Essa é a última postagem sobre equações algébricas, mas não a menos importante. O módulo ou valor absoluto de um número real é um objeto matemático muito importante. Ele está presente em cálculos simples, como a distância entre dois ponto em uma reta, e até em cálculos mais complexos, como o erro permitido em aproximações. Por esse motivo, ele aparece, não poucas vezes, em equações. O objetivo dessa postagem é apresentar maneiras de resolver uma equação na qual a incógnita está dentro de um ou mais módulos, isto é, apresentar maneiras de resolver equações modulares. Vamos lá!
Equações modulares
Definição de módulo
Antes de definirmos as equaçoes modulares, vamos nos lembrar da definição de módulo de um número real e suas propriedades.
Definição: O módulo ou valor absoluto de um número real $x$, denotado por $|x|$, é definido como sendo
$$|x| = \left\{ \begin{array}{rcc} x, & \mbox{se} & x \geq 0 \\ -x, & \mbox{se} & x < 0. \end{array} \right.$$
Resumidamente, o que o módulo faz é o seguinte: se $x$ é positivo ou $0$, então o módulo "não faz nada" com o $x$. Se $x$ é negativo, o módulo o transforma em positivo. A seguir temos alguns exemplos:
Exemplos:
1. $|5| = 5$
2. $\left| -\displaystyle\frac{11}{2}\right| = \displaystyle\frac{11}{2}$
3. $|\pi| = \pi$
4. $| -\sqrt[3]{5}| = \sqrt[3]{5}$
Propriedades do módulo
Agora que lembramos o que é o módulo de um número real, vamos lembrar de algumas de suas propriedades que são importantes na hora de reolver equações com módulos.
Dados $x,y \in \mathbb{R}$, valem as seguintes propriedades:
(i) $|x| \geq 0$;
(ii) $|x| = 0$ se, e somente se, $x=0$;
(iii) $|-x| = |x|$ para todo $x \in \mathbb{R}$.
(iv) $|xy| = |x| \cdot |y|$.
(v) $\left|\displaystyle\frac{x}{y}\right| = \displaystyle\frac{|x|}{|y|}$, se $ y \neq 0$.
Para ter mais detalhes sobre o módulo de um número real, veja essa postagem que é dedicada somente a ele. Se quiser mais detalhes sobre as propriedades do módulo de um número real, veja também essa postagem.
Equações modulares
Agora vamos definir o que é uma equação modular.
Definição: Uma equação modular é uma equação que possui um módulo ou mais módulos nos quais a incógnita está, no 1º membro, no 2º membro os nos dois membros da equação.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplos:
5. $|3x-2| = 5$
6. $|4x^2-x+8| = |x|+3$
7. $\left| \displaystyle\frac{x}{x+1}\right| = 1$
Agora vamos aos exemplos de como resolver equações modulares.
Exemplos:
8. Determine as soluções da equação $|x+2|=3$.
Solução: Em qualquer equação, o objetivo sempre é isolar a incógnita para poder encontrar o seu valor. Para fazer isso em uma equação modular, nós precisamos primeiro encontrar uma forma de "retirar" o módulo da equação para que possamos isolar o $x$. A forma de retirar o módulo da equação é usando a própria definição de módulo. A equação do enunciado é $|x+2|=3$, isto é, precisamos determinar um valor de $x$ de modo que o módulo de $x+2$ seja igual a $3$. Pela definição de módulo, o módulo de $x+2$ será igual a $3$ se $x+2$ for igual a $3$ ou se $x+2$ for igual a $-3$, pois o módulo de $3$ e de $-3$ são ambos iguais a $3$. Logo, para determinarmos as soluções da equação $|x+2|=3$, temos que reolver duas equações, a saber, $x+2=3$ e $x+2=-3$. Resolvendo essas duas equações, temos:
\begin{eqnarray} x+2 &=& 3 \\ x &=& 3 -2 \\ x &=& 1\end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+2 &=& -3 \\ x &=& -3 - 2 \\ x &=& -5 \end{eqnarray}
Portanto, as soluções da equação são $x=1$ e $x=-5$. Verificando se esses valores de $x$ são realmente soluções, temos:
\begin{eqnarray} |x+2| &=& 3 \\ |1+2| &=& 3 \\ |3| &=& 3 \\ 3 &=& 3\end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} |x+2| &=& 3 \\ |-5+2| &=& 3 \\ |-3| &=& 3 \\ 3 &=& 3\end{eqnarray}
O raciocínio usado no exemplo anterior pode sempre ser repetido para qualquer equação que tenha o mesmo formato, isto é, para resolver uma equação na forma $|u|=a$ onde $u$ é uma expressão que possui uma incógnita e $a$ é um número real maior ou igual a zero, basta resolver as equações $u=a$ e $u=-a$. Vamos ver mais um exemplo com uma equação nesse formato.
9. Determine as soluções da equação $|x^2+x-1|=1$.
Solução: De acordo com o raciocínio aplicado ao exemplo anterior, temos que resolver as equações $x^2+x-1=1$ e $x^2+x-1=-1$. Resolvendo a primeira equação, temos:
\begin{eqnarray} x^2+x-1 &=& 1 \\ x^2+x-1-1 &=& 0 \\ x^2+x-2 &=& 0 \end{eqnarray}
Aplicando soma e produto nessa útima equação, obtemos como soluções os números $-2$ e $1$. Passando agora para segunda equação, temos:
\begin{eqnarray} x^2+x-1 &=& -1 \\ x^2+x-1+1 &=& 0 \\ x^2+x &=& 0 \\ x(x+1) &=& 0 \end{eqnarray}
Dessa última equação, temos que $x=0$ é uma solução. A outra solução dessa equação é a solução de $x+1=0$, isto é, a outra solução é igual a $-1$.
Logo, as soluções da equação $|x^2+x-1|=1$ são $-2$, $-1$, $0$ e $1$.
10. Calcule as soluções da equação $|2x+1| = |x-4|$.
Solução: A equação desse exemplo não está no formato das equações dos dois exemplos anteriores, ela possui dois módulos, um igual ao outro. Apesar dessa equação ser diferente das anteriores, a maneira de resolver é bem parecida. Para que dois módulos sejam iguais, as expressões que estão dentro deles devem ser iguais, ou devem ter os sinais trocados, isto é, a equação será verdadeira para os valores de $x$ tais que $2x+1 = x-4$ e $2x+1 = -(x-4) = -x+4$. Resolvendo essas equações, temos:
\begin{eqnarray} 2x+1 &=& x-4 \\ 2x-x &=& -4-1 \\ x &=& -5 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} 2x+1 &=& -x+4 \\ 2x+x &=& 4-1 \\ 3x &=& 3 \\ x &=& \frac{3}{3} \\ x &=& 1 \end{eqnarray}
Portanto, as soluções dessa equação são $-5$ e $1$.
O raciocínio que usamos nesse exemplo pode ser usado em qualquer equação que tenha o mesmo formato, ou seja, se a equação estiver no formato $|u| = |v|$, onde $u$ e $v$ são expressões que contém uma incógnita, para encontrar as soluções dessa equação é preciso resolver as equações $u=v$ e $u=-v$. Vamos fazer mais um exemplo com equações nesse formato.
11. Calcule as soluções da equação $|2x^2+x| = |x^2+3x+3|$.
Solução: Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, para determinarmos as soluções dessa equação, devemos resolver as equações $2x^2+x = x^2+3x+3$ e $2x^2+x = -x^2 -3x -3$. Resolvendo a primeira equação, temos:
\begin{eqnarray} 2x^2+x &=& x^2+3x+3 \\ 2x^2 +x -x^2-3x-3 &=& 0 \\ x^2 -2x -3 &=& 0 \end{eqnarray}
Aplicando soma e produto na última equação, temos que as suas soluções são $-1$ e $3$. Passando agora para a segunda equação, temos:
\begin{eqnarray} 2x^2+x &=& -x^2 -3x -3 \\ 2x^2+x+x^2+3x+3 &=& 0 \\ 3x^2+4x+3 &=& 0 \end{eqnarray}
Aplicando a fórmula de Bhaskara na última equação, temos:
\begin{eqnarray} \Delta &=& 4^2-4 \cdot 3 \cdot 3 \\ &=& 16 - 36 = -20 \end{eqnarray}
Como $\Delta < 0$, a última equação não possui solução. Portanto, as soluções da equação $|2x^2+x| = |x^2+3x+3|$ são $-1$ e $3$.
12. Determine as soluções da equação $\left| \displaystyle\frac{3x}{x^2-1} \right| = 2$.
Solução: Nesse exemplo temos uma equação modular onde há um quociente dentro do módulo. Mesmo havendo um quociente na equação, ela pode ser resolvida usando a mesma estratégia usada no exemplo 8, isto é, devemos resolver as equações $\displaystyle\frac{3x}{x^2-1} = 2$ e $\displaystyle\frac{3x}{x^2-1} = -2$. Resolvendo a primeira equação, temos
\begin{eqnarray} \frac{3x}{x^2-1} &=& 2 \\ 3x &=& 2(x^2-1) \\ 3x &=& 2x^2-2 \\ 2x^2-3x-2 &=& 0 \end{eqnarray}
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa última equação. Temos:
\begin{eqnarray} \Delta &=& (-3)^2-4 \cdot 2 \cdot (-2) \\ \Delta &=& 9+16 = 25 \end{eqnarray}
Desse modo
\begin{eqnarray} x &=& \frac{3 \pm 5}{4} \end{eqnarray}
Logo, segue que $x_1 = 2$ e $x_2 = -\displaystyle\frac{1}{2}$. Vamos agora para a segunda equação.
\begin{eqnarray} \frac{3x}{x^2-1} &=& -2 \\ 3x &=& -2(x^2-1) \\ 3x &=& -2x^2+2 \\ 2x^2+3x-2 &=& 0 \end{eqnarray}
Aplicando a fórmula de Bhaskara nessa útlima equação, temos
\begin{eqnarray} \Delta &=& 3^2-4 \cdot 2 \cdot (-2) \\ \Delta &=& 9+16 = 25 \end{eqnarray}
e \begin{eqnarray} x &=& \frac{-3 \pm 5}{4} \end{eqnarray}
Logo, segue que $x_3 = \displaystyle\frac{1}{2}$ e $x_4 = -2$.
Encontramos 4 possibilidades de soluções para a equação. Para garantir que cada valor de $x$ que encontramos é de fato uma solução, esses valores não podem anular o denominador que aparece na equação. Como os valores de $x$ que anulam $x^2-1$ são $-1$ e $1$, segue que as soluções da equação $\left| \displaystyle\frac{3x}{x^2-1} \right| = 2$ são $-2$, $-\displaystyle\frac{1}{2}$, $\displaystyle\frac{1}{2}$ e $2$.
Observação importante: Considere a equação $|x-2| = -2x+8$. Essa equação não pode ser resolvida determinando as soluções das equações $x-2 = -2x+8$ e $x-2 = 2x-8$. A primeira equação tem como solução $x=\displaystyle\frac{10}{3}$ e a segunda tem como solução $x=6$. O número $6$ não é solução da equação $|x-2| = -2x+8$, pois $|6-2| =|4|=4$ e $-2 \cdot 6+8 = -12+8 = -4$. Então, precisamos de uma outra estratégia para resolver essa equação. No vídeo que está no final da postagem tem um vídeo explicando como resolver esse tipo de equação modular. Então, tenha cuidado! Equações na forma $|u| = v$ onde $u$ e $v$ são expressões algébricas com uma incógnita, não podem, em geral, serem resolvidas com as equações $u=v$ e $u=-v$.
Observação:
(a) Se uma equação modular tem a forma $|u|=0$ onde $u$ é uma expressão que contém uma incógnita, ela é equivalente à equação $u=0$, pois o módulo de um número é igual a zero se, e somente se, esse número for igual a zero. Nesses casos não temos duas equações para resolver, precisamos resolver somente a equaçao $u=0$.
(b) Se uma equação modular tem a forma $|u|=a$ com $a$ negativo, a equação não possui solução, pois o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero.
Com esses exemplos e estratégias apresentadas aqui acredito que você conseguirá resolver várias equações modulares.
Exemplo em vídeo:
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