Depois de vermos a definição de radiciação e suas propriedades, está na hora de aprendermos um método para calcular as raízes. Não precisamos de um método para calcular as raízes de qualquer número real (ainda bem, pois isso não é fácil). Precisamos somente de um método para calcular ou simplificar as raízes de números inteiros positivos, isso já é o suficiente. Na matemática, não há nenhum problema em não calcularmos uma raiz de um número que não possui uma raiz inteira (ou exata). Para efeito de cálculo, é melhor que tais raízes fiquem na forma de raízes mesmo, pois assim não há a necessidade de fazer aproximações por meio de números com vírgula, o que pode gerar erros grandes nos resultados (quanto mais aproximações fizermos em nossas contas, mais distante do valor exato o resultado vai ficar). Agora, quando é possível de se calcular a raiz, devemos calculá-la. Sem enrolação, vamos calcular algumas raízes.
Cálculo da raiz de índice $n$ de um número inteiro
Para se calcular raízes de índice $n$ de números inteiros, vamos precisar lembrar de duas coisas: números primos e fatoração. Um número primo é um número inteiro positivo diferente de $1$ que é divisível somente por $1$ e por ele próprio. Este é o conjunto dos números primos
$$\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,31,37,41,43,47,53,59,\dots\}.$$
Esse conjunto é infinito. Fatorar um número é o ato se escrever um dado número inteiro como produto de números primos, obtendo-se assim a fatoração desse número. Na matemática podemos provar que isso é possível de ser feito para todo número inteiro diferente de $0$ e $1$ e que essa fatoração é única se não levarmos em conta a ordem dos fatores. Vejamos alguns exemplos de fatoração de números inteiros
1. $2 = 2$;
2. $6 = 2 \cdot 3$;
3. $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$;
4. $3850 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11$.
Como obter a fatoração de um número inteiro positivo
Dado um número inteiro positivo, para obter a sua fatoração em números primos, fazemos divisões exatas sucessivas desse número pelos números primos. Começamos as divisões pelo primo $2$. Caso o número seja divisível por $2$, vamos sucessivamente dividindo por $2$ até obtermos um número que não seja divisível por $2$, passando, depois disso, para o $3$. Se o número não for divisível por $2$, passamos diretamente para o primo $3$. Agora, caso o número que obtemos seja divisível por $3$, prosseguimos dividindo por $3$ até o obtermos um número que não seja divisível por $3$, passado, após isso, para o primo $5$. Se ele não for divisível por $3$, passamos diretamente para o primo $5$. Esse processo continua para os primos de maneira crescente até chegarmos como resultado dessas divisões sucessivas o número $1$. Costumamos fazer a fatoração de um número usando uma "chave", ou seja, escrevemos o número que queremos fatorar, do lado direito dele colocamos uma linha vertical e, do lado direito dessa linha colocamos os primos que dividem o número, um após o outro, os quais são chamados de fatores primos. Abaixo do número que estamos fatorando ficará os resultados das divisões sucessivas, isto é, os quocientes. Essa chave fica com a seguinte forma:
$$\begin{array}{c|c} \mbox{Número a ser fatorado} & \mbox{F} \\ & \mbox{a} \\ \mbox{Q} & \mbox{t} \\ \mbox{u} & \mbox{o} \\ \mbox{o} & \mbox{r} \\ \mbox{c} & \mbox{e} \\ \mbox{i} & \mbox{s} \\ \mbox{e} & \mbox{ } \\ \mbox{n} & \mbox{p} \\ \mbox{t} & \mbox{r} \\ \mbox{e} & \mbox{i} \\ \mbox{s} & \mbox{m} \\ & \mbox{o} \\ & \mbox{s} \\ \end{array}$$
Vamos ver alguns exemplos.
1. Fatore o número $252$.
Solução: Observe que $252$ é um número par, isto é, divisível por $2$, assim vamos começar a fatoração pelo número primo $2$.
$$\begin{array}{c|c} 252 & 2 \\ 126 & 2 \\ 63 & 3 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$$
Portanto, a fatoração de $252$ é $252 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$.
2. Fatore o número $6825$.
Solução: Note que $6825$ não é par e, portanto, não é divisível por $2$. Como ele é um número divisível por $3$, começaremos a fatoração pelo número primo $3$.
$$\begin{array}{c|c} 6825 & 3 \\ 2275 & 5 \\ 455 & 5 \\ 91 & 7 \\ 13 & 13 \\ 1 & \\ \end{array}$$
Portanto $6825 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 13$.
3. Fatore o número $112$.
Solução: Note que $112$ é par, começaremos a fatoração pelo número primo $2$.
$$\begin{array}{c|c} 112 & 2 \\ 56 & 2 \\ 28 & 2 \\ 14 & 2 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$$
Portanto $112 = 2^4 \cdot 7$.
Observação:
(i) A fatoração de um número primo é ele próprio, pois ele não pode ser dividido por nenhum primo, exceto por ele mesmo. Por exemplo, a fatoração de $2$ é o próprio $2$ e a fatoração do $17$ é o próprio $17$.
(ii) Para se dar bem com a fatoração, é bom conhecer os critérios de divisibilidade dos números inteiros. Esse assunto de divisibilidade vale um post (ou talvez mais de um). Então, vou mencionar aqui alguns critérios de divisibilidade. Seja $a \in \mathbb{Z}$. Temos,
- $a$ é divisível por $2$ se $a$ for par;
- $a$ é divisível por $3$ se a soma dos algarismos de $a$ for um múltiplo de $3$;
- $a$ é divisível por $5$ se termina em $0$ ou em $5$.
- $a$ é divisível por $7$ se, ao duplicarmos o algarismo das unidades e subtraí-lo do resto do número, o resultado que obtivermos for divisível por $7$;
- $a$ é divisível por $11$ se a soma dos algarismos que estão nas posições pares menos a soma dos algarismos que estão nas posições ímpares é um número divisível por $11$.
(iii) Acima está um método para se fatorar números inteiros positivos, mas como podemos fatorar os negativos? Bom, basta tirar o sinal negativo do número, fatorar e depois colocar o sinal de negativo na fatoração. Vejamos um exemplo
4. Fatore o número $-4235$.
Solução: Vamos, primeiramente, fatorar o número $4235$. Temos,
$$\begin{array}{c|c} 4235 & 5 \\ 847 & 7 \\ 121 & 11 \\ 11 & 11 \\ 1 & \\ \end{array}$$
Assim, obtemos $4235 = 5 \cdot 7 \cdot 11^2$. Agora, basta colocar o sinal de menos nos dois lados da igualdade anterior, obtendo a fatoração de $-4235$. Portanto $-4235 = -5 \cdot 7 \cdot 11^2$.
Agora vamos, de fato, ao cálculo das raízes. Faremos isso usando as propriedades de raízes que vimos no post anterior.
Cálculo da raiz de índice $n$ de um número inteiro
A melhor maneira de aprendermos a fazer esse cálculo é por meio de exemplos. Então, vamos à eles!
Exemplos:
1. Calcule $\sqrt{64}$.
Solução: Vamos começar fatorando o número $64$. Temos
$$\begin{array}{c|c} 64 & 2 \\ 32 & 2 \\ 16 & 2 \\ 8 & 2 \\ 4 & 2 \\ 2 & 2 \\ 1 & \\ \end{array}$$
Assim obtemos $64 = 2^6$. Observe que temos que calcular uma raiz quadrada, isto é, o índice da raiz é igual a $2$. Vamos então escrever a fatoração de $64$ como o produto de potências com expoente $2$. Vamos obter
$$\sqrt{64} = \sqrt{2^6} = \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2}.$$
Usando a propriedade $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ para $n \geq 2$ natural e $a,b \in \mathbb{R}$ com $a,b \geq 0$, vamos ter
$$\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2}.$$
Agora, usando a propriedade $\sqrt[n]{a^n} = a$ para todo $n \geq 2$ natural e $a \in \mathbb{R}$, $a \geq 0$, temos
$$\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8.$$
Portanto $\sqrt{64} = 8$.
Nos exemplos a seguir usaremos as mesmas propriedades e o mesmo raciocínio do exemplos anterior, por isso, focaremos mais nas contas.
2. Calcule $\sqrt{9604}$.
Solução: Vamos fatorar o número $9064$.
$$\begin{array}{c|c} 9604 & 2 \\ 4802 & 2 \\ 2401 & 7 \\ 343 & 7 \\ 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$$
Logo $9064 = 2^2 \cdot 7^4$. Assim
\begin{eqnarray} \sqrt{9604} &=& \sqrt{2^2 \cdot 7^4} \\ & = & \sqrt{2^2 \cdot 7^2 \cdot 7^2} \\ &=& \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{7^2} \\ &=& 2 \cdot 7 \cdot 7 = 98 . \end{eqnarray}
3. Calcule $\sqrt[3]{3375}$.
Solução: Começamos sempre fatorando o número que está dentro da raiz.
$$\begin{array}{c|c} 3375 & 3 \\ 1125 & 3 \\ 375 & 3 \\ 125 & 5 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array}$$
Assim, $3375 = 3^3 \cdot 5^3$. Observe que queremos calcular uma raiz cúbica, ou seja, uma raiz de índice $3$. Logo, devemos escrever a fatoração como produto de potências com expoentes iguais a $3$. No caso desse exemplo, já temos isso, então
\begin{eqnarray} \sqrt[3]{3375} &=& \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3} \\ & = & \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{5^3} \\ &=& 3 \cdot 5 = 15 . \end{eqnarray}
4. Calcule $\sqrt[3]{ 8000}$.
Solução: Vamos fatorar o número $8000$.
$$\begin{array}{c|c} 8000 & 2 \\ 4000 & 2 \\ 2000 & 2 \\ 1000 & 2 \\ 500 & 2 \\ 250 & 2 \\ 125 & 5 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array}$$
Assim, $8000 = 2^6 \cdot 5^3$. Logo,
\begin{eqnarray} \sqrt[3]{8000} &=& \sqrt[3]{2^6 \cdot 5^3} \\ & = & \sqrt[3]{2^3 \cdot 2^3 \cdot 5^3} \\ &=& \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5^3} \\ &=& 2 \cdot 2 \cdot 5 = 20. \end{eqnarray}
5. Calcule $\sqrt[4]{ 1296}$.
Solução: Vamos fatorar o número $1296$.
$$\begin{array}{c|c} 1296 & 2 \\ 648 & 2 \\ 324 & 2 \\ 162 & 2 \\ 81 & 3 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$$
Assim, $1296 = 2^4 \cdot 3^4$. Observe que queremos calcular uma raiz de índice $4$. Logo, devemos escrever a fatoração como produto de potências com expoentes iguais a $4$. No caso desse exemplo, já temos isso, então
\begin{eqnarray} \sqrt[4]{1296} &=& \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} \\ & = & \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3^4} \\ &=& 2 \cdot 3 = 6. \end{eqnarray}
Para raízes de ordens maiores que $4$, procedemos de modo análogo. Agora, o que fazemos quando a raiz não é exata? Nesse caso nós simplificamos a raiz. Vamos alguns exemplos disso.
6. Calcule $\sqrt{160}$.
Solução: Novamente vamos fatorar o radicando.
$$\begin{array}{c|c} 160 & 2 \\ 80 & 2 \\ 40 & 2 \\ 20 & 2 \\ 10 & 2 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array}$$
Sendo assim,
$$\begin{eqnarray} \sqrt{160} &=& \sqrt{2^5 \cdot 5} \\ &=& \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 5} \\ &=& \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 10} \\ &=& \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{10} \\ &=& 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{10} = 4 \cdot \sqrt{10}. \end{eqnarray}$$
Concluímos então que $\sqrt{160} = 4 \cdot \sqrt{10}$. Observe que $\sqrt{10}$ não é exata, assim, não precisamos calculá-la, podemos deixar simplesmente $4 \cdot \sqrt{10}$ como resultado de $\sqrt{160}$. Ao fazermos isso, estamos simplificando a raiz.
7. Calcule $\sqrt[3]{756}$.
Solução: Vamos novamente fatorar $756$.
$$\begin{array}{c|c} 756 & 2 \\ 378 & 2 \\ 189 & 3 \\ 63 & 3 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$$
Desse modo,
$$\begin{eqnarray} \sqrt[3]{756} &=& \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^3 \cdot 7} \\ &=& \sqrt[3]{3^3 \cdot 4 \cdot 7} \\ &=& \sqrt[3]{3^3 \cdot 28} \\ &=& \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{28} \\ &=& 3 \cdot \sqrt[3]{28}. \end{eqnarray}$$
Logo, $\sqrt[3]{756} = 3 \cdot \sqrt[3]{28}$.
8. Calcule $\sqrt[4]{9072}$
Solução: Vamos obter uma fatoração para $9072$.
$$\begin{array}{c|c} 9072 & 2 \\ 4536 & 2 \\ 2268 & 2 \\ 1134 & 2 \\ 567 & 3 \\ 189 & 3 \\ 63 & 3 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}$$
Assim,
$$\begin{eqnarray} \sqrt[4]{9072} &=& \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4 \cdot 7} \\ &=& \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{7} \\ &=& 2 \cdot 3 \cdot \sqrt[4]{7} = 6 \sqrt[4]{7}. \end{eqnarray}$$
Portanto $\sqrt[4]{9072} = 6 \sqrt[4]{7}$.
E se tivermos uma raiz de índice ímpar de um número negativo, como vamos calcular. Vamos ver dois exemplos dessa situação.
9. Calcule $\sqrt[3]{-2744}$.
Solução: Uma das propriedade que vimos de radiciação é a seguinte:
$$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} \mbox{ se } a \geq 0 \mbox { e } n \mbox{ ímpar}.$$
Sendo assim, para calcular $\sqrt[3]{-2744}$, basta fatorar $2744$, pois, pela propriedade acima, temos que $\sqrt[3]{-2744} = -\sqrt[3]{2744}$. Temos
$$\begin{array}{c|c} 2744 & 2 \\ 1372 & 2 \\ 686 & 2 \\ 343 & 7 \\ 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}$$
Logo,
$$\begin{eqnarray} \sqrt[3]{-2744} &=& -\sqrt[3]{2744} = -\sqrt[3]{2^3 \cdot 7^3} \\ &=& -\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{7^3} \\ &=& -2 \cdot 7 = -14. \end{eqnarray}$$
Portanto $\sqrt[3]{-2744} = -14$.
10. Calcule $\sqrt[5]{-486}$.
Solução: Vamos proceder de maneira análoga ao exemplo anterior. Temos
$$\begin{array}{c|c} 486 & 2 \\ 243 & 3 \\ 81 & 3 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$$
Logo,
$$\begin{eqnarray} \sqrt[5]{-486} &=& -\sqrt[5]{486} = -\sqrt[5]{2 \cdot 3^5} \\ &=& -\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{3^5} \\ &=& -3 \cdot \sqrt[5]{2}. \end{eqnarray}$$
Portanto $\sqrt[5]{-486} = -3 \cdot \sqrt[5]{2}$.
Vídeo com exemplos:
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