Nas postagens anteriores (você pode acessá-las aqui) entendemos como somar e subtrair letras, como multiplicar e dividir letras, entendemos o que significam as raízes e as potências de letras, entendemos como simplificar expressões algébricas mais simples, com somente potências e raízes de letras e, por último, vimos como somar, subtrair, multiplicar e dividir quocientes com expressões algébricas. Isso significa que temos todo o conhecimento necessários para simplificar qualquer expressão algébrica, por mais trabalhoso que isso seja. Nessa postagem vamos fazer uso do que aprendemos nas postagens anteriores para simplicar algumas expressões algébricas. Vamos lá!
Simplificando expressões
Não é possível fazermos exemplos de simplifição de exepressões algébricas com todas as possíveis expressões algébricas que podem ser simplificadas, pois são infinitias as possibilidades. Aqui, para sermos mais eficientes e para essa postagem ser mais útil (e não tão cansativa de ser lida), vamos fazer alguns exemplos de simplicação de expresões algébricas apresentando e destacando algumas ideias que podem ser usadas na simplificação da maioria das expressões algébricas. Vamos aos exemplos.
Exemplos:
1. Simplifique a expressão algébrica $x^2(x+1)-2x^3-4x+8(x-3)$.
Solução: Nessa expressão algébrica temos somente somas, subtrações e multiplicações. Assim como numa expressão numérica, devemos fazer a multiplicação primeiro. Usando a propriedade distributiva da multiplicação, somando e subtraindo os termos semelhantes, temos,
\begin{eqnarray} x^2(x+1)-2x^3-4x+8(x-3) &=& x^2x+x^2\cdot 1-2x^3-4x+8x+8 \cdot (-3) \\ &=& x^3+x^2-2x^3-4x+8x - 24 \\ &=& -x^3+x^2+4x-24\end{eqnarray}
2. Simplifique a expressão algébrica $\sqrt[3]{x}\left(1 + \displaystyle\frac{1}{x}\right)$.
Solução: Aqui temos somente um termo multiplicando uma soma. Usando a propriedade distributiva da multiplicação, temos
\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x}\left(1 + \displaystyle\frac{1}{x}\right) &=& \sqrt[3]{x} \cdot 1+\sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{x} \\ &=& \sqrt[3]{x} + \frac{\sqrt[3]{x}}{x} \\ &=& \sqrt[3]{x}+x^{\frac{1}{3}}x^{-1} \\ &=& \sqrt[3]{x}+x^{-\frac{2}{3}} \\ &=& \sqrt[3]{x}+\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \\ &=& \sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \end{eqnarray}
No exemplo 2, talvez a expressão do enunciado seja mais simples do que a que obtivemos após fazer a multiplicação, mas fiz as contas assim mesmo para nos lembrarmos de que podemos transformar raízes em potências com expoentes racionais (e vice-versa) e que quando uma potência de uma incógnita está em baixo ou em cima no quociente, ela pode "subir" ou "descer", trocando o sinal do expoente.
3. Simplifique a expressão algébrica $x \left(\sqrt{x}-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)-x(3+x)$.
Solução: Mais uma vez vamos começar efetuando as multiplicações usando a propriedade distributiva da multiplicação. Temos,
\begin{eqnarray} x \left(\sqrt{x}-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)-x(3+x) &=& x\sqrt{x}-x \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)-x \cdot 3 - xx \\ &=& xx^{\frac{1}{2}}-\frac{x}{x^2}-3x-x^2 \\ &=& x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{x}-3x-x^2 \\ &=& \sqrt{x^3}-\frac{1}{x}-3x-x^2\end{eqnarray}
4. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{x^4+x^3+x^2+x}{x+1}$.
Solução: Esse tipo de expressão algébrica, um quociente de dois polinômios, é chamada de expressão racional. Nem todas as expressões desse tipo podem ser simplificadas, mas existe uma forma de sabermos se elas podem ser simplificadas, podemos verificar se os polinômios do quociente possuem raízes em comum. Observe que o polinômio que está em baixo no quociente possui somente uma raiz, que é o $-1$. O número $-1$ também é raiz do polinômio que está em cima no quociente, pois
$$(-1)^4 +(-1)^3+(-1)^2+(-1) = 1-1+1-1=0$$
Desse modo, é possível escrever o polinômio que está em cima na forma
$$x^4+x^3+x^2+x = (x+1)q(x)$$
para algum polinômio $q(x)$. Sendo assim, vamos poder simplificar o polinômio $x+1$ que aparece em cima com o mesmo polinômio que aparece em baixo. Para escrever o polinômio de cima na forma $(x+1)q(x)$ podemos usar a divisão de polinômios ou simplesmente colocar alguns termos em evidência. Vamos fazer isso usando a segunda estratégia (veja mais detalhes sobre raízes de polinômios e divisão de polinômios),
\begin{eqnarray} \frac{x^4+x^3+x^2+x}{x+1} &=& \frac{x^2(x^2+x)+(x^2+x)}{x+1} \\ &=& \frac{(x^2+1)(x^2+x)}{x+1} \\ &=& \frac{(x^2+1)x(x+1)}{x+1} \\ &=& x(x^2+1) \end{eqnarray}
5. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{x^2+x-2}{x^4-x^2}$.
Solução: Nesse exemplo também temos uma expressão racional, assim, vamos procedor como no exemplo anterior, vamos verificar se os polinômios do quociente possuem alguma raiz em comum. Aplicando o método da Soma e Produto no polinômio de cima, temos que $1$ e $-2$ são suas raízes. Agora, observe que $1$ também é raiz do polinômio de baixo, pois $1^4-1^2=0$. Portanto esses dois polinômios são divisíveis por $x-1$, ou , em outras palavras, esses dois polinômio são iguais ao produto de um polinômio por $x-1$. Como o polinômio que está em cima possui grau $2$ e é mônico ele pode ser escrito na forma $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$ (veja mais detalhes sobre isso aqui). No polinômio de baixo, podemos colocar $x^2$ em evidência, obtendo $x^4-x^2 = x^2(x-1)$. Assim, podemos simplificar a expressão do enunciado da seguinte forma,
\begin{eqnarray} \frac{x^2+x-2}{x^4-x^2} &=& \frac{(x-1)(x+2)}{x^2(x-1)} \\ &=& \frac{x+2}{x^2} \end{eqnarray}
6. Simplifique a expressão algébrica $x\left[\sqrt{x} - 3(x+\sqrt{x})\right]+\displaystyle\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{x}$.
Solução: Observe que nessa expressão algébrica temos uma operação dentro de parênteses e esses parênteses estão dentro de colchetes. A ordem de prioridade das operações que usamos nas expressões algébricas é mesma que usamos nas expressões numéricas, sempre simplificamos de dentro para fora respeitando a ordem das operações. Desse modo, temos,
\begin{eqnarray} x\left[\sqrt{x} - 3(x+\sqrt{x})\right]+\displaystyle\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{x} &=& x\left[\sqrt{x} -3x-3\sqrt{x})\right]+2x^{\frac{5}{2}}x^{-1} \\ &=& x\left[-2\sqrt{x} -3x\right]+2x^{\frac{3}{2}} \\ &=& -2xx^{\frac{1}{2}} -3xx+2x^{\frac{3}{2}} \\ &=& -2x^{\frac{3}{2}} -3x^{2}+2x^{\frac{3}{2}} \\ &=& -3x^2 \end{eqnarray}
7. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$.
Solução: Aparentemente, parece que não é possível fazer alguma simplificação nessa expressão. Observe que ela não é uma expressão racional, pois não é o quociente de dois polinômios. Mas, podemos usar um produto notável aqui. Note que
$$x-1 = \left(\sqrt{x}\right)^2-1^2 = \left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)$$
Usamos a diferença de quadrados para reescrever a expressão $x-1$. Desse modo, temos
\begin{eqnarray} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} &=& \frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1} \\ &=& \sqrt{x}+1 \end{eqnarray}
8. Simplifique a expressão algébrica $\displaystyle\frac{(x^2-y^2)\sqrt{x+y}}{(x+y)^{\frac{3}{2}}}$.
Solução: Nessa expressão algébrica temos duas incónitas. Isso pode tornar a simplificação um pouco mais complicada, mas para encoontrarmos uma forma de simplificar esse tipo de expressão, devemos prestar atenção no básico, ou seja, vermos se há termos que podem ser colocados em evidência e também se há potências que pode ser simplificadas. Nessa expressão temos potências da soma $x+y$ em cima e em baixo no quociente a também uma diferença de quadrados. Temos
\begin{eqnarray} \frac{(x^2-y^2)\sqrt{x+y}}{(x+y)^{\frac{3}{2}}} &=& \frac{(x^2-y^2)(x+y)^{\frac{1}{2}}}{(x+y)^{\frac{3}{2}}} \\ &=& \frac{x^2-y^2}{x+y} \\ &=& \frac{(x+y)(x-y)}{x+y} \\ &=& x-y \end{eqnarray}
Exemplo em vídeo:
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