Já abordamos, nos posts anteriores, três tipos diferentes de expressões numéricas, as que não possuem parênteses, colchetes ou chaves, as que possuem e as que possuem quocientes, mas em nenhum desses casos aparecem potências com expoentes negativos. Expressões numéricas com potências com expoentes negativos não são tão mais difíceis de serem calculadas quanto àquelas que não possuem, basta lembrar da definição de potência com expoente negativo, que pode ser encontrada aqui. A seguir vamos ver alguns exemplos de expressões numéricas com potências com expoente negativo.
Expressões com expoentes negativos
Como sabemos, uma expressão numérica pode conter todas as operações. No caso em que aparecem potências e raízes, estas devem ser feitas primeiro (a não ser que parênteses, colchetes ou chaves deem preferência a outras operações), antes de se fazer as multiplicações, divisões, somas e subtrações. Como potências com expoentes inteiros também são potências, esse tipo de potência entra na mesma ordem de cálculo das potências e das raízes. Vejamos alguns exemplos.
1. Calcule o valor da expressão $3 \times (10-8) + 2^{-3}$.
Solução: Nesse exemplo devemos começar pelos parênteses e, depois disso, é só seguir a ordem das operações (potências ou raízes, multiplicação ou divisão, somas ou subtrações).
\begin{eqnarray} 3 \times (10-8) + 2^{-3} &=& 3 \times 2 + 2^{-3} \\ &=& 3 \times 2 + \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3 \\ &=& 3 \times 2 + \displaystyle\frac{1}{8} \\ &=& 6 + \displaystyle\frac{1}{8} = \displaystyle\frac{49}{8}. \end{eqnarray}
2. Calcule o valor da expressão $4 \times 5^{-2} + 21 \div [(7+2) \times 3^{-1}]$.
Solução: No exemplo anterior, tínhamos somente um par de parênteses. Nesse exemplo agora temos parênteses dentro de colchetes. Nesse caso usamos a mesma "receita" de sempre, começamos resolvendo a expressão de dentro para fora, respeitando a ordem das operações e, para resolver mais rápido, podemos fazer as operações que podem ser feitas simultaneamente.
\begin{eqnarray} 4 \times 5^{-2} + 21 \div [(7+2) \times 3^{-1}] &=& 4 \times \left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{2} + 21 \div \left[9 \times \displaystyle\frac{1}{3}\right] \\ &=& 4 \times \displaystyle\frac{1}{25} + 21 \div 3 \\ &=& \displaystyle\frac{4}{25} + 7 = \displaystyle\frac{179}{25}.\end{eqnarray}
3. Resolva a expressão $(-3)^2 \times \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} - [2 \times (3^2 - 4)^{-3}]$.
Solução: Lembre-se, sempre resolva de dentro para fora, respeitando a ordem das operações.
\begin{eqnarray} (-3)^2 \times \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} - [2 \times (3^2 - 4)^{-3}] &=& 9 \times \left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^{2} - [2 \times (9 - 4)^{-3}] \\ &=& 9 \times \displaystyle\frac{16}{9} - [2 \times 5^{-3}] \\ &=& 16 - \left[2 \times \left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^3\right] \\ &=& 16 - \left[2 \times \displaystyle\frac{1}{125}\right] \\ &=& 16 - \displaystyle\frac{2}{125} = \displaystyle\frac{1998}{125}. \end{eqnarray}
4. Resolva a expressão $6 \times \left(\sqrt{8 \div (3^2-5)}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{2^{-4}+5 }{10}$.
Solução: Nesse exemplo, lembre-se que raízes funcionam como parênteses, chaves ou colchetes. Elas são consideradas na estratégia de resolver de dentro para fora.
\begin{eqnarray} 6 \times \left(\sqrt{8 \div (3^2-5)}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{2^{-4}+5 }{10} &=& 6 \times \left(\sqrt{8 \div (9-5)}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^4+5}{10} \\ &=& 6 \times \left(\sqrt{8 \div 4}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{\frac{1}{16}+5}{10} \\ &=& 6 \times \left(\sqrt{2}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{\frac{81}{16}}{10} \\ &=& 6 \times \left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{3} + \displaystyle\frac{81}{160} \\ &=& 6 \times \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{81}{160} \\ &=& \displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{81}{160}. \end{eqnarray}
Vou deixar o resultado dessa expressão dessa forma mesmo. Não é necessário racionalizar ou fazer essas divisões para se obter um número com vírgula aproximado. Desse modo a resposta fica exata.
5. Calcule o valor da expressão $\left(\displaystyle\frac{3 \times [(4^2-7) \div 6]}{\sqrt[3]{10 \times 8 + 2^0}}\right)^{-4}$.
Solução:
\begin{eqnarray} \left(\displaystyle\frac{3 \times [(4^2-7) \div 6]}{\sqrt[4]{10 \times 8 + 2^0}}\right)^{-4} &=& \left(\displaystyle\frac{3 \times [(16-7) \div 6]}{\sqrt[4]{10 \times 8 + 1}}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{3 \times [9 \div 6]}{\sqrt[4]{80 + 1}}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{3 \times \frac{3}{2}}{\sqrt[4]{81}}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{\frac{9}{2}}{\sqrt[4]{81}}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{\frac{9}{2}}{3}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{9}{6}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{4} = \displaystyle\frac{16}{81}. \end{eqnarray}
Por meio desses exemplos podemos ver que, quando existem potências com expoentes negativos, o cálculo do valor da expressão não fica muito mais complicado. Basta colocar esse tipo de potência mesma ordem de cálculo de potências com expoentes naturais e usar a definição de potência com expoente negativo de forma correta. Não há segredos.
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