Teoria dos Conjuntos #10: Propriedades do conjunto complementar

 Estamos bem avançados nesse ponto em que chegamos na teoria dos conjuntos. Isso é muito bom. Agora, nesse post, vamos misturar um pouco de tudo que vimos: união, interseção, diferença de conjuntos e conjunto complementar. Veremos nesse post propriedades do conjunto complementar envolvendo a união e a interseção de conjuntos. Vamos demonstrar algumas dessas propriedades a fim de justificá-las para que sejam melhor compreendidas. O bom de fazer demonstrações é poder ver como a matemática funciona, o que é simplesmente sensacional (pelo menos para mim... hehe). Vamos lá!

Propriedades de conjunto complementar

Considere três conjuntos $A$, $B$ e $C$ tais que $B$ e $C$ são subconjuntos de $A$. Valem as seguintes propriedades:

1. $C_A^B \cap B = \emptyset$

2. $C_A^B \cup B = A$

3. $C_A^{A} = \emptyset$

4. $C_A^{\emptyset} = A$

5. $C_A^{C_A^B} = B$

6. $C_A^{B \cap C} = C_A^B \cup C_A^{C}$

7. $C_A^{B \cup C} = C_A^B \cap C_A^{C}$

Vamos fazer a demonstração de algumas dessas propriedades.

Demonstração da propriedade 2: Para mostrar que $C_A^B \cup B = A$ devemos mostrar que $C_A^B \cup B \subset A$ e que $A \subset C_A^B \cup B$ (definição de igualdade de conjuntos). Vamos mostrar a primeira inclusão. Considere $x \in C_{A}^B \cup B$. Desse modo, $x \in C_{A}^B$ ou $x \in B$. Sendo assim, $x \in A-B$ ou $x \in B$. Note que, em qualquer um desses casos, $x \in A$, pois $B \subset A$. Logo $x \in A$ e a primeira inclusão segue. Vamos passar agora à segunda inclusão. Considere $x \in A$. Temos que $B \subset A$. Assim, temos duas possibilidades para $x$, ou $x \in A-B$ ou $x \in B$, isto é, ou $x \in C_{A}^B$ ou $x \in B$. Pela definição de união de conjuntos $x \in C_{A}^B \cup B$. Logo, a segunda inclusão é verdadeira. Portanto vale a igualdade $C_A^B \cup B = A$.

Demonstração da propriedade 5: Vamos mostrar que $C_A^{C_A^B} = B$. Para fazer isso, precisamos mostrar que $C_A^{C_A^B} \subset B$ e que $B \subset C_A^{C_A^B}$. Vamos começar mostrando a primeira inclusão. Seja $x \in C_A^{C_A^B}$. Desse modo, temos que $x \in A - C^B_A$, ou seja, $x \in A$ e $x \notin C^B_A$. O fato de $x \notin C^B_A$, implica $x \in B$, pois do contrário, teríamos $x \in A-B$, o que nos daria $x \in C_A^B$. Temos então que $x \in A$ e $x \in B$. Como $B \subset A$, segue $x \in B$. Logo, está provado que $C_A^{C_A^B} \subset B$. Mostraremos agora a segunda inclusão. Considere $x \in B$. Desse modo, $x \notin A-B$, ou ainda, $x \notin C_A^B$. Já sabemos que $B \subset A$, assim, $x \in A$. Temos, então, que $x \in A$ e $x \notin C_A^{B}$. Sendo assim, pela definição de diferença de conjuntos, $x \in A-C_A^{B}$ e, pela definição de conjunto complementar, obtemos $x \in C_A^{C_A^B}$. Logo, a inclusão $B \subset C_A^{C_A^B}$ é verdadeira. Portanto, segue a igualdade $C_A^{C_A^B} = B$.

Demonstração da propriedade 7: Para justificarmos a igualdade $C_A^{B \cup C} = C_A^B \cap C_A^{C}$, temos que provar as seguintes duas inclusões $C_A^{B \cup C} \subset C_A^B \cap C_A^{C}$ e  $C_A^B \cap C_A^{C} \subset C_A^{B \cup C}$. Vamos provar a primeira inclusão. Considere $x \in C_A^{B \cup C}$. Desse modo, $x \in A-(B \cup C)$, ou seja, $x \in A$ e $x \notin B \cup C$. O fato de $x \notin B \cup C$ implica $x \notin B$ e $x \notin C$, pois se uma dessas afirmações não fosse verdadeira, teríamos $x \in B \cup C$. Logo, temos que $x \in A$, $x \notin B$ e $x \notin C$. Como consequência disso, temos que $x \in A-B$ e que $x \in A-C$, ou seja, $x \in C_A^B$ e $x \in  C_{A}^C$. Usando a definição de interseção de conjuntos, segue que $x \in C_A^B \cap C_A^C$. Assim, obtemos a inclusão $C_A^{B \cup C} \subset C_A^B \cap C_A^{C}$. Vamos mostrar agora a segunda inclusão. Seja $x \in C_A^B \cap C_A^{C}$. Desse modo, $x \in C_A^B$ e $x \in C_A^C$. Pela definição de conjunto complementar, segue que $x \in A-B$ e $x \in A-C$. Isso nos dá que $x \in A$, $x \notin B$ e $x \notin C$. Como $x \notin B$ e $x \notin C$, segue que $x \notin B \cup C$. Sendo assim, temos que $x \in A$ e $x \notin B \cup C$. Pela definição de diferença de conjuntos, obtemos $x \in A - (B \cup C)$, ou ainda, de forma equivalente, $x \in C_A^{B \cup C}$. Logo, a inclusão $C_A^B \cap C_A^{C} \subset C_A^{B \cup C}$ está provada. Portanto, vale a igualdade $C_A^{B \cup C} = C_A^B \cap C_A^{C}$.

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Teoria dos Conjuntos #8: Diferença de conjuntos

 Já vimos as operações de união e de interseção de conjuntos e suas propriedades, agora podemos seguir em frente com a operação de diferença de conjuntos. Essa operação não é tão frequente nos cálculos matemáticos básicos, mas aparece com uma certa frequência em cálculos mais avançados e no ensino superior. Apesar disso, a diferença de conjuntos não é uma operação complexa, pelo contrário, é bem simples. Então, vamos aprender o que é a diferença de conjuntos.

Diferença de Conjuntos

Considere dois conjuntos $A$ e $B$ quaisquer. Chamamos diferença de conjuntos, denotada por $A-B$, a operação entre conjuntos definida por

$$A-B = \{x:x \in A \mbox{ e } x \notin B\}.$$

Ou seja, o conjunto $A-B$ é formado pelos elementos que estão em $A$ mas não estão em $B$.

A diferença de conjuntos, algumas vezes, aparece denotada como $A \backslash B$.

Podemos visualizar essa operação por meio de diagramas.

$A-B$

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \mbox{ e } B=\{2,4,6,8\}.$$

Determine $A-B$.

Solução: Pela definição de diferença de conjuntos, o conjunto $A-B$ é formado pelos elementos que estão em $A$ e não estão em $B$. Logo,

$$A-B=\{1,3,5,7\}.$$

2. Sejam $A = \{a,b,c,d\}$ e $B = \{c,d,e,f\}$. Determine $A-B$.

Solução: Novamente, usando a definição de diferença de conjuntos temos

$$A-B = \{a,b\}.$$

3. Considere os seguintes conjuntos

$$A=\{\{1,2\},3,5,7\} \mbox{ e } B=\{1,2,9,11\}.$$

Determine $A-B$.

Solução: Neste caso, $A-B = \{\{1,2\},3,5,7\}$, que é o próprio conjunto $A$. Isso ocorre pois nenhum elemento de $A$ está em $B$, ou seja, todo elemento de $A$ não é elemento de $B$. Assim, quando procuramos, dentre os elementos de $A$, aqueles que não estão em $B$, vemos que todos os elementos de $A$ não estão em $B$, logo, $A-B = A$.

4. Sejam $A = \{a,b\}$ e $B=\{1,a,b,2\}$. Determine $A-B$.

Solução: O conjunto $A-B$ é formado por todos os elementos de $A$ que não estão em $B$. Nesse caso, todos os elementos de $A$ estão também em $B$, em outras palavras, não existe elemento em $A$  que não esteja em $B$. Portanto $A-B = \emptyset$.

5. Considere os conjuntos 

$$A = \{a,b,c,1,2\}; \mbox{ } B = \{b,c,3,4,5\} \mbox{ e } C = \{3,4,5\}.$$

Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.

(a) $b \in A-B$

(b) $a \in A-C$

(c) $5 \notin B-C$

(d) $2 \notin A-B$

(e) $\{1,2\} \subset A-C$

Solução: 

(a) Falso. Observe que $b \in A$ e $b \in B$. Desse modo $b \notin A-B$.

(b) Verdadeiro. Temos que $a \in A$ e $a \notin C$, ou seja, $a$ satisfaz a definição para estar em $A-C$.

(c) Verdadeiro. Observe que $5$ está em $B$ e está em $C$, logo $5$ não pode estar em $B-C$.

(d) Falso. Temos que $2 \in A$ e $2 \notin B$, logo $2 \in A-B$.

(e) Verdadeiro. O números $1$ e $2$ estão no conjunto $A$ e não estão no conjunto $C$. Desse modo, os elementos de $\{1,2\}$ estão em $A-C$. Logo, pela definição de inclusão de conjuntos $\{1,2\} \subset A-C$.

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