Chegamos ao terceiro tipo de equação que vamos estudar nessa série de postagens sobre equações algébricas, vamos estudar agora as equações irracionais. As equações irracionais são aquelas em que a incógnita está dentro de uma raiz. Algumas equações desse tipo são fáceis de resolver, mas, infelizmente, não é assim com a maioria delas. Por esse motivo, nessa postagem, vamos ver algumas estratégias que podemos usar para resolver essas equações e alguns detalhes importantes que sempre temos que obervar na hora de resolver uma equação desse tipo. Para usar essas estratégias, é importante que você saiba como resolver equações polinomiais, então, se precisar, estude a postagem sobre equações polinomiais clicando aqui. Vamos lá!
Equações irracionais
Antes de qualquer coisa, vamos lembrar bem o que é uma equação irracional.
Uma equação irracional é qualquer equação cuja incógnita está dentro de um radical (raiz).
Exemplos:
1. $\sqrt{x}-5 = 2x+1$
2. $\sqrt{x^2-4} = 4\sqrt{x}+1$
3. $\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{x+4}-x^2=\displaystyle\frac{\sqrt{x+2}}{5}$
4. $\sqrt[3]{x^2-8} = x+1$
5. $\sqrt[5]{x^3+2x-1}+x-1 = \sqrt{x}$
Esses são apenas alguns exemplos. Podemos construir equações irracionais das formas mais variadas. Observe o exemplo $5$, ele posssui raízes com índices diferentes, o que dificulta bastante a resolução dessa equação. A seguir vamos ver algumas estratégias para resolver algumas equações irracionais.
Como resolver uma equação irracional
De um modo geral, o que precisamos fazer para resolver uma equação irracional é eliminar todas as raízes que aparecem na equação. Para fazer isso, é importante lembrarmos das propriedades das operações (adição, multiplicação, potenciação e radiciação), pois vamos precisar delas . Além das propriedades mais básicas, como comutatividade da adição e da multiplicação, da propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição e das propriedades de potenciação (se precisar, vejas as propriedades das operações de soma e de multiplicação e da potenciação), também precisamos nos lembrar das propriedades da radiciação. A propriedade de radiciação que com certeza vamos usar muito, é a segunte:
$$\left(\sqrt[n]{u}\right)^n = u$$
para todo $n$ natural maior ou igual a $2$ e $u$ um número ou expressão algébrica.
Tendo essas propriedades em mente, vamos aos exemplos de como resolver equações irracionais.
Exemplos:
1. Resolva a equação $\sqrt{x-1}=2$
Solução: Para resolver essa equação, vamos começar com a propriedade da radiciação que foi mencionada acima. Como temos uma raiz quadrada em um dos membros da equação (no primeiro), vamos elevar os dois membros da equação ao quadrado, isso faz com que a raiz que está no primeiro membro "desapareça", para que a equação possa ser resolvida. Assim, temos
\begin{eqnarray} \sqrt{x-1} &=& 2 \\ \left(\sqrt{x-1}\right)^2 &=& 2^2 \\ x-1 &=& 4 \\ x &=& 4 + 1 \\ x &=& 5 \end{eqnarray}
Chegando nesse ponto, parace que já temos a solução, ou seja, $x=5$. Mas, sempre que estivermos resolvendo uma equação irracional, devemos testar as soluções que encontramos para $x$ na equação original, ou seja, naquela de onde partimos, antes de elevar os dois membros a uma potência. Assim, vamos testar $x =5$ (o único valor que encontramos para $x$) na equação original. Temos:
\begin{eqnarray} \sqrt{x-1} &=& 2 \\ \sqrt{5-1} &=& 2 \\ \sqrt{4} &=& 2 \\ 2 &=& 2 \end{eqnarray}
Portanto, temos a equação satisfeita por $x=5$, logo, essa é a solução da equação.
Agora você pode estar se perguntando: "por que fazer essa verificação?" Vou dar mais detalhes sobre isso nos próximos exemplos.
2. Resolva a equação $\sqrt{7x-3} - x = 1$.
Solução: A equação desse exemplo também é uma equação irracional, mas está um pouco diferente da equação do exemplo anterior. A diferença é que na equação anterior, no primeiro membro havia uma raiz e nada fora dela, enquanto que na equação desse exemplo temos uma raiz menos um $x$ no primeiro membro, isto é, há um $x$ fora da raiz. Quando esse tipo de coisa acontece, isto é, nem tudo que está em um dos membros da equação está dentro de uma raiz, antes de elevarmos ao quadrado os dois membros da equação, é bom reescrevê-la deixando a raiz sozinha em um dos membros. Nesse caso, vamos deixar a raiz no primeiro membro. Temos:
\begin{eqnarray} \sqrt{7x-3} - x &=& 1 \\ \sqrt{7x-3} &=& x + 1 \end{eqnarray}
Agora, com a equação escrita nessa forma, vamos elevar os dois membros dela ao quadrado. Temos:
\begin{eqnarray} \sqrt{7x-3} &=& x + 1 \\ \left(\sqrt{7x-3}\right)^2 &=& (x + 1)^2 \\ 7x-3 &=& x^2+2x+1 \\ x^2+2x+1-7x+3 &=& 0 \\ x^2-5x+4 &=& 0 \end{eqnarray}
Resolvendo essa última equação, que é do segundo grau, usando soma e produto, vamos ter como soluções $x_1 = 4$ e $x_2 = 1$. Vamos verificar se, de fato, esses valores que encontramos são soluções da equação original. Temos:
\begin{eqnarray} \sqrt{7x-3} - x &=& 1 \\ \sqrt{7 \cdot 4-3} - 4 &=& 1 \\ \sqrt{28-3}-4 &=& 1 \\ \sqrt{25}-4 &=& 1 \\ 5-4 &=& 1 \\ 1 &=& 1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} \sqrt{7x-3} - x &=& 1 \\ \sqrt{7 \cdot 1-3} - 1 &=& 1 \\ \sqrt{7-3}-1 &=& 1 \\ \sqrt{4}-1 &=& 1 \\ 2-1 &=& 1 \\ 1 &=& 1 \end{eqnarray}
Portanto, as soluções dessa equação são $4$ e $1$.
3. Resolva a equação $\sqrt{1-2x} = 2x+1$.
Solução: Nessa equação temos somente uma raiz quadrada no primeiro membro. Desse modo, podemos elevar ao quadrado os dois membros da equação. Fazendo isso, obtemos:
\begin{eqnarray} \sqrt{1-2x} &=& 2x+1 \\ (\sqrt{1-2x})^2 &=& (2x+1)^2 \\ 1-2x &=& 4x^2+4x+2 \\ 4x^2+4x+1+2x-1 &=& 0 \\ 4x^2+6x &=& 0 \end{eqnarray}
Essa equação do segundo grau que obtivemos pode ser resolvida colocando o $x$ em evidência, isto é,
\begin{eqnarray} 4x^2+6x &=& 0 \\ x(4x+6) &=& 0 \end{eqnarray}
Assim, $x = 0$ é uma solução dessa equação e a outra é
\begin{eqnarray} 4x+6 & =& 0 \\ 4x &=& -6 \\ x &=& \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \end{eqnarray}
Vamos verificar se esses valores de $x$ são soluções da equação original. Temos:
\begin{eqnarray} \sqrt{1-2x} &=& 2x+1 \\ \sqrt{1-2 \cdot 0} &=& 2 \cdot 0+1 \\ \sqrt{1} &=& 1\\ 1 &=& 1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} \sqrt{1-2x} &=& 2x+1 \\ \sqrt{1-2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)} &=& 2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+1 \\ \sqrt{1+3} &=& -3+1 \\ \sqrt{4} &=& -2 \\ 2 &=& -2 \end{eqnarray}
Observe que a última igualdade não é verdadeira, por isso, $x = -\displaystyle\frac{3}{2}$ não é solução da equação, somente $x=0$ é. Portanto, a solução da equação é $x=0$.
No exemplo anterior podemos perceber por que devemos sempre verificar se os valores que encontramos para $x$ são de fato soluções da equação. Isso ocorre pois quando elevamos ao quadrado (ou a qualquer outra potência par) os dois lados de uma equação, não obtemos uma equação equivalente (que possui exatamente as mesmas soluções), obtemos uma equação, para a qual, a soluçao da equação original também é solução, mas podendo haver outras soluções. Então lembre-se sempre de testar os valores que você encontrou para a incógnita na equação original.
Obervação: Pode acontecer de uma equação irracional não ter soluções. Isso pode ocorrer por dois motivos, os valores de $x$ encontrados não satisfazem a equação original ou, quando se eleva os dois membros da equação a alguma potência, a equação resultante não possui solução.
4. Resolva a equação $\sqrt{x} = 1 + \sqrt{x-3}$.
Solução: Nessa equação temos uma raiz no primeiro membro e outra no segundo membro. Quando isso ocorre, uma das formas de resolver é deixar as raízes em um dos membros da equação. Deixando as raízes no primeiro membro, vamos ter:
\begin{eqnarray}\sqrt{x} - \sqrt{x-3} &=& 1 \\ \sqrt{x} - \sqrt{x-3} &=& 1 \end{eqnarray}
Agora, vamos elevar os dois lados da úlima equação ao quadrado. Temos
\begin{eqnarray}\sqrt{x} &=& 1 + \sqrt{x-3} \\ (\sqrt{x} - \sqrt{x-3})^2 &=& 1^2 \\ x-2\sqrt{x}\sqrt{x-3}+x-3 &=& 1 \\ -2\sqrt{x}\sqrt{x-3}+2x-3 &=& 1 \\ -2\sqrt{x}\sqrt{x-3} &=& 1-2x+3 \\ -2\sqrt{x}\sqrt{x-3} &=&-2x+4 \\ \sqrt{x}\sqrt{x-3} &=& x-2 \end{eqnarray}
Observe que ainda temos raízes na equação e elas estão no primeiro membro. Por esse motivo, vamos elevar ao quadrado os dois membros da equação mais uma vez. Temos:
\begin{eqnarray} \sqrt{x}\sqrt{x-3} &=& x-2 \\ (\sqrt{x}\sqrt{x-3})^2 &=& (x-2)^2 \\ x(x-3) &=& x^2-4x+4 \\ x^2-3x &=& x^2-4x+4 \\ x^2-3x-x^2+4x-4 &=& 0 \\ x-4 &=& 0 \\ x &=& 4 \end{eqnarray}
Chegamos em $x=4$. Vamos verificar se esse valor de $x$ de fato é solução da equação. Temos:
\begin{eqnarray}\sqrt{x} &=& 1 + \sqrt{x-3} \\ \sqrt{4} &=& 1+\sqrt{4-3} \\ 2 &=& \sqrt{1} +1 \\ 2 &=& 1+1 \\ 2 &=& 2 \end{eqnarray}
Portanto $x=2$ é solução da equação.
Outra forma de resolver essa equação é a seguinte, deixar uma das raízes em cada membro mesmo. Assim, vamos ter:
\begin{eqnarray} \sqrt{x} &=& 1 + \sqrt{x-3} \\ (\sqrt{x})^2 &=& (1 + \sqrt{x-3})^2 \\ x &=& 1 + 2\sqrt{x-3}+x-3 \\ x-x+3-1 &=& 2\sqrt{x-3} \\ 2 &=& 2\sqrt{x-3} \\ 1 &=& \sqrt{x-3} \\ 1^2 &=& (\sqrt{x-3})^2 \\ 1 &=& x-3 \\ 1+3 &=& x \\ x &=& 4 \end{eqnarray}
Nesse último exemplo vemos que podemos elevar ao quadrado os membros de uma equação irrocional mais de uma vez, se necessário, para resolvê-la.
Uma equação racional pode ter raízes de outros índices como veremos no próximo exemplo.
5. Resolva a equação $\sqrt[3]{x^2+4} = x$.
Solução: Nesse exemplo, em um dos membros da equação temos uma raiz cúbica. Assim, para eliminar essa raiz precisamos elevar os dois membros da equação ao cubo. Fazendo isso, temos:
\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x^2+4} &=& x \\ (\sqrt[3]{x^2+4})^3 &=& x^3 \\ x^2+4 &=& x^3 \\ x^3-x^2-4 &=& 0 \end{eqnarray}
Temos agora uma equação do terceiro grau para resolver. Usando o Teorema das Raízes Racionais (veja mais detalhes sobre esse teorema aqui), temos que as possíveis raízes racionais dessa equação são $\pm 1$, $\pm 2$ e $\pm 4$. Testando essas possibilidades, vamos obter que $x=2$ é a única solução da equação do terceiro grau. Vamos verificar se essa é também a solução da equação original. Temos:
\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x^2+4} &=& \sqrt[3]{2^2+4} &=& 2 \\ \sqrt[3]{4+4} &=& 2 \\ \sqrt[3]{8} &=& 2 \\ 2 &=& 2 \end{eqnarray}
Portanto, a solução da equação é $x=2$.
Observação: Quando elevamos os dois membros de uma equaçao a uma potência ímpar, não é necessário fazer a verificação dos valores encontrados para a incógnita. Mas, mesmo assim é bom fazer a verificação para ter a certeza de que todos os passos dos cálculos foram feitos corretamente.
O próximo exemplo será de como resolver uma equação irracional com raízes de índices diferentes. Não o farei completamente, mas apresentarei o primeiro passo para a solução, o que é o mais importante.
6. Resolva a equação $\sqrt{2x} = \sqrt[3]{x+6}$.
Solução: Uma equação dessa forma, com raízes de mesmo índice em um mesmo membro da equação, pode ser resolvida elevando os dois membros da equação ao mmc dos índices das raízes. Os índices das raízes são $2$ e $3$, assim, vamos elevar os dois membros da equação a $6$, pois mmc$(2,3) = 6$. Temos,
\begin{eqnarray} \sqrt{2x} &=& \sqrt[3]{x+6} \\ (\sqrt{2x})^6 &=& (\sqrt[3]{x+6})^6 \\ (2x)^3 &=& (x+6)^2 \\ 8x^3 &=& x^2+12x+36 \\ 8x^3-x^2-12x-36 &=& 0 \end{eqnarray}
Agora, precisamos resolver a equação $8x^3-x^2-12x-36=0$. Para resolver essa equação, pode ser utilizado o Teorema da Raízes Racionais. Isso vai ficar como exercício para você que está lendo essa postagem. Para você conferir, a solução da equação é $x=2$.
Exemplo em vídeo:
Com essas estratégias você vai conseguir resolver muitas equações irracionais.
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