Nessa postagem vamos retomar as inequações modulares. Podemos encontrar algumas inequações nas quais aparecem expressões com mais de um termo com módulo ou ainda, com termos com módulos e outros sem módulos (termos onde a incógnita está). O caminho usado para resolver esses tipos de inequações é um pouco diferente do que vimos até agora, para resolvê-las, vamos precisar reescrever expressões com módulos sem usar os módulos. Esse assunto foi tradado na postagem anterior, então, se você caiu por aqui sem ter visto a postagem anterior, sugiro que dê uma olhada por lá. Ainda, antes de qualquer cálculo, têm mais algumas coisas que precisamos ter em mente. Vamos precisar saber o que é um intervalo (intervalos limitados e ilimitados) e também como fazer a união e a interseção de intervalos (esses assuntos estão todos disponíveis nos links anteriores). Agora sim, estando preparados, vamos lá!
Inequações modulares com mais de um módulo e com termos sem módulo
Para deixar bem claro quais os tipos de inequações que vamos aprender a resolver nessa postagem, vamos ver alguns exemplos:
Exemplos:
1. $x-4|x-3| \leq 2$
Essa inequação possui dois termos na expressão que está ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, o $x$ e o $4|x-3|$, ou seja, um sem módulo e outro com módulo. Assim, essa é uma inequação modular com um termo que não possuem (termo com a incógnita sem módulo).
2. $|x+1|-|x-2| < 1$
Essa é uma inequação que possui uma expressão ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade com dois termos, os dois com módulos, ou seja, ela é uma inequação modular com mais de um módulo. Nesse caso não há termos com a incógnita sem módulo.
3. $|2x|+3|x+2| < -x + 6$
Essa é uma inequação modular com mais de um módulo e com um termo sem módulo.
4. $|2x-3| - |x-4| \geq |x-1|$
Essa é uma inequação com mais de um módulo.
Observe que, em todos os exemplos, dentro dos módulos a incógnita $x$ possui apenas expoente $1$. Qualquer inequação em algum desses tipos apresentados acima pode ser resolvida com o que será apresentado aqui nessa postagem. Então, vamos seguir com exemplos, vamos apresentar uma forma, usando o que foi feito na postagem anterior, de resolver as quatro inequações acima.
Exemplos:
5. Determine o conjunto solução da inequação $x-4|x-3| \leq 2$.
Solução: Nessa inequação, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, temos uma expressão com dois termos, um com módulo e outro sem. Para resolver esse tipo de inequação, vamos primeiramente reescrever a expressão $x-4|x-3|$ sem usar o módulo, usando o que aprendemos na postagem anterior. Temos que:
$$x - 4|x-3| = \left\{ \begin{array}{ccc} 5x-12 & \mbox{se} & x < 3 \\ -3x+12 & \mbox{se} & x \geq 3. \end{array} \right.$$
A expressão $x-4|x-3|$, reescrita, ficou dividida em duas partes, para $x < 3$ ela é igual a $5x -12$ e para $x \geq 3$ ela é igual a $-3x+12$. Desse modo, vamos separar a resoluçao da inequação em duas partes. Na primeira parte vamos considerar somente $x < -3$ e na segunda somente $x \geq -3$. Temos,
Para $x < 3$: Note que, $x < 3$ é o mesmo que $x \in (-\infty, 3)$. Nesse caso, temos
\begin{eqnarray} x-4|x-3| &\leq& 2 \\ 5x-12 & \leq & 2 \\ 5x & \leq& 14 \\ x & \leq & \frac{14}{5} \end{eqnarray}
A solução da inequação acima é o conjunto $\left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$. Mas, como resolvemos essa inequação somente para $x < 3$, a solução da inequação nesse caso, a qual chamaremos de $S_1$, será a interseção $(-\infty, 3) \cap \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$. Desse modo, $S_1 = \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$.
Para $x \geq 3$: Note que, $x \geq 3$ é o mesmo que $x \in [3, +\infty)$. Nesse caso, temos
\begin{eqnarray} x-4|x-3| &\leq& 2 \\ -3x+12 & \leq & 2 \\ -3x & \leq& -10 \\ x & \geq & \frac{10}{3} \end{eqnarray}
A solução da inequação acima é o conjunto $\left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$. Mas, como resolvemos essa inequação somente para $x \geq 3$, a solução da inequação nesse caso, a qual chamaremos de $S_2$, será a interseção $[3, +\infty) \cap \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$. Desse modo, $S_2 = \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$.
Ainda não acabamos, mas estamos quase no fim. A solução da inequação $x-4|x-3| \leq 2$ é a união das soluções encontradas em casa uma das partes em que a resolução foi separada. Logo, a solução da inequação do enunciado, a qual chamaremos de $S$, é $S = S_1 \cup S_2$. Portanto, $S = \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right] \cup \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$.
Observação: Nessa postagem não serão feitos os diagramas para o cálculo da união e a interseção de intervalos. Se você precisar relembrar de como esses cálculos são feitos, leia as postagens onde esses assuntos foram tratados. Escolhi fazer dessa forma para essa postagem não ficar tão grande.
Nos próximos exemplos usaremos a mesma estratégia de resolução de inequações apresentada no exemplo acima, isto é, vamos reescrever uma expressão com termos com e sem módulos, separando-a em partes, para resolver a inequação nessas respectivas partes.
6. Determine o conjunto solução da inequação $|x+1|-|x-2| < 1$.
Solução: Nesse exemplo, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, a expressão possui dois termos com módulo. Então, para resolver essa inequação, vamos reescrever a expressão $|x+1|-|x-2|$ sem usar os módulos. Temos
$$|x+1|-|x-2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -3 & \mbox{se} & x < -1 \\ 2x-1 & \mbox{se} & -1 \leq x < 2 \\ 3 &\mbox{se} & x \geq 2. \end{array} \right.$$
Ao reescrevermos a expressão $|x+1|-|x-2| $, a separamos em três partes, ela é igual a $-3$ se $x < -1$, é igual a $2x-1$ se $-1 \leq x < 2$ e é igual a $3$ se $x \geq 2$. Por esse motivo, a resolução da inequação $|x+1|-|x-2| < 1$, será feita separadamente em cada uma dessas partes. Temos
Para $x < -1$: Observe que $x < -1$ é o mesmo que dizer que $x \in (-\infty, -1)$. Nesse caso, temos
\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ -3 &<& 1. \end{eqnarray}
Como $-3 < 1 $ é sempre verdadeiro, segue que o conjunto solução da inequação acima é $\mathbb{R}$. Mas, como estamos no caso $x < -1$, a solução $S_1$ que estamos procurando é $S_1 = (-\infty, -1) \cap \mathbb{R}$. Logo, $S_1 = (-\infty, -1)$.
Para $-1 \leq x < 2$: Observe que $-1 \leq 2$ é o mesmo que $x \in [-1,2)$. Nesse caso, temos
\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ 2x-1 &<& 1 \\ 2x &<&2 \\ x &<& 1. \end{eqnarray}
Desse modo, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = [-1,2) \cap (-\infty, 1)$, ou seja, $S_2 = [-1,1)$. Lembre-se, em cada caso (ou parte), deve ser feita a interseção do conjunto solução da inequação com o conjunto onde estamos considerando $x$. Não podemos exquecer disso.
Para $x \geq 2$: Observe que $x \geq 2$ é o mesmo que $x \in [2, +\infty)$. Nese caso, temos
\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ 3 &<& 1. \end{eqnarray}
Como $3 < 1$ nunca ocorre, o conjunto solução da inequação acima é $\emptyset$. Assim, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = [2, +\infty) \cap \emptyset$, isto é, $S_3 = \emptyset$.
Portanto, a solução da inequação do enunciado é $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3$, ou seja, $S = (-\infty,1)$.
7. Determine o conjunto solução da inequação $|2x|+3|x+2| < -x + 6$.
Solução: Nessa inequação, diferentemente dos exemplos anteriores, do lado direito do símbolo de desigualdade há uma expressão que contém a incógnita $x$. Embora isso ocorra, podemos resolvê-la da mesma forma que fizemos nos exemplos anteriores, isto é, vamos reescrever a expressão que está do lado esquerdo do símbolo de desigualdade e depois determinar o conjunto solução dessa inequação em partes. Assim, reescrevendo a expressão $|2x|+3|x+2|$, temos
$$|2x|+3|x+2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -5x-6 & \mbox{se} & x < -2 \\x+6 & \mbox{se} & -2 \leq x < 0 \\ 5x+6 &\mbox{se} & x \geq 0. \end{array} \right.$$
Vamos prosseguir resolvendo a inequação separando a resolução nos casos $x < -2$, $ -2 \leq x < 0$ e $x \geq 0$. Temos,
Para $x < -2$: Nesse caso, temos
\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ -5x-6 &<& -x+6 \\ -4x &<& 12 \\ x &<& \frac{12}{-4} \\ x &>& -3. \end{eqnarray}
Sendo assim, a solução $S_1$ desse caso é $S_1 = (-\infty, -2) \cap (-3, +\infty)$, ou seja, $S_1 = (-3,-2)$.
Para $-2 \leq x < 0$: Nesse caso, temos
\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ x+6 &<& -x+6 \\ 2x &<& 0 \\ x &<& 0. \end{eqnarray}
Sendo assim, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = [-2,0) \cap (-\infty, 0)$, ou seja, $S_2 = (-2,0)$.
Para $x \geq 0$: Nesse caso, temos
\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ 5x+6 &<& -x+6 \\ 6x &<& 0 \\ x &<& 0. \end{eqnarray}
Sendo assim, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = [0,+\infty) \cap (-\infty, 0)$, ou seja, $S_3 = \emptyset$.
Desse modo, a soluçaõ da inequação do enunciado é $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3$. Portanto, $S = (-3,0)$.
Vamos para o último exemplo.
8. Determine o conjunto solução da inequação $|2x-3| - |x-4| \geq |x-1|$.
Solução: Nesse exemplo, do lado direito do símbolo de desigualdade, temos um termo com módulo. Para usar o método que estamos usando para resolver essas inequações, devemos deixar os termos com módulos, todos eles, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Desse modo, a inequação do enunciado ficará na forma
$$|2x-3| - |x-4| - |x-1| \geq 0$$
Agora, vamos resolver a inequação nesse formato, reescrevendo a expressão $|2x-3| - |x-4| - |x-1|$. Fazendo isso, obtemos
$$|2x-3| - |x-4| - |x-1| = \left\{ \begin{array}{ccc} -2 & \mbox{se} & x < 1 \\ -2x & \mbox{se} & 1 \leq x < \frac{3}{2} \\ 2x-6 &\mbox{se} & \frac{3}{2} \leq x < 4 \\ 2 & \mbox{se} & x \geq 4. \end{array} \right.$$
A expressão $|2x-3| - |x-4| - |x-1|$ ficou separa em quatro partes. Isso ocorreu por que ela possui três termos com módulo. Como ela está dividida em quatro partes, a resolução dela será feita em quatro casos, são eles, $x < 1$, $1 \leq x < \displaystyle\frac{3}{2}$, $\displaystyle\frac{3}{2} \leq x < 4$ e $x < 4$. Assim, temos
Para $x < 1$: Nesse caso, temos
\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ -2 &\geq & 0. \end{eqnarray}
Como $-2 \geq 0$ nunca é verdade, a solução da inequação acima é o conjunto $\emptyset$. Desse modo, a solução desse caso é $S_1 = (-\infty,1) \cap \emptyset = \emptyset$.
Para $1 \leq x < \displaystyle\frac{3}{2}$: Nesse caso, temos
\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ -2x &\geq & 0 \\ x \leq 0. \end{eqnarray}
Desse modo, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = \left[1,\displaystyle\frac{3}{2}\right) \cap (-\infty, 0]$, isto é, $S_2 = \emptyset$.
Para $\displaystyle\frac{3}{2} \leq x < 4$: Nesse caso, temos
\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ 2x - 6 &\geq & 0 \\ 2x &\geq& 6 \\ x &\geq& 3. \end{eqnarray}
Logo, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = \left[\displaystyle\frac{3}{2}, 4\right) \cap [3, +\infty)$, isto é, $S_3 = [3,4)$.
Para $x \geq 4$: Nesse caso, temos
\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ 2 &\geq & 0. \end{eqnarray}
Como $2 \geq 0$ é verdade, segue que a solução da inequação acima é $\mathbb{R}$. Logo, a solução $S_4$ desse caso é $S_4 = \left[\displaystyle\frac{3}{2}, 4\right) \cap \mathbb{R}$, isto é, $S_4 = [4,+\infty)$.
Por fim, a solução $S$ da inequação $|2x-3| - |x-4| - |x-1| \geq 0$, que é equivalente à inequação do enunciado, é a união da solução dos qutro casos anteriores. Portanto $S = [3, +\infty]$.
Exemplo em vídeo:
Acredtito que, com os exemplos feitos aqui, você estará apto para resolver qualquer inequação como as que vimos nesses exemplos, ou seja, com termos com e sem módulo, sempre com a incógnita com expoente igual a $1$.
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