Até o post de número 10, vimos o que é de mais importante da teoria dos conjuntos. Mas, eu não poderia deixar de fora o produto direto de conjuntos. No ensino médio, muitas vezes vemos o produto direto como sendo o produto cartesiano de dois conjuntos. Aqui, com o produto direto, vamos mais além, vamos generalizar essa ideia de produto cartesiano. Esse conceito de produto direto aparece nas definições de relação, de função, de vetores e etc., ou seja, é um conceito muito importante. Sem enrolações, vamos aprender o que é o produto direto.
Definição de produto direto
Considere os conjuntos $A$ e $B$, não vazios. Definimos o produto direto do conjunto $A$ com o conjunto $B$, denotado por $A \times B$, da seguinte forma:
$$A \times B = \{(x,y): x \in A \mbox{ e } y \in B\}.$$
Isto é, o produto direto de $A$ com $B$ é o conjunto formado pelos pares $(x,y)$ onde $x$ está em $A$ e $y$ está em $B$. Vamos ver alguns exemplos.
Exemplos
1. Considerando os conjuntos $A = \{0,1,2\}$ e $B = \{a,b\}$ temos
$$A \times B = \{(0,a), (0,b), (1,a), (1,b), (2,a), (2,b)\}.$$
2. Sejam
$$A = \{1,2,3,4\} \mbox{ e } B = \{1,2\}.$$
Determine $A \times B$.
Solução: Basta escrevermos o conjunto formado por todos os pares na forma $(x,y)$ possíveis onde $x$ está em $A$ e $y$ está em $B$. Desse modo temos
$$A \times B = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)\}.$$
Produto direto com mais de dois conjuntos
Considere os conjuntos $A_1, A_2, \dots A_n$ $n$ conjuntos não vazios quaisquer. Definimos o produto direto dos conjuntos $A_1, A_2, \dots A_n$ como sendo
$$A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(x_1,x_2, \dots,x_n): x_i \in A_i \mbox{ com } i=1,2,\dots, n\}.$$
Em outras palavras, o conjunto $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ é formado por elementos na forma $(x_1,x_2, \dots,x_n)$ onde $x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, \dots, x_n \in A_n$. Vamos ver alguns exemplos.
Exemplos
3. Considere os conjuntos $A=\{1,2\}$, $B=\{3,4\}$ e $C=\{5,6\}$. Temos
$$A \times B \times C = \{(1,3,5), (1,3,6), (1,4,5), (1,4,6) ,(2,3,5), (2,3,6), (2,4,5), (2,4,6)\}.$$
4. Considere os conjuntos
$$A=\{0\}, \mbox{ } B=\{1\}, \mbox{ } C=\{2,3\} \mbox{ e } D=\{a,b\}.$$
Determine o conjunto $A \times B \times C \times D$.
Solução: Basta construirmos o conjunto formado por todos os elementos na forma $(x,y,z,w)$ possíveis onde $x$ está em $A$, $y$ está em $B$, $z$ está em $C$ e $w$ está em $W$. Desse modo temos
$$A \times B \times C \times D = \{(0,1,2,a), (0,1,2,b), (0,1,3,a), (0,1,3,b)\}.$$
Observações importantes
Podemos fazer o produto direto de $n$ conjuntos todos iguais, por exemplo, dado um conjunto $A$, podemos obter $A \times A$, $A \times A \times A$ e assim por diante. Nesses casos, para facilitar a escrita, usamos a notação de potência da seguinte forma:
$$A^2 = A \times A$$
$$A^3 = A \times A \times A$$
$$A^4 = A \times A \times A \times A$$
e, para generalizar,
$$A^n = A \times A \times \cdots \times A. (n \mbox{ fatores})$$
Exemplo
5. Considere o conjunto $A = \{0,1\}$. Escreva os conjuntos $A^3$ e $A^4$.
Solução: Temos,
$$A^3=\{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)\} \mbox{ e }$$
\begin{eqnarray}A^4 &=& \{(0,0,0,0), (0,0,1,0), (0,1,0,0), (0,1,1,0), (1,0,0,0), (1,0,1,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (0,0,0,1), (0,0,1,1), \\ & & (0,1,0,1), (0,1,1,1), (1,0,0,1), (1,0,1,1), (1,1,0,1), (1,1,1,1)\}.\end{eqnarray}
Os elementos na forma $(x,y)$, como já até usamos, são chamados de pares. Os elementos na forma $(x,y,z)$ são chamados de triplas ou ternas. Já em um caso geral, o elemento na forma $(x_1,x_2, \dots, x_n)$ é chamado de $n$-upla.
Observe que dados os conjuntos $A_1, A_2, \dots A_r$ onde $A_i$ possui $n_i$ elementos para cada $i=1,2,\dots,r$, o número de elementos do conjunto $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_r$ é igual a $n_1 \cdot n_2 \cdot \cdots \cdot n_r$.
No exemplo 2, $A \times B$ possui $4 \cdot 2 = 8$ elementos pois $A$ possui $4$ elementos e $B$ possui $2$ elementos. No exemplo 4, temos que $A \times B \times C \times D$ possui $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 = 4$ elementos pois $A$ e $B$ possuem 1 elemento e $B$ e $C$ possuem dois elementos. Já no exemplo 5, o conjunto $A^4$ possui $2^4 = 16$ elementos, visto que $A$ possui dois elementos.
Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.
