Na postagem anterior vimos o que são equações, o que são soluções de uma equação e alguns tipos importantes de equações. Dentre esses tipos de equações que vimos, estão as equações polinomiais. São equações desse tipo que serão tratadas nessa postagem, veremos como encontrar as soluções dessas equações. Já estudamos os polinômios em algumas postagens aqui do blog e vamos aproveitá-las nessa postagem, ou seja, vamos recuperar algumas postagens sobre polinômios que nos fornecem formas de encontrar as soluções de uma equação polinômial. Nessa série de postagens sobre equações, vamos tratar apenas de equações com soluções no conjunto dos números reais. Vamos lá!
Equações polinomiais
Vamos relembrar o que é uma equação polinomial.
Toda equação que pode ser escrita na forma
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 = 0$$
onde $x$ é incógnita, $a_n$, $\dots$, $a_0$ são números reais e $n$ é um número natural são chamadas equações polinomiais (elas podem ser escritas como um polinômio igual a zero).
Vejamos alguns exemplos.
1. $x^2+3x-1 = 0$
2. $x^5-\displaystyle\frac{x^3}{2}-x-1=0$
3. $\sqrt{3}x^4-x^3+2x^2+4x-8=0$
Essas três equações dos exemplos anteriores são claramente equações polinomiais, pois estão exatamente na forma da definição de equação polinomial dada acima. Porém, nem todas as equações polinômiais aparecem dessa forma, já organizada. Ás vezes, elas podem aparecer "desorganizadas" como nos exemplos a seguir.
4. $x(x^2+1)-3x(x-2)=x^2-5(x+10)$
5. $-3x^2(x-1)+x=10-x$
6. $2x^2+x[1+x(x+1)]-8=x^2(x+5x^3)$
Mesmo elas estando "desorganizadas" não é difícil ver que são equações polinomiais. Basta você olhar a incóginita, se ela não possuir potência negativa e nem fracionária, não estar dentro de uma raiz e não estar na parte debaixo de um quociente, então a equação é uma equação polinomial. Essa forma organizida do polinômio na definição de equação polinomial (na forma que estão os exemplos 1, 2 e 3) também é chamada de forma padrão do polinômio.
Se uma equação polinomial está escrita como na definição de equação polinomial (um polinômio na forma padrão igual a zero), então ela está pronta para ser resolvida. Mas se uma equação polinomial não está escrita dessa forma, ela precisa ser reescrita como na definição para ser resolvida. Por isso, antes de vermos métodos para resolver (encontrar as soluções) de equações polinomiais, vamos ver o que podemos fazer para transformar uma equação polinomial desorganizada em uma equação polinomial escrita como um polinômio na forma padrão igual a zero.
As propriedades que podemos usar para colocar uma equação polinomial na forma de um polinômio na forma padrão igual a zero são as seguintes.
Propriedades da igualdade
Sejam $a,b$ e $c$ números reais quaisquer. Então valem:
(i) Se $a=b$, então $a \pm c = b \pm c$. Essa propriedade nos diz que, em uma equação, sempre podemos somar ou subtrair o mesmo número em ambos os membros da equação, que a igualdade permenace.
(ii) Se $a = b$, então $ac=bc$. Essa propriedade nos diz que, em uma equação, sempre podemos multiplicar ambos os membros pelo mesmo número que a igualde não se altera.
(iii) Se $a = b$ e $c \neq 0$, então $\displaystyle\frac{a}{c} = \displaystyle\frac{b}{c}$. Essa propriedade nos diz que, em uma equação, sempre podemos dividir ambos os membros pelo mesmo número, se ele for diferente de zero, que a igualde não se altera.
Propriedade operacionais
Sejam $a,b$ e $c$ números reais quaisquer. Então vale:
(i) $a+b = b+a$. Sempre podemos trocar a ordem das parcelas, que a soma não se altera (propriedade comutativa da adição).
(ii) $ab=ba$. A ordem dos fatores, não altera o produto (propriedade comutativa da multiplicação).
(iii) $a(b+c) = ab+ac$ e $(a+b)c = ac+bc$. Essa é a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição
Nessa última propriedade é sempre importante lembrar do jogo de sinais.
Propriedades de potenciação:
Sejam $m,n \in \mathbb{N}$ e $a,b \in \mathbb{R}$. Temos
(i) $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
(ii) $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
(iii) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n = \displaystyle\frac{a^n}{b^n}$ se $b \neq 0$
(iv) $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Outra coisa importante que vamos usar para reescrever uma equação polinomial com um polinômio na forma padrão igual a zero é a soma e a subtração de termos semelhantes. Os termos semelhantes são aqueles que são formados por um número multiplicando uma mesma potência de $x$ (no nosso caso, pois estamos abordando equações com somente uma incóginta). Para somar e subtrair esses termos semelhantes, basta fazer essas operações com os números que estão multiplicando a potência da incógnita e multiplicar o resultado pela potência da incóginita (veja mais detalhes sobre termos semelhantes aqui).
Como exemplos, vamos reescrever as equações dos exemplos 4, 5 e 6 na forma de um polinômio igual a zero.
7. Reescreva a equação polinomial $x(x^2+1)-3x(x-2)=x^2-5(x+10)$ com o polinômio na forma padrão.
Solução: Vamos resolver esse exemplo detalhadamente. Uma das primeiras coisas que devemos fazer para reescrever equações desorganizadas desse jeito é eliminar os parênteses (ou colchetes ou chaves). Para isso, no primeiro e segundo membros da equação, temos que usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Vamos ter
\begin{eqnarray} x(x^2+1)-3x(x-2) &=& x^2-5(x+10) \\ xx^2+x 1-3xx+3x2 &=& x^2-5x+5 \cdot 10\end{eqnarray}
Na segunda linha das contas que fizemos acima, temos multiplicações de números e de potências de $x$. Para fazer essas multiplicações das potências de $x$, vamos usar a propriedade (i) da potenciação. Temos,
\begin{eqnarray} xx^2+x 1-3xx+3x2 &=& x^2-5x+5 \cdot 10 \\ x^3 + x + 6x &=& x^2-5x+50\end{eqnarray}
Para continuarmos a reescrever essa equação, vamos fazer as operações entre os termos semelhantes em cada membro da equação. Temos,
\begin{eqnarray} x^3 \underbrace{+x + 6x}_{termos \; semelhantes} &=& x^2-5x+50 \\ x^3+7x &=& x^2 - 5x + 50\end{eqnarray}
O próximo passo é fazer com que o segundo membro da equação fique igual a zero. Nessa equação, o segundo membro é $x^2 - 5x + 50$. Para que esse membro fique igual a zero, devemos subtrair $x^2$ dos dois membros da equação, depois somar $5x$ nos dois membros da equação e, por fim, subtrair $50$ dos dois membros da equação. Conforme a propriedade (i) da igualdade, isso não altera a equação. Assim, temos
\begin{eqnarray} x^3+7x &=& x^2 - 5x + 50 \\ x^3+7x -x^2 &=& x^2 - 5x + 50-x^2 \\ x^3+7x -x^2 &=& - 5x + 50 \\ x^3+7x -x^2+5x &=& - 5x + 50 +5x \\ x^3+7x -x^2+5x &=& 50 \\ x^3+7x -x^2+5x - 50 &=& 50 -50 \\ x^3+7x -x^2+5x - 50 &=& 0 \end{eqnarray}
Perceba que, esse passos que demos acima foram como se fosse passar os termos do segundo membro para o primeiro membro com o sinal trocado, e é isso mesmo que podemos fazer. Por fim, vamos fazer as operações entre os termos semelhantes que ficaram no primeiro membro da equação. Temos,
\begin{eqnarray} x^3+7x -x^2+5x - 50 &=& 0 \\ x^3 -x^2+12x - 50 &=& 0 \end{eqnarray}
Portanto, a equação do enunciado do exemplo pode ser reescrita na forma $x^3 -x^2+12x - 50 = 0$.
Outras propriedades que foram usadas aqui, foram a comutatividada de adição de da multiplicação.
Vamos seguir com os outros exemplos, usando as mesmas propriedades, mas sem fazer de forma detalhada.
8. Reescreva a equação polinomial $-3x^2(x-1)+x=10-x$ com o polinômio na forma padrão.
Solução: Essa equação é mais simples que a anterior. Vejamos,
\begin{eqnarray} -3x^2(x-1)+x &=& 10-x \\ -3x^2x+3x^21 + x &=& 10-x \\ -3x^3+3x^2 +x &=& 10-x \\ -3x^3+3x^2+x+x-10 &=& 0 \\ -3x^3+3x^2+2x-10 &=& 0 \end{eqnarray}
Portanto, a equação do enunciado pode ser escrita na forma $-3x^3+3x^2+2x-10 = 0$.
9. Reescreva a equação polinomial $2x^2+x[1+x(x+1)]-8=x^2(x+5x^3)$ com o polinômio na forma padrão.
Solução: Nesse exemplo temos parênteses dentro de conchetes e precisamos eliminar os dois. Mas não há segredos para fazer isso, é só começar sempre de dentro para fora e sempre fique atento ao jogo de sinais. Temos,
\begin{eqnarray} 2x^2+x[1+x(x+1)]-8 &=& x^2(x+5x^3) \\ 2x^2+x[1+xx+x1]-8 &=& x^2x+x^25x^3 \\ 2x^2+x[1+x^2+x]-8 &=& x^3+5x^5 \\ 2x^2+x1+xx^2+xx -8 &=& x^3+5x^5 \\ 2x^2+x+x^3+x^2-8 &=& x^3+5x^5 \\ x^3 + 3x^2 + x - 8 &=& x^3+5x^5 \\ x^3 + 3x^2+ x - 8 - x^3 - 5x^5 &=& 0 \\ -5x^5+3x^2+x-8 &=& 0 \end{eqnarray}
Portanto, a equação do enunciado pode ser reescrita na forma $-5x^5+3x^2+x-8 = 0$.
Agora que sabemos como tranformar uma equação desorganizada em uma equação "organizada", podemos pensar em como resolver essas equações. Bom, antes de apresentarmos métodos e fórmulas para resolver uma equação polinomial, precisamos lembrar de um objeto importante relacionado aos polinômios, o grau de um polinômio. O grau de um poliômio é igual ao maior expoente da incógnita que aparece no polinômo, por exemplo, $x^3 -x^2+12x - 50 $ possui grau $3$ e $-5x^5+3x^2+x-8$ possui grau $5$. Identificar o grau de um polinômio é importante pois é ele que vai nos dizer qual método ou fórmula vamos usar para resolver a equação polinomial (veja mais detalhes sobre o grau de um polinômio aqui). Vamos ver os métodos usados para resolver cada equação polinomial dependendo do grau do polinômio que aparece na equação.
Métodos e fórmulas para resolver equações polinômiais
I. Se o polinômio da equação polinomial possui grau $1$, isto é, a equação está na forma $ax+b=0$ com $a \neq 0$, essa equação é chamada equação do 1º grau. Alguns exemplos desse tipo de equação são:
1. $x+1 = 0$
2. $-4x+ \displaystyle\frac{5}{4}=0$
3. $\sqrt{3}x+4=0$
Para resolver equações desse tipo veja a postagem Polinômios #8 - Raiz de polinômios de grau 1 (equação do primeiro grau).
II. Se o polinômio da equação polinomial possui grau $2$, isto é, a equação está na forma $ax^2+bx+c=0$ com $a \neq 0$, essa equação é chamada equação do 2º grau. Alguns exemplos desse tipo de equação são:
1. $x^2+x+1 = 0$
2. $-5x^2-3x+ \displaystyle\frac{1}{4}=0$
3. $\displaystyle\frac{x^2}{2}+3x-\sqrt{2}=0$
Para resolver equações desse tipo veja a postagem Polinômios #9: Raízes reais de polinômios de grau 2 (equação do segundo grau).
III. Se o polinômio da equação polinomial possui grau maoir ou igual a $3$, dizemos que a equação é do 3º grau, 4º grau e assim sucessivamente. Alguns exemplos desses tipos de equação são:
1. $x^3+3x^2+1 = 0$ (3º grau)
2. $-5x^4-3x^3+ \displaystyle\frac{x^2}{4}-x-1=0$ (4º grau)
3. $\displaystyle\frac{x^5}{4}+3x^2-\sqrt{2}=0$ (5º grau)
Quando as equações são do 3º ou 4º graus, até existem fórmulas para resolver essas equações, porém elas são bem complicadas e não muito eficientes. Elas estão nas seguintes postagens
Para equações com polinômios com graus maiores ou iguais a $3$ existem outros métodos mais eficientes para determinarmos as soluções. Uma das formas muito importantes para resolver essas equações é usando o Teorema das Raízes Racionais que você pode encontrar na postagem Polinômios #13 - O Teorema das Raízes Racionais.
Outra método muito importante usado para resolver equações polinomiais com polinômios de grau maior ou igual a $3$ é a fatoração de polinômios. Você pode ver mais detalhes sobra a fatoração de polinômios na postagem Polinômios #15: Fatoração de polinômios.
Compreendendo bem o conteúdo dessa postagem (que é bastante coisa) você, com certeza, estará muito bem preparado para resolver equações polinomiais.
Resumo da postagem em vídeo:
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