystyle\frac{1^2-4\cdot (-2) \cdot (-6)}{4 \cdot (-2)} = -\displaystyle\frac{-47}{-8} = -\displaystyle\frac{47}{8}.$$

Portanto, o ponto de máximo de $f$ é $\displaystyle\frac{1}{4}$ e seu valor máximo é $-\displaystyle\frac{47}{8}$.

3. Determine o vértice da parábola que é gráfico da função quadrática $f(x) = 2x^2-3x+5$.

Solução: O vértice de uma parábola é o ponto $V=(V_x,V_y)$ onde $V_x = -\displaystyle\frac{b}{2a}$ e $V_y = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}$. Como $a=2$, $b=-3$ e $c=5$, temos

$$V_x = -\displaystyle\frac{b}{2a} = -\displaystyle\frac{-3}{2\cdot 2} = -\displaystyle\frac{-3}{4} = \displaystyle\frac{3}{4}.$$

e

$$V_y = -\displaystyle\frac{\Delta}{4a} =  -\displaystyle\frac{(-3)^2-4\cdot 2 \cdot 5}{4\cdot2} =  -\displaystyle\frac{9-40}{8} =  -\displaystyle\frac{-31}{8} =  \displaystyle\frac{31}{8}.$$

Portanto, o vértice da parábola é o ponto $V = \left(\displaystyle\frac{3}{4},\displaystyle\frac{31}{8}\right)$.

A seguir está uma calculadora gráfica que faz o gráfico de qualquer função quadrática e calcula o vértice da parábola (e consequentemente o ponto extremo e o valor extremo que são $V_x$ e $V_y$, respectivamente).

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Funções Quadráticas #4: Parábolas e gráficos de funções quadráticas.

No dois últimos posts do blog aprendemos a descobrir se uma função quadrática possui raízes reais e, em caso afirmativo, aprendemos como calculá-las. Podemos calcular as raízes de uma função quadrática usando a fórmula de Bhaskara ou por métodos alternativos em alguns casos particulares. Assim, encerramos o assunto sobre raízes. Vamos agora começar a falar sobre gráficos de uma função quadrática. Mas antes de falar propriamente disso, precisamos estudar um tipo de curva plana chamada parábola.

Você sabe o que é uma parábola? Bom, aprendemos na escola que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola e isto está certo. Porém, uma parábola não é somente isso, o gráfico de uma função quadrática é apenas um caso particular de parábola. Essas curvas chamadas parábolas possuem uma definição própria. Nesse post vamos ver a definição de parábola e por que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Vamos lá!

Definição de Parábola

Considere o plano cartesiano com os eixos $x$ e $y$. Considere um ponto $F$ e um reta $r$ no plano. O conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do ponto $F$ é da reta $r$ é chamado de parábola. O ponto $F$ é chamado de foco da parábola e a reta $r$ é chamada reta diretriz da parábola.

Essa é a definição de parábola. Para uma melhor compreensão da definição de parábola, fiz o seguinte gráfico. Nesse gráfico temos:

• A parábola em vermelho;
• O ponto $F$ é o foco da parábola;
• A reta $r$ é a reta diretriz da parábola;
• O ponto $A$ é um ponto da parábola.

Nesse gráfico você pode mover o ponto $F$ e a reta $r$ usando os pontos $B$ e $C$ para rotacioná-la e o segmento $BC$ em azul para transladá-la. Fazendo isso, você obterá parábolas diferentes. Movendo o ponto $A$ sobre a parábola você vai observar que as distâncias de $A$ para $F$ e de $A$ para a reta $r$ são iguais. Essa é a definição de parábola na prática.

Observe que as parábolas podem ficar em várias posições diferentes no plano.

Gráfico de uma função quadrática

Agora vamos mostrar por que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como vamos fazer isso? Vamos mostrar que toda parábola com concavidade para cima ou para baixo pode ser expressa como o gráfico de uma função quadrática e que toda função quadrática possui como gráfico uma parábola. Vamos fazer isso separando em dois casos.

1º Caso: Considere uma parábola com foco $F = (x_0,y_0)$ e reta diretriz $y=p$ onde o foco está acima da reta diretriz. Seja também $A = (x,y)$ um ponto qualquer da parábola.

Pela definição de parábola, temos que distância de $F$ até $A$ é igual à distância de $A$ até à reta $r$, ou seja, $d(F,A) = d(A,P)$. Dessa igualdade, segue que

$$d(F,A) = d(A,P)$$

$$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = \sqrt{(x-x)^2+(y-p)^2}$$ 

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = (y-p)^2$$

$$x^2-2x_0x+x_0^2+y^2-2y_0y+y_0^2=y^2-2py+p^2$$

$$x^2-2x_0x+x_0^2-2y_0y+y_0^2=-2py+p^2$$

$$x^2-2x_0x+x_0^2+y_0^2-p^2=2y_0y-2py$$

$$x^2-2x_0x+x_0^2+y_0^2-p^2=y(2y_0-2p)$$

$$\displaystyle\frac{x^2-2x_0x+x_0^2+y_0^2-p^2}{(2y_0-2p)} = y$$

$$y=\displaystyle\frac{1}{2(y_0-p)}x^2-\displaystyle\frac{x_0}{y_0-p}x + \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2(y_0-p)}$$

Desse modo, podemos concluir que os pontos $(x,y)$ que estão numa parábola com concavidade para cima satisfazem a função quadrática 

$$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2(y_0-p)}x^2-\displaystyle\frac{x_0}{y_0-p}x + \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2(y_0-p)}.$$

Observe que $y_0-p$ é um número positivo (pois o foco está acima reta diretriz) e é a distância de de $F$ até a reta $r$. Chamando essa distância de $d$, podemos reescrever a função quadrática $f$ na forma

$$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2d}x^2-\displaystyle\frac{x_0}{d}x + \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}.$$

onde seus coeficientes são 

$a = \displaystyle\frac{1}{2d}$, $ b = -\displaystyle\frac{x_0}{d}$ e $c = \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}.$

Logo, esse tipo de parábola é o gráfico de uma função quadrática onde $a>0$.

2º Caso: Vamos agora considerar uma parábola com foco $F = (x_0,y_0)$ e reta diretriz $y=p$ onde o foco está abaixo da reta diretriz. Considere novamente $A = (x,y)$ um ponto qualquer da parábola.

Pela definição de parábola, temos:

$$d(F,A) = d(A,P)$$

$$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} = \sqrt{(x-x)^2+(y-p)^2}$$ 

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = (y-p)^2$$

$$x^2-2x_0x+x_0^2+y^2-2y_0y+y_0^2=y^2-2py+p^2$$

$$x^2-2x_0x+x_0^2-2y_0y+y_0^2=-2py+p^2$$

$$x^2-2x_0x+x_0^2+y_0^2-p^2=2y_0y-2py$$

$$x^2-2x_0x+x_0^2+y_0^2-p^2=y(2y_0-2p)$$

$$\displaystyle\frac{x^2-2x_0x+x_0^2+y_0^2-p^2}{(2y_0-2p)} = y$$

$$y=\displaystyle\frac{1}{2(y_0-p)}x^2-\displaystyle\frac{x_0}{y_0-p}x + \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2(y_0-p)}$$

Desse modo, podemos concluir que os pontos $(x,y)$ que estão numa parábola com concavidade para baixo satisfazem a função quadrática 

$$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2(y_0-p)}x^2-\displaystyle\frac{x_0}{y_0-p}x + \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2(y_0-p)}.$$

Neste caso, o fato de $F$ estar abaixo da reta diretriz, implica que $y_0-p$ é um número negativo e, desse modo, $p-y_0 = -(y_0-p) = d > 0$ é a distância de  $F$ até a reta $r$. Assim, podemos reescrever a função quadrática $f$ na forma

$$f(x)=-\displaystyle\frac{1}{2d}x^2+\displaystyle\frac{x_0}{d}x - \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}.$$

onde seus coeficientes são 

$a = -\displaystyle\frac{1}{2d}$, $ b = \displaystyle\frac{x_0}{d}$ e $c = -\displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}$

Logo, esse tipo de parábola é o gráfico de uma função quadrática onde $a<0$.

Observe que, se a parábola está com a concavidade pra cima, ela possui o coeficiente $a$ positivo e, se possui $a$ concavidade para baixo, o coeficiente a é negativo.

Vamos agora aplicar o raciocínio inverso. Vamos considerar $f(x) = ax^2+bx+c$ uma função quadrática qualquer e mostrar que, a partir dela, podemos obter o foco e a reta diretriz. Vamos fazer isso em dois casos.

1º Caso: $a > 0$

Dada $f(x) = ax^2+bx+c$ com $a>0$, vamos determinar o foco $F = (x_0,y_0)$ e a reta diretriz da parábola. Vamos fazer isso, mostrando que é possível escrever $f(x) = ax^2+bx+c$ na forma$$f(x)=\displaystyle\frac{1}{2d}x^2-\displaystyle\frac{x_0}{d}x + \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}.$$

usando $a$, $b$ e $c$. Isto é, na forma da equação da parábola com concavidade para cima. Vejamos, fazendo $a = \displaystyle\frac{1}{2d}$, temos que $d = \displaystyle\frac{1}{2a}$. Assim, conseguimos obter o $d ( = y_0 - p)$. Agora, fazendo $b = -\displaystyle\frac{x_0}{d}$, obtemos $x_0 = -bd$, ou seja, à partir de $b$ obtemos $x_0$. Está falando obter $y_0$ e a reta diretriz $y=p$. Vamos fazer agora $c = \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}$. Dessa última equação obtemos 

$$2dc = x_0^2+y_0-p^2$$

$$2dc = x_0^2+(y_0-p)(y_0+p)$$

$$2dc - x_0^2=d(y_0+p)$$

$$2c - \displaystyle\frac{x_0^2}{d} = y_0+p$$

Temos então que $y_0-p=d$ e $y_0+p = 2c - \displaystyle\frac{x_0^2}{d}$. Somando essa duas equações, obtemos

$$2y_0 = d+2c - \displaystyle\frac{x_0^2}{d}$$ 

$$y_0 = \displaystyle\frac{d}{2}+c-\displaystyle\frac{x_0^2}{2d}$$

Portanto $y_0 = \displaystyle\frac{d}{2}+c-\displaystyle\frac{x_0^2}{2d}$. Temos determinado o $y_0$. Resta somente $p$, que pode ser obtido da equação $p = y_0-d$. Acabamos de mostrar que, toda função quadrática com $a>0$ possui como gráfico uma parábola.

2º Caso: $a < 0$

Dada $f(x) = ax^2+bx+c$ com $a<0$, vamos determinar o foco $F = (x_0,y_0)$ e a reta diretriz da parábola. Faremos isso mostrando que é possível escrever $f(x) = ax^2+bx+c$ na forma

$$f(x)=-\displaystyle\frac{1}{2d}x^2+\displaystyle\frac{x_0}{d}x - \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}.$$

usando $a$, $b$ e $c$. Ou seja, na forma da equação da parábola com concavidade para baixo.  Vejamos, fazendo $a = -\displaystyle\frac{1}{2d}$, temos que $d = -\displaystyle\frac{1}{2a}$. Assim, conseguimos obter o $d ( = p-y_0)$. Agora, fazendo $b = \displaystyle\frac{x_0}{d}$, obtemos $x_0 = bd$, ou seja, à partir de $b$ obtemos $x_0$. Está falando obter $y_0$ e a reta diretriz $y=p$. Vamos fazer agora $c = -\displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}$. Dessa última equação obtemos 

$$-2dc = x_0^2+y_0-p^2$$

$$-2dc = x_0^2+(y_0-p)(y_0+p)$$

$$-2dc - x_0^2=-d(y_0+p)$$

$$2c + \displaystyle\frac{x_0^2}{d} = y_0+p$$

Temos então que $p-y_0=d$ e $p+y_0 = 2c + \displaystyle\frac{x_0^2}{d}$. Subtraindo essas duas equações, obtemos

$$2y_0 = 2c + \displaystyle\frac{x_0^2}{d}-d$$ 

$$y_0 = -\displaystyle\frac{d}{2}+c+\displaystyle\frac{x_0^2}{2d}$$

Portanto $y_0 = -\displaystyle\frac{d}{2}+c+\displaystyle\frac{x_0^2}{2d}$. Temos determinado o $y_0$. Resta somente $p$, que pode ser obtido da equação $p = d-y_0$. Logo, toda função quadrática com $a<0$ possui como gráfico uma parábola com concavidade para baixo.

Exemplos:

1. Determine a função quadrática que possui como gráfico a parábola com foco $F=(1,2)$ e reta diretriz $y=5$.

Solução: Nesse exemplo temos $x_0=1$, $y_0=2$ e $p=5$. Observe que o foco está abaixo da reta diretriz pois $2<5$. Assim, podemos obter $d = p-y_0$ e a função quadrática terá a forma

$$f(x)=-\displaystyle\frac{1}{2d}x^2+\displaystyle\frac{x_0}{d}x - \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d}.$$

Temos $d=5-2=3$ e assim,

$$a = -\displaystyle\frac{1}{2d}= -\displaystyle\frac{1}{2 \cdot 3} = -\displaystyle\frac{1}{6};$$

$$b = \displaystyle\frac{x_0}{d} = \displaystyle\frac{1}{3};$$

$$c =  - \displaystyle\frac{x_0^2+y_0^2-p^2}{2d} =  - \displaystyle\frac{1^2+2^2-5^2}{2\cdot3} =  - \displaystyle\frac{1+4-25}{6} =  - \displaystyle\frac{-20}{6} =   \displaystyle\frac{10}{3}.$$

Logo $f(x) = -\displaystyle\frac{1}{6}x^2+\displaystyle\frac{1}{3}x+ \displaystyle\frac{10}{3}$.

2. Considere a função quadrática $f(x) = x^2-4x+5$. Determine o foco e a reta diretriz do gráfico de $f$.

Solução: Primeiramente, observe que $a=1$, $b=-4$ e $c=5$. Observe também que o gráfico de $f$ possui concavidade para cima, assim, podemos determinar o foco $F=(x_0,y_0)$ e a reta diretriz $y=p$ usando as relações

$$d = \displaystyle\frac{1}{2a};$$

$$x_0 = -bd;$$

$$y_0 = \displaystyle\frac{d}{2}+c-\displaystyle\frac{x_0^2}{2d};$$

$$p=y_0-d.$$

Vamos fazer as contas.

$$d = \displaystyle\frac{1}{2 \cdot 1} = \displaystyle\frac{1}{2};$$

$$x_0 = -bd = -(-4) \cdot \displaystyle\frac{1}{2} = 2$$

$$y_0 = \displaystyle\frac{d}{2}+c-\displaystyle\frac{x_0^2}{2d} = \displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{2}+5-\displaystyle\frac{2^2}{2\frac{1}{2}} = \displaystyle\frac{1}{4}+5-4=\displaystyle\frac{5}{4};$$

$$p=y_0-d = \displaystyle\frac{5}{4}-\displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{3}{4}$$

Logo, o foco de $f$ é $F = \left(2,\displaystyle\frac{5}{4}\right)$ e a reta diretriz é $y=\displaystyle\frac{3}{4}$.

Nesse link você encontrará uma calculadora gráfica para fazer gráficos de funções quadráticas juntamente com o seu foco e a reta diretriz.

Funções quadráticas #5: Calculadora gráfica

Sugiro que você verifique se as contas dos exemplos 1 e 2 estão corretos usando a calculadora gráfica.

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Funções Quadráticas #3 - Formas alternativas para determinar raízes de funções quadráticas (equações do segundo grau)

No post anterior vimos a definição de raiz ou zero de uma função quadrática, vimos de onde vem a fórmula de Bhaskara e também como aplicá-la. A fórmula de Bhaskara, sem dúvida alguma, é a melhor ferramenta para determinar se uma função quadrática possui raízes reais e, em caso afirmativo, calculá-las. Por isso é fundamental conhecê-la e saber aplicá-la. A fórmula de Bhaskara não é uma fórmula complicada de se usar, porém ela envolve algumas operações que, dependendo dos coeficientes da função quadrática ($a$, $b$ e $c$), podem se tornar trabalhosas. Assim, podemos nos questionar se há alguma forma mais rápida ou menos trabalhosa do que a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes de uma função quadrática. A resposta para esse questionamento é: não há nada mais eficiente que a fórmula de Bhaskara, porém para alguns casos particulares de funções quadráticas há formas alternativas mais simples de se encontrar as raízes. Vamos ver quais são essas formas alternativas para determinar as raízes de uma função quadrática sem usar a fórmula de Bhaskara.

Função quadrática na forma $f(x) = ax^2+bx$

Quando a função quadrática tem a forma $f(x) = ax^2+bx$ com $a,b \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$, ou seja, temos $c = 0$, podemos dispensar a fórmula de Bhaskara. Para determinar as raízes de $f(x)=ax^2+bx$, devemos resolver a seguinte equação:

$$ax^2+bx = 0.$$

Essa última equação, colocando o $x$ em evidência, pode ser reescrita na forma:

$$x(ax+b) = 0.$$

Olha só o que temos agora. Temos o produto de dois números reais, $x$ e $ax+b$, dando $0$. O produto de dois números reais só tem resultado igual a zero quando (pelo menos) um dos fatores for igual a zero. Desse modo, as possibilidades para que o produto $x(ax+b)$ seja igual a $0$ são:

$x=0$ ou $(ax+b)=0$.

Disso segue de imediato que uma raiz é $x=0$. A outra raiz é

$ax+b = 0$, que é equivalente a $ax = -b$, ou ainda, $x=-\displaystyle\frac{b}{a}$.

Portanto, uma função quadrática na forma $f(x)=ax^2+bx$ possui raízes $x = 0$ e $x =-\displaystyle\frac{b}{a}$. 

Exemplo:

1. Determine as raízes da função quadrática $f(x) = 2x^2+3x$.

Solução: Fazendo $2x^2+3x=0$, temos, colocando $x$ em evidência,

$$x(2x+3)=0.$$

Assim, as raízes são $x=0$ e

$$2x+3=0$$

$$2x=-3$$

$$x=-\displaystyle\frac{3}{2}.$$

Função quadrática na forma $f(x) = ax^2-c$ ($a, c \in \mathbb{R}$ com $a,c >0$ ou $a,c<0$)

Quando a função quadrática tem a forma  $f(x) = ax^2-c$ onde $a,c \in \mathbb{R}$ com $a,c >0$ ou $a,c<0$, a fórmula de Bhaskara também pode ser dispensada. Podemos encontrar as raízes dessa função quadrática fazendo o seguinte:

$$ax^2 - c=0.$$

Essa equação é equivalente a 

$$ax^2 = c \mbox{ ou ainda } x^2 = \displaystyle\frac{c}{a}.$$

As condições que temos sobre $a$ e $c$ nesse caso implicam $\displaystyle\frac{c}{a} > 0$, dessa forma, existe $\sqrt{\displaystyle\frac{c}{a}}$. Logo, as raízes dessa função quadrática são:

$$x_1 = \sqrt{\displaystyle\frac{c}{a}} \mbox{ e } x_2 = -\sqrt{\displaystyle\frac{c}{a}},$$

pois $\left(\sqrt{\displaystyle\frac{c}{a}}\right)^2 = \displaystyle\frac{c}{a}$ e $\left(-\sqrt{\displaystyle\frac{c}{a}}\right)^2 = \displaystyle\frac{c}{a}$.

Se nesse tipo de função quadrática não tivermos as condições $a,c >0$ ou $a,c<0$ satisfeitas, ou seja, se $a$ e $b$ tiverem sinais diferentes, o quociente $\displaystyle\frac{c}{a}$ vai ser negativo e, sabemos que, raiz quadrada de número real negativo não existe. Sendo assim,  se não tivermos as condições $a,c >0$ ou $a,c<0$ satisfeitas, a função quadrática não possui raízes reais.

Exemplos:

1. Determine as raízes da função quadrática $f(x) = 4x^2-8$.

Solução: Fazendo $4x^2 - 8 =0$, vamos ter

$$4x^2 - 8 = 0$$

$$4x^2 = 8$$

$$x^2 = \displaystyle\frac{8}{4}$$

$$x^2 = 2.$$

Assim, as raízes de $f$ são $x_1 = \sqrt{2}$ e $x_2 = -\sqrt{2}$.

2. Determine as raízes da função quadrática $g(x) = -x^2+9$.

Solução: Fazendo $-x^2+9 =0$, vamos ter

$$-x^2 + 9 = 0$$

$$-x^2 = -9$$

$$x^2 = 9$$

Assim, as raízes de $g$ são $x_1 = \sqrt{9}=3$ e $x_2 = -\sqrt{9}=-3$.

Soma e Produto

Considere agora uma função quadrática na forma $f(x) = x^2+bx+c$, ou seja, $a=1$. Suponha que $f$ possua duas raízes $m, n \in \mathbb{R}$ que podem ser iguais. Se $m$ e $n$ são raízes de $f$, pode ser provado (usando divisão de polinômios) que $f$ pode ser escrita na forma:

$$f(x) = (x-m)(x-n).$$

Fazendo a distributiva no segundo membro da igualdade acima, temos

$$f(x) = x^2-xn-mx+mn = x^2-(m+n)x+mn.$$

Desse modo, temos a igualdade:

$$x^2+bx+c =  x^2-(m+n)x+mn,$$

que só é possível se $b = -(m+n)$ e $c = mn$. Portanto, se sabemos que $f$ possui duas raízes $m$ e $n$ ainda desconhecidas, que podem ser iguais, para determiná-las, basta encontrar dois números $m$ e $n$ tais que $b = -(m+n)$ e $c = mn$. Essa é a regra chamada soma e produto. 

Exemplos

1. Determine as raízes da função quadrática $f(x) = x^2-5x+6$.

Solução: Nessa função quadrática temos $b=-5$ e $c=6$. De acordo com a regra soma e produto, se encontrarmos dois números reais $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = -5$ e $mn = 6$, esses números são raízes de $f$. Observe que, para $m=2$ e $n=3$ valem $-(2+3) = -5$ e $2 \cdot 3 = 6$. Logo as raízes da função quadrática $f$ são $x_1 = 2$ e $x_2 = 3$.

2. Determine as raízes da função quadrática $f(x) = x^2 +3x-4$.

Solução: Nessa função quadrática temos $b=3$ e $c=-4$. De acordo com a regra soma e produto, se encontrarmos dois números reais $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = 3$, ou ainda $m+n=-3$ e $mn = -4$, esses números são raízes de $f$. Observe que, para $m=-4$ e $n=1$ valem $(-4+1) = -3$ e $(-4) \cdot 1 = -4$. Logo as raízes da função quadrática $f$ são $x_1 = -4$ e $x_2 = 1$.

3. Determine as raízes da função quadrática $g(x) = 2x^2-3x-2$.

Solução: Aparentemente, não é possível usar soma e produto para calcular as raízes da função $g$ pois $a = 2 \neq 1$. Porém podemos usar sim. Observe que a equação

$$2x^2-3x-2=0 \mbox{ é equivalente a } 2(x^2-\frac{3}{2}x-1)=0.$$

Isto é, para encontrar as raízes de $g$, basta encontrarmos as soluções da equação

$$(x^2-\frac{3}{2}x-1)=0.$$

Observe que podemos usar soma e produto para determinar as raízes de $h(x) = x^2-\frac{3}{2}x-1$. Note que $-(-\frac{1}{2}+ 2) = -\frac{3}{2}$ e $-\frac{1}{2} \cdot 2 =  -1$. Desse modo, as soluções de $f$ são $x_1 = -\frac{3}{2}$ e $x_2 = 2$.

Observação:

(a) Apesar da soma e produto ser aparentemente mais fácil de se usar para obter as raízes de um polinômio, ela não tem o poder de nos dar a informação sobre a existência de raízes reais de um polinômio. Além disso, dependendo dos coeficientes $b$ e $c$, vai ficar difícil de encontrar as raízes por soma e produto. Então, é aconselhável saber como usar a Fórmula de Bhaskara, pois ela sempre funciona.

(b) A regra soma e produto não facilita as contas em qualquer caso, por exemplo, considere a função quadrática

$$f(x) = x^2 +\sqrt{2}x-\pi.$$

Essa função possui duas raízes reais distintas $m$ e $n$. Por meio de soma e produto, devemos determinar $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = \sqrt{2}$ e $mn = \pi$. Essa com certeza não é uma tarefa fácil. Logo, nesse caso deve-se se usar a velha e boa fórmula de Bhaskara.

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Funções Quadráticas #1: Definição e exemplos.

 Agora é a vez de falar das funções quadráticas ou funções do segundo grau. Falado nisso, você sabe o que é uma função quadrática ou uma função do segundo grau? Esse tipo de função tem várias aplicações na matemática financeira, na economia, na física e na matemática, em áreas como, cálculo, álgebra, geometria, estatística e equações diferenciais. São tantas aplicações que mesmo quem não é da matemática, em algum dia, em algum momento, vai acabar se encontrando com esse tipo de função. Por isso, nunca é demais estudar as funções quadráticas e compreendê-las bem. Então, vamos lá aprender o que são funções quadráticas, que também são conhecidas como funções do segundo grau.

Definição de Função Quadrática (Função do Segundo Grau) 

Uma função $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é chamada função quadrática ou função do segundo grau se $f$ é da forma

$$f(x) = ax^2 + bx + c \mbox{ onde } a,b,c \in \mathbb{R} \mbox{ e } a \neq 0.$$

Ou seja, $f$ é uma função que a cada $x \in\mathbb{R}$ associa o número real $ax^2 + bx + c$. O nome "quadrática" ou "do segundo grau" vem do fato de um dos termos dessa função ser um número real multiplicado por $x^2$. Por esse motivo sempre assumimos $a \neq 0$, pois do contrário, esse termo com $x^2$ não existiria. Os números reais $a$, $b$ e $c$ são chamados coeficientes da função quadrática. Em particular $a$ é chamado coeficiente dominante e $c$ é chamado coeficiente ou termo independente.

Vejamos alguns exemplos:

(a) $f(x) = x^2+2x-5$, ($a=1, b=2$ e $c=-5$)

(b) $g(x) = -x^2-4x+1$, ($a=-1, b=-4$ e $c=1$)

(c) $h(x) = 2x^2+\frac{1}{2}x$, ($a=2, b=\frac{1}{2}$ e $c=0$)

(d) $l(x) = \frac{2}{3}x^2-\sqrt{5}$, ($a=\frac{2}{3}, b=0$ e $c=-\sqrt{5}$)

Outra questão que podemos explorar aqui é a seguinte, dado um valor para $x$, podemos calcular $f(x)$ qualquer que seja a função quadrática $f$. Vamos usar as funções quadráticas do exemplo anterior para exemplificar isso.

(e) Para $x=1$ temos $f(1) = 1^2+2 \cdot 1-5 = 1+2-5 = -2$.

(f) Para $x=2$ temos $g(2) = -2^2-4 \cdot 2+1 = -4-8+1 = -11$.

(g) Para $x=-1$ temos $h(-1) = 2\cdot(-1)^2+\frac{1}{2} \cdot (-1) = 2 \cdot 1- \frac{1}{2} = 2-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(h) Para $x = \frac{1}{2}$ temos $l(\frac{1}{2}) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2})^2-\sqrt{5} = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}-\sqrt{5} = \frac{1}{6}-\sqrt{5}$.

Para aplicar uma função quadrática em um dado valor de $x$, basta substituir $x$ por esse valor dado na expressão da função e fazer as continhas (lembre-se de sempre tomar cuidado com o jogo de sinais).

Aqui está um calculadora de função quadrática para você conferir suas contas:

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