Já estamos na décima quarta postagem sobre poilnômios, mas ainda temos coisas importantes sobre polinômios para abordar. Nessa postagem vamos falar sobre o que é um polinômio redutível e o que é um polinômio irredutível. Esses conceitos estão diretamente relacionados com a fatoração de um polinômio (algo muito impotante e com muitas aplicações) e com a existência de raízes de um polinômio. Por esse motivo, se você quer aprofundar seus conhecimentos sobre polinômios e suas raízes, é bom que estude os conceitos abordados nessa postagem. Vamos lá!
Polinômios redutíveis e irredutíveis
A seguir está a definição de polinômio redutível e de polinômio irredutível.
Definição: Seja $p(x)$ um polinômio com coeficientes em $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$). O não constante $p(x)$ é dito redutível se existem outros polinômios $f(x)$ e $g(x)$, não nulos e não constantes, também com coefiecientes em $\mathbb{K}$, tais que $p(x) = f(x) \cdot g(x)$. Caso contrário, o polinômio $p(x)$ é dito irredutível, isto é, se $p(x) = f(x) \cdot g(x)$, então $f(x)$ é um polinômio constante ou $g(x)$ é um polinômio constante.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplos:
1. O polinômio $p(x) = x^2-1$ é um polinômio redutível pois
$$x^2-1 = (x+1)(x-1).$$
Temos que $x^2-1$ pode ser escrito como o produto de dois polinômios que não são constantes e, comparando esse exemplo com a definição anterior, temos $f(x) = x+1$ e $g(x) = x-1$.
2. O polinômio $h(x) = 2x^3-4x^2+6x+4$ é redutível pois
$$2x^3-4x^2+6x+4 = (2x+1)(x^2-2x+4).$$
ou seja, o polinômio $h(x)$ é o produto dos polinômio $f(x) = 2x+1$ e $g(x) = x^2-2x+4$.
3. O polinômio $r(x) = x^2+1$ é irredutível se considerado sobre $\mathbb{R}$, isto é, não é possível escrever esse polinômio como produto de outros dois polinômios sobre $\mathbb{R}$ com os dois não constantes. De fato, se existissem $f(x)$ e $g(x)$, não constantes, tais que $r(x) = f(x) \cdot g(x)$, os graus de $f(x)$ e de $g(x)$ seriam iguais a $1$, visto que $gr(f(x))+gr(g(x))=gr(r(x)) = 2$. Todo polinômio de grau $1$ sobre $\mathbb{R}$ possui uma raiz sobre o conjunto no qual está definido, desse modo existiria $a \in \mathbb{R}$ tal que $f(a)=0$. Com isso, teríamos $r(a) = f(a) \cdot g(a) = 0 \cdot g(a) = 0$, ou seja, $r(x)$ teria uma raiz real $a$, o que é uma contração pois $r(x)$ não possui raiz real. Logo, $r(x)$ é irredutível. Agora, se considermos $r(x)$ sobre $\mathbb{C}$ ele será redutível, pois temos
$$x^2+1 = (x+i)(x-i).$$
Esse exemplo mostra que o conjunto no qual o polinômio está definido faz diferença para ele ser redutível ou irredutível.
4. Esse exemplo, na verdade é um teorema, que diz o seguinte: Todo polinômio de grau $1$ sobre o conjunto $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$) é irredutível. De fato, seja $p(x)$ um polinômio de grau $1$. Se $p(x)$ fosse redutível ele seria igual a um produto de dois polinômios $f(x)$ e $g(x)$ não constantes sobre $\mathbb{K}$. Sendo esses polinômios não constantes, segue que $gr(f(x)) \geq 1$ e $gr(g(x)) \geq 1$. Desse modo teríamos $gr(p(x)) = gr(f(x))+gr(g(x)) > 1$, o que não pode ocorrer, pois $gr(p(x))=1$. Portanto $p(x)$ é um polinômio irredutível.
Após vermos essa definição e os exemplos, podemos nos fazer as seguintes perguntas: Dado um polinômio qualquer, como saber se ele é irredutível ou não? Qual é a relação entre ser irredutível e a existência de raízes?
A seguir estão alguns resultados da Matemática que responderão a essas perguntas.
Teorema 1: Um polinômio sobre $\mathbb{C}$ é irredutível se, e somente se, possui grau $1$.
Esse teorema nos garante que não existem polinômios irredutíveis de grau maior que $1$ sobre $\mathbb{C}$. Em outras palavras, todo polinômio de grau maior que $1$ pode ser escrito como o produto de dois outros polinômios com os dois não constantes.
Agora, quando se trata de polinômios sobre $\mathbb{R}$, as coisas são diferentes.
Teorema 2: Seja $p(x)$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$ com grau maior ou igual a $2$. Se $p(x)$ possui uma raiz, então $p(x)$ não é irredutível.
É fácil de justificar esse teorema, basta lembrarmos que se $p(a) = 0$, isto é, se $a$ é uma raiz de $p(x)$, então $p(x) = (x-a)q(x)$ onde $q(x)$ é um polinômio sobre $\mathbb{R}$ e, como $p(x)$ tem grau maior ou igual a $2$, $q(x)$ possui grau maior ou igual a $1$, ou seja, não é constante. Logo $p(x)$ não é irredutível.
A recíproca do teorema anterior não é verdadeira, ou seja, não é verdade que, se um polinômio não é irredutível então ele possui uma raiz. Um contraexemplo para isso pode ser o polinômio $p(x)= x^4+1$. Esse polinômio não é irredutível, pois
$$x^4+1= \left(x^2+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}x+1\right)\left(x^2-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}x+1\right),$$
e ele não possui raiz em $\mathbb{R}$.
O próximo teorema trás uma condição para que um polinômio $p(x)$ seja irredutível sobre $\mathbb{R}$.
Teorema 3: Seja $p(x)$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. O polinômio $p(x)$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$ se, e somente se, $gr(p(x))=1$ ou $gr(p(x)) = 2$ com $\Delta < 0$.
Vamos ver alguns exemplos sobre como usar esses teoremas.
Exemplos:
5. O polinômio $p(x) = 2x-5$ é irredutível considerado sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ pois possui grau $1$, conforme o Teorema 1 e o Teorema 3.
6. O polinômio $f(x)=x^2-4x-1$ não é redutível sobre $\mathbb{C}$, pelo Teorema 1, pois tem grau maior que $1$.
7. O polinômio $f(x)=4x+3$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$, pelo Teorema 3, pois tem grau igual a $1$.
8. Verifique se o polinômio $g(x) = x^2-3x+1$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$.
Solução: De acordo com o Teorema 3, um polinômio de grau $2$, sobre $\mathbb{R}$, será irredutível se possui $\Delta < 0$. Assim, vamos verificar se $\Delta < 0$. No polinômio $g(x)$ temos $a=1$, $b=-3$ e $c=1$, desse modo
$$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 1 = 9-4=5.$$
Como $\Delta = 5 >0$, segue que esse polinômio é redutível.
9. Verifique se o polinômio $h(x) = 2x^2-x+3$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$.
Solução: Vamos usar novamente o Teorema 3. Vamos verificar se $\Delta < 0$. No polinômio $h(x)$ temos $a=2$, $b=-1$ e $c=3$. Assim,
$$\Delta = b^2-4ac = (-1)^2-4 \cdot 2 \cdot 3 = 1-24 = -23$$
Como $\Delta = -23 < 0$, segue que o polinômio $h(x)$ é irredutível.
10. Verifique se o polinômio $p(x) = x^5-10x^2+x+1$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$.
Solução: Podemos fazer isso de duas formas. A primeira delas é usando o Teorema 3. O Teorema 3 nos diz que os polinômios irredutíveis sobre $\mathbb{R}$ são aqueles que possuem grau $1$ ou grau $2$ com $\Delta < 0$. Assim, como $p(x)$ possui grau $5$, segue que ele é redutível em $\mathbb{R}$.
A segunda forma de fazer esse exercício é usando o Teorema $2$. Observe que $p(x)$ possui grau ímpar, o que implica que $p(x)$ possui uma raiz real. Portanto $p(x)$ é redutível em $\mathbb{R}$.
11. Verifique se o polinômio $f(x) = x^6-x^5+3x^4-5x^3+x^2-x+1$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$.
Solução: Como o grau do polinômio $f(x)$ é igual a $6$, segue do Teorema 3, que este polinômio é redutível sobre $\mathbb{R}$.
Como você deve ter percebido, os teoremas que vimos nessa postagem nos dão critérios, sobre $\mathbb{C}$ e sobre $\mathbb{R}$ para classificar os polinômio em redutíveis e irredutíveis. Mas, no caso do polinômio ser redutível, ou seja, no caso dele poder ser escrito como o produto de outros dois polinômios não constantes, esses teoremas não nos dão nenhuma informação sobre esses polinômio e nem um método para encontrá-los. Dependendo do polinômio redutível, não é fácil encontrar dois polinômios não nulos de modo que o produto desses polinômios seja igual a ele.
Então para que serve saber se um polinômio é irredutível ou não? Isso é muito importante para algo chamado fatoração de polinômios. E o que é uma fatoração de um polinômio? Fatorar ou obter uma fatoração de um polinômio é escrever esse polinômio como produto de fatores onde esses fatores são polinômios não constantes. Se um polinômio é irredutível, então ele não pode ser fatorado, de acordo com a definição de polinômios irredutíveis. Se um polinômio é redutível, então ele pode ser fatorado. E qual é a vantagem de fatorar um polinômio? Posso citar algumas aplicações da fatoração de polinômios. Ela é usada para obter as raízes de um polinômio, para fazer o estudo de sinal de um polinômio, para fazer o esboço de um gráfico de um polinômio, para estudar máximos e mínimos de uma função polinomial, que é muito importante no Cálculo 1, e possui muitas aplicações também em Álgebra Linear.
Agora que sabemos quando um polinômio pode ser fatorado, ou seja, quando ele for redutível, na próxima postagem vamos ver como fatorar um polinômio.
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