Nosso estudo sobre polinômios está avançando, já os definimos, sabemos como somar, subtrair, multiplicar e dividir polinômios e também sabemos o que é o grau de um polinômio. Apesar de já termos estudado tudo isso, ainda existem aspectos importantes sobre os polinômios a serem estudados. Seguindo então com o estudo de polinômios, nessa postagem vamos estudar o que é uma raiz de um polinômio e uma propriedade importante das raízes. Ainda não veremos métodos para encontrar raízes, vamos estudar essa questão nas próximas postagens, vamos entender bem o que é uma raiz para depois procurarmos por elas.
Raízes de um polinômio
Vamos começar definindo o que é uma raiz de um polinômio.
Definição: Seja $p(x)$ um polinômio com coeficientes em $\mathbb{K}$, isto é, sobre $\mathbb{K}$ (considere esse $\mathbb{K}$ como sendo $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Um número $a \in \mathbb{K}$ é chamado raiz do polinômio $p(x)$ se $p(a) = 0$.
Vejamos alguns exemplos de raízes de polinômios.
Exemplos:
1. Considere $p(x) = 3x+1$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. Temos que $x=-\displaystyle\frac{1}{3}$ é uma raiz de $p(x)$ pois
$$p\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+1 = -1+1 = 0.$$
O número $2$ não é raiz de $p(x)$ pois $p(2) = 3 \cdot 2+1 = 7 \neq 0$.
2. O polinômio $f(x) = x^3+3x^2-4$ possui o número $1$ como raiz pois
$$f(1) = 1^3+3\cdot1^2-4 = 1+3-4 = 0.$$
O número $-2$ também é raiz do polinômio $f(x)$,
$$f(-2) = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 - 4 = -8 +12 - 4 = 0.$$
Por outro lado, $x=3$ não é raiz de $f(x)$
$$f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 4 = 27 + 27 -4 = 50.$$
3. Os números $1$, $3$ e $4$ são raízes do polinômio
$$h(x) = -3x^5+24x^4 - 60x^3 + 60x^2-57x+36.$$
De fato,
\begin{eqnarray} h(1) &=& -3 \cdot 1^5+24 \cdot 1^4 - 60 \cdot 1^3 + 60 \cdot 1^2-57 \cdot 1 + 36 \\ &=& -3+24-60+60 -57+36 = 0 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} h(3) &=& -3 \cdot 3^5+24 \cdot 3^4 - 60 \cdot 3^3 + 60 \cdot 3^2-57 \cdot 3 + 36 \\ &=& -3 \cdot 243+24 \cdot 81 -60 \cdot 27 +60 \cdot 9 -57 \cdot 3+36 \\ &=& -729 + 1944 - 1620+540-171 + 36 = 0 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} h(4) &=& -3 \cdot 4^5+24 \cdot 4^4 - 60 \cdot 4^3 + 60 \cdot 4^2-57 \cdot 4 + 36 \\ &=& -3 \cdot 1024+24 \cdot 256 -60 \cdot 64 +60 \cdot 16 -57 \cdot 4+36 \\ &=& -3072 + 6144 - 3840+960-228 + 36 = 0 \end{eqnarray}
Nos exemplos acima podemos ver que um polinômio pode ter mais de uma raiz. Mas, também existem polinômios que não possuem raízes.
4. Seja $g(x) = x^2 +1$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. É fácil ver que esse polinômio não possui raízes em $\mathbb{R}$. Observe que $x^2$ é sempre maior ou igual a $0$ qualquer que seja $x$ e, assim, ao somar $x^2$ com $1$, é impossível que essa soma resulte em zero para algum $x$.
Essa questão de um polinômio possuir ou não uma raiz não depende somente do polinômio propriamente dito mas também do conjunto no qual ele está definido ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).
5. O polinômio $g(x) = x^2 +1$, do exemplo anterior, considerado sobre $\mathbb{C}$ possui raízes em $\mathbb{C}$. De fato,
$$g(i) = i^2 +1 = -1 +1 = 0 \mbox{ e}$$
$$g(-i) = (-i)^2 +1 = -1 +1 = 0.$$
Podemos ainda ter casos de polinômios com uma certa quantidade de raízes sobre $\mathbb{R}$ e outra quantidade de raízes em $\mathbb{C}$.
6. Considere o polinômio $f(x) = x^3 +4x$. Sobre $\mathbb{R}$, para $x = 0$, temos que
$$f(0) = 0^3 + 4 \cdot 0 = 0$$
e essa é a única raiz de $f(x)$ em $\mathbb{R}$. Mas, quando consideramos $f(x)$ como um polinômio sobre $\mathbb{C}$, além de $0$, ele possui mais duas raízes, a saber, os números $2i$ e $-2i$. De fato,
$$f(2i) = (2i)^3+4 \cdot 2i = -8i + 8i = 0 \mbox{ e}$$
$$f(-2i) = (-2i)^3 + 8 \cdot (-2i) = 8i - 8i = 0.$$
Com esses exemplos, dado um polinômio, podemos perceber que ele pode ter nenhuma, uma ou mais raízes e isso ainda depende do conjunto no qual ele está definido. Dessa observação, podemos fazer a seguinte pergunta: Conhecendo o polinômio, tem como saber quantas raízes distintas ele vai ter? A resposta é: em geral, não. Mas podemos saber quantas raízes distintas ele vai ter, no máximo. O que é garantido pelo seguinte teorema.
Teorema: Seja $p(x)$ um polinômio definido sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$) que possui grau $n \geq 0$. Então $p(x)$ possui, no máximo, $n$ raízes distinhas em $\mathbb{K}$.
Vamos ver alguns exemplos:
7. O polinômio $p(x) = x^2 - 1$ sobre sobre $\mathbb{R}$ possui grau $2$, assim, pelo teorema anterior ele possui, no máximo, duas raízes distintas.
8. O polinômio $f(x) = x^5 - 3x^3 + 4x - 8$ sobre $\mathbb{R}$ possui, no máximo, $5$ raízes distintas pois seu grau é $5$.
9. O polinômio $g(x) = 3x^7-\sqrt{3}x^6 - x^2 + 1$ sobre $\mathbb{R}$ possui no máximo $7$ raízes distintas.
10. O polinômio $h(x) = -3x^4 + (1+i)x^3 - 4x$ sobre $\mathbb{C}$ possui, no máximo, $4$ raízes distintas.
Especificamente, a respeito de polinômios sobre $\mathbb{C}$, temos os seguintes teoremas
Teorema: Todo polinômio sobre $\mathbb{C}$ possui pelo menos uma raiz em $\mathbb{C}$.
Esse teorema mostra uma diferença importante entre polinômios sobre $\mathbb{R}$ e sobre $\mathbb{C}$. Como vimos no exemplo 4, nem todo polinômio sobre $\mathbb{R}$ possui raízes, mas, em $\mathbb{C}$ isso não ocorre.
Agora que sabemos o que é uma raiz e também quantas raízes, no máximo, um polinômio pode ter, vamos estudar uma propriedade importante das raízes de um polinômio, a qual é dada pelo seguinte teorema.
Teorema: Considere um polinômio $p(x)$ sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$). Se $a$ é uma raiz de $p(x)$, então o polinômio $x-a$ divide o polinômio $p(x)$. Em outras palavras, podemos escrever $p(x)$ na forma:
$p(x) = (x-a)q(x)$ onde $q(x)$ é um polinômio sobre $\mathbb{K}$.
Em outras palavras, o teorema acima diz que, se $a$ é a uma raiz de $p(x)$, então, dividindo $p(x)$ por $x-a$ obtem-se o resto da divisão igual a zero.
Vamos ver alguns exemplos (todos os polinômios dos exemplos estão sobre $\mathbb{R}$):
11. Temos que $1$ é raiz de $p(x) = x^2-1$. De fato, $p(1) = 1^2 - 1 = 0$. Desse modo, pelo teorema anterior, temos que $x-1$ divide o polinômio $p(x)$. Isso realmente acontece, é fácil ver que
$$x^2-1 = (x-1)(x+1).$$
(comparando esse exemplo com o teorema anterior, tem-se $q(x) = x+1$).
12. Considere o polinômio $f(x) = x^3+x^2-8x-12$. Note que $x = 3$ é raiz desse polinômio pois
\begin{eqnarray} f(3) &=& 3^3 + 3^2 -8 \cdot 3 -12 \\ &=& 27 + 9 - 24 - 12 \\ &=& 0. \end{eqnarray}
Assim, pelo teorema anterior $x-3$ divide $f(x)$. De fato isso ocorre, como podemos ver a seguir
Podemos então escrever $x^3+x^2-8x-12 = (x-3)(x^2+4x+4)$.
13. Seja $h(x) = x^4+x^3+x^2+x$. Temos que
\begin{eqnarray} h(-1) = (-1)^4+(-1)^3+(-1)^2 + (-1) \\ &=& 1-1+1-1 \\ &=& 0 \end{eqnarray}.
Logo, $x=-1$ é raiz de $h(x)$. Portando, o polinômio $x-(-1) = x+1$ divide $h(x)$. De fato,
Acredito que podemos encerrar essa postagem por aqui. Já sabemos o que é uma raiz de um polinômio e também conhecemos uma importante propriedade das raízes. Agora podemos caminhar no sentido de encontrarmos as raízes de um dado polinômio. Faremos isso nas próximas postagens.
Resumo da postagem em vídeo:
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