Como já sabemos calcular a união de intervalos, vamos aprender agora como calcular a interseção de intervalos. Novamente iremos usar fortemente a representação geométrica dos intervalos e, como se trata da interseção de intervalos, temos que ter em mente a definição e as propriedades da interseção de conjuntos. Assim como a união de intervalos, a interseção de intervalos é muito importante. Só para reforçar o que foi dito no post anterior, os intervalos e as operações de união e de interseção de intervalos estão muito presentes no estudo de funções e de inequações. Conhecer bem os intervalos e essas operações facilitam muito o estudo e a compreensão desses objetos matemáticos, tanto em nível médio como superior. Então, sem enrolação, vamos à interseção de intervalos.
Interseção de intervalos
Como no caso da união de intervalos, a melhor forma de compreender como fazer a interseção de intervalos é por meio de exemplos. Então, vamos aos exemplos.
Exemplos
1. Determine a interseção dos intervalos $(-2,1)$ e $[-1,3)$.
Solução: Para fazer a interseção desses dois intervalos, vamos traçar três segmentos de reta, um acima do outro. Use os dois primeiros segmentos para fazer a representação geométrica dos intervalos, cada um em um segmento, e anote o intervalo representado à esquerda de cada segmento. No terceiro segmento, anote à esquerda dele o que se quer calcular, ou seja, $(-2,1) \cap [-1,3)$. Vamos obter a seguinte figura:
Em seguida, trace uma linha vertical, perpendicular aos segmentos, em cada extremidade dos intervalos, cruzando todos os segmentos envolvidos na operação. Vamos obter o seguinte:
A definição de interseção diz o seguinte, um conjunto $A$ interseção com um conjunto $B$ é o conjunto $A \cap B$ formado por todos os elementos que estão em $A$ e em $B$. Usando essa definição com os intervalos $(-2,1)$ e $[-1,3)$ e a figura anterior, a interseção dos intervalos $(-2,1)$ e $[-1,3)$ é o conjunto formado pelos números que estão pintados nos dois intervalos ao mesmo tempo, assim, para visualizar o resultado, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas nos dois intervalos acima. Desse modo, teremos a figura:
Observe que $-1$ pertence aos dois intervalos, pois está pintado no intervalo $(-2,1)$ e é uma bolinha fechada no intervalo $[-1,3)$. Veja também que $1$ pertence ao intervalo $[-1,3)$, mas é representado por uma bolinha aberta em $(-2,1)$. Desse modo, olhando o ultimo segmento da figura, vemos que a interseção dos intervalos vai de $-1$ representado por uma bolinha fechada até o $1$ representado por uma bolinha aberta, isto é, $(-2,1) \cap [-1,3) = [-1,1)$.
2. Determine a interseção dos intervalos $[-1,3]$ e $(0,4)$.
Solução: Vamos proceder da mesma maneira como no exemplo anterior, isto é, vamos usar o mesmo processo para construção da figura, mas com os intervalos desse exemplo. A figura ficará dessa forma:
Novamente, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas nos dois intervalos acima ao mesmo tempo. Vamos obter a seguinte figura:
3. Determine a interseção dos intervalos $(-2,1]$ e $[0,+\infty)$.
Solução: Vamos proceder de forma similar aos exemplos anteriores. Com esses intervalos, vamos ter a seguinte figura.
Agora, pintando no terceiro segmento, as partes pintadas, simultaneamente, nos intervalos acima, vamos obter a seguinte figura:
Portanto $(-2,1] \cap [0,+\infty) = [0,1]$.
4. Determine a interseção dos intervalos $(-\frac{1}{2}, +\infty)$ e $[-\frac{1}{2}, 3)$.
Solução: Vamos proceder de forma similar aos exemplos anteriores. Com esses intervalos, vamos ter a seguinte figura.
Olhe para o desenho e observe que $-\frac{1}{2}$ está nas duas representações dos intervalos, no primeiro com bolinha aberta e no segundo com bolinha fechada. Assim, como vamos marcar $-\frac{1}{2}$ no terceiro segmento? Como estamos trabalhando com a interseção de conjuntos, para que um elemento esteja na interseção, ele deve estar nos dois conjuntos. Desse modo, no terceiro segmento, marcaremos o número $-\frac{1}{2}$ como uma bolinha aberta. A figura ficará assim:
Portanto $(-\frac{1}{2}, +\infty) \cap [-\frac{1}{2}, 3) = (-\frac{1}{2}, 3)$.
5. Determine a interseção dos intervalos $(-2,3)$ e $[0,2]$.
Solução: Nesse caso não precisamos fazer as representações geométricas. Basta observar que $[0,2] \subset (-2,3)$. Das propriedades da interseção de conjuntos, sabemos que, dados os conjuntos $A$ e $B$ com $A \subset B$, temos que $A \cap B = A$. Aplicando essa propriedade aos intervalos desse exemplo, vamos obter $(-2,3) \cap [0,2] = [0,2]$.
6. Determine a interseção dos intervalos $(-\infty,1]$, $[-2, 0)$ e $[-1,2]$.
Solução: Nesse exemplo temos que determinar a interseção de três intervalos. Para fazer isso, o procedimento é muito parecido com a interseção de dois intervalos. Vamos traçar quatro segmentos de reta, um acima do outro. Nos três primeiros segmentos, anote o intervalo à esquerda de cada segmento e use os segmentos para fazer as representações geométricas dos intervalos, cada um onde foi anotado. No quarto segmento, anote à esquerda do segmento o que se quer calcular, ou seja, $(-\infty,1] \cap [-2,0) \cap [-1,2]$. Após fazer isso, trace uma linha vertical, perpendicular aos segmentos, em cada extremidade dos intervalos, cruzando todos os segmentos envolvidos na operação. No último segmento, marque as extremidades dos intervalos. Vamos ter a seguinte figura:
Acredito que esses exemplos são suficientes para entendermos o processo da determinação da interseção de dois ou mais intervalos. Poderíamos colocar aqui muito mais exemplos, mas a postagem ficaria muito grande e cansativa de ser lida. Estendendo as ideias que vimos aqui para calcular a interseção de intervalos, podemos determinar a interseção de quaisquer intervalos sejam o quanto for.
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