Potenciação e Radiciação #7: Potências com expoentes irracionais

Até aqui já estudamos potências com expoentes naturais, inteiros e racionais, juntamente com suas propriedades. Agora chegou a hora de abordarmos as potências com expoentes irracionais a suas propriedades. Potências com expoentes irracionais não são tão comuns e nem são tão estudadas, mas dependendo do que estamos estudando em Matemática, elas aparecem e, por isso, precisamos saber como lidar com elas. Vamos lá!

Potências com expoentes irracionais

Antes de qualquer coisa, vamos lembrar o que é um número irracional. Os números irracionais são os números que não são racionais, ou seja, não podem ser escritos na forma $\displaystyle\frac{a}{b}$ com $a,b \in \mathbb{Z}$ e $b \neq 0$ (frações). Isso inclui também os números naturais ($\mathbb{N}$) e os inteiros ($\mathbb{Z}$). Pensando de uma outra forma, os números irracionais são os números com vírgula, com infinitas casas decimais, onde não há nenhum bloco de números se repetindo, como por exemplo, no número $2,345345345345\dots$ (o bloco que se repete é $345$). Assim, são exemplos de números irracionais

$$\pi = 3,141592653589793238\dots; \mbox{  } \sqrt{2}= 1,41421356237\dots;$$

$$-\sqrt{3} = -1,73205080757\dots;  \mbox{ e } e=2,71828182846\dots.$$ 

Vale observar também que, todo número na forma $\sqrt{p}$, onde $p$ é um número primo, é irracional.

Temos então que, um número irracional não é um natural, não é um inteiro e nem um racional. Desse modo, dado um número real $a$ e um irracional $k$, não é possível calcular a potência $a^k$ com nenhuma das maneiras que vimos nos posts anteriores. E agora, o que pode ser feito? Bom, podemos fazer o cálculo por aproximação. Como exemplo, vamos usar $3^{\sqrt{2}}$. Temos que $\sqrt{2} = 1,41421356237$, assim podemos fazer as seguintes aproximações para calcular $3^{\sqrt{2}}$, usando números racionais, acrescentando cada vez mais casas decimais,

$$3^{1} = 3;$$

$$3^{1,4} = 3^{\frac{14}{10}} = 3^{\frac{7}{5}} = \sqrt[5]{3^7} = 3\sqrt[5]{9} \cong 4,655537;$$

$$3^{1,41} = 3^{\frac{141}{100}} = \sqrt[100]{3^{141}} = 3\sqrt[100]{3^41} \cong 4,706965;$$

$$3^{1,414} = 3^{\frac{1414}{1000}} = 3^{\frac{707}{500}} = \sqrt[500]{3^{707}} = 3\sqrt[1000]{3^{207}} \cong 4,727695;$$

$$3^{1,4142} = 3^{\frac{14142}{10000}} = 3^{\frac{7071}{5000}} = \sqrt[5000]{3^{7071}} = 3\sqrt[5000]{3^{2071}} \cong 4,728734.$$

Calculando $3^{\sqrt{2}}$ numa calculadora científica, vamos obter $3^{\sqrt{2}} = 4,7288043\dots$. Note que a última aproximação feita teve como resultado aproximado o número $4,728734$, ou seja, essa aproximação acertou até a terceira casa decimal. Se continuarmos com mais aproximações acrescentando mais casas decimais, vamos obter aproximações cada vez melhores.

Logo, podemos usar esse raciocínio para calcular potências com expoentes irracionais. Porém, devemos concordar que fazer esses cálculos por aproximações não é nada fácil (observe o tamanho das potências e dos índices das raízes calculadas no exemplo acima). Por esse motivo, é preferível não calcular potências com expoentes irracionais, caso se encontre com uma. No caso do nosso exemplo, é melhor deixar na forma $3^{\sqrt{2}}$. Não há problema nenhum em deixar de calcular essa potência. Deixá-la nessa forma evita erros nas aproximações. Talvez, em alguns casos, seja necessário calcular essa potência (em aplicações na realidade, por exemplos), mas aí temos usar outros recursos de aproximação e cálculo de erros.

Para os números irracionais também valem as propriedades de potenciação vistas para os números racionais. Vamos relembrá-las.

Considere $p,q \in \mathbb{I}$ (conjunto dos números irracionais). Para $a,b \in \mathbb{R}$, maiores ou iguais a $0$, valem as seguintes propriedades

(i) $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$;

(iii) $(a \cdot b)^p = a^p \cdot b^p$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^p = \displaystyle\frac{a^p}{b^p}$ se $b \neq 0$;

(v) $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$

Vamos ver alguns exemplos do uso dessas propriedades.

Exemplos:

1. $10^{\sqrt{11}} \cdot 10^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{11}+\sqrt{2}}$;  $2^{-\sqrt{3}} \cdot 2^{\pi} = 2^{-\sqrt{3}+\pi}$;   $4^{\sqrt{2}} \cdot 4^{-e} = 4^{\sqrt{2}+(-e)} = 4^{\sqrt{2}-e}$;   $3^{-\sqrt{5}} \cdot 3^{-\sqrt{7}} = 3^{-\sqrt{5}+(-\sqrt{7})} = 2^{-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$;

2. $\displaystyle\frac{9^{\sqrt{3}}}{9^\sqrt{2}} = 9^{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$;  $\displaystyle\frac{6^{-\sqrt{5}}}{6^{\sqrt{2}}} = 6^{-\sqrt{5}-\sqrt{2}}$;  $\displaystyle\frac{2^\sqrt{3}}{6^{-\sqrt{5}}} = 2^{\sqrt{3}-(-\sqrt{5})} = 2^{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$;  $\displaystyle\frac{10^{-\pi}}{10^{-\sqrt{7}}} = 10^{-\pi-(-\sqrt{7})} = 10^{-\pi+\sqrt{7}}$;

3. $(-4 \cdot 8)^{\sqrt{11}} = (-4)^{\sqrt{11}} \cdot 8^{\sqrt{11}}$; 

4. $\left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{6^{\sqrt{2}}}{7^{\sqrt{2}}}$;

5. $(10^{\sqrt{3}})^{\sqrt{5}} = 10^{{\sqrt{3}}\cdot {\sqrt{5}}} = 10^{{\sqrt{15}}}$;  $(5^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 5^2$; $(15^{-\sqrt{11}})^{-\pi} = 15^{-\sqrt{11} \cdot (-\pi)} = 15^{\sqrt{11}\pi}$;  

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