Inequações #9: Inequações modulares com mais de um módulo e com termos sem módulo

Nessa postagem vamos retomar as inequações modulares. Podemos encontrar algumas inequações nas quais aparecem expressões com mais de um termo com módulo ou ainda, com termos com módulos e  outros sem módulos (termos onde a incógnita está). O caminho usado para resolver esses tipos de inequações é um pouco diferente do que vimos até agora, para resolvê-las, vamos precisar reescrever expressões com módulos sem usar os módulos. Esse assunto foi tradado na postagem anterior, então, se você caiu por aqui sem ter visto a postagem anterior, sugiro que dê uma olhada por lá. Ainda, antes de qualquer cálculo, têm mais algumas coisas que precisamos ter em mente. Vamos precisar saber o que é um intervalo (intervalos limitados e ilimitados) e também como fazer a união e a interseção de intervalos (esses assuntos estão todos disponíveis nos links anteriores). Agora sim, estando preparados, vamos lá!

Inequações modulares com mais de um módulo e com termos sem módulo

Para deixar bem claro quais os tipos de inequações que vamos aprender a resolver nessa postagem, vamos ver alguns exemplos:

Exemplos:

1. $x-4|x-3| \leq 2$

Essa inequação possui dois termos na expressão que está ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, o $x$ e o $4|x-3|$, ou seja, um sem módulo e outro com módulo. Assim, essa é uma inequação modular com um termo que não possuem (termo com a incógnita sem módulo).

2. $|x+1|-|x-2| < 1$

Essa é uma inequação que possui uma expressão ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade com dois termos, os dois com módulos, ou seja, ela é uma inequação modular com mais de um módulo. Nesse caso não há termos com a incógnita sem módulo.

3. $|2x|+3|x+2| < -x + 6$

Essa é uma inequação modular com mais de um módulo e com um termo  sem módulo.

4. $|2x-3| - |x-4| \geq |x-1|$

Essa é uma inequação com mais de um módulo.

Observe que, em todos os exemplos, dentro dos módulos a incógnita $x$ possui apenas expoente $1$. Qualquer inequação em algum desses tipos apresentados acima pode ser resolvida com o que será apresentado aqui nessa postagem. Então, vamos seguir com exemplos, vamos apresentar uma forma, usando o que foi feito na postagem anterior, de resolver as quatro inequações acima.

Exemplos:

5. Determine o conjunto solução da inequação $x-4|x-3| \leq 2$.

Solução: Nessa inequação, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, temos uma expressão com dois termos, um com módulo e outro sem. Para resolver esse tipo de inequação,  vamos primeiramente reescrever a expressão $x-4|x-3|$ sem usar o módulo, usando o que aprendemos na postagem anterior. Temos que:

$$x - 4|x-3| = \left\{ \begin{array}{ccc} 5x-12 & \mbox{se} & x < 3 \\ -3x+12 & \mbox{se} & x \geq 3. \end{array} \right.$$

A expressão $x-4|x-3|$, reescrita, ficou dividida em duas partes, para $x < 3$ ela é igual a $5x -12$ e para $x \geq 3$ ela é igual a $-3x+12$. Desse modo, vamos separar a resoluçao da inequação em duas partes. Na primeira parte vamos considerar somente $x < -3$ e na segunda somente $x \geq -3$. Temos,

Para $x < 3$: Note que,  $x < 3$ é o mesmo que $x \in (-\infty, 3)$.  Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} x-4|x-3| &\leq& 2 \\ 5x-12 & \leq & 2 \\ 5x & \leq& 14 \\ x & \leq & \frac{14}{5} \end{eqnarray}

A solução da inequação acima é o conjunto $\left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$. Mas, como resolvemos essa inequação somente para $x < 3$, a solução da inequação nesse caso, a qual chamaremos de $S_1$, será a interseção $(-\infty, 3) \cap \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$. Desse modo, $S_1 = \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$.

Para $x \geq 3$: Note que, $x \geq 3$ é o mesmo que $x \in [3, +\infty)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} x-4|x-3| &\leq& 2 \\ -3x+12 & \leq & 2 \\ -3x & \leq& -10 \\ x & \geq & \frac{10}{3} \end{eqnarray}

A solução da inequação acima é o conjunto $\left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$. Mas, como resolvemos essa inequação somente para $x \geq 3$, a solução da inequação nesse caso, a qual chamaremos de $S_2$, será a interseção $[3, +\infty) \cap \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$. Desse modo, $S_2 = \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$.

Ainda não acabamos, mas estamos quase no fim. A solução da inequação $x-4|x-3| \leq 2$ é a união das soluções encontradas em casa uma das partes em que a resolução foi separada. Logo, a solução da inequação do enunciado, a qual chamaremos de $S$, é $S = S_1 \cup S_2$. Portanto, $S = \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right] \cup \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$.

Observação: Nessa postagem não serão feitos os diagramas para o cálculo da união e a interseção de intervalos. Se você precisar relembrar de como esses cálculos são feitos, leia as postagens onde esses assuntos foram tratados. Escolhi fazer dessa forma para essa postagem não ficar tão grande.

Nos próximos exemplos usaremos a mesma estratégia de resolução de inequações apresentada no exemplo acima, isto é, vamos reescrever uma expressão com termos com e sem módulos, separando-a em partes, para resolver a inequação nessas respectivas partes.

6. Determine o conjunto solução da inequação $|x+1|-|x-2| < 1$.

Solução: Nesse exemplo, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, a expressão possui dois termos com módulo. Então, para resolver essa inequação, vamos reescrever a expressão $|x+1|-|x-2|$ sem usar os módulos. Temos

$$|x+1|-|x-2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -3 & \mbox{se} & x < -1 \\ 2x-1 & \mbox{se} & -1 \leq x < 2 \\ 3 &\mbox{se} & x \geq 2. \end{array} \right.$$

Ao reescrevermos a expressão $|x+1|-|x-2| $, a separamos em três partes, ela é igual a $-3$ se $x < -1$, é igual a $2x-1$ se $-1 \leq x < 2$ e é igual a $3$ se $x \geq 2$. Por esse motivo, a resolução da inequação $|x+1|-|x-2| < 1$, será feita separadamente em cada uma dessas partes. Temos

Para $x < -1$: Observe que $x < -1$ é o mesmo que dizer que $x \in (-\infty, -1)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ -3 &<& 1.  \end{eqnarray}

Como $-3 < 1 $ é sempre verdadeiro, segue que o conjunto solução da inequação acima é $\mathbb{R}$. Mas,  como estamos no caso $x < -1$, a solução  $S_1$ que estamos procurando é $S_1 = (-\infty, -1) \cap \mathbb{R}$. Logo, $S_1 = (-\infty, -1)$.

Para $-1 \leq x < 2$: Observe que $-1 \leq 2$ é o mesmo que $x \in [-1,2)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ 2x-1 &<& 1 \\ 2x &<&2 \\ x &<& 1.  \end{eqnarray}

Desse modo, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = [-1,2) \cap (-\infty, 1)$, ou seja, $S_2 = [-1,1)$. Lembre-se, em cada caso (ou parte), deve ser feita a interseção do conjunto solução da inequação com o conjunto onde estamos considerando $x$. Não podemos exquecer disso.

Para $x \geq 2$: Observe que $x \geq 2$ é o mesmo que $x \in [2, +\infty)$. Nese caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ 3 &<& 1.  \end{eqnarray}

Como $3 < 1$ nunca ocorre, o conjunto solução da inequação acima é $\emptyset$. Assim, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = [2, +\infty) \cap \emptyset$, isto é, $S_3 = \emptyset$.

Portanto, a solução da inequação do enunciado é $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3$, ou seja, $S = (-\infty,1)$.

7. Determine o conjunto solução da inequação $|2x|+3|x+2| < -x + 6$.

Solução: Nessa inequação, diferentemente dos exemplos anteriores, do lado direito do símbolo de desigualdade há uma expressão que contém a incógnita $x$. Embora isso ocorra, podemos resolvê-la da mesma forma que fizemos nos exemplos anteriores, isto é, vamos reescrever a expressão que está do lado esquerdo do símbolo de desigualdade e depois determinar o conjunto solução dessa inequação em partes. Assim, reescrevendo a expressão $|2x|+3|x+2|$, temos

$$|2x|+3|x+2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -5x-6 & \mbox{se} & x < -2 \\x+6 & \mbox{se} & -2 \leq x < 0 \\ 5x+6 &\mbox{se} & x \geq 0. \end{array} \right.$$

Vamos prosseguir resolvendo a inequação separando a resolução nos casos $x < -2$, $ -2 \leq x < 0$ e $x \geq 0$. Temos,

Para $x < -2$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ -5x-6 &<& -x+6 \\ -4x &<& 12 \\ x &<& \frac{12}{-4} \\ x &>& -3.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_1$ desse caso é $S_1 = (-\infty, -2) \cap (-3, +\infty)$, ou seja, $S_1 = (-3,-2)$.

Para $-2 \leq x < 0$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ x+6 &<& -x+6 \\ 2x &<& 0 \\ x &<& 0.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = [-2,0) \cap (-\infty, 0)$, ou seja, $S_2 = (-2,0)$.

Para $x \geq 0$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ 5x+6 &<& -x+6 \\ 6x &<& 0 \\ x &<& 0.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = [0,+\infty) \cap (-\infty, 0)$, ou seja, $S_3 = \emptyset$.

Desse modo, a soluçaõ da inequação do enunciado é $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3$. Portanto, $S = (-3,0)$.

Vamos para o último exemplo.

8. Determine o conjunto solução da inequação $|2x-3| - |x-4| \geq |x-1|$.

Solução: Nesse exemplo, do lado direito do símbolo de desigualdade, temos um termo com módulo. Para usar o método que estamos usando para resolver essas inequações, devemos deixar os termos com módulos, todos eles, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Desse modo, a inequação do enunciado ficará na forma

$$|2x-3| - |x-4| - |x-1| \geq 0$$

Agora, vamos resolver a inequação nesse formato, reescrevendo a expressão $|2x-3| - |x-4| - |x-1|$. Fazendo isso, obtemos

$$|2x-3| - |x-4| - |x-1| = \left\{ \begin{array}{ccc} -2 & \mbox{se} & x < 1 \\ -2x & \mbox{se} & 1 \leq x < \frac{3}{2} \\ 2x-6 &\mbox{se} & \frac{3}{2} \leq x < 4 \\ 2 & \mbox{se} & x \geq 4. \end{array} \right.$$

A expressão $|2x-3| - |x-4| - |x-1|$ ficou separa em quatro partes. Isso ocorreu por que ela possui três termos com módulo. Como ela está dividida em quatro partes, a resolução dela será feita em quatro casos, são eles, $x < 1$, $1 \leq x < \displaystyle\frac{3}{2}$, $\displaystyle\frac{3}{2} \leq x < 4$ e $x < 4$. Assim, temos

Para $x < 1$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ -2 &\geq & 0.  \end{eqnarray}

Como $-2  \geq 0$ nunca é verdade, a solução da inequação acima é o conjunto $\emptyset$. Desse modo, a solução desse caso é $S_1 = (-\infty,1) \cap \emptyset = \emptyset$.

Para $1 \leq x < \displaystyle\frac{3}{2}$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ -2x &\geq & 0 \\ x \leq 0.  \end{eqnarray}

 Desse modo, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = \left[1,\displaystyle\frac{3}{2}\right) \cap (-\infty, 0]$, isto é, $S_2 = \emptyset$.

Para $\displaystyle\frac{3}{2} \leq x < 4$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ 2x - 6 &\geq & 0 \\ 2x &\geq& 6 \\ x &\geq& 3.  \end{eqnarray}

Logo, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = \left[\displaystyle\frac{3}{2}, 4\right) \cap [3, +\infty)$, isto é, $S_3 = [3,4)$.

Para $x \geq 4$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ 2 &\geq & 0.  \end{eqnarray}

Como $2 \geq 0$ é verdade, segue que a solução da inequação acima é $\mathbb{R}$. Logo, a solução $S_4$ desse caso é $S_4 = \left[\displaystyle\frac{3}{2}, 4\right) \cap \mathbb{R}$, isto é, $S_4 = [4,+\infty)$.

Por fim, a solução $S$ da inequação $|2x-3| - |x-4| - |x-1| \geq 0$, que é equivalente à inequação do enunciado, é a união da solução dos qutro casos anteriores. Portanto $S = [3, +\infty]$.

Exemplo em vídeo:

Acredtito que, com os exemplos feitos aqui, você estará apto para resolver qualquer inequação como as que vimos nesses exemplos, ou seja, com termos com e sem módulo, sempre com a incógnita com expoente igual a $1$.

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Leia mais

Inequações #6: Inequações modulares com polinômios de grau 1

Já estamos bem avançados no estudo das inequações e, a partir dessa postagem, vamos começar a estudar as inequações modulares, ou seja, inequações nas quais a incógnita está dentro de um módulo. Inequações modulares, em geral, são difíceis de resolver, pois para resolvê-las é necessário uma boa compreensão do que é o módulo de um número real, um bom conhecimento sobre como resolver inequações sem módulo (polinomiais e racionais) e até de teoria dos conjuntos (união e interseção de intervalos). Por esse motivo, vamos estudar as inequações modulares passo a passo, para que, mesmo sendo difíceis de resolver, você consiga entender bem o processo de resolução de cada uma delas e, quando encontrar como uma delas, saiba o que fazer. Então, nessa postagem vamos começar com as inequações modulares com polinômios de grau $1$. Para que você entenda bem o que vamos fazer nessa postagem, eu sugiro que você estude as seguintes postagens:

Definição de módulo e sua interpretação geométrica:

Números Reais #10: Módulo ou Valor Absoluto de um número real

Como resolver inequações do primeiro grau:

Inequações #2: Inequação do primeiro grau

Inequações modulares com polinômios de grau 1

Já disse que nessa postagem que vamos aprender a resolver inequações modulares com polinômios de grau $1$, mas que tipo de inequação é essa? Vamos defini-las.

Definição: Uma inequação será desse tipo de estiver em algumas das seguintes formas:

$$|ax+b| < c, \; |ax+b| \leq c, \; |ax+b| > c \mbox{ ou } |ax+b| \geq c$$

onde $a$, $b$ e $c$ são constantes reais com $a \neq 0$ a $c \geq 0$. 

Em outras palavras, uma inequação modular com polinômio de grau $1$ é uma inequação na forma "polinômio de grau dentro do módulo, símbolo de desigualdade e uma constante". 

Vejamos alguns exemplos de inequações desse tipo.

Exemplos:

1. $|x+1| < 3$

2. $|3x-1| \leq 5$

3. $|-4x + \sqrt{2} | > \displaystyle\frac{3}{2}$

4. $\left|\displaystyle\frac{x}{2}-5\right| \geq 4$

Todas as inequações acima são inequações modulares com polinômios de grau $1$, mas nem sempre elas estão nesse formato. Algumas vezes, elas podem aparecer assim:

5. $3|x+1| < 4$

6. $\displaystyle\frac{|-2x+1|}{5} \leq 1$

7. $5-6|1-x| \leq 4-1$ 

Ou seja, além do polinômio de grau $1$ dentro do módulo, essas equações modulares também podem ter um número multiplicando ou dividindo o módulo e outros números sendo somados à esquerda e à direita do símbolo de desigualdade. Mas isso não é um grande problema, essas inequações podem facilmente serem reescritas de modo que elas só tenham um módulo, o símbolo de desigualdade e outro número, após o símbolo de desigualdade. Reescrevendo os exemplos de 5 a 7, temos:

Exemplo 5:

\begin{eqnarray} 3|x+1| &<& 4 \\ |x+1| &<& \frac{4}{3} \end{eqnarray}

Exemplo 6:

\begin{eqnarray} \frac{|-2x+1|}{5} &\leq& 1 \\ |-2x+1| &\leq& 5 \end{eqnarray}

Exemplo 7:

\begin{eqnarray} 5-6|1-x| &\leq& 4-1 \\ 5-6|1-x| &\leq& 3 \\ -6|1-x| &\leq& 3-5 \\ -6|1-x| &\leq& -2 \\ |1-x| &\geq& \frac{2}{6} \\ |1-x| &\geq& \frac{1}{3} \end{eqnarray}

Agora que sabemos como uma inequação modular com um polinômio de grau $1$ pode aparecer, vamos ver uma maneira de resolvê-las.

Como resolver inequações modulares com polinômios de grau 1 

Primeiramente, se a inequação não estiver em uma das formas que estão na definição

$$|ax+b| < c, \; |ax+b| \leq c, \; |ax+b| > c \mbox{ ou } |ax+b| \geq c$$

ou seja, se estiver como nos exemplos de $5$ a $7$, vamos precisar reescrevê-la em uma das formas acima. 

Tendo feito isso, podemos classificar essas inequações modulares em dois grupos, a saber, o grupos das que possuem os símbolos de menor ou menor ou igual  e o grupo das que possuemos símbolos de maior ou maior ou igual. Os exemplos 1 e 2 fazem parte das inequações que possuem $<$ ou $\leq$ como símbolo de desigaldade e as inequações dos exemplos 3 e 4 fazem parte das inequações que possuem $>$ ou $\geq$ como símbolo de desigualdade. Separar essas inequações em dois grupos diferentes é muito importante, pois as inequações com o símbolo $<$ ou o símbolo $\leq$ possuem uma forma de resolver, enquanto que as inequações com o símbolo $>$ ou o símbolo $\geq$ possuem outra forma de resolver.

Antes do fazermos os exemplos, vamos ver como resolver as inequações em cada um desses grupos. 

Como resolver inequações modulares com polinômios de grau $1$ e com o símbolo $<$ ou $\leq$.

Considere  uma incógnita $u$ e um número real $c \geq 0$. Geometricamente, o módulo de $u$ pode ser interpretado como a distância de $u$ até o zero, sobre a reta real. Desse modo, dizer que $|u| < c$ é mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é menor que $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u < c$ e $u > -c$ (são os números que estão entre $c$ e $-c$). Usando o mesmo raciocínio, dizer que dizer que $|u| \leq c$ é o mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é menor ou igual a $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u \leq c$ e $u \geq -c$ (são os números que estão entre $c$ e $-c$, incluindo o $c$ e o $-c$). Desse modo, se considerarmos $u$ como sendo $ax+b$, a solução da inequação $|ax+b| < c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b < c$ e $ax+b > -c$. De modo análogo, a solução da inequação $|ax+b| \leq c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b \leq c$ e $ax+b \geq -c$. Portanto, podemos concluir que:

A solução da inequação $|ax+b| < c$ é a interseção dos conjuntos soluções das inequações $ax+b < c$ e $ax+b > c$ e a solução da inequação $|ax+b| \leq c$ é a interseção dos conjuntos soluções das inequações $ax+b \leq c$ e $ax+b \geq -c$.

Relembre como fazer a interseção de intervalos lendo a postagem:

Números Reais #9: Interseção de intervalos

Como resolver inequações modulares com polinômios de grau $1$ e com o símbolo $>$ ou $\geq$.

Considere novamente uma incógnita $u$ e um número real $c \geq 0$. Mais uma vez, geometricamente, o módulo de $u$ pode ser interpretado como a distância de $u$ até o zero, sobre a reta real. Desse modo, dizer que $|u| > c$ é mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é maior que $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u > c$ ou $u < -c$ (todos os números fora do intervalo fechado $[c,-c]$). Usando o mesmo raciocínio, dizer que $|u| \geq c$ é o mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é maior ou igual a $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u \geq c$ e $u \leq -c$ (todos os números fora do intervalo aberto $(c, -c)$). Desse modo, se considerarmos $u$ como sendo $ax+b$, a solução da inequação $|ax+b| > c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b > c$ ou $ax+b < -c$. De modo análogo, a solução da inequação $|ax+b| \leq c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b \geq c$ ou $ax+b \leq -c$. Portanto, podemos concluir que:

A solução da inequação $|ax+b| < c$ é a união dos conjuntos soluções da inequações $ax+b > c$ e $ax+b < -c$ e a solução da inequação $|ax+b| \geq c$ é a união dos conjuntos soluções da inequações $ax+b \geq c$ e $ax+b \leq -c$.

Relembre como fazer a união de intervalos lendo a postagem:

Números Reais #8: União de intervalos

 Vamos ver, por meio de exemplos, como resolver inequações nesses dois grupos diferentes. 

Exemplos:

8. Determine o conjunto solução da inequação $|2x+1| < 3$.

Solução: Essa inequação se encaixa no primeiro grupo, pois ela possui o símbolo de desigualdade $<$. Assim, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $2x+1 < 3$ e $2x +1 > -3$ e depois fazer a interseção dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $|2x+1| < 3$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $2x+1 < 3$, temos:

\begin{eqnarray} 2x + 1 &<& 3 \\ 2x &< & 3-1 \\ 2x &<& 2 \\ x &<& \frac{2}{2} \\ x &<& 1 \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = (-\infty,1)$. Agora, resolvendo a segunda inequação $2x +1 > -3$, temos:

\begin{eqnarray} 2x + 1 &>& -3 \\ 2x & > & -3-1 \\ 2x &>& -4 \\ x &>& \frac{-4}{2} \\ x &>& -2 \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-2, +\infty)$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|2x+1| < 3$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa interseção:

Pelo diagrama, obtemos que $S = (-2, 1)$. Logo, essa é a solução da inequação $|2x+1| < 3$.

9. Determine o conjunto solução da inequação $\left|4-\displaystyle\frac{x}{3}\right| \leq 1$.

Solução: Essa inequação  também se encaixa no primeiro grupo, pois ela possui o símbolo  de desigualdade $\leq$. Assim, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $4-\displaystyle\frac{x}{3} \leq 1$ e $4-\displaystyle\frac{x}{3} \geq -1$ e depois fazer a interseção dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $\left|4-\displaystyle\frac{x}{3}\right| \leq 1$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $4-\displaystyle\frac{x}{3} \leq 1$, temos:

\begin{eqnarray} 4-\frac{x}{3} &\leq& 1 \\ -\frac{x}{3} &\leq& 1-4 \\ -\frac{x}{3} &\leq& -3 \\ -x &\leq& 3 \cdot (-3) \\ -x &\leq& -9 \\ x &\geq& 9 \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = [9, +\infty)$. Agora, resolvendo a segunda inequação, temos:

\begin{eqnarray} 4-\frac{x}{3} &\geq& -1 \\ -\frac{x}{3} &\geq& -1-4 \\ -\frac{x}{3} &\leq& -5 \\ -x &\geq& 3 \cdot (-5) \\ -x &\geq& -15 \\ x &\leq& 15 \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-\infty, 15]$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|2x+1| < 3$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa interseção:

Pelo diagrama, obtemos que $S = [9,15]$. Logo, essa é a solução da inequação $\left|4-\displaystyle\frac{x}{3}\right| \leq 1$.

10. Resolva a inequação quação modular $-2|x+3| > -4$.

Solução: Essa inequação não está em uma das formas da definição lá do começo da postagem, por esse motivo, antes de decidirmos a qual grupo de inequações ela faz parte, precisamos reescrevê-la. Temos:

\begin{eqnarray} -2|x+3| &>& -4 \\ |x+3| &<& \frac{-4}{-2} \\ |x+3| &<& 2   \end{eqnarray}

Logo, a inequação $-2|x+3| > -4$ é equivalente à inequação $|x+3| < 2$, que possui o símbolo $<$ de desigualdade. Para resolver a inequação $|x+3| < 2$ precisamos resolver as inequações $x+3 < 2$ e $x+3 > -2$ e depois fazer a interseção dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $|x+3| < 2$ que também é o conjunto solução da inequação $-2|x+3| > -4$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $x+3 < 2$, temos:

\begin{eqnarray} x+3 &<& 2 \\ x &<& 2 - 3 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = (-\infty, -1)$. Agora, resolvendo a segunda inequação $x+3 > -2$, temos:

\begin{eqnarray} x+3 &>& -2 \\ x &>& -2-3 \\ x &>& -5 \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-5, +\infty)$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $-2|x+3| > -4$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa interseção:

Pelo diagrama, obtemos que $S = (-5,-1)$. Logo, essa é a solução da inequação $-2|x+3| > -4$.

11. Determine o conjunto solução da inequação $|2x+5| > 2$.

Solução: Essa inequação se encaixa no segundo grupo, pois ela possui o símbolo  de desigualdade $>$. Desse modo, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $2x+5 > 2$ e $2x+5 < -2$ e depois fazer a união dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da união será o conjunto solução da inequação $|2x+5| > 2$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $2x+5 > 2$, temos:

\begin{eqnarray} 2x+5 &>& 2 \\ 2x &>& 2-5 \\ 2x &>& -3 \\  x &>& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = \left(-\displaystyle\frac{3}{2}, +\infty\right)$. Agora, resolvendo a segunda inequação, temos:

\begin{eqnarray} 2x+5 &<& -2 \\ 2x &<& -2-5 \\ 2x &<& -7 \\  x &<& -\frac{7}{2} \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{7}{2}\right)$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|2x+1| < 3$ será dado por $S=S_1 \cup S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa união:

Pelo diagrama, obtemos que $S = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{7}{2}\right) \cup \left(-\displaystyle\frac{3}{2}, +\infty\right)$ e esse é o conjunto solução da inequação $|2x+5| > 2$.

12. Determine o conjunto solução da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$.

Solução: Essa inequação também se encaixa no segundo grupo, pois ela possui o símbolo  de desigualdade $\geq$. Desse modo, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $4x-1 \geq \displaystyle\frac{1}{2}$ e $4x-1 \leq -\displaystyle\frac{1}{2}$ e depois fazer a união dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da união será o conjunto solução da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $4x-1 \geq \displaystyle\frac{1}{2}$, temos:

\begin{eqnarray} 4x-1 &\geq& \frac{1}{2} \\ 4x &\geq& \frac{1}{2}+1 \\ 4x &\geq& \frac{3}{2} \\  x &\geq& \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} \\ x &\geq& \frac{3}{8} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = \left[\displaystyle\frac{3}{8}, +\infty\right)$. Agora, resolvendo a segunda inequação, temos:

\begin{eqnarray} 4x-1 &\leq& -\frac{1}{2} \\ 4x &\leq& -\frac{1}{2}+1 \\ 4x &\leq& \frac{1}{2} \\  x &\leq& \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \\ x &\leq& \frac{1}{8} \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = \left(-\infty, \displaystyle\frac{1}{8}\right]$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$ será dado por $S=S_1 \cup S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa união:

Pelo diagrama, obtemos que $S = \left(-\infty, \displaystyle\frac{1}{8}\right] \cup \left[\displaystyle\frac{3}{8}, +\infty\right)$ e esse é o conjunto solução da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$.

13. Resolva a inequação modular $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$.

Solução: Antes de resolver essa inequação, precisamos reescrevê-la. Observe que, nesse exemplo, a expressão que está dentro do módulo precisa ser simplificada. Temos:

\begin{eqnarray} \frac{|2(2x-3)-x+1|}{3} &\geq& 2 \\ |2(2x-3)-x+1| &\geq& 6 \\  |4x-6-x+1| &\geq& 6 \\ |3x-5| &\geq& 6 \end{eqnarray}

Logo, a inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$ é equivalente à inequação $|3x-5| \geq 6$, que possui o símbolo $\geq$ de desigualdade. Para resolver a inequação $|3x-5| \geq 6$ precisamos resolver as inequações $3x-5 \geq 6$ e $3x-5 \leq -6$ e depois fazer a união dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $|x+3| < 2$ que também é o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $3x-5 \geq 6$ temos:

\begin{eqnarray} 3x-5 &\geq& 6 \\ 3x &\geq& 6+5 \\ 3x &\geq& 11 \\ x &\geq& \frac{11}{3} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = \left[\displaystyle\frac{11}{3},+\infty \right)$. Agora, resolvendo a segunda inequação $3x-5 \leq -6$, temos:

\begin{eqnarray} 3x-5 &\leq& -6 \\ 3x &\leq& -6+5 \\ 3x &\leq& -1 \\ x &\leq& \frac{-1}{3}\end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{1}{3} \right]$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa união:

Pelo diagrama, obtemos que $S = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{1}{3} \right] \cup \left[\displaystyle\frac{11}{3},+\infty \right)$. Logo, essa é a solução da inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$.

Observação importante: Há dois tipos de inequações que os seus respectivos conjuntos soluções são obtidos de forma direta. O primeiro tipo são as inequações na forma $|ax+b| < 0$ com $a \neq 0$. Como o módulo um número real é sempre maior ou igual a zero, para qualquer que seja $x$, nunca vamos obter $|ax+b| < 0$, isto é, o conjunto solução dessa inequação é o conjunto vazio $\emptyset$. Aplicando isso a alguns casos particulares, as inequações

$$|-x+5| < 0, \; |2x+\sqrt{3}| < 0 \mbox{ e } \left|\frac{x}{5}-\pi \right| < 0$$

possuem por conjunto solução o conjunto vazio.

O outro tipo são inequações na forma $|ax+b| \geq 0$. Como já foi obervado , o módulo de um número real é sempre maior ou igual a zero, assim, o cojunto solução de inequações desse tipo é igual $\mathbb{R}$, ou seja, todo número real é solução dessa inequação. Outra forma de escrever o conjunto solução dessa inequação é $(\infty,+\infty)$.

Resumo da postagem com exemplo em vídeo:

Acredito que, com esses exemplos, você vai conseguir resolver qualquer inequação modular com um polinômios de grau $1$.

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