Polinômios #7: Teorema do resto

Na postagem #5 vimos como fazer a divisão entre dois polinômios, uma operação que, apesar de parecer difícil, na verdade não é. Quando dividimos um polinômio $f(x)$ por um polinômio $g(x)$ obtemos um quociente $q(x)$ e um resto $r(x)$ tais que 

$f(x)  = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ onde $r(x) = 0$ ou $gr(r(x)) < gr(g(x))$.

onde $q(x)$ e $r(x)$ são únicos. Em geral, para determinar $r(x)$ em uma divisão de polinômios, é necessário fazer a conta de divisão mesmo, mas em um caso específico, podemos encontrar o resto da divisão entre dois polinômios sem fazer a conta de divisão. Interessante, não? Em alguns problemas de matemática isso pode ser muito útil, pois diminui consideravelmente a quantidade de cálculos. Esse caso específico de divisão é abordado por um teorema chamado Teorema do Resto. Bom, sem enrolações, vamos aprender o Teorema do Resto a ver quando podemos determinar o resto da divisão de dois polinômios sem fazer a divisão desses polinômios.

Teorema do Resto

No teorema a seguir, o conjunto $\mathbb{K}$ representa $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Teorema: (Teorema do Resto) Seja $f(x)$ um polinômio com coeficientes em $\mathbb{K}$. Dado $a \in \mathbb{K}$, o resto da divisão de $f(x)$ por $x-a$ é igua a $f(a)$.

O que o teorema do resto está dizendo é o seguinte: Quando você precisar dividir qualquer polinômio $f(x)$ por um outro polinômio que tenha exatamente a forma $x-a$, não é necessário fazer a divisão de $f(x)$ por $x-a$ para obter o resto $r(x)$, basta aplicar $f(x)$ em $a$ e você vai obter o resto da divisão, isto é, basta calcular $f(a)$ e você terá $r(x) = f(a)$ (um polinômio constante).

Vamos ver alguns exemplos de como aplicar esse teorema:

Exemplos:

1. Considere os polinômios $f(x) = 3x^4-x^3 - x^2 + 2x -4$ e $g(x) = x-2$. Determine o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$. 

Solução: Como sabemos agora, há duas formas de determinar o resto dessa divisão, podemos efetuar a divisão propriamente dita ou podemos usar o teorema do resto. Vamos fazer esse exemplo usando essas duas maneiras de resolver para compararmos os restos obtidos em cada uma delas para ver se realmente são iguais. Vejamos

Fazendo a divisão de $f(x)$ por $g(x)$: Fazendo a divisão de $f(x)$ por $g(x)$, obtemos

Pelas contas acima, obtemos $r(x) = 36$ como resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$.

Usando o Teorema do Resto: Para usar o teorema do resto devemos identificar quem é $a$. Como $g(x) = x-2$, comparando este polinômio com o enunciado do teorema do resto, obtemos $a=2$. Assim, o teorema do resto nos garante que o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$ é $f(2)$. Vamos calcular $f(2)$:

$$\begin{eqnarray} f(2) &=&  3\cdot 2^4-2^3 - 2^2 + 2 \cdot 2 -4 \\ &=& 3 \cdot 16 - 8 - 4 + 2 \cdot 2 - 4 \\ &=& 48 -8 - 4+4-4 \\ &=& 36 \end{eqnarray}$$

Viu só? Usando o teorema do resto obtivemos $r(x) = 36$, o mesmo resultado que obtivemos na divisão acima, mas com bem menos contas.

Lembre-se a partir de agora, se você tiver um polinômio qualquer $f(x)$ e precisar saber o resto da divisão desse polinômio por um outro polinômio na forma $x-a$, basta calcular $f(a)$, este será o resto da divisão de $f(x)$ por $x-a$. Vamos ver mais um exemplo.

2. Considere os polinômios $f(x) = x^5-x^3+2x^2+3$ e $g(x) = x+1$. Calcule o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$. 

Solução: Vamos fazer esse exemplo usando o Teorema do Resto. Observe que $g(x) = x+1$ e que, para usar o teorema do resto, o divisor deve estar na forma $x-a$. Assim, neste caso, temos $a = -1$ pois $x+1 = x-(-1)$. Logo, para calcular o resto dessa divisão devemos calcular $f(-1)$. Vejamos,

$$\begin{eqnarray} f(-1) &=& (-1)^5-(-1)^3+2 \cdot (-1)^2+3 \\ &=& -1 - (-1) + 2 \cdot 1 + 3 \\  &=& -1+1+2+3 = 5.\end{eqnarray}$$

Portanto, pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$ é $r(x) = 5$.

Quero reforçar aqui mais uma vez, o Teorema do Resto só pode ser aplicado se o divisor tiver a forma $g(x) = x-a$. Vamos fazer a seguir um contraexemplo, ou seja, um exemplo onde o Teorema do Resto não pode ser usado.

3. Considere os polinômios $f(x) = -2x^2+x+1$ e $g(x) = 3x-2$. Calcule o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$.

Solução: Como o divisor $g(x)$ não é da forma $x-a$, ou seja, ele possui o $3$ multiplicando o $x$, o Teorema do Resto não pode ser aplicado. Aqui, para calcular o resto, devemos fazer a divisão mesmo. Desse modo, 

Obtemos então como resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$ o polinômio $r(x) = \displaystyle\frac{7}{9}$.

Agora, vamos calcular $f(2)$.

$$\begin{eqnarray} f(2) &=& -2 \cdot 2^2 + 2 +1 \\ &=& -2 \cdot 4 +2 +1 \\ &=& -8+2+1 = -5. \end{eqnarray}$$

Temos que $f(2) = -5$ que é diferente do resto $r(x) = \displaystyle\frac{7}{9}$ que obtivemos anteriormente. Então, se  o divisor não tiver a forma $x-a$ exatamente, não use o Teorema do Resto, faça a divisão.

Deixei um bônus para o final da postagem, a demonstração do Teorema do Resto.

Demonstração do Teorema do Resto: Considere $f(x)$ um polinômio qualquer e $g(x) = x-a$, ambos com coeficientes em $\mathbb{K}$. Aplicando o Algoritmo da Divisão para os polinômios $f(x)$ e $g(x)$ vamos encontrar únicos $q(x)$ e $r(x)$ tais que 

$f(x) = (x-a) \cdot q(x) + r(x)$ com $r(x) = 0$ ou $gr(r(x)) < gr(x-a) = 1$.

Desse modo, o resto $r(x)$ é um polinômio constante. Agora, aplicando $f(x)$ em $a$, vamos ter

$$\begin{eqnarray} f(a) &=& (a-a) \cdot q(a) + r(a) \\ &=& 0 \cdot q(a) + r(a) \\ &=& r(a). \end{eqnarray}$$

Desse modo, concluímos que $r(a) = f(a)$. Como anteriormente já havíamos concluído que $r(x)$ é um polinômio constante, vamos ter que $r(x) = f(a)$ para todo $x \in \mathbb{K}$ pois, se ele é constante e conhecemos seu valor em $a$, esse deve ser o mesmo valor para todo $x$. Portanto $r(x) = f(a)$ e o teorema está demonstrado.

Exemplo em vídeo:

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