Teoria dos Conjuntos #6: Interseção de conjuntos

 Nesse post vamos dar continuidade às operações com conjuntos. No post anterior aprendemos o que é a união de conjuntos e, agora, vamos aprender o que é a interseção de conjuntos. A união e a interseção de conjuntos são operações entre conjuntos muito usadas na matemática, é muito importante conhecê-las. Vamos lá! 

Interseção de conjuntos

Considere dois conjuntos quaisquer $A$ e $B$. Definimos interseção do conjunto $A$ com o conjunto $B$, denotada por $A \cap B$ (lê-se $A$ interseção $B$), como sendo o conjunto

$$A \cap B = \{x : x \in A \mbox{ e } x \in B\}.$$

Em outras palavras, o conjunto $A \cap B$ é formado por todos os elementos que estão em $A$ e em $B$, ao mesmo tempo. 

Para que um elemento $x$ não esteja em $A \cap B$, ele não pode estar em $A$ ou em $B$, ou seja, se $x$ está em $A$ e não está em $B$ ou, se $x$ está em $A$ e não está em $B$, então $x \notin A\cap B$.

Podemos representar a interseção de dois conjuntos pelo diagrama

                                                                                                                                  $A \cap B$

Vejamos alguns exemplos:

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A = \{1,2,3\} \mbox{ e } B=\{1,3,5,7\}.$$

O conjunto $A \cap B$ é

$$A \cap B = \{1,3\}.$$

Perceba como a definição de interseção está satisfeita nesse último conjunto, os números $1$ e $3$ são os únicos elementos que estão em $A$ e em $B$.

2. Sejam $A = \{a,b,c\}$ e $B=\{d,e,f,g\}$. Temos

$$A \cap B = \emptyset.$$

Quando temos dois conjuntos que não possuem elementos em comum, não haverá nenhum elemento na interseção desses conjuntos, pois não existe um elementos que esteja nos dois conjuntos ao mesmo tempo. Desse modo, a interseção desses conjuntos será o conjunto vazio, o conjunto no qual não há elementos.

3. Considere os conjuntos

$$A=\{0,2,3\}, \mbox{ } B=\{1,2,5,a,b\} \mbox{ e } C = \{a,0,2,3,5,7\}.$$

Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas.

(a) $2 \in A \cap B$

(b) $3 \in B \cap C$

(c) $5 \in A \cap C$

(d) $a \notin A \cap C$

(e) $0 \notin A \cap C$

Solução:

(a) Verdadeiro. Temos $A \cap B = \{2\}$. Claramente $2 \in A \cap B$.

(b) Falso. No item anterior calculamos a interseção dos conjuntos para verificar se a afirmação era falsa ou verdadeira, mas isso não é necessário. Quando os conjuntos são muito grandes, isso pode dar trabalho. Pela definição de interseção de conjuntos, para que um elemento esteja na interseção de dois conjuntos, ele deve estar nos dois conjuntos. Assim, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, basta verificarmos se $3$ está em $A$ e em $B$. Observe que $3 \notin B$, logo a afirmação é falsa.

(c) Falso. Basta observarmos que $5 \notin A$.

(d) Verdadeiro. Veja que $a \notin A$, o que implica $a \notin A \cap B$.

(e) Falso. Como $0 \in A$ e $0 \in C$, logo $0 \in A \cap C$.

Interseção de conjuntos com mais de dois conjuntos

A interseção de conjuntos pode ser definida para mais de dois conjuntos. Na verdade, pode ser definida para uma quantidade infinita (inclusive, não enumerável) de conjuntos. Vamos nos ater aqui a uma quantidade finita.

Considere $A_1, A_2, \dots, A_n$ $n$ conjuntos quaisquer onde $n$ é um número natural maior ou igual a $2$. Definimos a interseção dos conjuntos $A_1, A_2, \dots, A_n$ por

$$A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \{x : x \in A_i \mbox{ para todo } i=1,2,\dots, n\}.$$

Em outras palavras, o conjunto $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$ é o conjunto formado por todos os elementos que estão em $A_i$ para todo $i=1,2,\dots,n$, ou ainda, é formado pelos elementos que estão em todos os $A_i$'s. 

Podemos escrever essa interseção de $n$ conjuntos de uma forma mais resumida, usando a seguinte notação:

$$A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \displaystyle\bigcap_{i=1}^n A_i.$$

Para que um elemento $x$ não esteja em $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$, ele não pode estar em algum $A_i$ com $i = 1,2,\dots,n$, ou seja, se existe algum índice $i$ para o qual $x \notin A_i$, então $x \notin A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n$.

Usando um diagrama, podemos visualizar a interseção de mais de dois conjuntos

                                                                                                             $A \cap B \cap C \cap D \cap E$

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A=\{a,b,2,4,6\}, \mbox{ }B = \{\{a\},a,b,2,3,4,6\}, \mbox{ } C=\{4,5,6\} \mbox{ e } D=\{a,b,c,4,8,10\}.$$

Temos,

$$A \cap B = \{b,2,4,6\}$$

$$A \cap B \cap C = \{4,6\}$$

$$A \cap B \cap C \cap D = \{4\}$$

2. Sejam 

$$A = \{a,b,c,d\}, \mbox{ } B=\{\{a\},b,c,d\}, \mbox{ e } C=\{\{a,b\},a,b,c\}.$$

Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas.

(a) $\{a,b\} \in A \cap B$

(b) $\{a\} \notin A \cap B$

(c) $b \in A \cap B \cap C$

(d) $d \in A \cap B \cap C$

Solução:

(a) Falso. O conjunto $\{a,b\}$ é um elemento de $C$, mas não é elemento nem de $A$ e nem de $B$. Logo $\{a,b\} \notin A \cap B$.

(b) Verdadeiro. O conjunto $\{a\}$ é um elemento de $B$, mas não é um elemento de $A$, sendo assim, $\{a\} \notin A \cap B$.

(c) Verdadeiro. Observe que $b$ é um elemento de $A$, de $B$ e de $C$. Logo $b \in A \cap B \cap C$.

(d) Falso. Temos que $d \notin C$. Portanto $d \notin A \cap B \cap C$. 

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Teoria dos Conjuntos #5: União de conjuntos

Nas quatro postagens anteriores sobre teoria dos conjuntos (acesse-as aqui) vimos o que é bem básico, como definição de elementos, de conjuntos, a relação de pertinência, a definição de subconjuntos, a relação de inclusão de conjuntos e a definição de igualdade de conjuntos. Com a base bem definida e compreendida, podemos passar agora às operações de conjuntos, que são, união de conjuntos, interseção de conjuntos e diferença de conjuntos. Nesse post abordaremos a união de conjuntos, que algumas vezes é chamada de reunião de conjuntos. Então, vamos aprender o que é a união ou reunião de conjuntos.

União de conjuntos

Considere dois conjuntos quaisquer $A$ e $B$. Definimos união do conjunto $A$ com o conjunto $B$, denotada por $A \cup B$ (lê-se $A$ união $B$), como sendo o conjunto

$$A \cup B = \{x : x \in A \mbox{ ou } x \in B\}.$$

Em outras palavras, o conjunto $A \cup B$ é formado por todos os elementos que estão em $A$ ou estão em $B$. Podemos ainda pensar no conjunto $A \cup B$ como sendo o conjunto formado da seguinte forma: pegamos todos os elementos de $A$ e todos os elementos de $B$ e formamos um novo conjunto com esses elementos. Esse conjunto será $A \cup B$.

Para que um elemento $x$ não esteja em $A \cup B$, ele não pode estar nem em $A$ e nem em $B$.

Usando um diagrama, podemos visualizar a união de dois conjuntos

                                                                                                                               $A \cup B$

Vejamos alguns exemplos:

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A = \{1,2,3,4\} \mbox{ e } B=\{8,9,10\}.$$

O conjunto $A \cup B$ é

$$A \cup B = \{1,2,3,4,8,9,10\}.$$

Perceba como a defnição de união está satisfeita nesse último conjunto, observando cada elemento, percebemos que ele está em $A$ ou está em $B$.

2. Sejam $A = \{a,b,c\}$ e $B=\{b,c,d,e,f\}$. Temos

$$A \cup B = \{a,b,c,d,e,f\}.$$

Observe que, os elementos $b,c$ estão em $A$ e em $B$. Quando construímos o conjunto $A \cup B$, não há a necessidade de colocar esses elementos duas vezes na união. Sempre que fizermos a união de dois conjuntos, onde esses conjuntos possuem elementos em comum, esses elementos em comum aparecem somente uma vez na união dos conjuntos.

3. Considere os conjuntos

$$A=\{1,2,3\}, \mbox{ } B=\{2,5,a,b\} \mbox{ e } C = \{a,3,6,7\}.$$

Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas.

(a) $1 \in A \cup B$

(b) $3 \in B \cup C$

(c) $5 \in A \cup C$

(d) $a \notin A \cup B$

(e) $b \notin A \cup C$

Solução:

(a) Verdadeiro. Temos $A \cup B = \{1,2,3,5,a,b\}$. Claramente $1 \in A \cup B$.

(b) Verdadeiro. No item anterior calculamos a união dos conjuntos para verificar se a afirmação era falsa ou verdadeira, mas não precisamos fazer isso. Quando os conjuntos são muito grandes, esse caminho pode ser trabalhoso. Pela definição de união de conjuntos, para que um elemento esteja na união de dois conjuntos, basta que ele esteja em um deles. Assim, para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, basta verificarmos se $3$ está em $A$ ou em $B$. Observe que $3 \in A$, logo a afirmação é verdadeira.

(c) Falso. Considerando $A$ e $B$ quaisquer, para que um elemento esteja em $A \cup B$, pela definição, ele deve estar em $A$ ou $B$. Assim, como vimos logo após a definição de união de conjuntos, para que um elemento não esteja em $A \cup B$, ele não deve estar nem $A$ e nem $B$. Observe que $5 \notin A$ e $5 \notin C$ e, portanto $5 \notin A \cup C$.

(d) Falso. Veja que $a \in B$, o que implica $a \in A \cup B$.

(e) Verdadeiro. Veja que $b \notin A$ e $b \notin C$, logo $b \notin A \cup C$.

União de conjuntos com mais de dois conjuntos

A união de conjuntos pode ser definida para mais de dois conjuntos. Na verdade, pode ser definida para uma quantidade infinita (inclusive, não enumerável) de conjuntos. Vamos nos ater aqui a uma quantidade finita.

Considere $A_1, A_2, \dots, A_n$ $n$ conjuntos quaisquer onde $n$ é um número natural maior ou igual a $2$. Definimos a união dos conjuntos $A_1, A_2, \dots, A_n$ por

$$A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{x : x \in A_i \mbox{ para algum } i=1,2,\dots, n\}.$$

Em outras palavras, o conjunto $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ é o conjunto formado por todos os elementos que estão em algum $A_i$ com $i=1,2,\dots,n$. Podemos ainda dizer que $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$ é construído da seguinte forma: pegamos os elementos de todos os $A_i$ com $i = 1,2, \dots, n$ e construímos um novo conjunto, esse conjunto é $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$.

Podemos escrever essa união de $n$ conjuntos de uma forma mais resumida, usando a seguinte notação:

$$A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \displaystyle\bigcup_{i=1}^n A_i.$$

Para que um elemento $x$ não esteja em $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$, ele não pode estar em nenhum $A_i$ com $i = 1,2,\dots,n$.

Usando um diagrama, podemos ver a união de mais de dois conjuntos

                                                                                                              $A \cup B \cup C \cup D \cup E$

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A=\{a,b\}, \mbox{ }B = \{\{a\},1,2,3\}, \mbox{ } C=\{4,5\} \mbox{ e } D=\{a,b,c\}.$$

Temos,

$$A \cup B = \{a,b,\{a\},1,2,3\}$$

$$A \cup B \cup C = \{a,b,\{a\},1,2,3,4,5\}$$

$$A \cup B \cup C \cup D = \{a,b,\{a\},1,2,3,4,5,c\}$$

2. Sejam 

$$A = \{a,b,c\}, \mbox{ } B=\{\{a\},b,c\}, \mbox{ e } C=\{\{a,b\},c,d\}.$$

Classifique as afirmações abaixo como verdadeiras ou falsas.

(a) $\{a,b\} \in A \cup B$

(b) $\{a\} \notin A \cup B$

(c) $\{b\} \in A \cup B \cup C$

(d) $d \in A \cup B \cup C$

Solução:

(a) Falso. O conjunto $\{a,b\}$ é um elemento de $C$, mas não é elemento nem de $A$ e nem de $B$. Logo $\{a,b\} \notin A \cup B$.

(b) Falso. O conjunto $\{a\}$ é um elemento de $B$, sendo assim, $\{a\} \in A \cup B$.

(c) Falso. Observe que $\{b\}$ não é elemento nem de $A$, nem de $B$ e nem de $C$. Logo $\{b\} \notin A \cup B \cup C$.

(d) Verdadeiro. Temos que $d \in C$. Portanto $d \in A \cup B \cup C$. 

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Teoria dos Conjuntos #4: Igualdade de Conjuntos

 Nos posts anteriores sobre teoria dos conjuntos (acesse-os aqui), vimos as definições de elementos e conjuntos, a relação de pertinência, a definição de subconjuntos e a relação de inclusão. A relação de pertinência ocorre entre um objeto e um conjunto e a relação de inclusão ocorre entre dois conjuntos. Mas, ainda existe outra relação entre conjuntos, a relação de igualdade.

Você sabe quando dois conjuntos são iguais? Bom, temos essa relação de igualdade meio que de modo natural em nossa mente, é difícil até defini-la, basta você olhar dois objetos, se eles são iguais, então eles são iguais, não é mesmo?  Porém, quando se trata de igualdade na matemática, temos que tomar cuidado. Para cada classe de objetos matemáticos, há uma definição específica de igualdade. Por exemplo, há uma definição para igualdade de números, há outra para funções, outra para matrizes e outra para conjuntos. Veremos aqui a definição de igualdade de conjuntos.

Igualdade de Conjuntos

Considere dois conjuntos quaisquer $A$ e $B$. Dizemos que $A$ é igual a $B$ e, denotamos por $A=B$, quando $A \subset B$ e $B \subset A$. Em outra palavras,  os conjuntos $A$ e $B$ são iguais quando $A$ está contido em $B$ e $B$ está contido em $A$, ou ainda, quando $A$ é subconjunto de $B$ e $B$ é subconjunto de $A$.

Podemos ainda dizer que os conjuntos $A$ e $B$ são iguais quando todo elemento de $A$ também é elemento de $B$ e todo elemento de $B$ também é elemento de $A$.

Quando $A \not\subset B$ ou $B \not\subset A$ dizemos que $A$ é diferente de $B$ e denotamos isso por $A \not= B$.

Exemplos

1. Considere os conjuntos 

$$A = \{2,3,4,5, \dots\} \mbox{ e } B = \{x \in \mathbb{N}:x\geq2\}.$$

Temos que $A=B$, pois todo elemento de $A$ é elemento de $B$ e todo elemento de $B$ é elemento de $A$.

2. Considere os conjuntos

$$A=\{x \in \mathbb{R}: x>0 \} \mbox{ e } B=\{1,2,3,4, \dots\}.$$

Nesse caso, temos que $B \subset A$, pois os elementos de $B$ são números naturais (em particular, números reais) que são maiores que $0$. Porém $A \not\subset B$ pois $\displaystyle\frac{1}{2} \in A$ e $\displaystyle\frac{1}{2} \not\in B$. Logo $A \not= B$.

3. Considere os conjuntos

$$A=\{x \in \mathbb{Z}: x \mbox{ divide } 10\}, \mbox{ } B=\{-10,-5,-2,-1,0,1,2,5,10\} \mbox{ e } C=\{x \in \mathbb{Z}:x \leq 10\}.$$

Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso.

(a) $A=B$

(b) $A=C$

(c) $B \neq C$

Solução:

(a) Verdadeiro. Os elementos de $B$ são $-10$, $-5$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $5$ e $10$. Como todos esses números são divisores de $10$, segue que eles estão em $A$. Logo $B \subset A$. Por outro lado,  todos os divisores de $10$ são $-10$, $-5$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $5$ e $10$. Esses são exatamente os elementos de $B$. Assim $A \subset B$. Portanto $A = B$.

(b) Falso. O número $-11 \in C$, porém $-11 \not\in A$, isto é, $A \not\subset C$. Logo, não podemos ter a igualdade $A = C$.

(c) Verdadeiro. O número $-3 \in C$, porém $-3 \not\in B$. Assim, $C \not\subset B$, ou seja, $B \neq C$.

Outros símbolos usados para inclusão de conjuntos

Agora, com a definição de igualdade de conjuntos, podemos introduzir alguns símbolos diferentes usados para indicar inclusão. Dados conjuntos $A$ e $B$ quaisquer, temos

• $A \subseteq B$: $A$ está contido ou é igual a $B$;
• $A \supseteq B$: $A$ contém ou é igual a $B$;
• $A \not\subseteq B$: $A$ não está contido em $B$;
• $A \not\supseteq B$: $A$ não contém $B$;
• $A \subsetneq B$: $A$ está contido em $B$ e é diferente de $B$;
• $A \supsetneq B$: $A$ contém $B$ e é diferente de $B$;

No exemplo 2 podemos escrever $B \subsetneq A$ ou, de modo equivalente, $A \supsetneq B$, pois $B$ está contido em $A$ e é diferente de $A$. Nesse mesmo exemplo podemos também escrever $A \not\subseteq B$ ou $B \not\supseteq A$, pois $A$ não está contido em $B$. 

No exemplo 3 temos $A \subsetneq C$ ou, de maneira equivalente, $C \subsetneq A$, pois $A$ está contido em $C$ e é diferente de $C$. Também temos $C \not\subseteq A$, ou ainda, $C \not\supseteq A$ pois $C$ não está contido em $A$.

No exemplo 3 temos que $A = B$. Isso implica todas essas inclusões: $A \subset B$ ($B \supset A$), $B \subset A$ ($A \supset B$), $A \subseteq B$ ($B \supseteq A$) e $B \subseteq A$ ($B \supseteq A$).

Quando temos dois conjunto $A$ e $B$ com $A \subsetneq B$ ou $B \supsetneq A$, dizemos que $A$ é um subconjunto próprio de $B$. No exemplo 2, $B$ é um subconjunto próprio de $A$.

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Teoria dos Conjuntos #3 - Detalhes sobre as relações de pertinência e de inclusão

 Esse é o terceiro post sobre Teoria dos Conjuntos. No primeiro post tratamos sobre a definição de conjuntos e elementos e no segundo tratamos sobre subconjuntos. Se você ainda não deu uma olhada lá, sugiro que dê. Nesse post vamos misturar um pouco as coisas, vamos tratar de conjuntos, elementos e subconjuntos tudo misturado.. É muito importante saber quando usar a relação de inclusão ("contido em" e "não está contido em") e a relação de pertinência ("pertence a" e "não pertence a"). Vamos lá!

Sobre a diferença entre a relação de pertinência e a relação de inclusão

Dado um um objeto $x$ e um conjunto $A$, podemos verificar se $x \in A$ ou se $x \not\in A$. Essa é a relação de pertinência entre objetos e conjuntos. Dados dois conjuntos $A$ e $B$, podemos verificar de $A \subset B$ ou se $A \not\subset B$. Essa é a relação de inclusão de conjuntos. Aqui, nós podemos perceber que a relação de pertinência se dá entre objetos e conjuntos e a relação de inclusão se dá entre dois conjuntos. Sendo assim, é errado dizer que um elemento está contido num conjunto  e que um conjunto pertence a outro conjunto.

Sobre a notação de conjunto

Dado um objeto qualquer $x$, $x$ e $\{x\}$ significam coisas diferentes. O primeiro é simplesmente o objeto $x$, o segundo é o conjunto que só tem $x$ como elemento. Um elemento sozinho, sem estar entre chaves, nunca será um conjunto.

Um conjunto pode ser um elemento?

Bom, vimos acima que um objeto sozinho nunca será um conjunto, mas é possível que um conjunto seja um elemento de outro conjunto? A resposta é sim.

Considere o seguinte conjunto:

$$P = \{\{a\}, b, c\}$$

Os elementos desse conjunto são $\{a\}$, $b$ e $c$. Nesse caso, o conjunto $\{a\}$ é um elemento do conjunto $P$. Assim, podemos dizer que $\{a\}$ pertence a $P$, ou em símbolos, $\{a\} \in P$.  E, porquê isso? Simplesmente porque $\{a\}$ está listado como elemento de $P$. Como $\{a\}$ é um elemento de $P$, está errado dizer que $\{a\} \subset P$, pois para que isso fosse verdade, teríamos que ter $a \in P$, mas isso não ocorre, $a$ (sozinho, sem as chaves) não é listado como elemento de $P$. 

Exemplo

1. Dado os seguintes conjuntos

$$A = \{a,b,c,d\}, \mbox{ } B=\{\{a\}, b, c,\} \mbox{ e } C = \{\{a,b\}, c\}$$

verifique quais afirmação são verdadeiras e quais são falsas.

(a) $a \in A$

(b) $\{a\} \subset B$

(c) $\{a,b\} \in C$

(d) $\{c\} \subset B$

(e) $\{a,b\} \subset A$

Solução:

(a) Verdadeiro. O objeto $a$ está listado como elemento de $A$.

(b) Falso. O conjunto $\{a\}$ é um elemento de $B$, logo $\{a\} \not\subset B$. Para que $\{a\} \subset B$, deveríamos ter $a \in A$, o que não ocorre.

(c) Verdadeiro. Quando olhamos os elementos de $C$, vemos que $\{a,b\}$ está listado em $C$.

(d) Verdadeiro. Observe que $c \in B$, o que nos dá $\{c\} \subset C$.

(e) Verdadeiro. Como $a,b \in A$, segue $\{a,b\} \subset B$.

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Teoria dos Conjuntos #1: Conjuntos e Elementos

Acredito que a Teoria dos Conjuntos é uma parte fundamental da Matemática. Ela simplesmente aparece em todas as áreas da Matemática (em todas mesmo). Não é possível estudar Cálculo, Geometria, Álgebra Linear, Álgebra, Equações Diferenciais, etc., sem saber, pelo menos, o básico da Teoria dos Conjuntos. Então, esse é um assunto que não pode ser deixado de lado. Por esse motivo, nesse post, vamos começar do começo, vamos definir o que é um conjunto, o que é um elemento de um conjunto e algo muito importante, como escrever um conjunto de maneira correta. Além disso, veremos também os conjuntos numéricos. Ao final veremos alguns exemplos.

Definição de conjuntos e elementos

Na Matemática, a palavra conjunto tem o mesmo significado que usamos no português (isso pode ter parecido estranho, mas na Matemática, aberto não é antônimo de fechado). Assim, um conjunto é uma coleção, um agrupamento ou uma classe de objetos que podem ser abstratos ou não. Os objetos nesse conjunto são chamados de elementos ou membros do conjunto. Dizemos que um elemento do conjunto pertence ao conjunto. Se um objeto não é um elemento de um dado conjunto, dizemos que ele não pertence a esse conjunto. Assim, está definida a relação que existe entre objetos e conjuntos, a chamada relação de pertinência, isto é, dado um objeto e um conjunto, podemos dizer se este objeto pertence ou não pertence ao conjunto, verificando se ele é um elemento do conjunto.

Notações

De um modo geral (e isto não é uma regra), os conjuntos são comumente denotados por letras maiúsculas:

$$A, B, C, \dots$$

Também de um modo geral, os elementos são denotados por letras minúsculas:

$$a,b,c, \dots$$

Usamos o  símbolo $\in$ para dizer que um objeto pertence a um conjunto e o símbolo $\not\in$ para dizer que um objeto não pertence. Por exemplo, dados um objeto $x$ e um conjunto $A$, escrevemos $x \in A$ se $x$ pertence a $A$, ou seja, se $x$ é um elementos de $A$ e escrevemos $x \not\in A$ se $x$ não pertence a $A$, ou seja, se $x$ não é um elemento de A.

Podemos representar conjuntos usando diagramas:

$x \in A$ e $y \not\in A$

Maneiras de Escrever um Conjunto

Agora, vamos aprender a escrever um conjunto. Podemos escrever um conjunto de duas formas diferentes, a saber:

1. Listando os elementos entre chaves (não entre colchetes e nem entre parênteses, mas entre chaves).

Vejamos alguns exemplos:

(a)  $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,5,\dots\}$ (conjunto dos números naturais)

(b) $\mathbb{Z} = \{\dots -3,-2,-1, 0,1,2,3,\dots\}$ (conjunto dos números inteiros) 

(c) $A = \{1,3,5,7,\dots,97,99\}$

(d) $B = \{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\}$

(e) $C = \{2,4,6,8\}$ 

(f) $D = \{\dots,-2,-1,0,1,2,3, \dots\}$ 

Essa maneira de descrever um conjunto é mais adequada quando o conjunto é finito ou infinito com um padrão bem claro de como são obtidos os elementos que não estão propriamente escritos no conjunto. Para dizer que o padrão do conjunto se repete, usamos reticências, que podem aparecer antes, no meio, ou depois dos elementos listados. Nos itens 1(a) e 1(b) temos as definições dos conjuntos dos números naturais e dos números inteiros, denotados respectivamente por $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$. No item 1(c) temos o conjunto dos números naturais ímpares menores 101, no item 1(d) o conjunto dos inteiros pares, no item 1(e) um conjunto finito no qual todos seus elementos estão listados e no item 1(f) os inteiros menores que 4.

2. Descrevendo os elementos do conjunto por meio de uma propriedade (e isso também entre chaves).

Para ficar mais claro, de um modo geral, essa segunda maneira de escrever um conjunto tem a seguinte forma:

$$\{x : x \mbox{ possui a propriedade P}\}, \mbox{ ou }$$

$$\{x \in U : x \mbox{ possui a propriedade P}\}$$

Aqui, esses dois pontos significam tal que e podem ser substituídos por uma barra vertical $|$. Assim, a primeira forma é lida como conjunto dos elementos $x$ tal que x possui a propriedade P e a segunda forma é lida como conjunto dos elementos x pertencentes a $U$ tal que $x$ possui a propriedade P. O conjunto $U$ é chamado de conjunto universo.

Vejamos alguns exemplos:

(a) $\mathbb{Q} = \left\{\displaystyle\frac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z} \mbox{ e } b \neq 0\right\}$ (conjunto dos números racionais)

(b) $\mathbb{R} = \{x :  x \mbox{ pode ser escrito na forma decimal}\}$ (conjunto dos números reais)

(c) $X = \left\{\displaystyle\frac{1}{n}: n \mbox{ é um número natural}\right\}$

(d) $Y = \{ x \in \mathbb{R} : x > 0\}$

(e) $Z = \{a \in \mathbb{N} : a \mbox{ divide } 36\}$

(f) $S = \{ x \in \mathbb{R} : 0<x<1\}$

Essa maneira de descrever um conjunto é mais usada quando o conjunto é infinito ou quando os elementos não possuem um padrão de repetição. Porém, nada impede que essa forma seja usada para descrever conjuntos finitos ou com um padrão de repetição bem claros. Nos itens 1(a) e 1(b) temos os conjuntos numéricos dos racionais e dos reais, denotados respectivamente por $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$. No item 2(c) temos um conjunto formado por elementos na forma $\displaystyle\frac{1}{n}$ onde $n \in \mathbb{N}$. Por exemplo, os números $\displaystyle\frac{1}{2}$ e $\displaystyle\frac{1}{10}$ são elementos desse conjunto. O conjunto no item 2(d) não pode ser descrito listando seus elementos, pois não há um padrão nos números reais maiores que zero. Desse fato, escrever esse conjunto com a propriedade que ele possui é a maneira correta de escrevê-lo. Os números naturais que dividem 36 são: 1, 2, 3, 6, 12 e 18. Isto é, o conjunto do item 2(e) é finito e poderia ser escrito listando os seus elementos. Pelo mesmo motivo do item 2(d), o conjunto do item 2(f) deve ser escrito meio de sua propriedade.

Observação: Há mais um conjunto numérico, chamado de conjunto dos números irracionais, o qual é denotado e definido por:

$$\mathbb{I} = \{x \in \mathbb{R} : x \not\in \mathbb{Q}\}$$

Saiba mais sobre esse conjunto lendo esse post.

Dica valiosa de um professor universitário: Estudar essas coisas de elementos e conjuntos, maneiras de escrever conjuntos, parece ser meio chato. Bom, talvez seja (eu não acho). Porém isso é muito importante, pois quando você chegar no ensino superior (se você já não estiver lá), não será cobrado somente para resolver um exercício de maneira correta, mas também para escrever a solução de maneira correta. Nos relatórios, provas, trabalhos que você for fazer, lembre-se disso, você vai ser cobrado para escrever de maneira correta, não só no português, mas também na matemática.

Exemplos:

1. Considere os conjuntos:

$$A = \{1,2,17, 34\}, \mbox{ } B = \{5,6,7,8,9, \dots\} \mbox{ e } C = \{x \in \mathbb{R} : x < 9\}.$$

Verifique se as seguintes afirmação são verdadeiras ou falsas:

(a) $2 \in A$                (b) $1 \in B$              (c) $-1 \not\in C$

(d) $\frac{9}{5} \in C$               (e) $100 \not\in B$         (d) $0 \in A$ 

Solução: 

(a) Verdadeiro. O número 2 está listado entre os elementos de $A$.

(b) Falso. Em $B$ estão somente os números naturais maiores ou iguais 5, seguindo seu padrão de repetição. Como 1 é menor que 5, 1 não é um elemento de $B$.

(c) Falso. O conjunto $C$ é formado pelos números reais menores que 9 e, como -1 é menor que 9, -1 pertence a $C$.

(d) Verdadeiro. O número $\frac{9}{5}$ é menor que 9, portanto está em $C$.

(e) Falso. Em $B$ estão todos os números naturais maiores ou iguais a 5. O número 100 é maior que 5, logo 100 é um elemento de $B$.

(d) Falso. O número 0 não está listado entre os elementos de $A$.

2. Em cada item, escreva o conjunto dadas suas propriedades.

(a) Números naturais múltiplos de 5.

(b) Números inteiros múltiplos de 5.

(c) Números racionais com denominador igual a 2.

(d) Números reais maiores que -1 e menores que 1.

(e) Números inteiros divisores de 10.

Solução:

(a) $\{0,5,10,15,20, \dots\}$ ou $\{5x: x \in \mathbb{N}\}$.

(b) $\{\dots, -10,-5,0,5,10,\dots\}$ ou $\{5x: x \in \mathbb{Z}\}$.

(c) $\left\{\displaystyle\frac{a}{2} : a \in \mathbb{Z}\right\}$

(d) $\{x \in \mathbb{R} : -1< x < 1\}$.

(e)$\{1,2,5\}$

Antes de finalizar, existe um conjunto muito importante na Matemática, chamado conjunto vazio. O conjunto vazio, por definição é o conjunto que não possui elementos e é denotado por $\emptyset$ ou $\{\}$.

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