Teoria dos Conjuntos #4: Igualdade de Conjuntos

 Nos posts anteriores sobre teoria dos conjuntos (acesse-os aqui), vimos as definições de elementos e conjuntos, a relação de pertinência, a definição de subconjuntos e a relação de inclusão. A relação de pertinência ocorre entre um objeto e um conjunto e a relação de inclusão ocorre entre dois conjuntos. Mas, ainda existe outra relação entre conjuntos, a relação de igualdade.

Você sabe quando dois conjuntos são iguais? Bom, temos essa relação de igualdade meio que de modo natural em nossa mente, é difícil até defini-la, basta você olhar dois objetos, se eles são iguais, então eles são iguais, não é mesmo?  Porém, quando se trata de igualdade na matemática, temos que tomar cuidado. Para cada classe de objetos matemáticos, há uma definição específica de igualdade. Por exemplo, há uma definição para igualdade de números, há outra para funções, outra para matrizes e outra para conjuntos. Veremos aqui a definição de igualdade de conjuntos.

Igualdade de Conjuntos

Considere dois conjuntos quaisquer $A$ e $B$. Dizemos que $A$ é igual a $B$ e, denotamos por $A=B$, quando $A \subset B$ e $B \subset A$. Em outra palavras,  os conjuntos $A$ e $B$ são iguais quando $A$ está contido em $B$ e $B$ está contido em $A$, ou ainda, quando $A$ é subconjunto de $B$ e $B$ é subconjunto de $A$.

Podemos ainda dizer que os conjuntos $A$ e $B$ são iguais quando todo elemento de $A$ também é elemento de $B$ e todo elemento de $B$ também é elemento de $A$.

Quando $A \not\subset B$ ou $B \not\subset A$ dizemos que $A$ é diferente de $B$ e denotamos isso por $A \not= B$.

Exemplos

1. Considere os conjuntos 

$$A = \{2,3,4,5, \dots\} \mbox{ e } B = \{x \in \mathbb{N}:x\geq2\}.$$

Temos que $A=B$, pois todo elemento de $A$ é elemento de $B$ e todo elemento de $B$ é elemento de $A$.

2. Considere os conjuntos

$$A=\{x \in \mathbb{R}: x>0 \} \mbox{ e } B=\{1,2,3,4, \dots\}.$$

Nesse caso, temos que $B \subset A$, pois os elementos de $B$ são números naturais (em particular, números reais) que são maiores que $0$. Porém $A \not\subset B$ pois $\displaystyle\frac{1}{2} \in A$ e $\displaystyle\frac{1}{2} \not\in B$. Logo $A \not= B$.

3. Considere os conjuntos

$$A=\{x \in \mathbb{Z}: x \mbox{ divide } 10\}, \mbox{ } B=\{-10,-5,-2,-1,0,1,2,5,10\} \mbox{ e } C=\{x \in \mathbb{Z}:x \leq 10\}.$$

Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso.

(a) $A=B$

(b) $A=C$

(c) $B \neq C$

Solução:

(a) Verdadeiro. Os elementos de $B$ são $-10$, $-5$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $5$ e $10$. Como todos esses números são divisores de $10$, segue que eles estão em $A$. Logo $B \subset A$. Por outro lado,  todos os divisores de $10$ são $-10$, $-5$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $5$ e $10$. Esses são exatamente os elementos de $B$. Assim $A \subset B$. Portanto $A = B$.

(b) Falso. O número $-11 \in C$, porém $-11 \not\in A$, isto é, $A \not\subset C$. Logo, não podemos ter a igualdade $A = C$.

(c) Verdadeiro. O número $-3 \in C$, porém $-3 \not\in B$. Assim, $C \not\subset B$, ou seja, $B \neq C$.

Outros símbolos usados para inclusão de conjuntos

Agora, com a definição de igualdade de conjuntos, podemos introduzir alguns símbolos diferentes usados para indicar inclusão. Dados conjuntos $A$ e $B$ quaisquer, temos

• $A \subseteq B$: $A$ está contido ou é igual a $B$;
• $A \supseteq B$: $A$ contém ou é igual a $B$;
• $A \not\subseteq B$: $A$ não está contido em $B$;
• $A \not\supseteq B$: $A$ não contém $B$;
• $A \subsetneq B$: $A$ está contido em $B$ e é diferente de $B$;
• $A \supsetneq B$: $A$ contém $B$ e é diferente de $B$;

No exemplo 2 podemos escrever $B \subsetneq A$ ou, de modo equivalente, $A \supsetneq B$, pois $B$ está contido em $A$ e é diferente de $A$. Nesse mesmo exemplo podemos também escrever $A \not\subseteq B$ ou $B \not\supseteq A$, pois $A$ não está contido em $B$. 

No exemplo 3 temos $A \subsetneq C$ ou, de maneira equivalente, $C \subsetneq A$, pois $A$ está contido em $C$ e é diferente de $C$. Também temos $C \not\subseteq A$, ou ainda, $C \not\supseteq A$ pois $C$ não está contido em $A$.

No exemplo 3 temos que $A = B$. Isso implica todas essas inclusões: $A \subset B$ ($B \supset A$), $B \subset A$ ($A \supset B$), $A \subseteq B$ ($B \supseteq A$) e $B \subseteq A$ ($B \supseteq A$).

Quando temos dois conjunto $A$ e $B$ com $A \subsetneq B$ ou $B \supsetneq A$, dizemos que $A$ é um subconjunto próprio de $B$. No exemplo 2, $B$ é um subconjunto próprio de $A$.

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