Inequações #7: Inequações modulares com polinômios de grau maior que 1

Na postagem anterior, aprendemos como resolver inequações que possuem um módulo com um polinômio de grau  1 dentro dele. Esse é o primeiro passo no mundo das inequações modulares. Agora,  nessa postagem, vamos dar mais um passo no estudo das inequações modulares, vamos aprender como resolver inequações modulares que possuem um polinômio com grau maior que 1 dentro do módulo. A ideia por trás da resolução dessas inequações é a mesma usada na resolução daquelas que possuem um polinômio de grau 1 dentro do módulo, mas, quando o grau do polinômio é maior que 1, o processo de resolução é mais trabalhoso e, por isso, vamos precisar recorrer à análise de sinal de polinômios. Além da análise de sinal de polinômios, vamos precisar da união e da interseção de intervalos de números reais. Caso você não se lembre desses assuntos, estude essas postagens. Se você já domina esses assuntos, siga comigo adiante. Vamos lá!

Inequações modulares com polinômios de grau maior que 1

Primeiramente, vamos deixar claro quais os tipos de inequações que vamos aprender a resolver nessa postagem. Seja $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x+ a_0$ um polinômio qualquer com $n \in \mathbb{N}$, $a_i \in \mathbb{R}$ para todo $i = 1,2, \dots, n$ e $a_n \neq 0$. Qualquer inequação em uma das seguintes formas:

$$|p(x)| < c, \; |p(x)| \leq c, \; |p(x)| > c \mbox{ ou } |p(x)| \geq c$$

onde $c \in \mathbb{R}$ e $c \geq 0$ é uma inequação modular com polinômio. Na postagem anterior, já abordamos o caso em que $n = 1$, por isso, nessa postagem vamos considerar polinômios com $n \geq 2$, ou seja, vamos considerar as inequações modulares com polinômios de grau maior que $1$.

Para ficar mais claro, vejamos alguns exemplos dessas inequações.

Exemplos:

1. $|x^2+2x-1| < 1$

2. $|2x^3-x+5| \leq 4$

3. $|-x^5+1| > 2$

4. $|x^4+x^2+1| \geq 1$

Nem sempre as inequações modulares com polinômios de grau maior que 1 aparecem na forma dos exemplos acima. Elas podem aparecer com números multiplicando ou dividindo o módulo e também com números sendo somados ou subtraídos aos lados esquerdo e direito do símbolo de desigualdade. Vejamos alguns exemplos dessas situações.

5. $4|x^2-1| < 1$

6. $\displaystyle\frac{3}{2} - |x^3+2x+1| < 1$

7. $\displaystyle\frac{|x^2-x+1|}{3} \geq 2 $

As inequações dos exemlos 5 a 7 podem ser facilmente reescritas para que fiquem na forma das que estão nos exemplos de 1 a 4. Vejamos como fazer isso.

Exemplo 5:

\begin{eqnarray} 4|x^2-1| &<& 1 \\ |x^2-1| &<& \frac{1}{4} \end{eqnarray}

Exemplo 6:

\begin{eqnarray} \frac{3}{2} - |x^3+2x+1| &<& 1 \\ - |x^3+2x+1| &<& 1 - \frac{3}{2} \\ - |x^3+2x+1| &<& - \frac{1}{2} \\ |x^3+2x+1| &>&  \frac{1}{2} \end{eqnarray}

Exemplo 7:

\begin{eqnarray} \frac{|x^2-x+1|}{3} &\geq& 2  \\ |x^2-x+1| &\geq& 2 \cdot 3 \\ |x^2-x+1| &\geq& 6 \\ \end{eqnarray}

Como resolver inequações modulares com polinômios de grau maior que 1

Para resolver essas inequações, também vamos precisar da interpretação geométrica do módulo. Isso foi abordado na postagem anterior e também pode ser visto com mais detalhes na postagem sobre módulo (valor absoluto). Vamos aprender como resolver as inequações modulares com polinômios de grau maior que 1 por meio de exemplos. Para a postagem não ficar muito longa, resolveremos dois exemplos cujas ideias podem ser usadas para resolver qualquer outra inequação do mesmo tipo. Esses exemplos estarão na forma das inequações dos exemplos de 1 a 4, pois caso estejam nas formas dos exemplos de 5 a 7, como vimos, elas podem ser facilmente escritas em uma das formas que estão nos exemplos de 1 a 4. Então, vamos aos exemplos:

Exemplos:

8. Determine o conjunto solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$.

Solução: Primeiramente, observe que nessa inequação temos o símbolo de menor ou igual ($\leq$). Desse modo, o conjunto solução $S$ dessa inequação será a interseção do conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \leq 1$, ao qual chamaremos de $S_1$, e o conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \geq -1$, ao qual chamaremos de $S_2$. Temos então duas inequação polinomiais para resolver. Vamos lá!

Resolvendo a inequação $x^2-x-1 \leq 1$:

Podemos pensar em em algumas formas de resolver inequação polinomais, umas mais simples e outras mais complicadas, mas para resolver essa inequação e também as outras que virão, vou usar a análise de sinal de polinômios. Essa pode até não ser a forma mais simples de resolver uma inequação polinomial, mas com certeza é muito eficiente e pode ser aplicada a inequações polinomais de qualquer grau. Para usar esse método, vamos reescrever a inequação de modo a deixar o lado direito do símbolo de desigualdade somente com o $0$. Temos,

\begin{eqnarray} x^2-x-1 &\leq& 1 \\ x^2-x-1-1 &\leq& 0 \\ x^2 - x - 2 &\leq& 0 \end{eqnarray}

Resolver a inequação $x^2-x-1 \leq 1$ é o mesmo que resolver a inequação $x^2 - x - 2 \leq 0$, por isso, vamos usar a análise de sinal na segunda inequação.  Vamos começar fatorando o polinômio $x^2 - x - 2$. Usando Soma e Produto, as raízes desse polinômio são $2$ e $-1$ e, desse modo, temos

$$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).$$

Vamos analisar o sinal de cada fator presente na decomposição acima. Para $x-2$, temos

\begin{eqnarray} x-2 &<& 0 \\ x &<& 2, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-2 &>& 0 \\ x &>& 2 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-2 &=& 0 \\ x &=& 2. \end{eqnarray}

Para $x+1$, temos,

\begin{eqnarray} x+1 &<& 0 \\ x &<& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 &>& 0 \\ x &>& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 &=& 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^2 - x - 2$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \leq 1$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^2 - x - 2 \leq 0$) é o conjunto $S_1 = [-1,2]$.

Resolvendo a inequação $x^2-x-1 \geq -1$:

Vamos resolver essa inequação também usando a análise de sinal de polinômios. Reescrevendo essa inequação, temos:

\begin{eqnarray} x^2-x-1 &\geq& -1 \\ x^2-x-1 + 1 &\geq& 0 \\ x^2-x &\geq& 0 \end{eqnarray}

Assim, resolver a inequação $x^2-x-1 \geq -1$ é o mesmo que resolver a inequação $x^2-x \geq 0$. O polinômio $x^2-x$ pode ser fatorado como segue:

$$x^2-x = x(x-1)$$.

Vamos analisar o sinal de cada fator presente na fatoração acima. Para $x$, temos que $x$ será positivo quando $x>0$, será negativo quando $x<0$ e será zero quando $x=0$.

Para $x-1$, temos,

\begin{eqnarray} x-1 &<& 0 \\ x &<& 1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 &>& 0 \\ x &>& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 &=& 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^2 - x$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^2-x-1\geq -1$ (lembre-se, resovemos essa inequação na forma $x^2 - x \geq 0$) é o conjunto $S_2 = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

Ainda não terminamos, mas falta pouco. A solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$ é a interseção de $S_1$ com $S_2$. Fazendo isso por meio do seguinte diagrama, temos:

Portanto, o conjunto solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$ é $S = [-1,0] \cup [1,2]$. 

9. Resolva a inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$.

Solução: Note que, nessa inequação temos o símbolo de maior ($>$). Assim, o conjunto solução $S$ dessa inequação será a união do conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$, ao qual chamaremos de $S_1$, e o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$, ao qual chamaremos de $S_2$. Vamos ao trabalho, pois temos duas inequações com polinômios de grau de $3$ para resolver. 

Resolvendo a inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$:

Como havia dito antes, vamos usar a análise de sinal de polinômios para resolver essa inequação. Reescrevendo essa inequação de modo a deixar o lado direito do símbolo de desigualdade somente com o $0$, temos,

\begin{eqnarray} x^3-x^2+x+1 &>& 2 \\ x^3-x^2+x+1 -2 &>& 0 \\ x^3-x^2+x-1 &>& 0 \end{eqnarray}

Resolver a inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$ é o mesmo que resolver a inequação $x^3-x^2+x-1 > 0$. Vamos começar fatorando o polinômio $x^3-x^2+x-1$. Observe que $1$ é uma raiz desse polinômio, pois $1^3-1^2+1-1 = 0$. Logo, o polinômio $x^3-x^2+x-1$ é divisível pelo polinômio $x-1$. Fazendo essa divisão, temos:

Assim, obtemos

$$x^3-x^2+x-1 = (x-1)(x^2+1)$$

A fatoração obtida acima está completa, pois o polinômio $x^2+1$ é irredutível, isto é, não pode ser mais fatorado, visto que ele possui $\Delta = -4 < 0$. Além disso, como $a=1$ nesse polinômio, ele é sempre positivo para qualquer valor de $x$. Logo, a análise de sinal desse fator já está feita. Agora, para o fator $x-1$, temos 

\begin{eqnarray} x-1 &<& 0 \\ x &<& 1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 &>& 0 \\ x &>& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 &=& 0 \\ x &=& 1, \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^3-x^2+x-1$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^3-x^2+x-1 > 0$) é o conjunto $S_1 = (1, +\infty)$.

Resolvendo a inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$:

Reescrevendo essa inequação, temos:

\begin{eqnarray} x^3-x^2+x+1 &<& -2 \\ x^3-x^2+x+1 + 2 &<& 0 \\ x^3-x^2+x+3 &<& 0 \end{eqnarray}

Assim, resolver a inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$ é o mesmo que resolver a inequação $x^3-x^2+x+3 < 0$. Observe que $-1$ é raiz do polinômio $x^3-x^2+x+3$, pois $(-1)^3 - (-1)^2+(-1)+3 = -1 -1 -1 +3 = 0$. Desse modo, o polinômio $x^3-x^2+x+3$ é divisível por $x+1$. Fazendo essa divisão, obtemos

Logo, 

$$x^3-x^2+x+3 = (x+1)(x^2-2x+3).$$

O fator $x^2-2x+3$ acima é irredutível, pois ele possui  $\Delta = -8 < 0$. Além disso, ele possui $a = 1 > 0$, o que faz com esse polinômio seja positivo para qualquer $x$. Logo, a fatoração do polinômio $x^3-x^2+x+3$ está completa e análise de sinal de $x^2-2x+3$ está feita. Para o fator $x+1$, temos

\begin{eqnarray} x+1 &<& 0 \\ x &<& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 &>& 0 \\ x &>& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 &=& 0 \\ x &=& -1, \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^3-x^2+x+3$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^3-x^2+x+3 < 0$) é o conjunto $S_2 = (-\infty, -1)$.

Estamos quase acabando! A solução da inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$ é a união de $S_1$ com $S_2$. Fazendo isso por meio do seguinte diagrama, temos:

Portanto, o conjunto solução da inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$ é $S = (-\infty,-1) \cup (1,+\infty)$. 

Exemplos em vídeo:

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Equações Algébricas #2: Equações polinomiais

Na postagem anterior vimos o que são equações, o que são soluções de uma equação e alguns tipos importantes de equações. Dentre esses tipos de equações que vimos, estão as equações polinomiais. São equações desse tipo que serão tratadas nessa postagem, veremos como encontrar as soluções dessas equações. Já estudamos os polinômios em algumas postagens aqui do blog e vamos aproveitá-las nessa postagem, ou seja, vamos recuperar algumas postagens sobre polinômios que nos fornecem formas de encontrar as soluções de uma equação polinômial. Nessa série de postagens sobre equações, vamos tratar apenas de equações com soluções no conjunto dos números reais. Vamos lá!

Equações polinomiais

Vamos relembrar o que é uma equação polinomial.

Toda equação que pode ser escrita na forma

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 = 0$$

onde $x$ é incógnita, $a_n$, $\dots$, $a_0$ são números reais e $n$ é um número natural são chamadas equações polinomiais (elas podem ser escritas como um polinômio igual a zero).

Vejamos alguns exemplos.

1. $x^2+3x-1 = 0$

2. $x^5-\displaystyle\frac{x^3}{2}-x-1=0$

3. $\sqrt{3}x^4-x^3+2x^2+4x-8=0$

Essas três equações dos exemplos anteriores são claramente equações polinomiais, pois estão exatamente na forma da definição de equação polinomial dada acima. Porém, nem todas as equações polinômiais aparecem dessa forma, já organizada. Ás vezes, elas podem aparecer "desorganizadas" como nos exemplos a seguir.

4. $x(x^2+1)-3x(x-2)=x^2-5(x+10)$ 

5. $-3x^2(x-1)+x=10-x$

6. $2x^2+x[1+x(x+1)]-8=x^2(x+5x^3)$

Mesmo elas estando "desorganizadas" não é difícil ver que são equações polinomiais.  Basta você olhar a incóginita, se ela não possuir potência negativa e nem fracionária, não estar dentro de uma raiz e não estar na parte debaixo de um quociente, então a equação é uma equação polinomial. Essa forma organizida do polinômio na definição de equação polinomial (na forma que estão os exemplos 1, 2 e 3) também é chamada de forma padrão do polinômio.

Se uma equação polinomial está escrita como na definição de equação polinomial (um polinômio na forma padrão igual a zero), então ela está pronta para ser resolvida. Mas se uma equação polinomial não está escrita dessa forma, ela precisa ser reescrita como na definição para ser resolvida. Por isso, antes de vermos métodos para resolver (encontrar as soluções) de equações polinomiais, vamos ver o que podemos fazer para transformar uma equação polinomial desorganizada em uma equação polinomial escrita como um polinômio na forma padrão igual a zero.

As propriedades que podemos usar para colocar uma equação polinomial na forma de um polinômio na forma padrão igual a zero são as seguintes.

Propriedades da igualdade

Sejam $a,b$ e $c$ números reais quaisquer. Então valem:

(i) Se $a=b$, então $a \pm c = b \pm c$. Essa propriedade nos diz que, em uma equação, sempre podemos somar ou subtrair o mesmo número em ambos os membros da equação, que a igualdade permenace.

(ii) Se $a = b$, então $ac=bc$. Essa propriedade nos diz que, em uma equação, sempre podemos multiplicar ambos os membros pelo mesmo número que a igualde não se altera.

(iii) Se $a = b$ e $c \neq 0$, então $\displaystyle\frac{a}{c} = \displaystyle\frac{b}{c}$. Essa propriedade nos diz que, em uma equação, sempre podemos dividir ambos os membros pelo mesmo número, se ele for diferente de zero, que a igualde não se altera.

Propriedade operacionais

Sejam $a,b$ e $c$ números reais quaisquer. Então vale: 

(i) $a+b = b+a$. Sempre podemos trocar a ordem das parcelas, que a soma não se altera (propriedade comutativa da adição).

(ii) $ab=ba$. A ordem dos fatores, não altera o produto (propriedade comutativa da multiplicação).

(iii) $a(b+c) = ab+ac$ e $(a+b)c = ac+bc$. Essa é a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

Nessa última propriedade é sempre importante lembrar do jogo de sinais.

Propriedades de potenciação:

Sejam $m,n \in \mathbb{N}$ e $a,b \in \mathbb{R}$. Temos

(i) $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

(ii) $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

(iii) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n = \displaystyle\frac{a^n}{b^n}$ se $b \neq 0$

(iv) $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Outra coisa importante que vamos usar para reescrever uma equação polinomial com um polinômio na forma padrão igual a zero é a soma e a subtração de termos semelhantes. Os termos semelhantes são aqueles que são formados por um número multiplicando uma mesma potência de $x$ (no nosso caso, pois estamos abordando equações com somente uma incóginta). Para somar e subtrair esses termos semelhantes, basta fazer essas operações com os números que estão multiplicando a potência da incógnita e multiplicar o resultado pela potência da incóginita (veja mais detalhes sobre termos semelhantes aqui). 

Como exemplos, vamos reescrever as equações dos exemplos 4, 5 e 6 na forma de um polinômio igual a zero.

7. Reescreva a equação polinomial $x(x^2+1)-3x(x-2)=x^2-5(x+10)$ com o polinômio na forma padrão.

Solução: Vamos resolver esse exemplo detalhadamente. Uma das primeiras coisas que devemos fazer para reescrever equações desorganizadas desse jeito é eliminar os parênteses (ou colchetes ou chaves). Para isso, no primeiro e segundo membros da equação, temos que usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Vamos ter

\begin{eqnarray} x(x^2+1)-3x(x-2) &=& x^2-5(x+10) \\ xx^2+x 1-3xx+3x2 &=& x^2-5x+5 \cdot 10\end{eqnarray}

Na segunda linha das contas que fizemos acima, temos multiplicações de números e de potências de $x$. Para fazer essas multiplicações das potências de $x$, vamos usar a propriedade (i) da potenciação. Temos,

\begin{eqnarray} xx^2+x 1-3xx+3x2 &=& x^2-5x+5 \cdot 10 \\ x^3 + x + 6x &=& x^2-5x+50\end{eqnarray}

Para continuarmos a reescrever essa equação, vamos fazer as operações entre os termos semelhantes em cada membro da equação. Temos,

\begin{eqnarray} x^3 \underbrace{+x + 6x}_{termos \; semelhantes} &=& x^2-5x+50 \\ x^3+7x &=& x^2 - 5x + 50\end{eqnarray}

O próximo passo é fazer com que o segundo membro da equação fique igual a zero. Nessa equação, o segundo membro é  $x^2 - 5x + 50$. Para que esse membro fique igual a zero, devemos subtrair $x^2$ dos dois membros da equação, depois somar $5x$ nos dois membros da equação e, por fim, subtrair $50$ dos dois membros da equação. Conforme a propriedade (i) da igualdade, isso não altera a equação. Assim, temos

\begin{eqnarray}  x^3+7x &=& x^2 - 5x + 50 \\  x^3+7x -x^2 &=& x^2 - 5x + 50-x^2 \\ x^3+7x -x^2 &=& - 5x + 50 \\ x^3+7x -x^2+5x &=& - 5x + 50 +5x \\ x^3+7x -x^2+5x  &=&  50 \\ x^3+7x -x^2+5x - 50 &=&  50 -50 \\ x^3+7x -x^2+5x - 50 &=&  0  \end{eqnarray}

Perceba que, esse passos que demos acima foram como se fosse passar os termos do segundo membro para o primeiro membro com o sinal trocado, e é isso mesmo que podemos fazer. Por fim, vamos fazer as operações entre os termos semelhantes que ficaram no primeiro membro da equação. Temos,

\begin{eqnarray} x^3+7x -x^2+5x - 50 &=&  0  \\  x^3 -x^2+12x - 50 &=&  0 \end{eqnarray}

Portanto, a equação do enunciado do exemplo pode ser reescrita na forma $x^3 -x^2+12x - 50 =  0$.

Outras propriedades que foram usadas aqui, foram a comutatividada de adição de da multiplicação.

Vamos seguir com os outros exemplos, usando as mesmas propriedades, mas sem fazer de forma detalhada.

8.  Reescreva a equação polinomial $-3x^2(x-1)+x=10-x$ com o polinômio na forma padrão.

Solução: Essa equação é mais simples que a anterior. Vejamos, 

\begin{eqnarray} -3x^2(x-1)+x &=& 10-x \\ -3x^2x+3x^21 + x &=& 10-x \\ -3x^3+3x^2 +x &=& 10-x \\ -3x^3+3x^2+x+x-10 &=& 0 \\ -3x^3+3x^2+2x-10 &=& 0 \end{eqnarray}

Portanto, a equação do enunciado pode ser escrita na forma $-3x^3+3x^2+2x-10 = 0$.

9. Reescreva a equação polinomial $2x^2+x[1+x(x+1)]-8=x^2(x+5x^3)$ com o polinômio na forma padrão.

Solução: Nesse exemplo temos parênteses dentro de conchetes e precisamos eliminar os dois. Mas não há segredos para fazer isso, é só começar sempre de dentro para fora e sempre fique atento ao jogo de sinais. Temos,

\begin{eqnarray} 2x^2+x[1+x(x+1)]-8 &=& x^2(x+5x^3) \\ 2x^2+x[1+xx+x1]-8 &=& x^2x+x^25x^3 \\ 2x^2+x[1+x^2+x]-8 &=& x^3+5x^5 \\ 2x^2+x1+xx^2+xx -8 &=& x^3+5x^5 \\ 2x^2+x+x^3+x^2-8 &=& x^3+5x^5 \\ x^3 + 3x^2 + x - 8 &=& x^3+5x^5 \\ x^3 + 3x^2+ x - 8 - x^3 - 5x^5 &=& 0 \\ -5x^5+3x^2+x-8 &=& 0  \end{eqnarray}

Portanto, a equação do enunciado pode ser reescrita na forma $-5x^5+3x^2+x-8 = 0$.

Agora que sabemos como tranformar uma equação desorganizada em uma equação "organizada", podemos pensar em como resolver essas equações. Bom, antes de apresentarmos métodos e fórmulas para resolver uma equação polinomial, precisamos lembrar de um objeto importante relacionado aos polinômios, o grau de um polinômio. O grau de um poliômio é igual ao maior expoente da incógnita que aparece no polinômo, por exemplo, $x^3 -x^2+12x - 50 $ possui grau $3$ e $-5x^5+3x^2+x-8$ possui grau $5$. Identificar o grau de um polinômio é importante pois é ele que vai nos dizer qual método ou fórmula vamos usar para resolver a equação polinomial (veja mais detalhes sobre o grau de um polinômio aqui). Vamos ver os métodos usados para resolver cada equação polinomial dependendo do grau do polinômio que aparece na equação.

Métodos e fórmulas para resolver equações polinômiais

I. Se o polinômio da equação polinomial possui grau $1$, isto é, a equação está na forma $ax+b=0$ com $a \neq 0$, essa equação é chamada equação do 1º grau. Alguns exemplos desse tipo de equação são:

1. $x+1 = 0$

2. $-4x+ \displaystyle\frac{5}{4}=0$

3. $\sqrt{3}x+4=0$

 Para resolver equações desse tipo veja a postagem Polinômios #8 - Raiz de polinômios de grau 1 (equação do primeiro grau).

II. Se o polinômio da equação polinomial possui grau $2$, isto é, a equação está na forma $ax^2+bx+c=0$ com $a \neq 0$, essa equação é chamada equação do 2º grau. Alguns exemplos desse tipo de equação são:

1. $x^2+x+1 = 0$

2. $-5x^2-3x+ \displaystyle\frac{1}{4}=0$

3. $\displaystyle\frac{x^2}{2}+3x-\sqrt{2}=0$

 Para resolver equações desse tipo veja a postagem Polinômios #9: Raízes reais de polinômios de grau 2 (equação do segundo grau).

III. Se o polinômio da equação polinomial possui grau maoir ou igual a $3$, dizemos que a equação é do 3º grau, 4º grau e assim sucessivamente. Alguns exemplos desses tipos de equação são:

1. $x^3+3x^2+1 = 0$ (3º grau)

2. $-5x^4-3x^3+ \displaystyle\frac{x^2}{4}-x-1=0$ (4º grau)

3. $\displaystyle\frac{x^5}{4}+3x^2-\sqrt{2}=0$ (5º grau)

Quando as equações são do 3º ou 4º graus, até existem fórmulas para resolver essas equações, porém elas são bem complicadas e não muito eficientes. Elas estão nas seguintes postagens

Polinômios #10: Uma fórmula para determinar uma raiz de um polinômio de grau 3 - Fórmula de Tartaglia

Polinômios #11: Raízes de polinômios de grau 4 - Fórmula de Ferrari

Para equações com polinômios com graus maiores ou iguais a $3$ existem outros métodos mais eficientes para determinarmos as soluções. Uma das formas muito importantes para resolver essas equações é usando o Teorema das Raízes Racionais que você pode encontrar na postagem Polinômios #13 - O Teorema das Raízes Racionais. 

Outra método muito importante usado para  resolver equações polinomiais com polinômios de grau maior ou igual a $3$ é a fatoração de polinômios. Você pode ver mais detalhes sobra a fatoração de polinômios na postagem Polinômios #15: Fatoração de polinômios.

Compreendendo bem o conteúdo dessa postagem (que é bastante coisa) você, com certeza, estará muito bem preparado para resolver equações polinomiais.

Resumo da postagem em vídeo:

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Polinômios #15: Fatoração de polinômios

Nessa série de postagens sobre polinômios, dentre outras coisas, estudamos as operações entre polinômios, o que são raízes de polinômios, algumas formas de obter raízes de polinômios e polinômios irredutíveis. Com esses tópicos bem compreendidos, podemos avançar nosso estudo sobre polinômios e começar a tratar da fatoração de polinômios. Nessa postagem estudaremos o que é a fatoração de um polinômio, quando ela pode ser feita e também veremos, por meio de exemplos, algumas maneiras de fatorar um polinômio. Uma das consequência de se fatorar um polinômio é obter todas as suas raízes, então podemos dizer que obter a fatoraração um polinômio é uma forma de obter todas as suas raízes e isso é muito útil. Faremos isso considerando todos os polinômios sobre $\mathbb{R}$. Vamos lá!

Fatoração de polinômios

Primeiramente vamos entender o que é a fatorar um polinômio e também o que é a fatoração um polinômio. 

Fatorar um polinômio $p(x)$ é o processo de escrever esse polinômio como um produto de fatores, ou seja, é o processo de escrever $p(x)$ como um produto de outros polinômios. Cada polinômio desse produto é chamado de fator. A fatoração de um polinômio $p(x)$ é este polinômio escrito como um produto de fatores, isto é, quando se fatora um polinômio $p(x)$, se escreve este polinômio como produto de outros polinômios, este produto de polinômios é chamado fatoração do polinômio $p(x)$.

Podemos considerar dois tipos de fatoração, a fatoração completa e a fatoração incompleta. Uma fatoração de um polinômio $p(x)$ onde todos os fatores são polinômios irredutíveis é chamada fatoração completa de $p(x)$. Caso contrário, a fatoração é chamada fatoração incompleta. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

1. Podemos escrever o polinômio $p(x) = 3x^3-7x^2-7x+3$ da seguinte maneira

$$3x^3-7x^2-7x+3 = (3x-1)(x+1)(x-3).$$

Essa é uma fatoração do polinômio $p(x)$. Observe que os fatores nessa fatoração são polinômios de grau $1$, ou seja, todos os fatores na fatoração de $p(x)$ são polinômios irredutíveis. Logo essa é uma fatoração completa de $p(x)$.

2. O polinômio $f(x) = 2x^4-2x^2-3x^3+3x$ pode ser escrito na seguinte forma

$$2x^4-2x^2-3x^3+3x = x(2x-3)(x^2-1).$$

Nessa fatoração do polinômio $f(x)$ um dos fatores é o polinômio $x^2-1$ que não é irredutível, pois ele pode ser escrito como $x^2-1 = (x+1)(x-1)$. Logo, a fatoração apresentada acima não é uma fatoração completa do polinômio $f(x)$.

Observação 1: Quando se trata de fatoração de polinômios, os produtos notáveis podem ser muito úteis, vamos lembrá-los

$$(x+a)^2 = x^2+2ax+a^2;$$

$$(x-a)^2 = x^2-2ax+a^2.$$

Além deles, a diferença de quadrados também é muito útil, que é

$$x^2-a^2 = (x+a)(x-a).$$

Note que os dois produtos notáveis e a diferença de quadrados acima são fatorações de polinômios. No exemplo 2 foi usada a diferença de quadrados para escrever $x^2-1=(x+1)(x-1)$ e justificar que a fatoração de $f(x)$ é incompleta.

Por meio desse dois exemplos percebemos que polinômios podem ser fatorados, mas podemos nos perguntar o seguinte: Sempre podemos fatorar um polinômio? O teorema a seguir tem a resposta para essa pergunta.

Teorema: Seja $f(x)$ um polinômio sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{C}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{R}$). Então, existem polinômios irredutíveis $p_1(x)$, $p_2(x)$, $\dots$, $p_n(x)$ sobre $\mathbb{K}$ tais que

$$f(x) = p_1(x) \cdot p_2(x) \cdot \dots \cdot p_n(x).$$

O que o teorema acima nos diz é, qualquer polinômio sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, possui uma fatoração completa, ou seja, qualquer polinômio sobre esses conjuntos pode ser fatorado. Apesar dessa informação ser muito importante (a existência da fatoração de qualquer polinômio sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), o teorema acima não trás consigo nenhuma informação ou método para fatorar um polinômio. Assim, dado um polinômio $p(x)$, para obtermos a fatoração desse polinômio vamos precisar aplicar tudo o que sabemos sobre raízes de polinômio, sobre métodos para encontrar raízes de polinômios e sobre polinômios irredutíveis. Em geral, não é fácil fatorar um polinômio. Por esse motivo, a seguir veremos alguns exemplos de como podemos fatorar um polinômio com algumas ideias que você pode usar sempre que precisar fatorar um polinômio.

Exemplos:

Nos exemplos a seguir, todos os polinômios serão considerados sobre $\mathbb{R}$.

1. Fatore o polinômio $p(x) = 2x^2+5x-3$.

Solução: Temos que fatorar um polinômio de grau $2$. Como vimos na postagem anterior, esse polinômio pode ser irredutível e, se ele for, não é possivel fatorá-lo. Para verificar se um polinômio de grau $2$ sobre $\mathbb{R}$ é irredutível, precisamos calcular o $\Delta$. Nesse polinômio temos $a=2$, $b=5$ e $c=-3$ e, desse modo

$$\Delta = b^2-4ac = 5^2-4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25+24=49.$$

Como $\Delta > 0$, temos que esse polinômio é reditível e, assim, é possível fatorá-lo. Temos algumas formas de fatorar o polinômio $p(x)$. Vamos fazer aqui da maneira "mais difícil" e depois vamos ver forma mais fáceis de fatorar esse polinômio. Vamos primeiramente calcular as raízes desse polinômio. Observe que já calculamos $\Delta$, então, vamos usar a segunda parte da fórmula de Bhaskara para calcular as raízes de $p(x)$. Temos,

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}.$$

Desse modo, as raízes de $p(x)$ são $\displaystyle\frac{1}{2}$ e $-3$. Pelo que vimos na postagem #6, $p(x)$ é divisível por $x+3$ e  por $x - \displaystyle\frac{1}{2}$. Para evitar frações, vamos dividir $p(x)$ por $x-3$ e vamos encontrar o outro fator da fatoração de $p(x)$. Temos,

Pontanto $p(x) = (x+3)(2x-1)$. Essa é a fatoração de $p(x)$.

Fiz o exemplo acima da maneira "mais difícil" por que essa maneira sempre funciona para polinômios redutíveis de grau $2$.  Antes de fazermos uma observação com a maneira mais fácil de fatorar um polinômio (redutível) de grau $2$, veremos uma definição.

Definição: Conside um polinômio $f(x)$ sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. O polinômio $f(x)$ é chamado mônico ou unitário se o coeficiente dominante de $p(x)$ for igual a $1$.

Os polinômios $g(x) = x^2-3x-1$ e $h(x) = x^4-2x^3+1$ são exemplos de polinômios mônicos enquanto $r(x) = 2x^3-4x+1$ não é mônico.

Observação 2: Se $f(x)$ é um polinômio mônico de grau $2$, ou seja, se ele possui a forma $p(x) = x^2-a_1x+a_0$ e $\alpha$ e $\beta$ são as suas raízes, então $f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$. Se $\alpha = \beta$, vamos ter o caso do produto notável $f(x) = (x-\alpha)^2$.

Por exemplo, $f(x) = x^2-3x+2$ possui por raízes os números $1$ e $2$ (para verificar isso, podemos usar soma e produto). Desse modo podemos escrever $f(x)$ na forma 

$$f(x) = (x-1)(x-2).$$

Mesmo se o polinômio não for mônico, ainda podemos usar o raciocínio acima. No exemplo 1, temos o polinômio $p(x)=2x^2+5x-3$ que não é mônico. Nesse caso, colocamos o coeficiente dominante em evidência, assim vamos ter,

$$p(x) = 2\left(x^2+\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}\right).$$

Agora, aplicamos o raciocínio anterior ao polinômio $x^2+\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}$ que é mônico. As raízes desse polinômio são $-3$ e $\displaystyle\frac{1}{2}$ (já as calculamos no exemplo 1). Assim, o polinômio $p(x)$ pode ser escrito na forma

$$p(x) = 2\left(x^2+\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}\right) = 2(x+3)\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right).$$

a qual também é uma fatoração de $p(x)$.

Logo, para fatorar um polinômio (redutível) de grau $2$, se você não quiser fazer uma divisão de polinômios como no exemplo 1, basta conhecer suas raízes e usar o raciocínio da observação 2.

De um modo geral, se um polinômio $f(x)$ tem grau $n$, é mônico e possui $n$ raízes $r_1$, $\dots$, $r_n$, então o polinômio $f(x)$ pode ser escrito na forma

$$f(x) = (x-r_1)(x-r_2) \cdots (x-r_n).$$

Vamos continuar com os exemplos.

2. Fatore completamente o polinômio $p(x) = x^3+2x^2+x-4$.

Solução: Vamos começar tentando  determinar alguma raiz do polinômio $p(x)$. Pelo Teorema das Raízes Racionais, temos que $\pm 1$, $\pm 2$ e $\pm 4$ são possíveis raízes de $p(x)$. Para verificar se, de fato, algum desses números é uma raíz de $p(x)$, devemos testá-los. Temos

\begin{eqnarray} p(1) &=& 1^3+2 \cdot 1^2 + 1 - 4 \\ &=& 1 + 2+1 - 4 = 0.\end{eqnarray}

Que sorte a nossa! O primeiro número testado já é uma raiz. Bom, poderíamos testar as outras possibilidades para saber se entre elas temos outras raízes, mas não vamos fazer isso. Por que? Como sabemos que $1$ é raiz, então $x-1$ divide $p(x)$. Fazendo essa divisão, vamos encontrar um polinômio $q(x)$ de grau $2$ tal que $p(x) = (x-1)q(x)$ ($q(x)$ terá grau $2$ pois $gr(p(x)) = gr(x-1)+gr(q(x))$, ou seja, $3=1+gr(q(x))$). Assim, para continuar fatorando o polinômio $p(x)$, basta fatorar $q(x)$ que é um polinômio de grau $2$, os quais sabemos bem como fatorar. Dividindo $p(x)$ por $x-1$, temos

Logo, $p(x) = (x-1)(x^2+3x+4)$. Uma fatoração completa é uma fatoração onde todos os fatores são irredutíveis. Assim, para continuar a fatoração de $p(x)$ devemos verificar se $x^2+3x+4$ é irredutível. Se ele for, a fatoração acima já é a que estamos procurardo e, se ele não for, vamos ter que fatorar o polinômio $x^2+3x+4$. Para esse polinômio, temos $a=1$, $b=3$ e $c=4$. Assim, 

$$\Delta = b^2-4ac = 3^2-4 \cdot 1 \cdot 4 = 9-16=-7.$$

Como $\Delta < 0$, o polinômio $x^2+3x+4$ é irredutível e a fatoração $p(x) = (x-1)(x^2+3x+4)$ de $p(x)$ é uma fatoração completa.

Antes do próximo exemplo, temos outra observação importante.

Observação 3: Considere $f(x)$ um polinômio qualquer. Se a somas dos seus coeficientes for igual a $0$, então o número $1$ é raiz de $p(x)$.

Essa observação poderia ser usada para calcular a raiz de $p(x)$ do exemplo 2. Sempre que for calcular as raízes de um polinômio, sempre verifique se a soma de seus seus coeficientes é igual a $0$, pois se for, já terá o número $1$ como raiz desse polinômio.

Vamos para o próximo exemplo.

3. Determine a fatoração completa do polinômio $p(x) = x^3-7x-6$.

Solução: Os coeficientes do polinômio $p(x)$ são $1$, $-7$ e $-6$ e, como $1-7-6 = -12 \neq 0$, segue que $1$ não é raiz de $p(x)$. Vamos aplicar nesse polinômio o Teorema das Raízes Racionais. Por esse teorema, as possibilidades de raízes de $p(x)$ são $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$ e $\pm 6$. Como $1$ não é raiz de $p(x)$, vamos começar a testar as possibilidades de raízes pelo $-1$. Temos,

$$p(-1) = (-1)^3-7 \cdot (-1)-6 = -1+7-6=0.$$

Já encontramos uma raiz de $p(x)$, o $-1$. Assim, $p(x)$ é divisível por $x+1$. Fazendo a divisão, temos

 

Logo, $p(x) = (x+1)(x^2-x-6)$. Para continuar a fatoração de $p(x)$, vamos fatorar $x^2-x-6$. Usando soma e produto, temos que este polinômio possui as raízes $-2$ e $3$ (ele é redutível). Desse modo, como $x^2-x-6$ é mônico, segue que $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$. Portanto, a fatoração completa de $p(x)$ é $p(x)= (x+1)(x+2)(x-3)$.

4. Encontre a fatoração completa do polinômio $p(x) = x^4+3x^3+3x^2+3x+2$.

Solução: Claramante, $1$ não raiz do polinômio $p(x)$. Como esse polinômio possui grau $4$, vamos novamente usar o Teorema das Raízes  Racionais. Desse modo, as possibilidade de raízes são $\pm 1$ e $\pm 2$. Como já sabemos que $1$ não é raiz, vamos prosseguir testando o $-1$. Temos,

\begin{eqnarray} p(-1) &=& (-1)^4+3 \cdot (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2  + 3 \cdot (-1) + 1 \\ &=& 1 -3+3-3+2 = 0. \end{eqnarray}

Logo, $-1$ é raiz de $p(x)$. Vamos agora dividir $p(x)$ por $x+1$. Temos

Logo, $p(x) = (x+1)(x^3+2x^2+x+2)$. Agora temos que continuar fatorando o polinômio $q(x) = x^3+2x^2+x+2$. Vamos novamente aplicar o Teorema das raízes racionais nesse polinômio. Desse modo, suas possíveis raízes são $\pm 1$ e $\pm 2$. E fácil ver que $1$ não é raiz. Assim, vamos  testar as outras posibilidades. Temos

\begin{eqnarray} q(-1) &=& (-1)^3+2 \cdot (-1)^2 + (-1)+2 \\ &=& -1 + 2- 1 +2 = 2 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} q(2) &=& 2^3+2 \cdot 2^2 + 2 +2 \\ &=& 8 + 8 + 2 +2 = 20 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} q(-2) &=& (-2)^3+2 \cdot (-2)^2 + (-2)+2 \\ &=& -8 + 8- 2 +2 = 0 \end{eqnarray}

Logo, $-2$ é raiz de $q(x)$ e $q(x)$ é divisível por $x+2$. Fazendo a divisão, temos

 

Assim, $q(x) = (x+2)(x^2+1)$. Escrevendo $q(x)$ dessa forma, temos que $p(x) = (x+1)(x+2)(x^2+1)$. Observe que $x^2+1$ é irredutível, pois esse polinômio possui $\Delta = -4 < 0$. Logo, $p(x) = (x+1)(x+2)(x^2+1)$ é uma fatoração completa.

5. Determine a fatoração completa do polinômio $p(x) = x^4+2x^3+2x^2$.

Solução: Vamos fazer esse exemplo de uma forma diferente. Antes de tentar usar o Teorema das Raízes Racionais, podemos tentar reescrever o polinômio já determinando a sua forma fatorada. Observe que podemos colocar o $x^2$ em evidência no polinômio $p(x)$ e, assim, temos

$$p(x) = x^2(x^2 + 2x+ 1).$$

Agora, observe que $x^2+2x+1 = (x+1)^2$, logo

$$p(x) = x^2(x+1)^2.$$

Essa é a fatoração completa de $p(x)$, pois é um produto de polinômio de grau $1$ ($p(x) = x x (x+1)(x+1)$). 

Então, antes de pensar um uma conta mais complicada ou uma forma mais complexa de fatorar um polinômio, tente reescrevê-lo em forma de produto colocando algum termo em evidência. Isso pode simplificar bastate o processo de fatorar um polinômio.

Vamos usar esse mesmo raciocínio no próximo exemplo (um pouco mais complicado).

6. Fatore completamente o polinômio $p(x) = x^5-x^4-5x^3+5x^2+4x-4$.

Solução: Podemos reescrever esse polinômio na seguinte forma

\begin{eqnarray} x^5-x^4-5x^3+5x^2+4x-4 &=& x^5-x^4-x^3+x^2 - 4x^3+4x^2+4x-4 \\ &=&  x^2(x^3-x^2-x+1) -4(x^3-x^2-x+1) \\ &=& (x^2-4)(x^3-x^2-x+1) \\ &=& (x^2-4)(x^3-2x^2+x+x^2-2x+1) \\ &=& (x^2-4)(x(x^2-2x+1) + (x^2-2x+1)) \\ &=& (x^2-4)(x+1)(x^2-2x+1) \\ &=& (x^2-4)(x+1)(x-1)^2 \\ &=& (x-2)(x+2)(x+1)(x-1)^2  \end{eqnarray}

Logo, a fatoração de completa de $p(x)$ é 

$$p(x) = (x-2)(x+2)(x+1)(x-1)^2.$$

Raramente a ideia utilizada no exemplo 6 é fácil de  ser aplicada, mas é uma tentativa a ser considerada.

Esses 6 exemplos contém ideias para fatorar polinômios que são muito úteis. Se você estudar esses exemplos e aplicar as mesmas ideias a outros polinômio, a chance de você conseguir fatorá-lo é muito grande.

Por último, um exemplo em vídeo:

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Polinômios #14: Polinômios redutíveis e irredutíveis

Já estamos na décima quarta postagem sobre poilnômios, mas ainda temos coisas importantes sobre polinômios para abordar. Nessa postagem vamos falar sobre o que é um polinômio redutível e o que é um polinômio irredutível. Esses conceitos estão diretamente relacionados com a fatoração de um polinômio (algo muito impotante e com muitas aplicações) e com a existência de raízes de um polinômio. Por esse motivo, se você quer aprofundar seus conhecimentos sobre polinômios e suas raízes, é bom que estude os conceitos abordados nessa postagem. Vamos lá!

Polinômios redutíveis e irredutíveis

A seguir está a definição de polinômio redutível e de polinômio irredutível.

Definição: Seja $p(x)$ um polinômio com coeficientes em $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$). O não constante $p(x)$ é dito redutível se existem outros polinômios $f(x)$ e $g(x)$, não nulos e não constantes, também com coefiecientes em $\mathbb{K}$, tais que $p(x) = f(x) \cdot g(x)$. Caso contrário, o polinômio $p(x)$ é dito irredutível, isto é, se $p(x) = f(x) \cdot g(x)$, então $f(x)$ é um polinômio constante ou $g(x)$ é um polinômio constante. 

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

1. O polinômio $p(x) = x^2-1$ é um polinômio redutível pois 

$$x^2-1 = (x+1)(x-1).$$

Temos que $x^2-1$ pode ser escrito como o produto de dois polinômios que não são constantes e, comparando esse exemplo com a definição anterior, temos $f(x) = x+1$ e $g(x) = x-1$.

2. O polinômio $h(x) = 2x^3-4x^2+6x+4$ é redutível pois 

$$2x^3-4x^2+6x+4 = (2x+1)(x^2-2x+4).$$

ou seja, o polinômio $h(x)$ é o produto dos polinômio $f(x) = 2x+1$ e $g(x) = x^2-2x+4$.

3. O polinômio $r(x) = x^2+1$ é irredutível se considerado sobre $\mathbb{R}$, isto é, não é possível escrever esse polinômio como produto de outros dois polinômios sobre $\mathbb{R}$ com os dois não constantes. De fato, se existissem $f(x)$ e $g(x)$, não constantes, tais que $r(x) = f(x) \cdot g(x)$, os graus de $f(x)$ e de $g(x)$ seriam iguais a $1$, visto que $gr(f(x))+gr(g(x))=gr(r(x)) = 2$. Todo polinômio de grau $1$ sobre $\mathbb{R}$ possui uma raiz sobre o conjunto no qual está definido, desse modo existiria $a \in \mathbb{R}$ tal que $f(a)=0$. Com isso, teríamos $r(a) = f(a) \cdot g(a) = 0 \cdot g(a) = 0$, ou seja, $r(x)$ teria uma raiz  real $a$, o que é uma contração pois $r(x)$ não possui raiz real. Logo, $r(x)$ é irredutível. Agora, se considermos $r(x)$ sobre $\mathbb{C}$ ele será redutível, pois temos

$$x^2+1 = (x+i)(x-i).$$

Esse exemplo mostra que o conjunto no qual o polinômio está definido faz diferença para ele ser redutível ou irredutível.

4. Esse exemplo, na verdade é um teorema, que diz o seguinte: Todo polinômio de grau $1$ sobre o conjunto $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$)  é irredutível. De fato, seja $p(x)$ um polinômio de grau $1$. Se $p(x)$ fosse redutível ele seria igual a um produto de dois polinômios $f(x)$ e $g(x)$ não constantes sobre $\mathbb{K}$. Sendo esses polinômios não constantes, segue que $gr(f(x)) \geq 1$ e $gr(g(x)) \geq 1$. Desse modo teríamos $gr(p(x)) = gr(f(x))+gr(g(x)) > 1$, o que não pode ocorrer, pois $gr(p(x))=1$. Portanto $p(x)$ é um polinômio irredutível.

Após vermos essa definição e os exemplos, podemos nos fazer as seguintes perguntas: Dado um polinômio qualquer, como saber se ele é irredutível ou não? Qual é a relação entre ser irredutível e a existência de raízes?

A seguir estão alguns resultados da Matemática que responderão a essas perguntas.

Teorema 1: Um polinômio sobre $\mathbb{C}$ é irredutível se, e somente se, possui grau $1$.

Esse teorema nos garante que não existem polinômios irredutíveis de grau maior que $1$ sobre $\mathbb{C}$. Em outras palavras, todo polinômio de grau maior que $1$ pode ser escrito como o produto de dois outros polinômios com os dois não constantes.

Agora, quando se trata de polinômios sobre $\mathbb{R}$, as coisas são diferentes.

Teorema 2: Seja $p(x)$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$ com grau maior ou igual a $2$. Se $p(x)$ possui uma raiz, então $p(x)$ não é irredutível.

É fácil de justificar esse teorema, basta lembrarmos que se $p(a) = 0$, isto é, se $a$ é uma raiz de $p(x)$, então $p(x) = (x-a)q(x)$ onde $q(x)$ é um polinômio sobre $\mathbb{R}$ e, como $p(x)$ tem grau maior ou igual a $2$, $q(x)$ possui grau maior ou igual a $1$, ou seja, não é constante. Logo $p(x)$ não é irredutível.

A recíproca do teorema anterior não é verdadeira, ou seja, não é verdade que, se um polinômio não é irredutível então ele possui uma raiz. Um contraexemplo para isso pode ser o polinômio $p(x)= x^4+1$. Esse polinômio não é irredutível, pois

$$x^4+1= \left(x^2+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}x+1\right)\left(x^2-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}x+1\right),$$

e ele não possui raiz em $\mathbb{R}$.

O próximo teorema trás uma condição para que um polinômio $p(x)$ seja irredutível sobre $\mathbb{R}$.

Teorema 3: Seja $p(x)$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. O polinômio $p(x)$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$ se, e somente se, $gr(p(x))=1$ ou $gr(p(x)) = 2$ com $\Delta < 0$.

Vamos ver alguns exemplos sobre como usar esses teoremas.

Exemplos:

5. O polinômio $p(x) = 2x-5$ é irredutível considerado sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ pois possui grau $1$, conforme o Teorema 1 e o Teorema 3.

6. O polinômio $f(x)=x^2-4x-1$ não é redutível sobre $\mathbb{C}$, pelo Teorema 1, pois tem grau maior que $1$.

7. O polinômio $f(x)=4x+3$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$, pelo Teorema 3, pois tem grau igual a $1$.

8. Verifique se o polinômio $g(x) = x^2-3x+1$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$.

Solução: De acordo com o Teorema 3, um polinômio de grau $2$, sobre $\mathbb{R}$, será irredutível se possui $\Delta < 0$. Assim, vamos verificar se $\Delta < 0$. No polinômio $g(x)$ temos $a=1$, $b=-3$ e $c=1$, desse modo

$$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 1 = 9-4=5.$$

Como $\Delta = 5 >0$, segue que esse polinômio é redutível.

9. Verifique se o polinômio $h(x) = 2x^2-x+3$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$.

Solução: Vamos usar novamente o Teorema 3. Vamos verificar se $\Delta < 0$. No polinômio $h(x)$ temos $a=2$, $b=-1$ e $c=3$. Assim,

$$\Delta = b^2-4ac = (-1)^2-4 \cdot 2 \cdot 3 = 1-24 = -23$$

Como $\Delta = -23 < 0$, segue que o polinômio $h(x)$ é irredutível.

10. Verifique se o polinômio $p(x) = x^5-10x^2+x+1$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$.

Solução: Podemos fazer isso de duas formas. A primeira delas é usando o Teorema 3. O Teorema 3 nos diz que os polinômios irredutíveis sobre $\mathbb{R}$ são aqueles que possuem grau $1$ ou grau $2$ com $\Delta  < 0$. Assim, como $p(x)$ possui grau $5$, segue que ele é redutível em $\mathbb{R}$.

A segunda forma de fazer esse exercício é usando o Teorema $2$. Observe que $p(x)$ possui grau ímpar, o que implica que $p(x)$ possui uma raiz real. Portanto $p(x)$ é redutível em $\mathbb{R}$.

11. Verifique se o polinômio $f(x) = x^6-x^5+3x^4-5x^3+x^2-x+1$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$.

Solução: Como o grau do polinômio $f(x)$ é igual a $6$, segue do Teorema 3, que este polinômio é redutível sobre $\mathbb{R}$.

Como você deve ter percebido, os teoremas que vimos nessa postagem nos dão critérios, sobre $\mathbb{C}$ e sobre $\mathbb{R}$ para classificar os polinômio em redutíveis e irredutíveis. Mas, no caso do polinômio ser redutível, ou seja, no caso dele poder ser escrito como o produto de outros dois polinômios não constantes, esses teoremas não nos dão nenhuma informação sobre esses polinômio e nem um método para encontrá-los. Dependendo do polinômio redutível, não é fácil encontrar dois polinômios não nulos de modo que o produto desses polinômios seja igual a ele.

Então para que serve saber se um polinômio é irredutível ou não? Isso é muito importante para algo chamado fatoração de polinômios. E o que é uma fatoração de um polinômio? Fatorar ou obter uma fatoração de um polinômio é escrever esse polinômio como produto de fatores onde esses fatores são polinômios não constantes. Se um polinômio é irredutível, então ele não pode ser fatorado, de acordo com a definição de polinômios irredutíveis. Se um polinômio é redutível, então ele pode ser fatorado. E qual é a vantagem de fatorar um polinômio? Posso citar algumas aplicações da fatoração de polinômios. Ela é usada para obter as raízes de um polinômio, para fazer o estudo de sinal de um polinômio, para fazer o esboço de um gráfico de um polinômio, para estudar máximos e mínimos de uma função polinomial, que é muito importante no Cálculo 1, e possui muitas aplicações também em Álgebra Linear. 

Agora que sabemos quando um polinômio pode ser fatorado, ou seja, quando ele for redutível, na próxima postagem vamos ver como fatorar um polinômio.

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Polinômios #7: Teorema do resto

Na postagem #5 vimos como fazer a divisão entre dois polinômios, uma operação que, apesar de parecer difícil, na verdade não é. Quando dividimos um polinômio $f(x)$ por um polinômio $g(x)$ obtemos um quociente $q(x)$ e um resto $r(x)$ tais que 

$f(x)  = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ onde $r(x) = 0$ ou $gr(r(x)) < gr(g(x))$.

onde $q(x)$ e $r(x)$ são únicos. Em geral, para determinar $r(x)$ em uma divisão de polinômios, é necessário fazer a conta de divisão mesmo, mas em um caso específico, podemos encontrar o resto da divisão entre dois polinômios sem fazer a conta de divisão. Interessante, não? Em alguns problemas de matemática isso pode ser muito útil, pois diminui consideravelmente a quantidade de cálculos. Esse caso específico de divisão é abordado por um teorema chamado Teorema do Resto. Bom, sem enrolações, vamos aprender o Teorema do Resto a ver quando podemos determinar o resto da divisão de dois polinômios sem fazer a divisão desses polinômios.

Teorema do Resto

No teorema a seguir, o conjunto $\mathbb{K}$ representa $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Teorema: (Teorema do Resto) Seja $f(x)$ um polinômio com coeficientes em $\mathbb{K}$. Dado $a \in \mathbb{K}$, o resto da divisão de $f(x)$ por $x-a$ é igua a $f(a)$.

O que o teorema do resto está dizendo é o seguinte: Quando você precisar dividir qualquer polinômio $f(x)$ por um outro polinômio que tenha exatamente a forma $x-a$, não é necessário fazer a divisão de $f(x)$ por $x-a$ para obter o resto $r(x)$, basta aplicar $f(x)$ em $a$ e você vai obter o resto da divisão, isto é, basta calcular $f(a)$ e você terá $r(x) = f(a)$ (um polinômio constante).

Vamos ver alguns exemplos de como aplicar esse teorema:

Exemplos:

1. Considere os polinômios $f(x) = 3x^4-x^3 - x^2 + 2x -4$ e $g(x) = x-2$. Determine o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$. 

Solução: Como sabemos agora, há duas formas de determinar o resto dessa divisão, podemos efetuar a divisão propriamente dita ou podemos usar o teorema do resto. Vamos fazer esse exemplo usando essas duas maneiras de resolver para compararmos os restos obtidos em cada uma delas para ver se realmente são iguais. Vejamos

Fazendo a divisão de $f(x)$ por $g(x)$: Fazendo a divisão de $f(x)$ por $g(x)$, obtemos

Pelas contas acima, obtemos $r(x) = 36$ como resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$.

Usando o Teorema do Resto: Para usar o teorema do resto devemos identificar quem é $a$. Como $g(x) = x-2$, comparando este polinômio com o enunciado do teorema do resto, obtemos $a=2$. Assim, o teorema do resto nos garante que o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$ é $f(2)$. Vamos calcular $f(2)$:

\begin{eqnarray} f(2) &=&  3\cdot 2^4-2^3 - 2^2 + 2 \cdot 2 -4 \\ &=& 3 \cdot 16 - 8 - 4 + 2 \cdot 2 - 4 \\ &=& 48 -8 - 4+4-4 \\ &=& 36 \end{eqnarray}

Viu só? Usando o teorema do resto obtivemos $r(x) = 36$, o mesmo resultado que obtivemos na divisão acima, mas com bem menos contas.

Lembre-se a partir de agora, se você tiver um polinômio qualquer $f(x)$ e precisar saber o resto da divisão desse polinômio por um outro polinômio na forma $x-a$, basta calcular $f(a)$, este será o resto da divisão de $f(x)$ por $x-a$. Vamos ver mais um exemplo.

2. Considere os polinômios $f(x) = x^5-x^3+2x^2+3$ e $g(x) = x+1$. Calcule o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$. 

Solução: Vamos fazer esse exemplo usando o Teorema do Resto. Observe que $g(x) = x+1$ e que, para usar o teorema do resto, o divisor deve estar na forma $x-a$. Assim, neste caso, temos $a = -1$ pois $x+1 = x-(-1)$. Logo, para calcular o resto dessa divisão devemos calcular $f(-1)$. Vejamos,

\begin{eqnarray} f(-1) &=& (-1)^5-(-1)^3+2 \cdot (-1)^2+3 \\ &=& -1 - (-1) + 2 \cdot 1 + 3 \\  &=& -1+1+2+3 = 5.\end{eqnarray}

Portanto, pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$ é $r(x) = 5$.

Quero reforçar aqui mais uma vez, o Teorema do Resto só pode ser aplicado se o divisor tiver a forma $g(x) = x-a$. Vamos fazer a seguir um contraexemplo, ou seja, um exemplo onde o Teorema do Resto não pode ser usado.

3. Considere os polinômios $f(x) = -2x^2+x+1$ e $g(x) = 3x-2$. Calcule o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$.

Solução: Como o divisor $g(x)$ não é da forma $x-a$, ou seja, ele possui o $3$ multiplicando o $x$, o Teorema do Resto não pode ser aplicado. Aqui, para calcular o resto, devemos fazer a divisão mesmo. Desse modo, 

Obtemos então como resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$ o polinômio $r(x) = \displaystyle\frac{7}{9}$.

Agora, vamos calcular $f(2)$.

\begin{eqnarray} f(2) &=& -2 \cdot 2^2 + 2 +1 \\ &=& -2 \cdot 4 +2 +1 \\ &=& -8+2+1 = -5. \end{eqnarray}

Temos que $f(2) = -5$ que é diferente do resto $r(x) = \displaystyle\frac{7}{9}$ que obtivemos anteriormente. Então, se  o divisor não tiver a forma $x-a$ exatamente, não use o Teorema do Resto, faça a divisão.

Deixei um bônus para o final da postagem, a demonstração do Teorema do Resto.

Demonstração do Teorema do Resto: Considere $f(x)$ um polinômio qualquer e $g(x) = x-a$, ambos com coeficientes em $\mathbb{K}$. Aplicando o Algoritmo da Divisão para os polinômios $f(x)$ e $g(x)$ vamos encontrar únicos $q(x)$ e $r(x)$ tais que 

$f(x) = (x-a) \cdot q(x) + r(x)$ com $r(x) = 0$ ou $gr(r(x)) < gr(x-a) = 1$.

Desse modo, o resto $r(x)$ é um polinômio constante. Agora, aplicando $f(x)$ em $a$, vamos ter

\begin{eqnarray} f(a) &=& (a-a) \cdot q(a) + r(a) \\ &=& 0 \cdot q(a) + r(a) \\ &=& r(a). \end{eqnarray}

Desse modo, concluímos que $r(a) = f(a)$. Como anteriormente já havíamos concluído que $r(x)$ é um polinômio constante, vamos ter que $r(x) = f(a)$ para todo $x \in \mathbb{K}$ pois, se ele é constante e conhecemos seu valor em $a$, esse deve ser o mesmo valor para todo $x$. Portanto $r(x) = f(a)$ e o teorema está demonstrado.

Exemplo em vídeo:

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Polinômios #6: Raízes de um polinômio

Nosso estudo sobre polinômios está avançando, já os definimos, sabemos como somar, subtrair, multiplicar e dividir polinômios e também sabemos o que é o grau de um polinômio. Apesar de já termos estudado tudo isso, ainda existem aspectos importantes sobre os polinômios a serem estudados. Seguindo então com o estudo de polinômios, nessa postagem vamos estudar o que é uma raiz de um polinômio e uma propriedade importante das raízes. Ainda não veremos métodos para encontrar raízes, vamos estudar essa questão nas próximas postagens, vamos entender bem o que é uma raiz para depois procurarmos por elas.

Raízes de um polinômio

Vamos começar definindo o que é uma raiz de um polinômio.

Definição: Seja $p(x)$ um polinômio com coeficientes em $\mathbb{K}$, isto é, sobre $\mathbb{K}$ (considere esse $\mathbb{K}$ como sendo $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Um número $a \in \mathbb{K}$ é chamado raiz do polinômio $p(x)$ se $p(a) = 0$.

Vejamos alguns exemplos de raízes de polinômios.

Exemplos:

1. Considere $p(x) = 3x+1$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. Temos que $x=-\displaystyle\frac{1}{3}$ é uma raiz de $p(x)$ pois 

$$p\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+1 = -1+1 = 0.$$ 

O número $2$ não é raiz de $p(x)$ pois $p(2) = 3 \cdot 2+1 = 7  \neq 0$.

2. O polinômio $f(x) = x^3+3x^2-4$ possui o número $1$ como raiz pois 

$$f(1) = 1^3+3\cdot1^2-4 = 1+3-4 = 0.$$

O número $-2$ também é raiz do polinômio $f(x)$,

$$f(-2) = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 - 4 = -8 +12 - 4 = 0.$$

Por outro lado, $x=3$ não é raiz de $f(x)$

$$f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 4 = 27 + 27 -4 = 50.$$

3. Os números $1$, $3$ e $4$ são raízes do polinômio 

$$h(x) = -3x^5+24x^4 - 60x^3 + 60x^2-57x+36.$$

De fato,

\begin{eqnarray} h(1) &=& -3 \cdot 1^5+24 \cdot 1^4 - 60 \cdot 1^3 + 60 \cdot 1^2-57 \cdot 1 + 36 \\ &=& -3+24-60+60 -57+36 = 0  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} h(3) &=& -3 \cdot 3^5+24 \cdot 3^4 - 60 \cdot 3^3 + 60 \cdot 3^2-57 \cdot 3 + 36 \\ &=& -3 \cdot 243+24 \cdot 81 -60 \cdot 27 +60 \cdot 9 -57 \cdot 3+36 \\ &=& -729 + 1944 - 1620+540-171 + 36 = 0  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} h(4) &=& -3 \cdot 4^5+24 \cdot 4^4 - 60 \cdot 4^3 + 60 \cdot 4^2-57 \cdot 4 + 36 \\ &=& -3 \cdot 1024+24 \cdot 256 -60 \cdot 64 +60 \cdot 16 -57 \cdot 4+36 \\ &=& -3072 + 6144 - 3840+960-228 + 36 = 0  \end{eqnarray}

Nos exemplos acima podemos ver que um polinômio pode ter mais de uma raiz. Mas, também existem polinômios que não possuem raízes.

4. Seja $g(x) = x^2 +1$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. É fácil ver que esse polinômio não possui raízes em $\mathbb{R}$. Observe que $x^2$ é sempre maior ou igual a $0$ qualquer que seja $x$ e, assim, ao somar $x^2$ com $1$, é impossível que essa soma resulte em zero para algum $x$.

Essa questão de um polinômio possuir ou não uma raiz não depende somente do polinômio propriamente dito mas também do conjunto no qual ele está definido ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

5. O polinômio $g(x) = x^2 +1$, do exemplo anterior, considerado sobre $\mathbb{C}$ possui raízes em $\mathbb{C}$. De fato,

$$g(i) = i^2 +1 = -1 +1 = 0 \mbox{ e}$$

$$g(-i) = (-i)^2 +1 = -1 +1 = 0.$$

Podemos ainda ter casos de polinômios com uma certa quantidade de raízes sobre $\mathbb{R}$ e outra quantidade de raízes em $\mathbb{C}$.

6. Considere o polinômio $f(x) = x^3 +4x$. Sobre $\mathbb{R}$, para $x = 0$, temos que 

$$f(0) = 0^3 + 4 \cdot 0 = 0$$

e essa é a única raiz de $f(x)$  em $\mathbb{R}$. Mas, quando consideramos $f(x)$ como um polinômio sobre $\mathbb{C}$, além de $0$, ele possui mais duas raízes, a saber, os números $2i$ e $-2i$. De fato,

$$f(2i) = (2i)^3+4 \cdot 2i = -8i + 8i = 0 \mbox{ e}$$

$$f(-2i) = (-2i)^3 + 8 \cdot (-2i) =  8i - 8i = 0.$$

Com esses exemplos, dado um polinômio, podemos perceber que ele pode ter nenhuma, uma ou mais raízes e isso ainda depende do conjunto no qual ele está definido. Dessa observação, podemos fazer a seguinte pergunta: Conhecendo o polinômio, tem como saber quantas raízes distintas ele vai ter? A resposta é: em geral, não. Mas podemos saber quantas raízes distintas ele vai ter, no máximo. O que é garantido pelo seguinte teorema.

Teorema: Seja $p(x)$ um polinômio definido sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$) que possui grau $n \geq 0$. Então $p(x)$ possui, no máximo, $n$ raízes distinhas em $\mathbb{K}$.

Vamos ver alguns exemplos:

7. O polinômio $p(x) = x^2 - 1$ sobre sobre $\mathbb{R}$ possui grau $2$, assim, pelo teorema anterior ele possui, no máximo, duas raízes distintas.

8. O polinômio $f(x) = x^5 - 3x^3 + 4x - 8$ sobre $\mathbb{R}$ possui, no máximo, $5$ raízes distintas pois seu grau é $5$.

9. O polinômio $g(x) = 3x^7-\sqrt{3}x^6 - x^2 + 1$ sobre $\mathbb{R}$ possui no máximo $7$ raízes distintas.

10. O polinômio $h(x) = -3x^4 + (1+i)x^3 - 4x$ sobre $\mathbb{C}$ possui, no máximo, $4$ raízes distintas.

Especificamente, a respeito de polinômios sobre $\mathbb{C}$, temos os seguintes teoremas

Teorema: Todo polinômio sobre $\mathbb{C}$ possui pelo menos uma raiz em $\mathbb{C}$.

Esse teorema mostra uma diferença importante entre polinômios sobre $\mathbb{R}$ e sobre $\mathbb{C}$. Como vimos no exemplo 4, nem todo polinômio sobre $\mathbb{R}$ possui raízes, mas, em $\mathbb{C}$ isso não ocorre.

Agora que sabemos o que é uma raiz e também quantas raízes, no máximo, um polinômio pode ter, vamos estudar uma propriedade importante das raízes de um polinômio, a qual é dada pelo seguinte teorema.

Teorema: Considere um polinômio $p(x)$ sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$). Se $a$ é uma raiz de $p(x)$, então o polinômio $x-a$ divide o polinômio $p(x)$. Em outras palavras, podemos escrever $p(x)$ na forma:

$p(x) = (x-a)q(x)$ onde  $q(x)$ é um polinômio sobre $\mathbb{K}$. 

Em outras palavras, o teorema acima diz que, se $a$ é a uma raiz de $p(x)$, então, dividindo $p(x)$ por $x-a$ obtem-se o resto da divisão igual a zero. 

Vamos ver alguns exemplos (todos os polinômios dos exemplos estão sobre $\mathbb{R}$):

11. Temos que $1$ é raiz de $p(x) = x^2-1$. De fato, $p(1) = 1^2 - 1 = 0$. Desse modo, pelo teorema anterior, temos que $x-1$ divide o polinômio $p(x)$. Isso realmente acontece, é fácil ver que 

$$x^2-1 = (x-1)(x+1).$$

(comparando esse exemplo com o teorema anterior, tem-se $q(x) = x+1$).

12. Considere o polinômio $f(x) = x^3+x^2-8x-12$. Note que $x = 3$ é raiz desse polinômio pois

\begin{eqnarray} f(3) &=& 3^3 + 3^2 -8 \cdot 3 -12 \\ &=& 27 + 9 - 24 - 12 \\ &=& 0. \end{eqnarray}

Assim, pelo teorema anterior $x-3$ divide $f(x)$. De fato isso ocorre, como podemos ver a seguir

Podemos então escrever $x^3+x^2-8x-12 = (x-3)(x^2+4x+4)$.

13. Seja $h(x) = x^4+x^3+x^2+x$. Temos que

\begin{eqnarray} h(-1) = (-1)^4+(-1)^3+(-1)^2 + (-1) \\ &=& 1-1+1-1 \\ &=& 0 \end{eqnarray}.

Logo, $x=-1$ é raiz de $h(x)$. Portando, o polinômio $x-(-1) = x+1$ divide $h(x)$. De fato,

Podemos escrever então $x^4+x^3+x^2+x = (x+1)(x^3+x)$.

Acredito que podemos encerrar essa postagem por aqui. Já sabemos o que é uma raiz de um polinômio e também conhecemos uma importante propriedade das raízes. Agora podemos caminhar no sentido de encontrarmos as raízes de um dado polinômio. Faremos isso nas próximas postagens.

Resumo da postagem em vídeo:

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