Polinômios #6: Raízes de um polinômio

Nosso estudo sobre polinômios está avançando, já os definimos, sabemos como somar, subtrair, multiplicar e dividir polinômios e também sabemos o que é o grau de um polinômio. Apesar de já termos estudado tudo isso, ainda existem aspectos importantes sobre os polinômios a serem estudados. Seguindo então com o estudo de polinômios, nessa postagem vamos estudar o que é uma raiz de um polinômio e uma propriedade importante das raízes. Ainda não veremos métodos para encontrar raízes, vamos estudar essa questão nas próximas postagens, vamos entender bem o que é uma raiz para depois procurarmos por elas.

Raízes de um polinômio

Vamos começar definindo o que é uma raiz de um polinômio.

Definição: Seja $p(x)$ um polinômio com coeficientes em $\mathbb{K}$, isto é, sobre $\mathbb{K}$ (considere esse $\mathbb{K}$ como sendo $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Um número $a \in \mathbb{K}$ é chamado raiz do polinômio $p(x)$ se $p(a) = 0$.

Vejamos alguns exemplos de raízes de polinômios.

Exemplos:

1. Considere $p(x) = 3x+1$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. Temos que $x=-\displaystyle\frac{1}{3}$ é uma raiz de $p(x)$ pois 

$$p\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+1 = -1+1 = 0.$$ 

O número $2$ não é raiz de $p(x)$ pois $p(2) = 3 \cdot 2+1 = 7  \neq 0$.

2. O polinômio $f(x) = x^3+3x^2-4$ possui o número $1$ como raiz pois 

$$f(1) = 1^3+3\cdot1^2-4 = 1+3-4 = 0.$$

O número $-2$ também é raiz do polinômio $f(x)$,

$$f(-2) = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 - 4 = -8 +12 - 4 = 0.$$

Por outro lado, $x=3$ não é raiz de $f(x)$

$$f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 4 = 27 + 27 -4 = 50.$$

3. Os números $1$, $3$ e $4$ são raízes do polinômio 

$$h(x) = -3x^5+24x^4 - 60x^3 + 60x^2-57x+36.$$

De fato,

\begin{eqnarray} h(1) &=& -3 \cdot 1^5+24 \cdot 1^4 - 60 \cdot 1^3 + 60 \cdot 1^2-57 \cdot 1 + 36 \\ &=& -3+24-60+60 -57+36 = 0  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} h(3) &=& -3 \cdot 3^5+24 \cdot 3^4 - 60 \cdot 3^3 + 60 \cdot 3^2-57 \cdot 3 + 36 \\ &=& -3 \cdot 243+24 \cdot 81 -60 \cdot 27 +60 \cdot 9 -57 \cdot 3+36 \\ &=& -729 + 1944 - 1620+540-171 + 36 = 0  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} h(4) &=& -3 \cdot 4^5+24 \cdot 4^4 - 60 \cdot 4^3 + 60 \cdot 4^2-57 \cdot 4 + 36 \\ &=& -3 \cdot 1024+24 \cdot 256 -60 \cdot 64 +60 \cdot 16 -57 \cdot 4+36 \\ &=& -3072 + 6144 - 3840+960-228 + 36 = 0  \end{eqnarray}

Nos exemplos acima podemos ver que um polinômio pode ter mais de uma raiz. Mas, também existem polinômios que não possuem raízes.

4. Seja $g(x) = x^2 +1$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. É fácil ver que esse polinômio não possui raízes em $\mathbb{R}$. Observe que $x^2$ é sempre maior ou igual a $0$ qualquer que seja $x$ e, assim, ao somar $x^2$ com $1$, é impossível que essa soma resulte em zero para algum $x$.

Essa questão de um polinômio possuir ou não uma raiz não depende somente do polinômio propriamente dito mas também do conjunto no qual ele está definido ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

5. O polinômio $g(x) = x^2 +1$, do exemplo anterior, considerado sobre $\mathbb{C}$ possui raízes em $\mathbb{C}$. De fato,

$$g(i) = i^2 +1 = -1 +1 = 0 \mbox{ e}$$

$$g(-i) = (-i)^2 +1 = -1 +1 = 0.$$

Podemos ainda ter casos de polinômios com uma certa quantidade de raízes sobre $\mathbb{R}$ e outra quantidade de raízes em $\mathbb{C}$.

6. Considere o polinômio $f(x) = x^3 +4x$. Sobre $\mathbb{R}$, para $x = 0$, temos que 

$$f(0) = 0^3 + 4 \cdot 0 = 0$$

e essa é a única raiz de $f(x)$  em $\mathbb{R}$. Mas, quando consideramos $f(x)$ como um polinômio sobre $\mathbb{C}$, além de $0$, ele possui mais duas raízes, a saber, os números $2i$ e $-2i$. De fato,

$$f(2i) = (2i)^3+4 \cdot 2i = -8i + 8i = 0 \mbox{ e}$$

$$f(-2i) = (-2i)^3 + 8 \cdot (-2i) =  8i - 8i = 0.$$

Com esses exemplos, dado um polinômio, podemos perceber que ele pode ter nenhuma, uma ou mais raízes e isso ainda depende do conjunto no qual ele está definido. Dessa observação, podemos fazer a seguinte pergunta: Conhecendo o polinômio, tem como saber quantas raízes distintas ele vai ter? A resposta é: em geral, não. Mas podemos saber quantas raízes distintas ele vai ter, no máximo. O que é garantido pelo seguinte teorema.

Teorema: Seja $p(x)$ um polinômio definido sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$) que possui grau $n \geq 0$. Então $p(x)$ possui, no máximo, $n$ raízes distinhas em $\mathbb{K}$.

Vamos ver alguns exemplos:

7. O polinômio $p(x) = x^2 - 1$ sobre sobre $\mathbb{R}$ possui grau $2$, assim, pelo teorema anterior ele possui, no máximo, duas raízes distintas.

8. O polinômio $f(x) = x^5 - 3x^3 + 4x - 8$ sobre $\mathbb{R}$ possui, no máximo, $5$ raízes distintas pois seu grau é $5$.

9. O polinômio $g(x) = 3x^7-\sqrt{3}x^6 - x^2 + 1$ sobre $\mathbb{R}$ possui no máximo $7$ raízes distintas.

10. O polinômio $h(x) = -3x^4 + (1+i)x^3 - 4x$ sobre $\mathbb{C}$ possui, no máximo, $4$ raízes distintas.

Especificamente, a respeito de polinômios sobre $\mathbb{C}$, temos os seguintes teoremas

Teorema: Todo polinômio sobre $\mathbb{C}$ possui pelo menos uma raiz em $\mathbb{C}$.

Esse teorema mostra uma diferença importante entre polinômios sobre $\mathbb{R}$ e sobre $\mathbb{C}$. Como vimos no exemplo 4, nem todo polinômio sobre $\mathbb{R}$ possui raízes, mas, em $\mathbb{C}$ isso não ocorre.

Agora que sabemos o que é uma raiz e também quantas raízes, no máximo, um polinômio pode ter, vamos estudar uma propriedade importante das raízes de um polinômio, a qual é dada pelo seguinte teorema.

Teorema: Considere um polinômio $p(x)$ sobre $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$). Se $a$ é uma raiz de $p(x)$, então o polinômio $x-a$ divide o polinômio $p(x)$. Em outras palavras, podemos escrever $p(x)$ na forma:

$p(x) = (x-a)q(x)$ onde  $q(x)$ é um polinômio sobre $\mathbb{K}$. 

Em outras palavras, o teorema acima diz que, se $a$ é a uma raiz de $p(x)$, então, dividindo $p(x)$ por $x-a$ obtem-se o resto da divisão igual a zero. 

Vamos ver alguns exemplos (todos os polinômios dos exemplos estão sobre $\mathbb{R}$):

11. Temos que $1$ é raiz de $p(x) = x^2-1$. De fato, $p(1) = 1^2 - 1 = 0$. Desse modo, pelo teorema anterior, temos que $x-1$ divide o polinômio $p(x)$. Isso realmente acontece, é fácil ver que 

$$x^2-1 = (x-1)(x+1).$$

(comparando esse exemplo com o teorema anterior, tem-se $q(x) = x+1$).

12. Considere o polinômio $f(x) = x^3+x^2-8x-12$. Note que $x = 3$ é raiz desse polinômio pois

\begin{eqnarray} f(3) &=& 3^3 + 3^2 -8 \cdot 3 -12 \\ &=& 27 + 9 - 24 - 12 \\ &=& 0. \end{eqnarray}

Assim, pelo teorema anterior $x-3$ divide $f(x)$. De fato isso ocorre, como podemos ver a seguir

Podemos então escrever $x^3+x^2-8x-12 = (x-3)(x^2+4x+4)$.

13. Seja $h(x) = x^4+x^3+x^2+x$. Temos que

\begin{eqnarray} h(-1) = (-1)^4+(-1)^3+(-1)^2 + (-1) \\ &=& 1-1+1-1 \\ &=& 0 \end{eqnarray}.

Logo, $x=-1$ é raiz de $h(x)$. Portando, o polinômio $x-(-1) = x+1$ divide $h(x)$. De fato,

Podemos escrever então $x^4+x^3+x^2+x = (x+1)(x^3+x)$.

Acredito que podemos encerrar essa postagem por aqui. Já sabemos o que é uma raiz de um polinômio e também conhecemos uma importante propriedade das raízes. Agora podemos caminhar no sentido de encontrarmos as raízes de um dado polinômio. Faremos isso nas próximas postagens.

Resumo da postagem em vídeo:

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Polinômios #5: Algoritmo da divisão para polinômios

Nas postagens anteriores já falamos de soma, subtração e multiplicação de polinômios e, agora, chegou a vez de falarmos da divisão de polinômios. A divisão de polinômios ficou para depois pois precisamos da definição de grau para para explorarmos bem as características da divisão de polinômios. A divisão de polinômios costuma a assustar um pouco as pessoas pois parece uma coisa complicada, mas na verdade não é. Nessa postagem vamos falar do Algoritmo da Divisão para polinômios que é o teorema que garante a possibilidade de se fazer a divisão e, depois disso, vamos ver exemplos de como se fazer a divisão de polinômios. Vamos lá!

Algoritmo da divisão para polinômios

Antes de fazermos os exemplos de divisão de polinômios, vamos abordar a teoria por trás dessa operação. Vamos ver agora o teorema chamado Algoritmo da Divisão para polinômios, que também é conhecido como Algoritmo de Euclides para polinômios. Esse teorema nos garante que sempre é possível dividir um polinômios por outro, que não seja nulo.

Teorema: (Algoritmo da Divisão para polinômios) Dados os polinômios $f(x)$ e $g(x)$ (sobre $\mathbb{R}$ ou sobre $\mathbb{C}$) com $g(x) \neq 0$, então existem polinômios $q(x)$ e $r(x)$ (sobre o mesmo conjunto nos quais $f(x)$ e $g(x)$ estão) tais que $f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ onde $r(x) = 0$ ou $gr(r(x)) < gr(g(x))$. Além disso, os polinômios $q(x)$ e $r(x)$ são únicos.

Observação: Os polinômios $q(x)$ e $r(x)$ do teorema anterior são chamado de  quociente e resto, respectivamente, da divisão de $f(x)$ por $g(x)$. Também chamamos o polinômio $f(x)$ de dividendo e o polinômio $g(x)$ de divisor.

Em outras palavras, o que o Algoritmo da Divisão para polinômios está nos dizendo é o seguinte, se você tem dois polinômios $f(x)$ e $g(x)$, com $g(x) \neq 0$, e precisa dividir $f(x)$ por $g(x)$, então você conseguirá encontrar um quociente $q(x)$ e um resto $r(x)$, únicos, tais que $f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ onde $r(x) = 0$ ou $gr(r(x)) < gr(g(x))$. 

No caso em que, na divisão de $f(x)$ por $g(x)$ obtivermos $r(x) = 0$, ou seja, o resto da divisão é o polinômio nulo, dizemos que $g(x)$ divide $f(x)$. 

O Algoritmo da Divisão para polinômios nos garante que sempre é possível fazer a divisão de um polinômio por outro não nulo, porém ele não nos apresenta nenhuma forma de encontrarmos o quociente $q(x)$ e o resto $r(x)$. A seguir veremos exemplos de como dividir dois polinômios e obtermos o quociente e o resto dessa divisão.

Exemplos: 

1. Calcule o quociente e o resto na divisão de $f(x) = x^3-2x^2+x + 4$ por $g(x) = x+2$.

Solução: Começaremos a fazer esta divisão montando a chave com os polinômios, da seguinte forma:

Depois de montarmos a chave, vamos começar a determinar o quociente $q(x)$ que vai estar na seguinte posição na chave:

Para começarmos a calcular o quociente, precisamos olhar o primeiro termo de $f(x)$ e o primeiro termo de $g(x)$, que são, respectivamente, $x^3$ e $x$. Tendo identificados esses temos, temos que encontrar um termo de $q(x)$ tal que, este termo multiplicado por $x$, seja igual a $x^3$ (isto é, o primeiro termo de $q(x)$ deve ser o termo que multiplicado pelo primeiro termo de $g(x)$ seja igual ao primeiro termo de $f(x)$). Podemos perceber que o primeiro termo de $q(x)$ será então $x^2$, pois, $x^3 = x^2 \cdot x$. Agora que determinamos o primeiro termo de $q(x)$, vamos começar a escrever o $q(x)$. 

Agora vamos multiplicar $x^2$ por $g(x) = x+2$ e vamos colocar o resultado em baixo de $f(x)$, da direita para a esquerda, de modo que as mesmas potências de $x$ fiquem uma em baixo da outra. Veja que $x^2(x+2) = x^3 + 2x^2$.

Agora vamos fazer  $f(x) - (x^3  + 2x^2)$.

Depois de efetuarmos a subtração, encontramos o polinômio $-4x^2+x+4$. Vamos continuar obtendo o quociente $q(x)$ da seguinte forma, vamos determinar o próximo termo de $q(x)$ tal que, multiplicado pelo primeiro termo de $g(x) = x+2$, se obtenha o primeiro termo de $-4x^2+x+4$. Isto é, queremos encontrar um outro termo de $q(x)$ tal que, ele vezes $x$ seja igual a $-4x^2$. Logo, este termo que estamos procurando é igual a $-4x$. Vamos colocar esse termo logo após $x^2$ do quociente.

Agora, vamos multiplicar $-4x$ por $x+2$, que é igual a $-4x^2-8x$, e colocar em baixo de $-4x^2+x+4$, da direita para a esquerda, de modo que as mesmas potências de $x$ fiquem uma em baixo da outra.

Vamos fazer a subtração $-4x^2 + x + 4 - (-4x^2-8x)$.

Agora nós temos o polinômio $9x+4$. Para prosseguir determinando $q(x)$, devemos encontrar outro termo do polinômio $q(x)$ tal que, este termo multiplicado pelo primeiro termo de $x+2$ seja igual ao primeiro termo de $9x+4$, isto é, o próximo termo de $q(x)$ é tal que ele vezes $x$ é igual a $9x$. Claramente, ele é igual a $9$. Vamos colocá-lo em sequência em $q(x)$.

O próximo passo agora é multiplicar $9$ por $x+2$ e colocar em baixo de $9x+4$ e subtrair um do outro. Note que $9(x+2) = 9x+18$.

Assim, chegamos ao $-14$ e paramos o processo de divisão. Temos que parar por aqui por que chagamos a um resultado das subtrações que possui grau menor que o dividendo, o polinômio $g(x)$. Observe que $gr(-14) = 0$ e $gr(x+2) =1$. Logo, $r(x) = -14$ é o resto da divisão de $f(x)$ por $g(x)$ e $q(x) = x^2-4x+9$ é o quociente, pelo Algoritmo da Divisão para polinômios podemos escrever

$$x^3-2x^2+x+4 = (x+2) \cdot (x^2-4x+9) + (-14).$$

O exemplo anterior foi feito de forma bem detalhada. Vamos fazer o próximo exemplo com menos detalhes pois, como é a mesma operação de divisão de polinômios, será feita de modo análogo ao primeiro exemplo.

2. Calcule o quociente e o resto na divisão de $f(x) = 2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4$ por $g(x) = x^2-2x-3$.

Solução: Assim como no início do exemplo anterior, vamos montar a chave com os polinômios do enunciado onde $f(x) = 2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4$ é o dividendo e $g(x) = x^2-2x-3$ é o divisor.

O primeiro termo do quociente $q(x)$ é o termo que, multiplicado pelo primeiro termo de $g(x) = x^2-2x-3$ é igual ao primeiro termo de $f(x) = 2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4$. Desse modo, temos que o primeiro termo de $q(x)$ é $2x^3$, visto que $2x^3 \cdot x^2 = 2x^5$. Tendo determinado o primeiro termo de $q(x)$, vamos multiplicar esse termo por $g(x) = x^2-2x-3$ e vamos subtrair o resultado de $f(x) = 2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4$. Assim vamos obter,

Como resultado da subtração feita anteriormente obtivemos o polinômio $5x^4+7x^3-2x^2$. Assim, o próximo termo de $q(x)$ é tal que, multiplicado pelo primeiro termo de $g(x) = x^2-2x-3$ obtém-se o primeiro termo de $5x^4+7x^3-2x^2$ . Assim, esse próximo termo é igual a $5x^2$ pois $5x^4 = 5x^2 \cdot x^2$. Vamos colocar este termo em sequência no quociente, multiplicar $g(x) = x^2-2x-3$ e subtrair de $5x^4+7x^3-2x^2$. Desse modo, vamos ter,

Nessa última subtração ficamos com o polinômio $17x^3+13x^2+x$. Vamos continuar a divisão. Lembre-se do que vimos no primeiro exemplo, só paramos a divisão quando tivermos como resultado de uma subtração um polinômio com grau menor que o grau do divisor $g(x)$, ou seja, menor que $2$. O próximo termo de $q(x)$ é tal que, multiplicado por $x^2$, obtém-se $17x^3$. Assim, vemos que este termo é $17x$. Vamos colocar este termo na sequência do quociente, multiplicá-lo por $g(x) = x^2-2x-3$ e subtrair o resultado de $17x^3+13x^2+x$. Sendo assim, temos,

Essa última subtração ainda não tem resultado com grau menor que o grau do divisor, então vamos continuar a divisão. O próximo termo de $q(x)$, quando multiplicado por $x^2$, deve ser igual a $47x^2$. Sendo assim, esse termo é igual a $47$. Assim, a continuação da divisão fica com a forma

 Agora sim acabou a divisão. Observe que o resultado da última subtração é  $146x-137$ que possui grau$1$ e, por sua vez, é menor que $2$ que o grau de $g(x) = x^2-2x-3$. Portanto o quociente da divisão é $q(x) = 2x^3 + 5x^2 + 17x+47$ e o resto é $r(x) = 146x + 137$. Pelo Algoritmo da Divisão para polinômios também podemos escrever

$$2x^5 + x^4 + x^3-2x^2+x-4 = (x^2-2x-3) \cdot (2x^3 + 5x^2 + 17x+47) + 146x + 137.$$ 

Vamos para mais um exemplo.

3. Verifique se o polinômio $x-1$ divide o polinômio $x^3-1$.

Solução: Acima no texto está a definição de quando um polinômio divide outro, que nos diz que isso ocorre se o resto da divisão for igual a zero. Assim, o exercício acima pode ser reescrito acima como: Verifique se o resto da divisão de $x^3-1$ por $x-1$ é igual a $0$. Para verificar isso, vamos efetuar a divisão de $x^3-1$ por $x-1$. Antes disso, observe que $x^3-1$ não está na forma "completa" como os polinômios dos exemplos anteriores, ou seja, ele não possui os termos onde $x$ possui potências $2$ e $1$. Para evitar erros na divisão de um polinômio assim, complete-o com zeros, isto é, o escreva na forma $x^3 + 0x^2 + 0x -1$. Tendo observado isso, vamos fazer a divisão.

A partir de agora, vamos seguir de forma análoga aos exemplos anteriores. Observe que $x^2 \cdot x = x^3$, assim, o primeiro termo do quociente é igual a $x^2$. Multiplicando $x^2$ por $x-1$ vamos ter

Continuando a divisão, o próximo termo do quociente é $x$, pois $x \cdot x = x^2$. Multiplicando $x$ por $x+1$ e subtraindo o resulta de $x^2$ vamos ter

Agora, podemos perceber que o último termo do quociente é $1$, pois $1 \cdot x = x$. Multiplicando $1$ por $x-1$ e subtraindo esse polinômio de $x-1$ vamos ter

A última subtração teve como resulta o $0$, assim a divisão acabou com  resto igual a  $0$. Portanto, o polinômio $x-1$ divide o polinômio $x^3-1$. Além disso, o quociente dessa divisão é $q(x) = x^2+x+1$. Também podemos escrever

$$x^3-1 = (x-1) \cdot (x^2+x+1).$$

Exemplo em vídeo:

Viu só como não é difícil dividir polinômios? Basta repetir o mesmo processo visto nestes três exemplos para dividir quaisquer dois polinômios, com o divisor não nulo.

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Polinômios #4: Grau de um polinômio

Chegamos à quarta postagem sobre polinômios. Já vimos a definição de polinômio e também as operações de soma, subtração e multiplicação com os polinômios. Nessa postagem vamos tratar de outra característica importante dos polinômios, o seu grau. Também nessa postagem vamos estudar as propriedades do grau de um polinômios que estão relacionadas com as operações de soma e de multiplicação. Vamos lá!

Grau de um polinômio

Vamos à definição de grau de um polinômio.

Definição: Considere um polinômio não nulo qualquer (sobre $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$)

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0.$$

O grau do polinômio $p(x)$ é o maior expoente que aparece nas potências de $x$ que estão no polinômio, ou seja, o grau de $p(x)$ é igual a $n$. Para denotar o grau de $p(x)$ usamos a notação $gr(p(x)) = n$. O coeficiente que acompanha o $x^n$ (o $x$ que possui o maior expoente na potência), isto é, o coeficiente $a_n$ é chamado termo dominante de $p(x)$.

Observação: Um polinômio é dito nulo se ele é o polinômio constante igual à zero, ou seja, ele possui a forma $p(x) = 0$. A definição acima só é aplicada a polinômios não nulos. Não definimos grau para o polinômios nulo, isto é, o polinômio nulo não possui grau e, consequentemente, não possui termo dominante.

Vamos ver alguns exemplos de polinômios e seus respectivos graus e termos dominantes.

Exemplos: 

1. Qualquer polinômio na forma $p(x) = a$, com $a$ constante, possui grau igual a $0$ e seu termo dominante é igual a $a$ (nos polinômio $x^0$ = 1 e, isso ocorre mesmo no caso em que $x=0$). 

2. O polinômio $p(x) = x+1$ possui grau igual a $1$ e termo dominante igual a $1$.

3. No polinômio $f(x) = -3x^4 + 3x^2 -x- 10$ temos $gr(f(x)) = 4$ e seu termo dominante é igual a $-3$.

4. No polinômio $g(x) = 7x^5+1$ temos $gr(g(x)) = 5$ e seu termo dominante é igual a $7$.

5. O polinômio $h(x) = 8x^7-x^6+2x^5-3x^4-x^3+10x^2+x+1$ possui grau igual a $7$ e seu termo dominante é igual a $8$.

Sabendo o que é grau e termo dominante de um polinômio, vamos ver agora as propriedades do grau de um polinômio com relação às operações de soma e multiplicação. Essas propriedades são dadas pelo seguinte teorema:

Teorema: Sejam $p$ e $q$ polinômios não nulos sobre $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$. Valem as seguintes afirmações:

(a) $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$ e se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$ vale a igualdade.

O item (a) está dizendo que o grau da soma de dois polinômios é sempre menor ou igual ao maior grau entre os graus de $p(x)$ e $q(x)$ e que a igualdade ocorre, isto é, o grau da soma será igual ao maior grau entre os graus de $p(x)$ e $q(x)$ se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$.

(b) $gr(p(x) \cdot q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x))$.

O item (b) está dizendo que o grau do produto de dois polinômios é igual à soma dos seus graus.

Observação: O item (a) continua verdadeiro se trocarmos o sinal de $+$ pelo sinal de $-$.

Vamos entender, por meio de exemplos, como que funciona o teorema anterior.

Exemplos:

6. Considere os polinômios $p(x) = 4x^3-3x^2+x-1$  e $q(x) = -2x^3+2x+2$. Veja que $gr(p(x)) = 3$ e $gr(q(x)) = 3$. Somando estes dois polinômios vamos obter o polinômio $f(x) = 2x^3-3x^2+3x+1$. Observe que o grau de $f(x)$ é igual a $3$ e, assim, observando que $\max\{gr(p(x)), gr(q(x))\} = \max\{3,3\} = 3$, vale o que está no item (a) do teorema anterior, isto é, $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$, pois $3 \leq 3$. Observe inda que, a igualdade só ocorreu, mesmo sendo os graus de $p(x)$ e $q(x)$ iguais, pois os termos dominantes desses polinômios não são um oposto do outro. Isso nem sempre ocorre. O teorema garante a igualdade quando os graus dos polinômios são diferentes.

7. Considere os polinômios $f(x) = x^4 +x^2-3x-10$ e $g(x) = -x^4 + x^3+2x+8$. Nesse exemplo temos $gr(f(x)) = 4$ e $gr(g(x)) = 4$. Somando esses dois polinômios, vamos obter o polinômio $h(x) = x^3 +x^2-x-2$. Note que $gr(h(x)) = 3$. Temos aqui o item (a) verificado, isto é, $gr(f(x) + g(x)) = gr(h(x)) = 3$ e $\max\{f(x),g(x)\} = \max\{4,4\} = 4$, ou seja, $gr(f(x) + g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\}$ (3 \leq 4). Aqui nesse exemplo a igualdade não foi verificada pois os polinômios possuem o mesmo grau e seus termos dominantes são números opostos.

Observando os dois exemplos acima, conseguimos entender por que, em geral, vale $gr(p(x) + q(x)) \leq \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$ e não a igualdade $gr(p(x) + q(x)) = \max\{gr(p(x), gr(q(x)))$. A igualdade só pode ser garantida se $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$. Vamos ver isso no próximo exemplo.  

8. Considere os polinômios $p(x) = x^5 - x+10$ e $q(x) = -x^4 + x^2 -1$. Temos que $gr(p(x)) = 5$ e $gr(q(x)) = 4$. Somando $p(x)$ com $q(x)$ vamos obter $f(x) = x^5 - x^4 + x^2 -x + 9$. Como os graus são diferentes, é impossível que, ao somarmos $p(x)$ com $q(x)$, o termo $x^5$ de $p(x)$ se anule com algum termo de $q(x)$, visto que o maior expoente de $x$ que aparece em $q(x)$ é o $4$. Logo vale $5 = gr(f(x)) = gr(p(x) + q(x)) = \max\{gr(p(x)),gr(q(x))\} = \max\{5,4\}$.

9. Considere os polinômios $p(x) = x^3-2x+1$ e $q(x) = x^4+2$. Temos que $gr(p(x)) = 3$ e $gr(q(x)) = 4$. Calculando a diferença entre os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ vamos obter o polinômio $f(x) = -x^4 x^3 -2x -1$. O teorema anterior também é verificado para a diferença, veja que $gr(p(x)+q(x)) = 4$ e $\max\{p(x),q(x)\} = \max\{3,4\} = 4$, ou seja, temos exatamente, $gr(p(x)+q(x)) \leq \max\{p(x),q(x)\}$. Nesse exemplo, temos também que $gr(p(x)+q(x)) = \max\{p(x),q(x)\}$, visto que $gr(p(x)) = gr(q(x))$. 

10. A propriedade de grau com relação à multiplicação de polinômios é bem mais fácil de ser usada. Considere os polinômios $f(x) = x^3-1$ e $g(x) = x^2+x-1$. Note que $gr(f(x)) = 3$ e $gr(g(x)) = 2$. Pelo teorema anterior temos que $gr(f(x) \cdot g(x)) = gr(f(x)) + gr(g(x)) = 3 + 2 = 5$. Fazendo a multiplicação de $f(x)$ por $g(x)$ vamos ter $f(x) \cdot g(x) = x^5+x^4-x^3+x^2+x-1$. O teorema está verificado. Isso ocorre pois o termo dominante da multiplicação de dois polinômios é a multiplicação dos respectivos termos dominantes e o expoente do $x$ que vai estar com esse coeficiente é o expoente que aparece como resultado de $x^3 \cdot x^2$, ou seja, $x^5$.

Quando se conhece os polinômios, para encontrar o grau da soma, da subtração ou da multiplicação, basta fazer essas operações e ver qual é o grau do polinômios resultante, assim, as regras para se obter o grau vistas no teorema anterior não se tornam, digamos, tão importantes. Porém isso não as tornam inúteis, elas são muito úteis quando precisamos saber o grau do resultado da soma, subtração ou multiplicação de polinômios onde não conhecemos os polinômios mas somente os seus graus. A seguir veremos alguns exemplos disso.

11. Considere os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ onde $gr(p(x)) = 4$ e $gr(q(x)) = 2$. Determine o grau de $p(x) + q(x)$ e de $p(x) \cdot q(x)$.

Solução: Para resolver essa questão, basta usar o teorema anterior. Como $gr(p(x)) \neq gr(q(x))$, então,

$$gr(p(x) + q(x)) = \max\{p(x),q(x)\} = \max\{4,2\} = 4.$$

Para a multiplicação, temos

$$gr(p(x) \cdot q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x)) = 4 + 2 = 6.$$

12. Sejam $f(x)$ e $g(x)$ polinômios tais que $gr(f(x)) = gr(g(x)) = 6$. O que podemos afirmar sobre os graus de $f(x) + g(x)$, $f(x) - g(x)$ e de $f(x) \cdot g(x)$?

Solução: Como $gr(f(x)) = gr(g(x))$, sobre $gr(f(x) + g(x))$, podemos afirmar que 

$$gr(f(x) + g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\} = \max\{6,6\} = 6,$$ 

isto é, $gr(f(x)+gr(g(x))) \leq 6$. Sobre $f(x) - g(x)$ podemos afirmar que 

$$gr(f(x) - g(x)) \leq \max\{f(x),g(x)\} = \max\{6,6\} = 6,$$ isto é, $gr(f(x)-gr(g(x))) \leq 6$. Para a multiplicação, temos

$$gr(f(x) \cdot g(x)) = gr(f(x)) + gr(g(x)) = 6+6 = 12.$$

Exemplo em vídeo:

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Polinômios #3: Multiplicação (produto) de polinômios e suas propriedades

No último post estudamos a operação de soma (adição) de polinômios e suas propriedades, agora, para dar sequência ao estudo de polinômios, nesse post, vamos estudar a operação de multiplicação (produto) de polinômios e suas propriedades. Para compreender bem como se faz a multiplicação de polinômios é importante lembrar das propriedades algébricas dos números reais (que são as mesmas dos números complexos) e também da propriedades de potenciação. Esses assuntos foram abordados anteriormente aqui no blog. Se for necessário, faça uma revisão desses assuntos. Acho que já podemos começar a falar da multiplicação de polinômios. Vamos lá!

Multiplicação (produto) de polinômios

A seguir vamos ver a definição formal do que é a multiplicação de polinômio, depois disso, vamos ver como essa operação entre polinômios funciona na prática.

Definição: Considere os seguintes polinômios (sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$),

$$p(x) = a_nx^n + a^{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \mbox{ e } q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0.$$

A multiplicação (produto) de $p(x)$ por $q(x)$, denotada por $p(x) \cdot q(x)$, é definida por

$$p(x) \cdot q(x) = \sum_{k=1}^{n+m}c_kx^k \mbox{ onde } c_k = \sum_{i+j = k} a_ib_j.$$

Como eu escrevi acima, essa é a definição formal. Ela parece um pouco complicada, mas não é. Vamos esmiuçar um pouco essa definição para a compreendermos melhor.

A definição nos diz que o produto $p(x) \cdot q(x)$ é um polinômio na forma 

$$p(x) \cdot q(x) = c_{n+m}x^{m+n} + \cdots + c_1x + c_0$$

onde, 

\begin{eqnarray} c_0 &=& a_0b_0 \\ c_1 &=& a_0b_1 + a_1b_0 \\ c_2 &=& a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0 \\ c_3 &=& a_0b_3 + a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_0 \\ & \vdots & \\ c_{n+m} &=& a_nb_m   \end{eqnarray}

Isto é, os coeficientes $c_k$ do produto $p(x) \cdot q(x)$ são formados pela soma dos termos $a_ib_j$ onde $i+j = k$.

Olhando para essa definição temos a sensação de que parece tudo muito complicado, mas calma, não é nada complicado. Essa definição somente formaliza o que fazemos na prática para multiplicar dois polinômios, ou seja, a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos ver alguns exemplos.

Exemplos:

1. Calcule $p(x) \cdot q(x)$ onde $p(x) = x-1$ e $q(x) = x^2+2x+3$.

Solução: Vamos resolver esse exemplo de duas formas. Vamos primeiramente resolver usando a definição e depois usando a propriedade distributiva da multiplicação. Isso para podermos verificar que a definição corresponde exatamente com o uso da propriedade distributiva.

Pela definição: Temos que $a_1 = 1$ e $a_0 = -1$ em $p(x)$ e $b_2 = 1$, $b_1 = 2$ e $b_0 = 3$ em $q(x)$. Desse modo, pela definição, temos

\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x-1) \cdot (x^2+2x+3) \\ &=& (1 \cdot 1)x^{1+2} + ((-1)\cdot 1 + 1 \cdot 2 )x^{2} + ((-1) \cdot 2 + 1 \cdot 3)x + (-1) \cdot 3 \\ &=& x^3 + (-1+2)x^2 + (-2+3)x + (-3) \\ &=& x^3 + x^2 + x -3.  \end{eqnarray}

Usando a distributiva: Para usar a distributiva, basta pegar o primeiro termo de $p(x)$ e multiplicar por todos os termos de $q(x)$, lembrando de fazer o jogo de sinal, depois multiplicar o segundo termo de $p(x)$ por todos os termos de $q(x)$ e assim por diante, até acabarem o termos de $p(x)$.

\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x-1) \cdot (x^2+2x+3) \\ &=& x\cdot x^2 + x \cdot 2x + x \cdot 3 - 1 \cdot x^2 -1 \cdot 2x - 1 \cdot 3 \\ &=& x^3 + 2x^2 + 3x -x^2 - 2x -3 \\ &=& x^3 +x^2 + x -3. \end{eqnarray}

Viu só? Os resultados foram os mesmos. Daqui em diante usaremos somente a distributiva para fazer a multiplicação de polinômios por ser mais simples e mais intuitiva. Vamos continuar com os exemplos.

2. Efetue o produto dos polinômios $f(x) = 4x^3 - 3x^2 + x -1$ e $g(x) = 5x^2 +1$.

Solução: Usando a propriedade distributiva da multiplicação, temos,

\begin{eqnarray} f(x) \cdot g(x) &=& (4x^3 - 3x^2 + x -1) \cdot (5x^2 +1) \\ &=& 4x^3 \cdot 5x^2 + 4x^3 \cdot 1 - 3x^2 \cdot 5x^2 - 3x^2 \cdot 1 + x \cdot 5x^2 + x \cdot 1 - 1 \cdot 5x^2 - 1 \cdot 1 \\ &=& 20x^5 + 4x^3 - 15 x^4 - 3x^2 + 5x^3 + x - 5x^2 -1 \\ &=& 20x^5 - 15x^4 + 9x^3-8x^2+ x -1.\end{eqnarray}

3. Calcule o produto dos polinômios $p(x) = x^2+x+2$ e $q(x) =  -2x^2 +3x-1$.

Solução: Fazendo como no exemplo anterior, temos

\begin{eqnarray} p(x) \cdot q(x) &=& (x^2+x+2)  \cdot (-2x^2 +3x-1) \\ &=& x^2 \cdot (-2x^2) + x^2 \cdot 3x + x^2 \cdot (-1) + x \cdot (-2x^2) + x \cdot 3x + x \cdot (-1) + 2 \cdot (-2x^2) + 2 \cdot 3x + 2 \cdot (-1) \\ &=& -2x^4 + 3x^3-x^2-2x^3+ 3x^2-x - 4x^4+ 6x -2 \\ &=& -2x^4 +x^3 +2x^2+5x -2.\end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

A seguir estão algumas propriedades da multiplicação de polinômios. Elas podem ser usadas sempre que necessário.

Propriedades: Dados os polinômios $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ valem:

(i) $(f(x) \cdot g(x)) \cdot h(x) = f(x) \cdot (g(x) \cdot h(x))$ (associatividade da multiplicação);

(ii) $f(x) \cdot g(x) = g(x) \cdot f(x)$ (comutatividade da multiplicação);

(iii) O polinômio $p(x) = 1$ é o elemento neutro da multiplicação de polinômios pois,

\begin{eqnarray} p(x) \cdot f(x) &=& 1 \cdot f(x) = f(x) \\ f(x) \cdot p(x) &=& f(x) \cdot 1 = f(x). \end{eqnarray}

(iv) Dado um polinômio $p(x)$ qualquer, em geral, ele não possui um inverso multiplicativo, isto é, não existe um polinômio $q(x)$ tal que $p(x) \cdot q(x) = 1$. Os polinômios que possuem inversos multiplicativos são somente os polinômios constantes não nulos, ou seja, diferente de zero. Dado um polinômio constante não nulo $p(x) = a$, este possui inverso multiplicativo $q(x) = \displaystyle\frac{1}{a}$. Por exemplo, se $p(x) = 5$, seu inverso multiplicativo é o polinômio $q(x) = \displaystyle\frac{1}{5}$.

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