Já fizemos um estudo bastante completo sobre potências com expoentes naturais e inteiros e também sobre radiciação de índice $n$. Sabemos calcular essas potências e também calcular e simplificar raízes de índice $n$. Isso já é muito importante. Tendo aprendido esses conceitos matemáticos, agora estamos aptos a estudar as potências com expoente racional (fracionário). Só agora vamos falar de potência com expoente racional pois nesse assunto vamos misturar tudo o que já estudamos nos posts anteriores, a potenciação com expoentes natural e inteiros e a radiciação. Vamos lá!
Potências com expoente racional
Definição: Dados $a \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$ e $\displaystyle\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$, com $p \in \mathbb{Z}$ e $q \in \mathbb{N}$, $q \neq 0$, definimos a potência de base $a$ e expoente $\displaystyle\frac{p}{q}$ por
$$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}.$$
Se $a=0$ e $\displaystyle\frac{p}{q} > 0$, definimos $0^{\frac{p}{q}} = 0$.
Vamos ver alguns exemplos.
Exemplos:
1. $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$;
2. $5^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{5^4} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 5} = 5 \sqrt[3]{5}$ (aqui estamos usando o processo de simplificação de raízes visto no post anterior).
3. $7^{-\frac{2}{3}} = 7^{\frac{-2}{3}} = \sqrt[3]{7^{-2}} = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{7^2}} = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{49}}$.
4. $\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^4} = \sqrt[5]{\displaystyle\frac{16}{81}}$.
5. $\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{\frac{-1}{3}} = \sqrt[3]{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1}} = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{3}{2}}$.
Observações importantes:
(a) O cálculo $0^{\frac{p}{q}}$ com $\displaystyle\frac{p}{q} < 0$ não está definido, pois isso implicaria em $0^p$ com $p <0$, o que não existe.
(b) Podemos estender a definição de potência com expoente racional para bases negativas, ou seja, para $a \in \mathbb{R}$ positivo, em alguns casos é possível calcular $(-a)^{\frac{p}{q}}$. Podemos calcular $(-a)^{\frac{p}{q}}$ se $p$ for par ou se $q$ for ímpar. Porém, em ambos os casos, a $\displaystyle\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ deve estar na forma irredutível, ou seja, $\displaystyle\frac{p}{q}$ deve ser uma fração que não pode mais ser simplificada. Se não colocarmos essa condição, podemos cair no seguinte erro: observe que $\displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{2}{6}$, porém
$$(-1)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-1} = -1 \mbox{ e } (-1)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-1)^2} = \sqrt[6]{1} = 1$$.
Então, já que $\displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{2}{6}$, $(-1)^{\frac{1}{3}}$ é igual a $-1$ ou é igual a $1$? A resposta correta é $-1$ pois $\displaystyle\frac{1}{3}$ está na forma irredutível enquanto que $\displaystyle\frac{2}{6}$ não está.
Vamos agora às propriedades das potências com expoentes racionais.
Propriedades das potências com expoentes racionais
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas que já temos paras as potências com expoentes naturais e inteiros. Mas, mesmo assim, vamos mencioná-las dentro do contexto de potências com expoentes racionais.
Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, com $a,b \geq 0$, e $\displaystyle\frac{p}{q}, \displaystyle\frac{r}{s} \in \mathbb{Q}$. Temos
(i) $a^{\frac{p}{q}} \cdot a^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q}+\frac{r}{s}}$;
(ii) $\displaystyle\frac{a^{\frac{p}{q}}}{a^{\frac{r}{s}}} = a^{\frac{p}{q}-\frac{r}{s}}$ $(a \neq 0)$;
(iii) $(a \cdot b)^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{p}{q}} \cdot b^\frac{p}{q}$;
(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^{\frac{p}{q}} = \displaystyle\frac{a^{\frac{p}{q}}}{b^{\frac{p}{q}}}$ $(b \neq 0)$;
(v) $\left(a^{\frac{p}{q}}\right)^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s}}$.
Observação: Essas propriedades estão enunciadas somente para $a$ e $b$ reais maiores ou iguais a zero. Isso ocorre pois, como vimos na observação anterior, item (b), quando a base de uma potência com expoente racional é negativa, há algumas condições sobre o expoente para que a potência possa ser calculada, assim, para que não tenhamos problemas aos misturarmos as propriedades acima com as condições para calcular as potências. é melhor usarmos essas propriedades somente com bases positivas.
Vamos exemplos de cada propriedade acima.
Exemplos:
1. $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}} = 2^{\frac{5}{6}}$;
$\left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}} \cdot \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}+(-\frac{2}{3})} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}-\frac{2}{3}} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{2}{3}}$;
2. $\displaystyle\frac{5^{\frac{1}{5}}}{5^{\frac{4}{3}}} = 5^{\frac{1}{5}-\frac{4}{3}} = 5^{-\frac{17}{15}}$;
3. $(3 \cdot 7)^{\frac{5}{2}} = 3^{\frac{5}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{2}}$;
4. $\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{\frac{1}{7}} = \displaystyle\frac{3^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}$;
5. $\left(10^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = 10^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{3}}$.
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