Inequações #8: Como reescrever uma expressão com módulos sem o módulo

Até aqui, aprendemos a resolver vários tipos de inequações, inclusive àquelas que possuem módulo. Para continuarmos o estudo das inequações com módulos, vamos precisar parar um pouco com as inequações, propriamente ditas, e pensarmos um pouco mais sobre o módulo. Nessa postagem vamos responder à seguinte pergunta: "é possível reescrever uma expressão com módulos sem utilizar o módulo?" Já antecipando a resposta, sim! Esse processo de reescrever uma expressão com módulos sem utilizar o módulo é muito útil para resolver alguns tipos complicados de inequações. E não para por aí, esse processo é muito importante também em assuntos mais avançados de matemática, como calcular derivadas e integrais de funções (derivadas e integrais são estudados em cursos superiores que possuem uma disciplina chamada Cálculo I). Então, não vamos perder mais tempo, vamos aprender como fazer isso. Vamos lá!

Como reescrever uma expressão com módulos sem o módulo

Antes de qualquer coisa, vamos relembrar a definição de módulo (ou valor absoluto) de um número real.

Definição: Definimos o módulo ou valor absoluto de um número real $x$, denotado por $|x|$, como sendo

$$|x| = \left\{ \begin{array}{rcc} x, & \mbox{se} & x \geq 0 \\ -x, & \mbox{se} & x < 0. \end{array} \right.$$

Veja mais detalhes sobre o módulo de um número real e sua interpretação geométrica nessa postagem.

Observe que, na definção de módulo temos um $x$ representando um número real qualquer. Isso implica que esse $x$ pode ser substituído por qualquer outra "coisa" que seja um número real, isto é, podemos colocar no lugar do $x$ uma expressão algébrica. Já fizemos isso, pelo menos, nas duas postagens anteriores. 

A seguir vamos ver exemplos de como reescrever expressões com módulos sem usar o módulo. Vamos fazer isso separando em casos, são eles: expressões com somente um módulo, expressões com mais de um módulo e expressões com módulos e sem módulos. 

Expressões com somente um módulo

Exemplos:

1. Considere a expressão algébrica $x-1$ e o seu módulo, ou seja, $|x-1|$. Trocando, na definição de módulo, $x$ por $x-1$, vamos ter

$$|x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-1, & \mbox{se} & x-1 \geq 0 \\ -(x-1), & \mbox{se} & x-1 < 0. \end{array} \right.$$

Podemos melhorar o que está escrito acima. Note que $-(x-1) = -x+1$, $x-1 \geq 0$ é equivalente a $x \geq 1$ e que $x-1 < 0$ é equivalente a $x < 1$. Assim,

$$|x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-1, & \mbox{se} & x \geq 1 \\ -x+1, & \mbox{se} & x < 1. \end{array} \right.$$

Pronto! Reescremos a expressão $|x-1|$, a qual possui somente um módulo, como uma expressão que não possui módulo. A expressão reescrita fica assim mesmo, em duas partes. Você pode até pensar que não ficou tão simples ou que não há vantagem em reescrever uma expressão com módulo dessa forma, mas apesar disso, é vantajoso. Fazer contas com uma expressão sem módulo, mesmo que esteja em partes, é mais fácil.

Vamos fazer mais um exemplo. 

2. Considere a expressão com módulo $|2x+3|$. Usando o mesmo raciocínio anterior e fazendo as contas

$$-(2x+3) = -2x-3,$$

\begin{eqnarray} 2x + 3 & \geq & 0 \\ 2x &\geq& -3 \\ x &\geq& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} 2x + 3 & < & 0 \\ 2x &<& -3 \\ x &<& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}

temos que,

$$|2x+3| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x+3, & \mbox{se} & x \geq -\frac{3}{2} \\ -2x-3 & \mbox{se} & x < -\frac{3}{2}. \end{array} \right.$$

Agora vamos complicar um pouquinho as coisas. Vamos fazer dois exemplos com expressões com mais de um módulo.

Expressões com mais de um módulo

Exemplos:

3. Considere a expressão $|x+1| + |x-2|$. Primeiramente, reescreva, sem utilizar o módulo, os dois termos da soma, assim como fizemos nos exemplos anteriores. Desse modo, temos

$$|x+1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x+1, & \mbox{se} & x \geq -1 \\ -x-1 & \mbox{se} & x < -1 \end{array} \right.$$

e

$$|x-2| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-2, & \mbox{se} & x \geq 2 \\ -x+2 & \mbox{se} & x < 2 \end{array} \right.$$

Note que, aos reescrevermos a expressão $|x-1|$, ela ficou dividida em duas partes pelo $-1$ e a expressão $|x-2|$ ficou dividida em duas partes pelo $2$. Desse modo, para reescrevermos a soma $|x+1|+|x-2|$ sem os módulos, devemos considerar três possibilidades para o valor de $x$, a saber, $x < -1$, $-1 \leq x < 2$ e $x \geq 2$ e analisar o que acontece com a soma dos módulos em cada um desses casos. Devemos fazer isso pois alguma das expressões dentro dos módulos sempre mudará de sinal quando mudamos o intervalo onde $x$ está. Assim, temos:

• Para $x < -1$:

Nesse caso temos $|x+1| = -x-1$ e, como, $x < -1 < 2$, também temos $|x-2| = -x+2$. Logo, para $x < -1$, segue que

$$|x+1|+|x-2| = -x-1 + (-x+2) = -2x+1$$

• Para $-1 \leq x < 2$:

Nesse caso, temos $|x+1| = x+1$ e $|x-2| = -x+2$. Logo, para $-1 \leq x < 2$, segue que

$$|x+1|+|x-2| = x+1 + (-x+2) = 3$$

• Para $x \geq 2$:

Nesse caso,  como $x \geq 2 \geq -1$ temos $|x+1| = x+1$ e $|x-2| = x-2$. Logo, para $x \geq 2$, segue que

$$|x+1|+|x-2| = x+1 + x-2 = 2x-1.$$

Reescrevendo os cálculos acima em uma expressão só, temos:

$$|x+1|+|x-2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -2x+1, & \mbox{se} & x < -1 \\ 3 & \mbox{se} & -1 \leq x < 2 \\ 2x-1 & \mbox{se} & x \geq 2 \end{array} \right.$$

Portanto, a expressão $|x+1|+|x-2|$ pode ser reescrita sem o módulo em três partes.

Vamos fazer mais um exemplo parecido com o anterior. 

4. Considere a expressão $|2x-1|-3|x+4|$. Reescrevendo os módulos que aparecem nessa expressão, temos 

$$|2x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x-1, & \mbox{se} & x \geq \frac{1}{2} \\ -2x+1 & \mbox{se} & x < \frac{1}{2} \end{array} \right.$$

e

$$|x+4| = \left\{ \begin{array}{rcc} x+4, & \mbox{se} & x \geq -4 \\ -x-4 & \mbox{se} & x < -4 \end{array} \right.$$

Como o primeiro módulo foi dividido em duas partes em $\displaystyle\frac{1}{2}$ e o segundo em $-4$, para reescrever a expressão $|2x-1|-3|x+4|$ vamos considerar os casos $x < -4$, $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$ e $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$. Desse modo,

• Para $x < -4$:

Como $x < -4 < \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que  $|2x-1| = -2x+1$. Também temos $|x+4| = -x-4$. Logo, para $x < -4$, segue que

$$|2x-1|-3|x+4| = -2x+1 - 3(-x-4) = -2x+1 + 3x + 12 = x+13$$

• $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$:

Nesse caso, temos $|2x-1| = -2x+1$ e $|x+4| = x+4$. Logo, para $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que

$$|2x-1|-3|x+4| = -2x+1 - 3(x+4) = -2x+1 - 3x - 12 = -5x-11$$

• Para $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$:

Nesse caso, temos $|2x-1| = 2x-1$ e, como $x \geq \displaystyle\frac{1}{2} > -4$, segue que $|x+4| = x+4$. Logo, para $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que

$$|2x-1|-3|x+4| = 2x-1 - 3(x+4) = 2x-1 - 3x - 12 = -x-13$$

Reescrevendo os cálculos acima em uma expressão só, temos:

$$|2x-1|-3|x+4| = \left\{ \begin{array}{ccc} x+13, & \mbox{se} & x < -4 \\ -5x-11 & \mbox{se} & -4 \leq x < \frac{1}{2} \\ -x-13 & \mbox{se} & x \geq \frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Observação: Se você precisar reescrever uma expressão que é formada por somas ou subtrações de mais de 2 módulos, você pode usar o mesmo raciocínio. Mas lembre-se, quanto mais termos com módulo houver na expressão, em um maior número de partes ela será dividida. Por exemplo, uma expressão com três módulo será divida em quatro partes, uma com 4 módulos será dividida em 5 partes e assim por diante.

Vamos passar para um outro caso. Vamos abordar expressões com módulos e sem módulos. 

Expressões com módulos e sem módulos

Exemplos:

5. Considere a expressão $|3-2x| + x-2$. O termo da expressão que possui um módulo precisa ser reescrito sem o módulo, enquanto os outros que não possuem módulo, podem simplesmente serem mantidos como estão. Reescrevendo $|3-2x|$ temos

$$|3-2x| = \left\{ \begin{array}{rcc} 3-2x, & \mbox{se} & x \leq \frac{3}{2} \\ 2x-3 & \mbox{se} & x > \frac{3}{2} \end{array} \right.$$  

Desse modo, temos:

• Para $x \leq \displaystyle\frac{3}{2}$:

Como $x \leq \displaystyle\frac{3}{2}$, temos que $|3-2x| = 3-2x$. Assim,

$$|3-2x|+x-2 = 3-2x+x-2 = -x+1.$$

• Para $x > \displaystyle\frac{3}{2}$:

Como $x > \displaystyle\frac{3}{2}$, temos que $|3-2x| = 2x-3$. Assim,

$$|3-2x|+x-2 = 2x-3+x-2 = 3x-5.$$

Juntando os cálculos acima em uma expressão só, temos:

$$|3-2x|+x-2 = \left\{ \begin{array}{rcc} -x+1, & \mbox{se} & x \leq \frac{3}{2} \\ 3x-5 & \mbox{se} & x > \frac{3}{2} \end{array} \right.$$

Vamos fazer mais um exemplo.

6. Considere a expressão $2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5$. Vamos reescrever os módulos dessa expressão e vamos manter os termos que não possuem módulo.Temos

$$|1-x| = \left\{ \begin{array}{rcc} 1-x, & \mbox{se} & x \leq 1 \\ x-1 & \mbox{se} & x > 1 \end{array} \right.$$

e

$$|2x+1| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x+1, & \mbox{se} & x \geq -\frac{1}{2} \\ -2x-1 & \mbox{se} & x < -\frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Temos que escrever a soma $2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5$ considerando os casos $x < -\displaystyle\frac{1}{2}$, $-\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ e $ x > 1$.

• Para $x < -\displaystyle\frac{1}{2}$, temos 

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(1-x) + (-2x-1) -4x -5 = 2-2x-2x-1-4x-5=-8x-4$$

• Para $-\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1$, temos 

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(1-x) + 2x+1 -4x -5 = 2-2x+2x+1-4x-5=-4x-2$$

• Para $x >1$, temos 

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(x-1) + 2x+1 -4x -5 = 2x-2+2x+1-4x-5=-6$$

Reunindo todas as informações acima numa expressão só, temos

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = \left\{ \begin{array}{rcc} -8x-4, & \mbox{se} & x < -\frac{1}{2} \\ -4x-2 & \mbox{se} & -\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1 \\ -6 & \mbox{se} & x >1 \end{array} \right.$$

Exemplos em vídeo:

Agora sabemos reescrever expressões com módulos sem utilizar módulos. A partir da próxima postagem, vamos voltar com as inequações.

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Equações Algébricas #5: Equações modulares

Essa é a última postagem sobre equações algébricas, mas não a menos importante. O módulo ou valor absoluto de um número real é um objeto matemático muito importante. Ele está presente em cálculos simples, como a distância entre dois ponto em uma reta, e até em cálculos mais complexos, como o erro permitido em aproximações. Por esse motivo, ele aparece, não poucas vezes, em equações. O objetivo dessa postagem é apresentar maneiras de resolver uma equação na qual a incógnita está dentro de um ou mais módulos, isto é, apresentar maneiras de resolver equações modulares. Vamos lá!

Equações modulares

Definição de módulo

Antes de definirmos as equaçoes modulares, vamos nos lembrar da definição de módulo de um número real e suas propriedades.

Definição: O módulo ou valor absoluto de um número real $x$, denotado por $|x|$, é definido como sendo

$$|x| = \left\{ \begin{array}{rcc} x, & \mbox{se} & x \geq 0 \\ -x, & \mbox{se} & x < 0. \end{array} \right.$$

Resumidamente, o que o módulo faz é o seguinte: se $x$ é positivo ou $0$, então o módulo "não faz nada" com o $x$. Se $x$ é negativo, o módulo o transforma em positivo. A seguir temos alguns exemplos:

Exemplos:

1. $|5| = 5$

2. $\left| -\displaystyle\frac{11}{2}\right| = \displaystyle\frac{11}{2}$

3. $|\pi| = \pi$

4. $| -\sqrt[3]{5}| = \sqrt[3]{5}$

Propriedades do módulo

Agora que lembramos o que é o módulo de um número real, vamos lembrar de algumas de suas propriedades que são importantes na hora de reolver equações com módulos.

Dados $x,y \in \mathbb{R}$, valem as seguintes propriedades:

(i) $|x| \geq 0$;

(ii) $|x| = 0$ se, e somente se, $x=0$;

(iii) $|-x| = |x|$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

(iv) $|xy| = |x| \cdot |y|$.

(v) $\left|\displaystyle\frac{x}{y}\right| = \displaystyle\frac{|x|}{|y|}$, se $ y \neq 0$.

Para ter mais detalhes sobre o módulo de um número real, veja essa postagem que é dedicada somente a ele. Se quiser mais detalhes sobre as propriedades do módulo de um número real, veja também essa postagem.

Equações modulares

Agora vamos definir o que é uma equação modular.

Definição: Uma equação modular é uma equação que possui um módulo ou mais módulos nos quais a incógnita está, no 1º membro, no 2º membro os nos dois membros da equação.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

5. $|3x-2| = 5$

6. $|4x^2-x+8| = |x|+3$

7. $\left| \displaystyle\frac{x}{x+1}\right| = 1$

Agora vamos aos exemplos de como resolver equações modulares.

Exemplos:

8. Determine as soluções da equação $|x+2|=3$.

Solução: Em qualquer equação, o objetivo sempre é isolar a incógnita para poder encontrar o seu valor. Para fazer isso em uma equação modular, nós precisamos primeiro encontrar uma forma  de "retirar" o módulo da equação para que possamos isolar o $x$. A forma de retirar o módulo da equação é usando a própria definição de módulo. A equação do enunciado é $|x+2|=3$, isto é, precisamos determinar um valor de $x$ de modo que o módulo de $x+2$ seja igual a $3$. Pela definição de módulo, o módulo de $x+2$ será igual a $3$ se $x+2$ for igual a $3$ ou se $x+2$ for igual a $-3$, pois o módulo de $3$ e de $-3$ são ambos iguais a $3$. Logo, para determinarmos as soluções da equação $|x+2|=3$, temos que reolver duas equações, a saber, $x+2=3$ e $x+2=-3$. Resolvendo essas duas equações, temos:

\begin{eqnarray} x+2 &=& 3 \\ x &=& 3 -2 \\ x &=& 1\end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+2 &=& -3 \\ x &=& -3 - 2 \\ x &=& -5 \end{eqnarray}

Portanto, as soluções da equação são $x=1$ e $x=-5$. Verificando se esses valores de $x$ são realmente soluções, temos:

\begin{eqnarray} |x+2| &=& 3 \\ |1+2| &=& 3  \\ |3| &=& 3 \\ 3 &=& 3\end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} |x+2| &=& 3 \\ |-5+2| &=& 3  \\ |-3| &=& 3 \\ 3 &=& 3\end{eqnarray}

O raciocínio usado no exemplo anterior pode sempre ser repetido para qualquer equação que tenha o mesmo formato, isto é, para resolver uma equação na forma $|u|=a$ onde $u$ é uma expressão que possui uma incógnita e $a$ é um número real maior ou igual a zero, basta resolver as equações $u=a$ e $u=-a$. Vamos ver mais um exemplo com uma equação nesse formato.

9. Determine as soluções da equação $|x^2+x-1|=1$.

Solução: De acordo com o raciocínio aplicado ao exemplo anterior, temos que resolver as equações $x^2+x-1=1$ e $x^2+x-1=-1$. Resolvendo a primeira equação, temos:

\begin{eqnarray} x^2+x-1 &=& 1 \\ x^2+x-1-1 &=& 0 \\ x^2+x-2 &=& 0 \end{eqnarray}

Aplicando soma e produto nessa útima equação, obtemos como soluções os números $-2$ e $1$. Passando agora para segunda equação, temos:

\begin{eqnarray} x^2+x-1 &=& -1 \\ x^2+x-1+1 &=& 0 \\ x^2+x &=& 0 \\ x(x+1) &=& 0 \end{eqnarray}

Dessa última equação, temos que $x=0$ é uma solução. A outra solução dessa equação é a solução de $x+1=0$, isto é, a outra solução é igual a $-1$. 

Logo, as soluções da equação $|x^2+x-1|=1$ são $-2$, $-1$, $0$ e $1$. 

10. Calcule as soluções da equação $|2x+1| = |x-4|$.

Solução: A equação desse exemplo não está no formato das equações dos dois exemplos anteriores, ela possui dois módulos, um igual ao outro. Apesar dessa equação ser diferente das anteriores, a maneira de resolver é bem parecida. Para que dois módulos sejam iguais, as expressões que estão dentro deles devem ser iguais, ou devem ter os sinais trocados, isto é, a equação será verdadeira para os valores de $x$ tais que $2x+1 = x-4$ e $2x+1 = -(x-4) = -x+4$. Resolvendo essas equações, temos:

\begin{eqnarray} 2x+1 &=& x-4 \\ 2x-x &=& -4-1 \\ x &=& -5 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} 2x+1 &=& -x+4 \\ 2x+x &=& 4-1 \\ 3x &=& 3 \\ x &=& \frac{3}{3} \\ x &=& 1 \end{eqnarray}

Portanto, as soluções dessa equação são $-5$ e $1$.

O raciocínio que usamos nesse exemplo pode ser usado em qualquer equação que tenha o mesmo formato, ou seja, se a equação estiver no formato $|u| = |v|$, onde $u$ e $v$ são expressões que contém uma incógnita, para encontrar as soluções dessa equação é preciso resolver as equações $u=v$ e $u=-v$. Vamos fazer mais um exemplo com equações nesse formato.

11. Calcule as soluções da equação $|2x^2+x| = |x^2+3x+3|$.

Solução: Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, para determinarmos as soluções dessa equação, devemos resolver as equações $2x^2+x = x^2+3x+3$ e $2x^2+x  = -x^2 -3x -3$. Resolvendo a primeira equação, temos:

\begin{eqnarray} 2x^2+x &=& x^2+3x+3 \\ 2x^2 +x -x^2-3x-3 &=& 0 \\ x^2 -2x -3 &=& 0  \end{eqnarray}

Aplicando soma e produto na última equação, temos que as suas soluções são $-1$ e $3$. Passando agora para a segunda equação, temos:

\begin{eqnarray} 2x^2+x  &=& -x^2 -3x -3 \\ 2x^2+x+x^2+3x+3 &=& 0 \\ 3x^2+4x+3 &=& 0 \end{eqnarray}

Aplicando a fórmula de Bhaskara na última equação, temos:

\begin{eqnarray} \Delta &=& 4^2-4 \cdot 3 \cdot 3 \\ &=& 16 - 36 = -20 \end{eqnarray}

Como $\Delta < 0$, a última equação não possui solução. Portanto, as soluções da equação $|2x^2+x| = |x^2+3x+3|$ são $-1$ e $3$. 

12. Determine as soluções da equação $\left| \displaystyle\frac{3x}{x^2-1} \right| = 2$.

Solução: Nesse exemplo temos uma equação modular onde há um quociente dentro do módulo. Mesmo havendo um quociente na equação, ela pode ser resolvida usando a mesma estratégia usada no exemplo 8, isto é, devemos resolver as equações $\displaystyle\frac{3x}{x^2-1} = 2$ e $\displaystyle\frac{3x}{x^2-1} = -2$. Resolvendo a primeira equação, temos

\begin{eqnarray} \frac{3x}{x^2-1} &=& 2 \\ 3x &=& 2(x^2-1) \\ 3x &=& 2x^2-2 \\ 2x^2-3x-2 &=& 0 \end{eqnarray}

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa última equação. Temos:

\begin{eqnarray} \Delta &=& (-3)^2-4 \cdot 2 \cdot (-2) \\ \Delta &=& 9+16 = 25 \end{eqnarray}

Desse modo

\begin{eqnarray} x &=& \frac{3 \pm 5}{4} \end{eqnarray}

Logo, segue que $x_1 = 2$ e $x_2 = -\displaystyle\frac{1}{2}$. Vamos agora para a segunda equação.

\begin{eqnarray} \frac{3x}{x^2-1} &=& -2 \\ 3x &=& -2(x^2-1) \\ 3x &=& -2x^2+2 \\ 2x^2+3x-2 &=& 0 \end{eqnarray}

Aplicando a fórmula de Bhaskara nessa útlima equação, temos

\begin{eqnarray} \Delta &=& 3^2-4 \cdot 2 \cdot (-2) \\ \Delta &=& 9+16 = 25 \end{eqnarray}

e \begin{eqnarray} x &=& \frac{-3 \pm 5}{4} \end{eqnarray}

Logo, segue que $x_3 = \displaystyle\frac{1}{2}$ e $x_4 = -2$. 

Encontramos 4 possibilidades de soluções para a equação. Para garantir que cada valor de $x$ que encontramos é de fato uma solução, esses valores não podem anular o denominador que aparece na equação. Como os valores de $x$ que anulam $x^2-1$ são $-1$ e $1$, segue que as soluções da equação $\left| \displaystyle\frac{3x}{x^2-1} \right| = 2$ são $-2$, $-\displaystyle\frac{1}{2}$, $\displaystyle\frac{1}{2}$ e $2$.

Observação importante: Considere a equação $|x-2| = -2x+8$. Essa equação não pode ser resolvida determinando as soluções das equações $x-2 = -2x+8$ e $x-2 = 2x-8$. A primeira equação tem como solução $x=\displaystyle\frac{10}{3}$ e a segunda tem como solução $x=6$. O número $6$ não é solução da equação $|x-2| = -2x+8$, pois $|6-2| =|4|=4$ e $-2 \cdot 6+8 = -12+8 = -4$. Então, precisamos de uma outra estratégia para resolver essa equação. No vídeo que está no final da postagem tem um vídeo explicando como resolver esse tipo de equação modular. Então, tenha cuidado! Equações na forma $|u| = v$ onde $u$ e $v$ são expressões algébricas com uma incógnita, não podem, em geral, serem resolvidas com as equações $u=v$ e $u=-v$.

Observação: 

(a) Se uma equação modular tem a forma $|u|=0$ onde $u$ é uma expressão que contém uma incógnita, ela é equivalente à equação $u=0$, pois o módulo de um número é igual a zero se, e somente se, esse número for igual a zero. Nesses casos não temos duas equações para resolver, precisamos resolver somente a equaçao $u=0$. 

(b) Se uma equação modular tem a forma $|u|=a$ com $a$ negativo, a equação não possui solução, pois o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero.

Com esses exemplos e estratégias apresentadas aqui acredito que você conseguirá resolver várias equações modulares.

Exemplo em vídeo:

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Potenciação e Radiciação #4: Propriedades da radiciação

No post anterior aprendemos o que é uma raiz de índice $n$. Para um bom conhecimento sobre raízes, saber somente o que é uma raiz de índice $n$ não é suficiente, por esse motivo, vimos também que não é possível calcular raiz de índice par de números negativos e, mais que isso, vimos que raiz de um número positivo sempre existe e que, se $n$ for ímpar, existe também as raízes de números negativos. Agora que conhecemos o que é a radiciação e alguns de seus detalhes mais importantes, chegou a hora de vermos ainda mais detalhes sobre ela. Nesse post vamos ver as propriedades da radiciação, as quais são muito úteis para calcular e simplificar raízes. Vamos lá!

Propriedades da radiciação

Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, com $a,b \geq 0$, $m \in \mathbb{Z}$ e $n,p \in \mathbb{N}$ onde $m \neq 0$ e $n,p \geq 2$. Valem:

(i) $\sqrt[n]{a^n} = a$;

(ii) $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$;

(iii) $\displaystyle\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}} = \displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ se $b \neq 0$;

(iv) $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$;

(v) $\sqrt[p]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[p \cdot n]{a}$;

(vi) $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$.

(vii) Se $\sqrt[n]{a} = b$, temos que $b^n = a$. Assim, $(\sqrt[n]{a})^n = b^n = a$ e, portanto, $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Para essa postagem não ficar muito longa e, como o objetivo dela é aprender a calcular e usar as propriedades da radiciação, não vou demonstrar essas propriedades (quem sabe em uma outra oportunidade).

Observações importantes: 

(a) As propriedades acima estão enunciadas para $a$ e $b$ números reais maiores ou iguais a zero. Bom, é isso mesmo e é muito importante estar atento a esse fato pelos seguintes motivos:

• a propriedade (i) não vale quando $a$ é negativo, devido à definição de raiz de índice $n$;
• Se considerarmos $a$ ou $b$ negativos na propriedade (ii) e na propriedade (iii), elas nem sempre serão verdadeiras, pois pode aparecer uma raiz com índice par de um número negativo, a qual sabemos que não existe. Por exemplo, $\sqrt{8} = \sqrt{(-2) \cdot (-4)}$ que é diferente de $\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-4}$, visto que essas duas últimas raízes não existem. Também, $\sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{6}} = \sqrt[4]{\displaystyle\frac{-1}{-6}}$, a qual não é igual a $\displaystyle\frac{\sqrt[4]{-1}}{\sqrt[4]{-6}}$, visto novamente que as duas últimas raízes também não existem. A propriedades (i) e (ii) serão verdadeiras para $a$ ou $b$ negativos somente se $n$ for ímpar.
• Se considerarmos $a$ negativo nas propriedades (iv), (v) e (vi), elas podem se tornar falsas, pois também pode aparecer uma raiz com índice par de um número negativo, a qual não existe. Por exemplo, $\sqrt{(-2)^4}$ é diferente de $(\sqrt{-2})^4$ pois $\sqrt{-2}$ não existe, $\sqrt[4]{\sqrt[3]{-8}}$ nem pode ser calculada pois $\sqrt[3]{-8}$ é um número negativo que está dentro de uma raiz de índice par e, por último $\sqrt[2]{(-1)^{3}}$ não existe e, portanto é diferente de $\sqrt[4 \cdot2]{(-1)^{4 \cdot 3}} = \sqrt[8]{(-1)^{12}} = 1$. A propriedade (iv) vale para $a$ negativo só quando o $n$ for ímpar ($m$ pode ser par ou ímpar), a propriedade (v) só vale para $p$ e $n$ ímpares e, é melhor usar a propriedade (vi) somente para $a$ positivo mesmo.
• A propriedade (vii) vale para todo $n$ quando $a \in \mathbb{R}$ é maior ou igual a $0$ e, se $a$ for negativo, essa propriedade vale somente para $n$ ímpar.

Essas propriedades podem ser usadas, mas cuidado, observe as condições nas quais elas podem ser usadas.

(b) A propriedade (i) pode ser generalizada de modo a incluir os números negativos. Ela fica dessa forma:

$$\sqrt[n]{a^n} = \left\{\begin{array}{ccc} |a| & \mbox{se} & n \mbox{ for par}   \\ a & \mbox{se} & n \mbox{ for ímpar}.\end{array}\right.$$

Isso se deve ao fato de que a definição de raiz de índice $n$ de um número real $a$ diz que o resultado da raiz deve ter o mesmo sinal do número $a$.

Por exemplo,

$$\sqrt{4^2} = 4 = |4|; \mbox{ } \sqrt[4]{(-10)^4} = 10 = |-10|; \mbox{ } \sqrt[3]{7^3} = 7 \mbox{ e } \sqrt[5]{(-8)^5} = -8.$$

(c) No caso  de $n$ ser um número ímpar, se $a \in \mathbb{R}$ é um número positivo, vale a igualdade $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$. De fato, observe que $\sqrt[n]{-1} = -1$ quando $n$ é impar e, usando o segundo ponto da observação (b) acima, temos

$$\sqrt[n]{-a} = \sqrt[n]{(-1) \cdot a} = \sqrt[n]{-1}\sqrt{a} = -1 \cdot \sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{a}.$$ 

Por exemplo,

$$\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8}; \mbox{ } \sqrt[5]{-10} = -\sqrt[5]{10} \mbox{ e } \sqrt[9]{-2} = -\sqrt[9]{2}.$$  

Vamos ver agora alguns exemplos de como aplicar as propriedades de (i) a (vi).

Exemplos:

1. $\sqrt{3^2} = 3$; $\sqrt[3]{5^3} = 5$; $\sqrt[4]{10^4} = 10$;

2. $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9}$; $\sqrt[5]{3 \cdot 8} = \sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[5]{8}$;

3. $\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{5}{3}} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$; $\displaystyle\sqrt[4]{\displaystyle\frac{9}{7}} = \displaystyle\frac{\sqrt[4]{9}}{\sqrt[4]{7}}$;

4. $(\sqrt{3})^5 = \sqrt{3^5}$; $(\sqrt[6]{2})^4 = \sqrt[6]{2^4}$; $(\sqrt[4]{5})^{-1} = \sqrt[4]{5^{-1}} = \sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{5}}$;

5. $\sqrt{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4}$; $\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}} = \sqrt[5 \cdot 3]{11} = \sqrt[15]{11}$;

6. $\sqrt{5^4} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^{3 \cdot 4}} = \sqrt[6]{5^{12}}$; $\sqrt[3]{7^{-5}} = \sqrt[ 4 \cdot 3]{7^{4 \cdot (-5)}} = \sqrt[12]{7^{-20}}$.

7.  $(\sqrt{3})^2 = 3$; $(\sqrt[3]{5})^3 = 5$; $(\sqrt[5]{-100})^5 = -100$.

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Números Reais #11: Propriedades do módulo

Agora que já sabemos o que é o módulo ou valor absoluto de um número real e também a sua interpretação geométrica, podemos passar para as suas propriedades. Saber quais são as propriedades do módulo é fundamental. Elas são muito úteis no estudo de intervalos de números reais,  limites de funções e de sequências, séries numéricas e de potência, derivada e integral de funções (eu poderia citar mais exemplos onde os módulos podem aparecer, mas acredito que esses já justificam o estudo dos módulos). Sem mais demora, vamos às propriedades do módulo.

Observação: Para entender bem essa postagem é necessário ter em mente o que é potenciação (mais especificamente, elevar ao quadrado) e o que é radiciação (mais especificamente, raiz quadrada).

Propriedades imediatas do módulo

Essas são propriedades que seguem imediatamente da definição de módulo e das propriedades dos números reais.

(i) $|x| \geq 0$;

(ii) $|x| = 0$ se, e somente se, $x=0$;

(iii) $|-x| = |x|$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

Vamos fazer a demonstração da propriedade (iii). Se $x=0$, vamos ter $|-0| = |0| = 0$, ou seja, a propriedade vale para $x=0$. Vamos considerar agora $x < 0$, ou seja, $x$ negativo. Assim, se $x$ é negativo, então $-x$ é positivo. Sendo $-x$ positivo, vamos ter, pela definição de módulo, que $|-x| = -x$. Agora, como $x$ é negativo, novamente pela definição de módulo, temos $|x| = -x$. Logo, para $x < 0$, temos $|-x| = |x|$. Considere agora $x > 0$, ou seja, $x$ positivo. Sendo $x$ positivo, segue que $-x$ é negativo e, pela definição de módulo $|-x| = -(-x) = x$. Mas, como $x$ é positivo, vamos ter que $|x| = x$. Logo $|-x| = |x|$ para todo $x>0$. Mostramos então que, para qualquer $x \in \mathbb{R}$, sempre vamos ter $|-x| = |x|$.

Exemplo: Temos $|-5| = |5| = 5$.

Propriedades do módulo e intervalos

As propriedades a seguir relacionam módulos e intervalos na reta real. Para $x, a \in \mathbb{R}$ com $a > 0$, temos:

(i) $|x| \leq a$ se, e somente se, $x \in [-a,a]$ (equivalentemente, $-a \leq x \leq a$).

(ii) $|x| < a$ se, e somente se, $x \in (-a,a)$ (equivalentemente, $-a < x < a$).

(iii) $|x| \geq a$ se, e somente se, $x \in (-\infty,-a]$ ou $x \in [a, +\infty)$ (equivalentemente, $x \leq -a$ ou $x \geq a$).

(iv) $|x| > a$ se, e somente se, $x \in (-\infty,-a)$ ou $x \in (a, +\infty)$ (equivalentemente, $x < -a$ ou $x > a$).

Não faremos a demonstração formal dessas propriedades, mas justificaremos as propriedades (i) e (iii) usando a interpretação geométrica do módulo.

Justificativa da propriedade (i): Dado um número real $x$, pela interpretação geométrica do módulo, sabemos que $|x|$ é a distância de $x$ até o número $0$ na reta real. Desse modo, podemos interpretar a inequação $|x| \leq a$ como sendo o conjunto dos números $x$ tais que suas distâncias para o zero são menore ou iguais a $a$. Na figura abaixo, está marcado em vermelho, os números que estão a uma distância menor ou igual a $a$ do $0$.

Assim, para que a distância de um número $x$ para o zero seja menor ou igual a $a$, ele deve estar em algum lugar desse intervalo em vermelho representado acima. Logo, ele deve estar em $[-a,a]$, ou ainda, vale $-a \leq x \leq a$. Observe que a recíproca também é verdadeira, se $x \in [-a,a]$ ou, de forma equivalente, se $-a \leq x \leq a$, então $x$ está no intervalo pintado de vermelho na figura acima. Isso significa que a distância de $x$ para o zero é menor ou igual a $a$. Logo $|x| \leq a$. Portanto, está justificada a propriedade (i). 

Para justificar a propriedade (ii), basta seguir de forma análoga ao que foi feito em (i), trocando onde está "$\leq$" por "$<$" e trocando na figura as bolinhas fechadas por bolinhas abertas.

 

Justificativa da propriedades (iii): Dado um número real $x$, novamente usando a  interpretação geométrica do módulo, segue que $|x|$ é a distância de $x$ até o número $0$ na reta real. Desse modo, podemos ver a inequação $|x| \geq a$ como sendo o conjunto dos números $x$ tais que suas distâncias para o zero são maiores ou iguais a $a$. Na figura abaixo, está marcado em vermelho, os números que estão a uma distância maior ou igual a $a$ do $0$.

Desse modo, para que a distância de um número $x$ até o zero seja maior ou igual a $a$, ele deve estar em algum desses intervalos destacados em vermelho representados na figura acima. Assim, ele deve estar em $(-\infty,-a]$ ou em $[a, +\infty)$, o que é equivalente a  $x \leq a$ ou $x \geq a$. A recíproca também é verdadeira, se $x \in (-\infty, -a]$ ou $x \in [a, +\infty)$ ou, de forma equivalente, se $x \leq -a$ ou  $x \geq a$, então $x$ está em um dos intervalos pintados de vermelho na figura acima. Isso significa que a distância de $x$ para o zero é maior ou igual  a $a$. Logo $|x| \geq a$. Portanto, está justificada a propriedade (iii). 

Para justificar a propriedade (iv), basta seguir de forma semelhante ao que foi feito em (iii), trocando onde está "$\leq$" e "$\geq$" por "$<$" e "$>$", respectivamente, e trocando na figura as bolinhas fechadas por bolinhas abertas.

Exemplos:

1. Se $|x| \leq 2$, então $x \in [-2,2]$ ou, de forma equivalente, $-2 \leq x \leq 2$.

2. Se $|x| < 1$, então $x \in (-1,1)$ ou, de forma equivalente, $-1 < x < 1$.

3. Se $|x| \geq 3$, então $x \in (-\infty,-3]$ ou $x \in [3,+\infty)$. De forma equivalente, $x \leq -3$ ou $x \geq 3$.

4. Se $|x| > 9$, então $x \in (-\infty,-9)$ ou $x \in (9,+\infty)$. De forma equivalente, $x < -9$ ou $x > 9$.

Outras propriedades importantes do módulo

Nessa seção veremos mais algumas propriedades dos módulos que podem ser bastante úteis.

(i) Para todo $x \in \mathbb{R}$ tem-se $|x|^2 = x^2$.

Demonstração: Se $x \geq 0$, pela definição de módulo, segue que $|x| = x$ e, assim, $|x|^2 = x^2$. Se $x < 0$, novamente pela definição de módulo, temos que $|x| = -x$ e, sendo assim, $|x|^2 = |x||x| = (-x)(-x) = x^2$. Portanto essa propriedade é verdadeira.

Exemplos:

1. $|5|^2 = 5^2 = 25$.

2. $|-8|^2 = 8^2 = 64 = (-8)^2$. 

Observação importante: Para $a \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$, $\sqrt{a}$ indica a raiz quadrada positiva de $a$. Assim, da propriedade anterior, temos

$$\sqrt{x^2} = |x|.$$

Exemplos:

1. $\sqrt{9^2} = |9| = 9$.

2. $\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$.

(ii) Dado $a \in \mathbb{R}$ com $a > 0$, as soluções reais da equação $|x| = a$ são $a$ e $-a$.

Demonstração: Das propriedades imediatas do módulo que vimos no início da postagem, temos que $|x| \geq 0$. Disso, do fato que $a>0$ e de $|x| = a$, segue que $|x|^2 = a^2$. Da propriedade anterior, temos que $|x|^2 = x^2$. Como $|x|^2=a^2$ e $|x| = x^2$, então $x^2=a^2$, ou ainda, $x^2-a^2 = 0$. Essa última igualdade pode ser escrita na forma $(x-a)(x+a) = 0$. Assim, temos um produto de dois números, $x-a$ e $x+a$, igual a zero, logo, as soluções dessa equação são os números onde cada um dos fatores do produto é igual a zero. Então, as soluções da equação $(x-a)(x+a) = 0$ são $a$ e $-a$. Portanto, provamos que, se $|x| = a$, então $x=-a$ ou $x=a$, isto é, a propriedade (ii) é verdadeira.

Exemplo: As soluções da equação $|x| = 10$ são $x=10$ e $x = -10$.

(iii) Se $x,y \in \mathbb{R}$, então $|x||y| = |xy|$.

Demonstração: Como $x$, $y$ e $xy$ são números reais quaisquer, podemos aplicar neles a propriedade (i). Fazendo isso, vamos obter,

$$|xy|^2 = (xy)^2 = x^2y^2 = |x|^2|y|^2 = (|x||y|)^2.$$

Como $|xy| \geq 0$ e $|x||y| \geq 0$ (pois $|x| \geq 0$ e $y \geq 0$), segue que,

$$|xy|^2 = (|x||y|)^2 \mbox{ que implica } \sqrt{|xy|^2} = \sqrt{(|x||y|)^2} \mbox{ que, por sua vez, implica } |xy| = |x||y|.$$

Portanto $|xy| = |x||y|$.

Exemplos:

1. $|2 \cdot 3| = |6| = 6$ e $|2||3| = 2 \cdot 3 = 6$.

2. $|(-1) \cdot 5| = |-5| = 5$ e $|-1||5| = 1 \cdot 5 =5$.

3. $|3 \cdot (-7)| = |-21| = 21$ e $|3||-7| = 3 \cdot 7 = 21$.

4. $|-4 \cdot (-8)| = |32| = 32$ e $|-4||-8| = 4 \cdot 8 = 32$.

(iv) Dados $x, y \in \mathbb{R}$ com $y \neq 0$, vale $\left|\displaystyle\frac{x}{y}\right| = \displaystyle\frac{|x|}{|y|}$.

Demonstração: É análoga à da propriedade anterior.

Exemplos:

1. $\left|\displaystyle\frac{3}{2}\right| = \displaystyle\frac{3}{2}$ e $\displaystyle\frac{|3|}{|2|} = \displaystyle\frac{3}{2}$.

2. $\left|\displaystyle\frac{-6}{5}\right| = \left|-\displaystyle\frac{6}{5}\right| = \displaystyle\frac{6}{5}$ e $\displaystyle\frac{|-6|}{|5|} = \displaystyle\frac{6}{5}$.

3. $\left|\displaystyle\frac{2}{-7}\right| =\left|-\displaystyle\frac{2}{7}\right| = \displaystyle\frac{2}{7}$ e $\displaystyle\frac{|2|}{|-7|} = \displaystyle\frac{2}{7}$.

4. $\left|\displaystyle\frac{-11}{-9}\right| = \left|\displaystyle\frac{11}{9}\right| = \displaystyle\frac{11}{9}$ e $\displaystyle\frac{|-11|}{|-9|} = \displaystyle\frac{11}{9}$.

(v) Para qualquer $x \in \mathbb{R}$, tem-se $x \leq |x|$ e $-x \leq |x|$.

Demonstração: Se $x \geq 0$, temos pela definição de módulo que, $|x|=x$. Assim, já temos que $x \leq |x|$. Como $x \geq 0$, segue que, $-x \leq 0$. Agora, sendo $|x| \geq 0$, obtemos $|x| \geq 0 \geq -x$, ou seja, $-x \leq |x|$. 

Vamos considerar agora $x < 0$. Assim, pela definição de módulo, $|x| = -x$. Consequentemente, já temos que $-x \leq |x|$. Observe que $|x| \geq 0$ e, juntando isso ao fato de que estamos considerando $x < 0$, temos que $x \leq |x|$. Portanto, não importa qual seja $x \in \mathbb{R}$, sempre teremos $x \leq |x|$ e $-x  \leq |x|$.

Exemplos: 

1. $|4| = 4 \geq 4$ e $|4| = 4 \geq -4$.

2. $|-2| = 2 \geq -2$ e $|-2| = 2 \geq -(-2) = 2$.   

(vi) (Desigualdade Triangular) Dados $x,y \in \mathbb{R}$, segue que $|x+y| \leq |x| + |y|$.

Demonstração: Vamos considerar duas possibilidades para $x+y$, são elas, $x+y \geq 0$ e $ x+y < 0$. 

Se $x+y \geq 0$, pela definição de módulo, vamos ter $|x+y| = x+y$. Aplicando a propriedade anterior a $x$ e a $y$, podemos escrever $x \leq |x|$ e $y \leq |y|$. Com isso, usando as propriedades de ordem dos números reais, vale a seguinte desigualdade, $x + y \leq |x| + |y|$. Como $|x+y| = x+y$, concluímos que $|x+y| \leq |x| + |y|$. 

Se $x+y < 0$, da definição de módulo segue que $|x + y| = -(x+y) = -x-y = (-x) + (-y)$. Aplicando novamente a propriedade anterior a $x$ e a $y$, temos $-x \leq |x|$ e $-y \leq |y|$. Disso e das ropriedades de ordem dos números reais, vale a desigualdade, $-x + (-y) \leq |x| + |y|$. Como $|x+y| = -x+(-y)$, concluímos que $|x+y| \leq |x| + |y|$. Portanto, essa propriedade vale para quaisquer números reais $x$ e $y$. 

Exemplos:

1. $|2+3| = |5| = 5$, $|2|+|3| = 2+3 = 5$ e $5 \leq 5$.

2. $|-1+4| = |3| = 3$, $|-1|+|4| = 1+4 = 5$ e $3 \leq 5$.

3. $|6-4| = |6+(-4)| = |2| = 2$, $|6|+|-4| = 6+4 = 10$ e $2 \leq 10$.

4. $|-2-5| = |-2+(-5)| = |-7| = 7$, $|-2|+|-5| = 2+5 = 7$ e $7 \leq 7$.

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