Potênciação e Radiciação #8: Potências com expoentes reais

Essa já é a oitava postagem sobre potenciação e radiciação do blog (veja todas as postagens aqui). Vimos quase tudo daquilo que é básico sobre esse assunto, quase tudo o que você precisa saber para resolver problemas de matemática envolvendo potenciação e radiciação, ou seja, vimos potências com expoentes naturais, inteiros, racionais e irracionais e também vimos a radiciação. Bom, eu disse quase tudo e, por que quase tudo? Para completar esse assunto e vermos tudo o que precisamos saber sobre potenciação e radiciação, falta abordarmos o caso onde o expoente de uma potência é um número real. Não se preocupe, isso fica fácil depois de tudo o que já foi visto.

Potências com expoente real

Seja $a,n \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$. Como fazemos para calcular $a^n$? Bom, depende de qual número é o $n$. Vejamos,

(1) Se $n$ é um número natural, usamos a definição de potência com expoente natural (veja a definição aqui)

(2) Se $n$ for um número inteiro negativo, usamos a definição de potência com expoente negativo (veja a definição aqui)

(3) Se $n$ for um número racional, ou seja, uma fração, usamos a definição de potência com expoente racional (veja a definição aqui).

(4) Se $n$ for um número irracional, temos uma forma aproximada de calcular essa potência, mas é melhor não calculá-la e sim deixá-la como potência mesmo (veja mais detalhes sobre isso aqui).

Dado um número real $n$, esse número será natural, inteiro, racional ou irracional, desse modo, nos quatro itens acima, abordamos todas possibilidades de potências com expoentes reais. Logo, se você precisa calcular um potência com expoente real, basta ver em qual caso ela se encaixa.

As propriedades que vimos para cada tipo de potência acima podem ser generalizadas para potências com expoentes reais, ou seja, dados $a,b,r,s \in \mathbb{R}$ com $a,b > 0$, valem as seguintes propriedades

(i) $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$;

(iii) $(a \cdot b)^n = a^r \cdot b^s$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^r = \displaystyle\frac{a^r}{b^r}$ se $b \neq 0$;

(v) $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$

Observação: Temos que $0^n = 0$ para qualquer $n \in \mathbb{R}$ positivo. Caso contrário, essa potências não está definida.

Vejamos alguns exemplos do uso dessas propriedades com potências com expoentes reais.

1. $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{3} = 2^{\frac{1}{2}+3} = 2^{\frac{7}{2}}$; $\left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}} \cdot \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{-\pi} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}+(-\pi)} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}-\pi}$;

2. $\displaystyle\frac{5^{\frac{1}{5}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\frac{1}{5}-\sqrt{2}}$;

3. $(3 \cdot 7)^{\frac{\sqrt{5}}{2}} = 3^{\frac{\sqrt{5}}{2}} \cdot 7^{\frac{\sqrt{5}}{2}}$;

4. $\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{-\frac{1}{\pi}} = \displaystyle\frac{3^{-\frac{1}{\pi}}}{5^{-\frac{1}{\pi}}}$;

5. $\left(10^{\frac{2}{3}}\right)^{\sqrt{7}} = 10^{\frac{2}{3} \cdot \sqrt{7}} = 10^{\frac{2\sqrt{7}}{3}}$.

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Potenciação e Radiciação #6: Potência com expoente racional

Já fizemos um estudo bastante completo sobre potências com expoentes naturais e inteiros e também sobre radiciação de índice $n$. Sabemos calcular essas potências e também calcular e simplificar raízes de índice $n$. Isso já é muito importante. Tendo aprendido esses conceitos matemáticos, agora estamos aptos a estudar as potências com expoente racional (fracionário). Só agora vamos falar de potência com expoente racional pois nesse assunto vamos misturar tudo o que já estudamos nos posts anteriores, a potenciação com expoentes natural e inteiros e a radiciação. Vamos lá!

Potências com expoente racional

Definição: Dados $a \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$ e $\displaystyle\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$, com $p \in \mathbb{Z}$ e $q \in \mathbb{N}$, $q \neq 0$, definimos a potência de base $a$ e expoente $\displaystyle\frac{p}{q}$ por

$$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}.$$

Se $a=0$ e $\displaystyle\frac{p}{q} > 0$, definimos $0^{\frac{p}{q}} = 0$.

Vamos ver alguns exemplos.

Exemplos:

1. $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$;

2. $5^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{5^4} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 5} = 5 \sqrt[3]{5}$  (aqui estamos usando o processo de simplificação de raízes visto no post anterior).

3. $7^{-\frac{2}{3}} = 7^{\frac{-2}{3}} = \sqrt[3]{7^{-2}} = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{7^2}} = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{49}}$.

4. $\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^4} = \sqrt[5]{\displaystyle\frac{16}{81}}$.

5. $\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{\frac{-1}{3}} = \sqrt[3]{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1}} = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{3}{2}}$.

Observações importantes:

(a) O cálculo $0^{\frac{p}{q}}$ com $\displaystyle\frac{p}{q} < 0$ não está definido, pois isso implicaria em $0^p$ com $p <0$, o que não existe.

(b) Podemos estender a definição de potência com expoente racional para bases negativas, ou seja, para $a \in \mathbb{R}$ positivo, em alguns casos é possível calcular $(-a)^{\frac{p}{q}}$. Podemos calcular $(-a)^{\frac{p}{q}}$ se $p$ for par ou se $q$ for ímpar. Porém, em ambos os casos, a $\displaystyle\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ deve estar na forma irredutível, ou seja, $\displaystyle\frac{p}{q}$ deve ser uma fração que não pode mais ser simplificada. Se não colocarmos essa condição, podemos cair no seguinte erro: observe que $\displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{2}{6}$, porém 

$$(-1)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-1} = -1 \mbox{ e } (-1)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-1)^2} = \sqrt[6]{1} = 1$$.

Então, já que   $\displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{2}{6}$, $(-1)^{\frac{1}{3}}$ é igual a $-1$ ou é igual a $1$? A resposta correta é $-1$ pois $\displaystyle\frac{1}{3}$ está na forma irredutível enquanto que $\displaystyle\frac{2}{6}$ não está. 

Vamos agora às propriedades das potências com expoentes racionais.

Propriedades das potências com expoentes racionais

As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas que já temos paras as potências com expoentes naturais e inteiros. Mas, mesmo assim, vamos mencioná-las dentro do contexto de potências com expoentes racionais.

Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, com $a,b \geq 0$,  e $\displaystyle\frac{p}{q}, \displaystyle\frac{r}{s} \in \mathbb{Q}$. Temos

(i) $a^{\frac{p}{q}} \cdot a^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q}+\frac{r}{s}}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^{\frac{p}{q}}}{a^{\frac{r}{s}}} = a^{\frac{p}{q}-\frac{r}{s}}$  $(a \neq 0)$;

(iii) $(a \cdot b)^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{p}{q}} \cdot b^\frac{p}{q}$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^{\frac{p}{q}} = \displaystyle\frac{a^{\frac{p}{q}}}{b^{\frac{p}{q}}}$  $(b \neq 0)$;

(v) $\left(a^{\frac{p}{q}}\right)^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s}}$.

Observação: Essas propriedades estão enunciadas somente para $a$ e $b$ reais maiores ou iguais a zero. Isso ocorre pois, como vimos na observação anterior, item (b), quando a base de uma potência com expoente racional é negativa, há algumas condições sobre o expoente para que a potência possa ser calculada, assim, para que não tenhamos problemas aos misturarmos as propriedades acima com as condições para calcular as potências. é melhor usarmos essas propriedades somente com bases positivas.

Vamos exemplos de cada propriedade acima.

Exemplos:

1. $2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}} = 2^{\frac{5}{6}}$;

$\left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}} \cdot \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}+(-\frac{2}{3})} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{4}{3}-\frac{2}{3}} = \left(\displaystyle\frac{5}{7}\right)^{\frac{2}{3}}$;

2. $\displaystyle\frac{5^{\frac{1}{5}}}{5^{\frac{4}{3}}} = 5^{\frac{1}{5}-\frac{4}{3}} = 5^{-\frac{17}{15}}$;

3. $(3 \cdot 7)^{\frac{5}{2}} = 3^{\frac{5}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{2}}$;

4. $\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^{\frac{1}{7}} = \displaystyle\frac{3^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}$;

5. $\left(10^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = 10^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{3}}$.

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Potenciação e Radiciação #2: Potências com expoentes inteiros negativos

O post anterior foi o primeiro post sobre potenciação e radiciação. Nele aprendemos o caso mais simples de potenciação de um número real, aprendemos o que é potenciação com um expoente natural. Nesse segundo post, vamos dar um passo adiante no estudo da potenciação, vamos definir o que é uma potência com expoente inteiro. Sendo $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2, \dots\}$, uma parte do problema de se compreender o que é uma potência com número inteiro está resolvido, isto é, quando o número inteiro é positivo, ele é um número natural e, nesse caso, já sabemos como calcular uma potência com tal expoente, esse é o caso que vimos no post anterior. Assim, nesse post, vamos concentrar a nossa atenção nas potências com expoentes inteiros negativos. Vamos lá!

Potências com expoentes negativos

Definição: Dado um número real $a$, diferente de zero, e um número inteiro positivo $n$, definimos a potência de base $a$ e expoente $-n$, denotada por $a^{-n}$, (observe que, se $n$ é positivo, $-n$ será negativo) como sendo

$$a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}.$$

Pela definição acima, vemos que $a^{-n}$, com $a \neq 0$, é o inverso de $a^n$. Também podemos dizer que $a$ está elevado a $-n$. Vamos ver alguns exemplos.

Exemplos: 

1. $2^{-1} = \displaystyle\frac{1}{2^1} = \displaystyle\frac{1}{2}$;

2. $4^{-3} = \displaystyle\frac{1}{4^3} = \displaystyle\frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \displaystyle\frac{1}{64}$;

3. $(-3)^{-4} = \displaystyle\frac{1}{(-3)^4} = \displaystyle\frac{1}{(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)} = \displaystyle\frac{1}{81}$;

4. $-7^{-2} = - \displaystyle\frac{1}{7^2} = -\displaystyle\frac{1}{49}$;

5. $\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^{-2} = \displaystyle\frac{1}{(\frac{4}{5})^2} = \displaystyle\frac{1}{\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}} = \displaystyle\frac{1}{\frac{16}{25}} = \displaystyle\frac{25}{16}$;

6. $\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-5} = \displaystyle\frac{1}{(-\frac{1}{2})^5} = \displaystyle\frac{1}{-\frac{1}{32}} = -\displaystyle\frac{32}{1} = -32$;

7. $-\left(\displaystyle\frac{5}{3}\right)^{-3} = -\displaystyle\frac{1}{(\frac{5}{3})^3} = -\displaystyle\frac{1}{\frac{5^3}{3^3}} = -\displaystyle\frac{1}{\frac{125}{27}} = -\displaystyle\frac{27}{125}$;

8. $(2,3)^{-6} = \displaystyle\frac{1}{(2,3)^6} = \displaystyle\frac{1}{148,035889} = 0,006755118$;

9. $(-1,24)^{-3} = \displaystyle\frac{1}{(-1,24)^3} = \displaystyle\frac{1}{-1,906624} = -0,524487261$.

Note que, onde foi necessário, usei nos cálculos acima o fato de que uma potenciação de um número negativo com expoente par possui resultado positivo e uma potenciação de um número negativo com expoente ímpar possui resultado negativo.

Observações importantes:

(i) No exemplo 4 somente o número $7$ está elevado a $-2$, o sinal de menos não. Assim o menos "fica para fora" em todo o cálculo, implicando um resultado negativo. No exemplo 7 acontece algo análogo, somente o número $\displaystyle\frac{5}{3}$ está elevado a $-3$.

(ii) Há algo importante a ser observado nos exemplos 4, 5 e 7. Eles podem ser calculados de uma forma mais simples. Considere um número racional qualquer $\displaystyle\frac{a}{b}$, diferente de $0$, e um número inteiro positivo qualquer $n$. Temos, usando a definição de potência com expoente inteiro negativo, que

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n.$$

Assim, quando uma fração está elevada a um expoente negativo, para fazer essa potenciação, basta inverter a fração, mudar o sinal do expoente e, em seguida, fazer o cálculo. Vamos ver mais três exemplos.

10. $\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-5} = \left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^5 = \displaystyle\frac{4^5}{3^5} = \displaystyle\frac{1024}{243}$; 

11. $\left(-\displaystyle\frac{7}{2}\right)^{-2} = \left(-\displaystyle\frac{2}{7}\right)^2 = \displaystyle\frac{2^2}{7^2} = \displaystyle\frac{4}{49}$; 

12. $\left(-\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{-3} = \left(-\displaystyle\frac{6}{5}\right)^3 = -\displaystyle\frac{6^3}{5^3} = -\displaystyle\frac{216}{125}$; 

(iii) No post anterior está explicado o motivo de uma potenciação de um número negativo com expoente par possuir resultado positivo e uma potenciação de um número negativo com expoente ímpar possuir resultado negativo. Porém, no contexto do post anterior, estávamos tratando somente de expoentes positivos. Agora, essa propriedade pode ser estendida para expoentes pares e ímpares negativos também? A resposta é: sim! Temos números pares e ímpares negativos também, basta colocar um sinal de menos na frente de um par positivo que você terá um par negativo e, fazendo a mesma coisa com um ímpar, você terá um ímpar negativo. Assim, dado um número real $a$ positivo e um $n$ inteiro positivo, temos

Se $n$ é par, então $(-a)^{-n} = a^{-n}$ e, se $n$ é ímpar, então $(-a)^{-n} = -a^{-n}$

Vamos fazer mais alguns exemplos.

13. $(-5)^{-2} = 5^{-2} = \displaystyle\frac{1}{5^2} = \displaystyle\frac{1}{25}$;

14. $\left(-\displaystyle\frac{5}{2}\right)^{-3} = \left(-\displaystyle\frac{2}{5}\right)^3 = -\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^3 = -\displaystyle\frac{2^3}{5^3} = -\displaystyle\frac{8}{125}$;

15. $-(-3)^{-5} = -(-3^{-5}) = -\left(-\displaystyle\frac{1}{3^5}\right) = \displaystyle\frac{1}{243}$; 

16. $-\left(-\displaystyle\frac{6}{11}\right)^{-4} = -\left(\displaystyle\frac{6}{11}\right)^{-4} = -\left(\displaystyle\frac{11}{6}\right)^4 = -\displaystyle\frac{11^4}{6^4} = -\displaystyle\frac{14641}{1296}$.

No post anterior, onde estudamos as potências com expoentes naturais, apresentei as propriedades de tais potências. Essas mesmas propriedades valem para as potências com expoentes inteiros também. Para lembrá-las, vou listá-las aqui novamente e, logo após, veremos alguns exemplos.

Propriedades: Sejam $m,n \in \mathbb{Z}$ e $a,b \in \mathbb{R}$. Temos

(i) $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$;

(iii) $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n = \displaystyle\frac{a^n}{b^n}$ se $b \neq 0$;

(v) $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Essas propriedades também possuem demonstrações. Porém, para fazer a demonstração dessas propriedades é necessário um objeto matemático chamado princípio de indução finita, o que está além do meu objetivo aqui. Por isso, vou omitir as demonstrações dessas propriedades.

Exemplos:

1. $2^{(-3)} \cdot 2^5 = 2^{-3+5} = 2^2$;  $4^3 \cdot 4^{-1} = 4^{3+(-1)} = 4^2$;  $3^{-2} \cdot 3^{-3} = 3^{-2+(-3)} = 2^{-5}$;

2. $\displaystyle\frac{6^{(-5)}}{6^2} = 6^{-5-2} = 6^{-7}$;  $\displaystyle\frac{2^3}{6^{-2}} = 2^{3-(-2)} = 2^{3+2} = 2^{5}$;  $\displaystyle\frac{10^{-6}}{10^{-3}} = 10^{-6-(-3)} = 10^{-6+3} = 10^{-3}$;

3. $(-4 \cdot 8)^{-4} = (-4)^{-4} \cdot 8^{-4}$; 

4. $\left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^{-2} = \displaystyle\frac{6^{-2}}{7^{-2}}$;

5. $(10^{-3})^9 = 10^{-3 \cdot 9} = 10^{-27}$;  $(5^2)^{-8} = 5^{2 \cdot (-8)} = 5^{-16}$; $(15^{-1})^{-2} = 15^{-1 \cdot (-2)} = 15^{2}$;  

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