Já estamos bem avançados no estudo das inequações e, a partir dessa postagem, vamos começar a estudar as inequações modulares, ou seja, inequações nas quais a incógnita está dentro de um módulo. Inequações modulares, em geral, são difíceis de resolver, pois para resolvê-las é necessário uma boa compreensão do que é o módulo de um número real, um bom conhecimento sobre como resolver inequações sem módulo (polinomiais e racionais) e até de teoria dos conjuntos (união e interseção de intervalos). Por esse motivo, vamos estudar as inequações modulares passo a passo, para que, mesmo sendo difíceis de resolver, você consiga entender bem o processo de resolução de cada uma delas e, quando encontrar como uma delas, saiba o que fazer. Então, nessa postagem vamos começar com as inequações modulares com polinômios de grau $1$. Para que você entenda bem o que vamos fazer nessa postagem, eu sugiro que você estude as seguintes postagens:
Definição de módulo e sua interpretação geométrica:
Como resolver inequações do primeiro grau:
Inequações modulares com polinômios de grau 1
Já disse que nessa postagem que vamos aprender a resolver inequações modulares com polinômios de grau $1$, mas que tipo de inequação é essa? Vamos defini-las.
Definição: Uma inequação será desse tipo de estiver em algumas das seguintes formas:
$$|ax+b| < c, \; |ax+b| \leq c, \; |ax+b| > c \mbox{ ou } |ax+b| \geq c$$
onde $a$, $b$ e $c$ são constantes reais com $a \neq 0$ a $c \geq 0$.
Em outras palavras, uma inequação modular com polinômio de grau $1$ é uma inequação na forma "polinômio de grau dentro do módulo, símbolo de desigualdade e uma constante".
Vejamos alguns exemplos de inequações desse tipo.
Exemplos:
1. $|x+1| < 3$
2. $|3x-1| \leq 5$
3. $|-4x + \sqrt{2} | > \displaystyle\frac{3}{2}$
4. $\left|\displaystyle\frac{x}{2}-5\right| \geq 4$
Todas as inequações acima são inequações modulares com polinômios de grau $1$, mas nem sempre elas estão nesse formato. Algumas vezes, elas podem aparecer assim:
5. $3|x+1| < 4$
6. $\displaystyle\frac{|-2x+1|}{5} \leq 1$
7. $5-6|1-x| \leq 4-1$
Ou seja, além do polinômio de grau $1$ dentro do módulo, essas equações modulares também podem ter um número multiplicando ou dividindo o módulo e outros números sendo somados à esquerda e à direita do símbolo de desigualdade. Mas isso não é um grande problema, essas inequações podem facilmente serem reescritas de modo que elas só tenham um módulo, o símbolo de desigualdade e outro número, após o símbolo de desigualdade. Reescrevendo os exemplos de 5 a 7, temos:
Exemplo 5:
\begin{eqnarray} 3|x+1| &<& 4 \\ |x+1| &<& \frac{4}{3} \end{eqnarray}
Exemplo 6:
\begin{eqnarray} \frac{|-2x+1|}{5} &\leq& 1 \\ |-2x+1| &\leq& 5 \end{eqnarray}
Exemplo 7:
\begin{eqnarray} 5-6|1-x| &\leq& 4-1 \\ 5-6|1-x| &\leq& 3 \\ -6|1-x| &\leq& 3-5 \\ -6|1-x| &\leq& -2 \\ |1-x| &\geq& \frac{2}{6} \\ |1-x| &\geq& \frac{1}{3} \end{eqnarray}
Agora que sabemos como uma inequação modular com um polinômio de grau $1$ pode aparecer, vamos ver uma maneira de resolvê-las.
Como resolver inequações modulares com polinômios de grau 1
Primeiramente, se a inequação não estiver em uma das formas que estão na definição
$$|ax+b| < c, \; |ax+b| \leq c, \; |ax+b| > c \mbox{ ou } |ax+b| \geq c$$
ou seja, se estiver como nos exemplos de $5$ a $7$, vamos precisar reescrevê-la em uma das formas acima.
Tendo feito isso, podemos classificar essas inequações modulares em dois grupos, a saber, o grupos das que possuem os símbolos de menor ou menor ou igual e o grupo das que possuemos símbolos de maior ou maior ou igual. Os exemplos 1 e 2 fazem parte das inequações que possuem $<$ ou $\leq$ como símbolo de desigaldade e as inequações dos exemplos 3 e 4 fazem parte das inequações que possuem $>$ ou $\geq$ como símbolo de desigualdade. Separar essas inequações em dois grupos diferentes é muito importante, pois as inequações com o símbolo $<$ ou o símbolo $\leq$ possuem uma forma de resolver, enquanto que as inequações com o símbolo $>$ ou o símbolo $\geq$ possuem outra forma de resolver.
Antes do fazermos os exemplos, vamos ver como resolver as inequações em cada um desses grupos.
Como resolver inequações modulares com polinômios de grau $1$ e com o símbolo $<$ ou $\leq$.
Considere uma incógnita $u$ e um número real $c \geq 0$. Geometricamente, o módulo de $u$ pode ser interpretado como a distância de $u$ até o zero, sobre a reta real. Desse modo, dizer que $|u| < c$ é mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é menor que $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u < c$ e $u > -c$ (são os números que estão entre $c$ e $-c$). Usando o mesmo raciocínio, dizer que dizer que $|u| \leq c$ é o mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é menor ou igual a $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u \leq c$ e $u \geq -c$ (são os números que estão entre $c$ e $-c$, incluindo o $c$ e o $-c$). Desse modo, se considerarmos $u$ como sendo $ax+b$, a solução da inequação $|ax+b| < c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b < c$ e $ax+b > -c$. De modo análogo, a solução da inequação $|ax+b| \leq c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b \leq c$ e $ax+b \geq -c$. Portanto, podemos concluir que:
A solução da inequação $|ax+b| < c$ é a interseção dos conjuntos soluções das inequações $ax+b < c$ e $ax+b > c$ e a solução da inequação $|ax+b| \leq c$ é a interseção dos conjuntos soluções das inequações $ax+b \leq c$ e $ax+b \geq -c$.
Relembre como fazer a interseção de intervalos lendo a postagem:
Como resolver inequações modulares com polinômios de grau $1$ e com o símbolo $>$ ou $\geq$.
Considere novamente uma incógnita $u$ e um número real $c \geq 0$. Mais uma vez, geometricamente, o módulo de $u$ pode ser interpretado como a distância de $u$ até o zero, sobre a reta real. Desse modo, dizer que $|u| > c$ é mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é maior que $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u > c$ ou $u < -c$ (todos os números fora do intervalo fechado $[c,-c]$). Usando o mesmo raciocínio, dizer que $|u| \geq c$ é o mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é maior ou igual a $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u \geq c$ e $u \leq -c$ (todos os números fora do intervalo aberto $(c, -c)$). Desse modo, se considerarmos $u$ como sendo $ax+b$, a solução da inequação $|ax+b| > c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b > c$ ou $ax+b < -c$. De modo análogo, a solução da inequação $|ax+b| \leq c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b \geq c$ ou $ax+b \leq -c$. Portanto, podemos concluir que:
A solução da inequação $|ax+b| < c$ é a união dos conjuntos soluções da inequações $ax+b > c$ e $ax+b < -c$ e a solução da inequação $|ax+b| \geq c$ é a união dos conjuntos soluções da inequações $ax+b \geq c$ e $ax+b \leq -c$.
Relembre como fazer a união de intervalos lendo a postagem:
Vamos ver, por meio de exemplos, como resolver inequações nesses dois grupos diferentes.
Exemplos:
8. Determine o conjunto solução da inequação $|2x+1| < 3$.
Solução: Essa inequação se encaixa no primeiro grupo, pois ela possui o símbolo de desigualdade $<$. Assim, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $2x+1 < 3$ e $2x +1 > -3$ e depois fazer a interseção dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $|2x+1| < 3$.
Resolvendo primeiramente a inequação $2x+1 < 3$, temos:
\begin{eqnarray} 2x + 1 &<& 3 \\ 2x &< & 3-1 \\ 2x &<& 2 \\ x &<& \frac{2}{2} \\ x &<& 1 \end{eqnarray}
Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = (-\infty,1)$. Agora, resolvendo a segunda inequação $2x +1 > -3$, temos:
\begin{eqnarray} 2x + 1 &>& -3 \\ 2x & > & -3-1 \\ 2x &>& -4 \\ x &>& \frac{-4}{2} \\ x &>& -2 \end{eqnarray}
Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-2, +\infty)$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|2x+1| < 3$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa interseção:
Pelo diagrama, obtemos que $S = (-2, 1)$. Logo, essa é a solução da inequação $|2x+1| < 3$.
9. Determine o conjunto solução da inequação $\left|4-\displaystyle\frac{x}{3}\right| \leq 1$.
Solução: Essa inequação também se encaixa no primeiro grupo, pois ela possui o símbolo de desigualdade $\leq$. Assim, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $4-\displaystyle\frac{x}{3} \leq 1$ e $4-\displaystyle\frac{x}{3} \geq -1$ e depois fazer a interseção dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $\left|4-\displaystyle\frac{x}{3}\right| \leq 1$.
Resolvendo primeiramente a inequação $4-\displaystyle\frac{x}{3} \leq 1$, temos:
\begin{eqnarray} 4-\frac{x}{3} &\leq& 1 \\ -\frac{x}{3} &\leq& 1-4 \\ -\frac{x}{3} &\leq& -3 \\ -x &\leq& 3 \cdot (-3) \\ -x &\leq& -9 \\ x &\geq& 9 \end{eqnarray}
Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = [9, +\infty)$. Agora, resolvendo a segunda inequação, temos:
\begin{eqnarray} 4-\frac{x}{3} &\geq& -1 \\ -\frac{x}{3} &\geq& -1-4 \\ -\frac{x}{3} &\leq& -5 \\ -x &\geq& 3 \cdot (-5) \\ -x &\geq& -15 \\ x &\leq& 15 \end{eqnarray}
Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-\infty, 15]$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|2x+1| < 3$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa interseção:
Pelo diagrama, obtemos que $S = [9,15]$. Logo, essa é a solução da inequação $\left|4-\displaystyle\frac{x}{3}\right| \leq 1$.
10. Resolva a inequação quação modular $-2|x+3| > -4$.
Solução: Essa inequação não está em uma das formas da definição lá do começo da postagem, por esse motivo, antes de decidirmos a qual grupo de inequações ela faz parte, precisamos reescrevê-la. Temos:
\begin{eqnarray} -2|x+3| &>& -4 \\ |x+3| &<& \frac{-4}{-2} \\ |x+3| &<& 2 \end{eqnarray}
Logo, a inequação $-2|x+3| > -4$ é equivalente à inequação $|x+3| < 2$, que possui o símbolo $<$ de desigualdade. Para resolver a inequação $|x+3| < 2$ precisamos resolver as inequações $x+3 < 2$ e $x+3 > -2$ e depois fazer a interseção dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $|x+3| < 2$ que também é o conjunto solução da inequação $-2|x+3| > -4$.
Resolvendo primeiramente a inequação $x+3 < 2$, temos:
\begin{eqnarray} x+3 &<& 2 \\ x &<& 2 - 3 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}
Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = (-\infty, -1)$. Agora, resolvendo a segunda inequação $x+3 > -2$, temos:
\begin{eqnarray} x+3 &>& -2 \\ x &>& -2-3 \\ x &>& -5 \end{eqnarray}
Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-5, +\infty)$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $-2|x+3| > -4$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa interseção:
Pelo diagrama, obtemos que $S = (-5,-1)$. Logo, essa é a solução da inequação $-2|x+3| > -4$.
11. Determine o conjunto solução da inequação $|2x+5| > 2$.
Solução: Essa inequação se encaixa no segundo grupo, pois ela possui o símbolo de desigualdade $>$. Desse modo, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $2x+5 > 2$ e $2x+5 < -2$ e depois fazer a união dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da união será o conjunto solução da inequação $|2x+5| > 2$.
Resolvendo primeiramente a inequação $2x+5 > 2$, temos:
\begin{eqnarray} 2x+5 &>& 2 \\ 2x &>& 2-5 \\ 2x &>& -3 \\ x &>& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}
Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = \left(-\displaystyle\frac{3}{2}, +\infty\right)$. Agora, resolvendo a segunda inequação, temos:
\begin{eqnarray} 2x+5 &<& -2 \\ 2x &<& -2-5 \\ 2x &<& -7 \\ x &<& -\frac{7}{2} \end{eqnarray}
Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{7}{2}\right)$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|2x+1| < 3$ será dado por $S=S_1 \cup S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa união:
Pelo diagrama, obtemos que $S = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{7}{2}\right) \cup \left(-\displaystyle\frac{3}{2}, +\infty\right)$ e esse é o conjunto solução da inequação $|2x+5| > 2$.
12. Determine o conjunto solução da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$.
Solução: Essa inequação também se encaixa no segundo grupo, pois ela possui o símbolo de desigualdade $\geq$. Desse modo, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $4x-1 \geq \displaystyle\frac{1}{2}$ e $4x-1 \leq -\displaystyle\frac{1}{2}$ e depois fazer a união dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da união será o conjunto solução da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$.
Resolvendo primeiramente a inequação $4x-1 \geq \displaystyle\frac{1}{2}$, temos:
\begin{eqnarray} 4x-1 &\geq& \frac{1}{2} \\ 4x &\geq& \frac{1}{2}+1 \\ 4x &\geq& \frac{3}{2} \\ x &\geq& \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} \\ x &\geq& \frac{3}{8} \end{eqnarray}
Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = \left[\displaystyle\frac{3}{8}, +\infty\right)$. Agora, resolvendo a segunda inequação, temos:
\begin{eqnarray} 4x-1 &\leq& -\frac{1}{2} \\ 4x &\leq& -\frac{1}{2}+1 \\ 4x &\leq& \frac{1}{2} \\ x &\leq& \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \\ x &\leq& \frac{1}{8} \end{eqnarray}
Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = \left(-\infty, \displaystyle\frac{1}{8}\right]$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$ será dado por $S=S_1 \cup S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa união:
Pelo diagrama, obtemos que $S = \left(-\infty, \displaystyle\frac{1}{8}\right] \cup \left[\displaystyle\frac{3}{8}, +\infty\right)$ e esse é o conjunto solução da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$.
13. Resolva a inequação modular $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$.
Solução: Antes de resolver essa inequação, precisamos reescrevê-la. Observe que, nesse exemplo, a expressão que está dentro do módulo precisa ser simplificada. Temos:
\begin{eqnarray} \frac{|2(2x-3)-x+1|}{3} &\geq& 2 \\ |2(2x-3)-x+1| &\geq& 6 \\ |4x-6-x+1| &\geq& 6 \\ |3x-5| &\geq& 6 \end{eqnarray}
Logo, a inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$ é equivalente à inequação $|3x-5| \geq 6$, que possui o símbolo $\geq$ de desigualdade. Para resolver a inequação $|3x-5| \geq 6$ precisamos resolver as inequações $3x-5 \geq 6$ e $3x-5 \leq -6$ e depois fazer a união dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $|x+3| < 2$ que também é o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$.
Resolvendo primeiramente a inequação $3x-5 \geq 6$ temos:
\begin{eqnarray} 3x-5 &\geq& 6 \\ 3x &\geq& 6+5 \\ 3x &\geq& 11 \\ x &\geq& \frac{11}{3} \end{eqnarray}
Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = \left[\displaystyle\frac{11}{3},+\infty \right)$. Agora, resolvendo a segunda inequação $3x-5 \leq -6$, temos:
\begin{eqnarray} 3x-5 &\leq& -6 \\ 3x &\leq& -6+5 \\ 3x &\leq& -1 \\ x &\leq& \frac{-1}{3}\end{eqnarray}
Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{1}{3} \right]$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa união:
Pelo diagrama, obtemos que $S = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{1}{3} \right] \cup \left[\displaystyle\frac{11}{3},+\infty \right)$. Logo, essa é a solução da inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$.
Observação importante: Há dois tipos de inequações que os seus respectivos conjuntos soluções são obtidos de forma direta. O primeiro tipo são as inequações na forma $|ax+b| < 0$ com $a \neq 0$. Como o módulo um número real é sempre maior ou igual a zero, para qualquer que seja $x$, nunca vamos obter $|ax+b| < 0$, isto é, o conjunto solução dessa inequação é o conjunto vazio $\emptyset$. Aplicando isso a alguns casos particulares, as inequações
$$|-x+5| < 0, \; |2x+\sqrt{3}| < 0 \mbox{ e } \left|\frac{x}{5}-\pi \right| < 0$$
possuem por conjunto solução o conjunto vazio.
O outro tipo são inequações na forma $|ax+b| \geq 0$. Como já foi obervado , o módulo de um número real é sempre maior ou igual a zero, assim, o cojunto solução de inequações desse tipo é igual $\mathbb{R}$, ou seja, todo número real é solução dessa inequação. Outra forma de escrever o conjunto solução dessa inequação é $(\infty,+\infty)$.
Resumo da postagem com exemplo em vídeo:
Acredito que, com esses exemplos, você vai conseguir resolver qualquer inequação modular com um polinômios de grau $1$.
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