Nessa postagem vamos avançar um pouco mais no estudo das equações algébricas, vamos estudar as equações racionais. Para resolver uma equação racional é necessário saber como resolver uma equação polinomial, então, se você não está familiarizado com as equações polinomiais, sugiro que veja a postagem anterior onde eu apresentei as fórmulas e métodos mais utilizados para resolver uma equação polinomial. As equações racionais aparecem com muita frequência na matemática, assim, saber como resolvê-las é muito importante. Nessa postagem vamos lembrar o que é uma equação racional, vamos ver como "organizá-las" para que possam ser resolvidas e veremos também que resolver uma equação racional é quase como resolver um equação polinomial, com apenas um detalhe importante. Vamos lá!
Equações racionais
Primeiramente, vamos nos lembrar do que é uma equação racional.
Sejam $p(x)$ e $g(x)$ dois polinômios. Uma equação na forma
$$\frac{p(x)}{q(x)} = 0$$
é chamada equação racional (é o quociente de dois polinômios igual a $0$).
A definição é bem simples mesmo. Vamos ver alguns exemplos.
Exemplos:
1. $\displaystyle\frac{x+1}{x^2-2} = 0$
2. $\displaystyle\frac{x^3-\sqrt{2}x^2+3x-10}{x+1} = 0$
3. $\displaystyle\frac{x^5-8}{x^3+x^2-\frac{1}{2}} = 0$
É bem fácil identificar as equações dos exemplos anteriores como equações racionais, basta notarmos que elas são formadas pelo quociente de dois polinômios igual à zero. Porém elas nem sempre aparecem dessa forma organizada. A seguir estão exemplo de equações racionais que não estão na forma da definição.
4. $\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{x+1}{x^2} = 0$
5. $\displaystyle\frac{x^2+3}{x-1}+x^3-x-1 = 0$
6. $\displaystyle\frac{-2x^5+x^3-9}{x^3+1}-\displaystyle\frac{x^2+x}{x^4-8} +1 = x - \displaystyle\frac{1}{x}$
Mesmo com elas "desorganizadas" não é difícil ver que são equações racionais. Para saber se uma equação é racional basta você verificar os termos dela, tanto no primeiro como no segundo membro. Se esses termos são polinômios ou quocintes de polinômios, então a equação é racional. Observe o exemplo 6, no primeiro membro temos um termo que é um quociente de polinômios, do qual é subtraído outro termo que é também um quociente de polinômios, ao qual é adicionado o polinômio constante igual a 1 e, no segundo membro, temos o polinômio $x$ adicionado a um quociente de polinômios. Isso ocorre pois a adição e a subtração (também a multiplicação) de polinômios e quocientes com polinômios sempre resulta em quocientes com polinômios.
Como resolver uma equação racional
Considere a equação racional $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$, onde os polinômios estão escritos na forma padrão. Um quociente qualquer é igual a zero se, e somente se, quem estiver em cima for igual a zero e o de baixo for diferente de zero. Desse modo, para determinarmos as soluções da equação racional $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ devemos determinar as soluções da equação polinomial $p(x) = 0$. O problema de resolver uma equação racional acaba se tornando quase um problema de resolver uma equação polinomial, que já sabemos como resolver. Por eu disse "quase"? Eu disse quase por que não basta simplesmente resolver a equação $p(x) = 0$. Após resolver a equação $p(x) = 0$ e encontrar suas soluções é necessário verificar quais delas são raízes do polinômio $q(x) $. Devemos fazer isso por que estamos procurando as soluções da equação $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ e, se $a$ for solução de $p(x) = 0$ e raiz de $q(x)$, vamos ter $\displaystyle\frac{p(a)}{g(a)} = \displaystyle\frac{0}{0}$ o que é uma indeterminação, logo $a$ não é solução da equação $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$. Portanto, as soluções da equação $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ são as soluções de $p(x) = 0$ que não são soluções de $q(x) = 0$.
Se a equação racional não estiver na forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$, onde os polinômios estão escritos na forma padrão, precisamos primeiramente colocá-la nessa forma, pois asim será mais fácil de resolvê-la aplicando o processo que vimos acima.
Para reescrever uma equação racional na forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$, onde os polinômios estão escritos na forma padrão é necessário conhecer bem as propriedades da igualdade, as propriedades operacionais (soma e multiplicação), as propriedades da potenciação e também saber o que são termos semelhantes. Esses tópicos foram abordados na postagem anterior que você pode ler clicando aqui.
Outra coisa que você precisa saber e que é fundamental aqui é como somar, subtrair, multiplicar e dividir quocientes com polinômios (ou qualquer espressão algébrica). Vamos lembrar de como fazer isso.
Sejam $u$, $v$, $w$ e $t$ polinômios (expressões algébricas). Definimos,
\begin{equation} \frac{u}{v} \pm \frac{w}{t} = \frac{ut \pm vw}{vt}; \end{equation}
\begin{equation} \frac{u}{v} \cdot \frac{w}{t} = \frac{uw}{vt};\end{equation}
\begin{equation} \frac{\frac{u}{v}}{\frac{w}{t}} = \frac{u}{v} \cdot \frac{t}{w} = \frac{ut}{vw} \end{equation}
Agora que sabemos como resolver uma expressão racional e também relembramos o que precisamos saber para fazer isso, vamos aos exemplos.
Exemplos:
1. Resolva a equação $\displaystyle\frac{x^2-1}{x^3-1} = 0$.
Solução: Essa equação já está forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ onde $p(x)$ e $q(x)$ estão na forma padrão. Assim, basta calcularmos as soluções da equação polinomial $x^2-1 = 0$ e verificar qual delas são soluções de $x^3-1=0$ para descartá-las.
É fácil ver que as soluções de $x^2-1 = 0$ são $-1$ e $1$. Agora, notemos que $(-1)^3-1=-1-1=-2$ e que $1^3-1=1-1=0$. Portanto a solução da equação $\displaystyle\frac{x^2-1}{x^3-1}=0$ é $x = -1$.
2. Resolva a equação $\displaystyle\frac{x^3-5x^2+6x}{x^2-9} = 0$.
Solução: Essa equação também está na forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ onde $p(x)$ e $q(x)$ estão na forma padrão. Logo, devemos calcular as soluções da equação $x^3-5x^2+6x=0$ e verificar qual delas também são soluções de $x^2-9=0$. Temos que
$$x^3-5x^2+6x=0 \Rightarrow x(x^2-5x+6)=0.$$
Assim, temos que $x=0$ é uma solução dessa equação. Resta calcular as soluções de $x^2-5x+6=0$. Usando soma e produto, as soluções dessa equação são $2$ e $3$. Logo, as soluções de $x^3-5x^2+6x=0$ são $0$, $2$, $3$. Agora vamos verificar quais dessas soluções são também soluções de $x^2-9=0$. Temos
$$0^2-9=-9, \; 2^2-9=5 \mbox{ e } 3^2-9=0.$$
Desse modo, somente o $3$ também é solução de $x^2-9=0$. Portanto, as soluções da equação $\displaystyle\frac{x^3-5x^2+6x}{x^2-9} = 0$ são $0$ e $2$.
3. Resolva a equação $\displaystyle\frac{2x-4}{x^4-2} = 0$.
Solução: Vamos resolver esse exemplo da mesma forma que fizemos os anteriores. Temos
\begin{eqnarray} 2x-4 &=& 0 \\ 2x &=& 4 \\ x &=& \frac{4}{2} = 2 \end{eqnarray}
Logo, $2$ é solução da equação $2x-4=0$. Verificando se ele também é solução da equação que está embaixo, temos $2^4-2=16-2=14 \neq 0$. Logo, $2$ é solução da equação $\displaystyle\frac{2x-4}{x^4-2} = 0$.
4. Resolva a equação $\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{x}{x-2} = 0$.
Solução: Essa equação não está na forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ onde $p(x)$ e $q(x)$ estão na forma padrão. Para resolvê-la, precisamos deixá-la nessa forma e, para fazer isso, basta somarmos os dois quocientes que estão no primeiro membro. Vamos somá-los conforme da definição de soma de quocientes que vimos acima. Assim, temos:
\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{x}{x-2} &=& 0 \\ \displaystyle\frac{x-2+xx}{x(x-2)} &=& 0 \\ \displaystyle\frac{x^2+x-2}{x^2-2x} &=& 0. \end{eqnarray}
Agora temos uma equação na forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ onde $p(x)$ e $q(x)$ estão na forma padrão e, para continuar a resolução, basta seguir o que foi feito nos exemplos anteriores, isto é, vamos calcular as soluções da equação $x^2+x-2=0$ e verificar qual delas é solução também da equação $x^2-2x=0$. Usando soma e produto, as soluções da equação $x^2+x-2=0$ são $-2$ e $1$. Agora, notemos que, $(-2)^2-2(-2) = 4+4=8 \neq 0$ e $1^2-2 \cdot 1 = 1-2=-1 \neq 0$. Portanto as soluções da equação $\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{x}{x-2} = 0$ são $-2$ e $1$.
5. Resolva a equação $\displaystyle\frac{x^2}{x+1}-x = \displaystyle\frac{1}{x}$.
Solução: Antes de procurarmos por uma solução dessa equação, devemos escrevê-la na forma $\displaystyle\frac{p(x)}{g(x)} = 0$ onde $p(x)$ e $q(x)$ estão na forma padrão.Desse modo, temos:
\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{x^2}{x+1}-x &=& \displaystyle\frac{1}{x} \\ \displaystyle\frac{x^2-x(x+1)}{x+1} &=& \displaystyle\frac{1}{x} \\ \displaystyle\frac{x^2-x^2-x}{x+1} &=& \displaystyle\frac{1}{x} \\ \displaystyle\frac{-x}{x+1} &=& \displaystyle\frac{1}{x} \\ \displaystyle\frac{-x}{x+1}-\displaystyle\frac{1}{x} &=& 0 \\ \frac{-xx-(x+1)}{(x+1)x} &=& 0 \\ \frac{-x^2-x-1}{x^2+x} &=& 0 \end{eqnarray}
Com a equação nessa forma, podemos resolvê-la. Calculando o $\Delta$ na equação $-x^2-x-1=0$ vamos ter
$$\Delta = (-1)^2-4(-1)(-1) = 1-4=-3$$
Logo, essa equação não possui solução. Portanto, como essa equação não possui solução, a equação $\displaystyle\frac{x^2}{x+1}-x = \displaystyle\frac{1}{x}$ também não possui solução.
6. Resolva a equação $\displaystyle\frac{x}{x+1} = \displaystyle\frac{x^2}{2}$.
Solução: Quando vimos uma equação igual a esta do enunciado, podemos ter a ideia de múltiplicar cruzado. Sim, isso pode ser feito. Multiplicando cruzado a equação do enunciado, temos:
\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{x}{x+1} &=& \displaystyle\frac{x^2}{2} \\ 2x &=& x^2(x+1) \\ 2x &=& x^3+x^2 \\ x^3+x^2-2x &=& 0 \end{eqnarray}
Reescrevemos a equação do enunciado como a equação polinomial $x^3+x^2-2x = 0$. Esta última equação pode ser reescrita na forma, colocando o $x$ em evidência:
$$x(x^2+x-2)=0.$$
Isso nos dá que $x=0$ é uma solução da equação. Usando soma e produto na equação $x^2+x-2 = 0$ obtemos mais duas soluções, $-2$ e $1$. Portanto as solução da equação polinomial $x^3+x^2-2x = 0$ são $-2$, $0$ e $1$. Agora, será que essas soluções também são soluções da equação $\displaystyle\frac{x}{x+1} = \displaystyle\frac{x^2}{2}$? Para responder a essa pergunta é preciso verificar se os polinômios que estão na parte de baixo dos quocientes presentes na equação não se anulam nesses número (ou seja, se esses números não são raízes). Fazendo essa verificação para o polinômio $x+1$, o único que está na parte de baixo de um quociente, temos:
$$-2+1 =-1 \neq 0, \; 0+1=1 \neq 0 \mbox { e } 1 +1 = 2 \neq 0.$$
Logo, nenhuma das soluções do poliômio $x^3+x^2-2x = 0$ anula o polinômio $x+1$. Portanto $-2$, $0$ e $1$ são soluções da equação $\displaystyle\frac{x}{x+1} = \displaystyle\frac{x^2}{2}$.
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