Esse é o quinto e último post sobre expressões numéricas que teremos aqui no blog (veja os outros aqui). Quando pensei em fazer postagens sobre expressões numéricas não achava que renderia tantos posts assim, mas no decorrer das postagens percebi quantos casos diferentes podemos ter de expressões numéricas. Para encerrarmos esse assunto de expressões numéricas falta abordar as expressões que possuem potências com expoentes racionais. Não há muito segredo nesse tipo de expressão, pois uma potência com expoente racional na verdade é uma junção de potências com expoentes inteiros e raízes, ou seja, são casos que já vimos nos posts anteriores. A seguir veremos mais detalhes e exemplos desse tipo de expressões numéricas.
Expressões com potências de expoentes racionais
Já sabemos que, na ordem das operações em uma expressão numérica, as potências e as raízes devem ser feitas primeiro (exceto quanto há parênteses, colchetes ou chaves dando preferencia a outras operações). Como as potências com expoente racional são a junção de potências com expoentes inteiros e raízes, elas também devem ser feitas primeiro (na ordem das operações). Sabendo disso não fica tão complicado lidar com uma expressão numérica que contém uma (ou mais) potências com expoentes racionais, basta lembrar da definição desse tipo de potência (veja a definição aqui). Vejamos alguns exemplos.
1. Calcule o valor da expressão $25 \div (1 + 8^{\frac{2}{3}})$.
Solução: Como em qualquer outra expressão, começamos sempre resolvendo de dentro para fora, isto é, nesse exemplo vamos começar pelo que está entre parênteses. Dentro dos parênteses está uma potência com expoente racional, então, é por ela que devemos começar a resolver.
\begin{eqnarray} 25 \div (1 + 8^{\frac{2}{3}}) &=& 25 \div (1 + \sqrt[3]{8^2}) \\ &=& 25 \div (1 + \sqrt[3]{64}) \\ &=& 25 \div (1 + 4) \\ &=& 25 \div 5 = 5. \end{eqnarray}
2. Calcule o valor da expressão $2 \times 5^{\frac{3}{2}} - 4 \times [10 \div (5^2 - 17)^{\frac{1}{3}}]$.
Solução: Lembre-se, sempre comece a resolver uma expressão de dentro para fora e siga a ordem das operações.
\begin{eqnarray} 2 \times 5^{\frac{3}{2}} - 4 \times [10 \div (5^2 - 17)^{\frac{1}{3}}] &=& 2 \times \sqrt[2]{5^3} - 4 \times [10 \div (25 - 17)^{\frac{1}{3}}] \\ &=& 2 \times \sqrt[2]{125} - 4 \times [10 \div 8^{\frac{1}{3}}] \\ &=& 2 \times 5 \times \sqrt{5} - 4 \times [10 \div \sqrt[3]{8}] \\ &=& 10 \times \sqrt{5} - 4 \times [10 \div 2] \\ &=& 10 \times \sqrt{5} - 4 \times 5 = 10\sqrt{5}-20. \end{eqnarray}
Por simplicidade, escrevi $10 \times \sqrt{5}$ como $10 \sqrt{5}$, omitido o símbolo de multiplicação. Deixarei o resultado da expressão como $10\sqrt{5}-20$, sem substituir o valor de $\sqrt{5}$ por um valor aproximado. Em expressões com potências com expoentes racionais é comum aparecer raízes que não tem resultados exatos, então é melhor deixar os resultados com as raízes mesmo, pois trocá-las por valores aproximados pode gerar um "acúmulo de erros". Com as raízes, o resultado fica exato.
3. Resolva a expressão $\displaystyle\frac{8+[5 \times (2^2-8)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+ 16^{\frac{1}{2}})}$.
Solução: Usando o mesmo processo usado nos exemplos anteriores, temos
\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{8+[5 \times (2^2-8)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+ 16^{\frac{1}{2}})} &=& \displaystyle\frac{8+[5 \times (4-8)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+ \sqrt{16})} \\ &=& \displaystyle\frac{8+[5 \times (-4)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+4)} \\ &=& \displaystyle\frac{8+\sqrt[3]{-20}}{\frac{4}{5}} \\ &=& \displaystyle\frac{8+(-\sqrt[3]{20})}{\frac{4}{5}} \\ &=& \displaystyle\frac{8-\sqrt[3]{20}}{\frac{4}{5}} \\ &=& (8-\sqrt[3]{20}) \times\displaystyle\frac{5}{4} \\ &=& \displaystyle\frac{ (8-\sqrt[3]{20}) \times 5}{4} \\ &=& \displaystyle\frac{ 40-5\sqrt[3]{20}) }{4} = 10 - \displaystyle\frac{5\sqrt[3]{20} }{4}. \end{eqnarray}
4. Calcule o valor da expressão $3 \times (2+ 4^2)^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div (3^2 - 3)}\right]^{\frac{4}{3}}$.
Solução: Nessa expressão há um potência racional negativa e também um raiz dentro de uma potência racional. Isso parece ser muito complicado, mas na verdade não é. Basta lembrar que, por definição, quando uma potência é negativa, inverte-se a base e muda-se o sinal do expoente e, para lidar com a raiz dentro da potência racional, pode-se escrever a raiz como uma potência racional e depois usar propriedades de potências.
\begin{eqnarray} 3 \times (2+ 4^2)^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div (3^2 - 3)}\right]^{\frac{4}{3}} &=& 3 \times (2+16)^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div (9 - 3)}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times 18^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div 6}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times \left(\displaystyle\frac{1}{18}\right)^{\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{3}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times \sqrt{\displaystyle\frac{1}{18}}+ \left[3^{\frac{1}{2}}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times \displaystyle\frac{1}{3\sqrt{2}}+ 3^{\frac{2}{3}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+ 3^{\frac{2}{3}}. \end{eqnarray}
Nesse exemplo vou deixar a resposta como está mesmo, para não usar uma aproximação com um número decimal.
5. Calcule o valor da expressão $\left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+63 \times \left(1 - \frac{3}{2}\right)\right]\right\}}{4 \times (8^2 - 10 \times 6)}\right)^{\frac{3}{2}}$.
Solução: Essa expressão é enorme, mas não é difícil. Basta ir com calma e resolver sempre de dentro para fora respeitando a ordem das operações.
\begin{eqnarray} \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+63 \times \left(1 - \frac{3}{2}\right)\right]\right\}}{4 \times (8^2 - 10 \times 6)}\right)^{\frac{3}{2}} &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+63 \times \frac{1}{4}\right]\right\}}{4 \times (64 - 60)}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+ \frac{63}{4}\right]\right\}}{4 \times 4}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\frac{3}{9} \times16\right\}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\frac{1}{3} \times 16\right\}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \frac{16}{3}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \times \frac{3}{16}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{\frac{81}{16}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{81}{16} \times \displaystyle\frac{1}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{81}{256} \right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\left(\displaystyle\frac{9}{16} \right)^2\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{9}{16}\right)^3 = \displaystyle\frac{729}{4096}. \end{eqnarray}
Esse último exemplo parece assustador, mas só parece. Não há segredos para resolver expressões numéricas, é somente necessário começar a resolver a expressão de dentro para fora, respeitar a ordem das operações e saber as definições de cada operação, o que é o mais básico da matemática.
Exemplo em vídeo:
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