As equações desempenham um papel muito importante na matemática. Elas estão sempre associadas à solução de algum problema, seja ele teórico ou aplicado, e aparecem em todas as áreas da matemática. Isso ocorre por que consiguimos modelar muitos problemas reais ou teóricos usando uma equação, ou seja, podemos escrever muitos problemas usando a "linguagem" matemática na forma de uma equação para resolvê-los. Isso pode ser feito em problemas simples, como o troco em uma compra e também em um problema mais complexo, como determinar um valor máximo de uma função real com mais de uma variável em um determinado conjunto. Por esse motivo é muito importante sabermos o que é uma equação, o que são as soluções de uma equação e também como encontrar essas soluções, se elas existirem. No geral, é muito difícil encontrar soluções de uma equação e a maioria delas não possuem uma fórmula ou um método para determinar essas soluções. A partir dessa postagem vamos estudar alguns tipos de equações, começando pelas mais simples, e alguns métodos para determinar as soluções dessas equações. Vamos lá!
O que são equações?
Antes de qualquer coisa vamos aprender o que é uma equação.
Definição: Uma equação algébrica é uma afirmação de igualdade entre duas expressões algébricas (veja o que é uma expressão algébrica aqui).
O adjetivo algébrica, significa que as operações que aparecem nessa equação são adição, subtração, multilicação, divisão, potências e raízes, não aparecem, por exemplo, funções trigonométricas, logaritmos e nem exponenciais.
Para simplificar o texto , daqui para frente, usaremos o termo equações para significar equações algébricas.
Agora que sabemos o que são equações, vamos ver alguns exemplos.
Exemplos:
1. $x+1=5$
2. $3(x+1)-4x = x+10$
3. $x^2-2x+1=5$
4. $x(x^2+1)-3x(x-2)=x^2-5(x+10)$
5. $x^{10} -4x^9-3x^7+x^2-5=0$
6. $\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+1} = 5$
7. $\displaystyle\frac{5(x^3-4)+3x^2}{x^4+x^2+1} = -\displaystyle\frac{1}{x}$
8. $\sqrt{x-1} = 10$
9. $\sqrt{x^3-x^2} = x^2-10$
10. $\sqrt[3]{x^2+1} = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x^3-4x}$
11. $\displaystyle\frac{3x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{3x-2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{4x^4+10}}{x^2}$
12. $x^{-1}+3x^{\frac{2}{3}} = (x+3)^{\frac{4}{3}}$
13. $|x+1| = 10$
14. $|x^2-1| = |x|$
15. $\left|\displaystyle\frac{3x^2+1}{\sqrt{x+1}}\right| = \displaystyle\frac{3x^2-1}{x^3+1}$
Como você pode perceber, podemos construir infinitos exemplos. As equações dos exemplos acima possuem somente uma incógnita, mas as equações podem ter mais de uma incóginita, como por exemplo, a equação:
$$x^2+xy+1 = xy^2$$
Uma equação sempre possui uma expressão do lado esquerdo do sinal de igual a outra do lado direito. Ao que está do lado esquedo do sinal de igual chamamos 1º membro da equação a ao que está do lado direito 2º membro da equação.
Nessa série de postagens sobre equações vamos tratar somente das equações que possuem um incógnita (por isso coloquei os exemplos somente com uma incógnita). Também, nos exemplos acima, todas as equações possuem como incógnita a letra $x$, mas podemos usar qualquer outra letrar para ser a incógnita da equação.
Solução de uma equação
Vamos agora definir o que é uma solução de uma equação.
Definição: Uma solução de uma equação (com um incógnita) é um número $a$ que, quando colocado no lugar, da incógnita, torna a igualdade da equação verdadeira.
Essa definição é uma definição geral, mas nessa série de postagens abordaremos somente as soluções que são números reais.
Vamor ver alguns exemplos de soluções de equações.
Exemplos:
1. O número $1$ é solução da equação $x+1=2$, pois, ou trocar $x$ por $1$, temos $1+1=2$.
2. O número $-1$ é solução da equação $x^3+2x^2-1=0$, pois
\begin{eqnarray} (-1)^3+2(-1)^2 - 1 &=& 0 \\ -1 + 2 -1 &=& 0 \\ 0 &=& 0\end{eqnarray}
3. Uma equações pode ter mais de uma solução. A equação $\sqrt{x^2+12} = 4$ possui os números $-2$ e $2$ como soluções. Temos,
\begin{eqnarray} \sqrt{(-2)^2+12} &=& 4 \\ \sqrt{4+12} &=& 4 \\ \sqrt{16} &=& 4 \\ 4 &=& 4 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} \sqrt{2^2+12} &=& 4 \\ \sqrt{4+12} &=& 4 \\ \sqrt{16} &=& 4 \\ 4 &=& 4 \end{eqnarray}
4. Uma equação pode não ter solução, por exemplo, $x^2+1=0$. Não existe um número real que possa ser colocado no lugar do $x$ de modo que a igualdade seja verdadeira.
Alguns tipos de equações
Podemos classificar as equações em alguns tipos. Essa classificação é importante, pois para cada tipo equação, métodos e fórmulas específicas podem ser usadas para encontrar as soluções.
Equação polinomial
Toda equação que pode ser escrita na forma
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 = 0$$
onde $x$ é incógnita, $a_n$, $\dots$, $a_0$ são números reais e $n$ é um número natural são chamadas equações polinomiais (elas podem ser escritas como um polinômio igual a zero).
Vejamos alguns exemplos.
1. $x^2+3x-1 = 0$
2. A equação $x(x^2+1)-3x(x-2)=x^2-5(x+10)$ apesar de não parecer uma equação polinomial, ela é. Basta reescrevê-la. Temos
\begin{eqnarray} x(x^2+1)-3x(x-2) &=& x^2-5(x+10) \\ x^3+x-3x^2+6x &=& x^2-5x-50 \\ x^3+x-3x^2+6x - x^2+5x+50 &=& 0 \\ x^3-4x^2+12x+50 &=& 0 \end{eqnarray}
Logo, essa equação pode ser reescrita na forma $x^3-4x^2+12x+50 = 0$ e, portanto, é uma equação polinômial.
Equação racional
Sejam $p(x)$ e $g(x)$ dois polinômios. Uma equação na forma
$$\frac{p(x)}{q(x)} = 0$$
é chamada equação racional (é o quociente de dois polinômios igual a $0$).
Vejamos alguns exemplos:
1. $\displaystyle\frac{x^2-2x-1}{x^3-x+2} = 0$.
2. A equação $\displaystyle\frac{x^2+1}{x+1} + \displaystyle\frac{1}{x} = \displaystyle\frac{1}{x^2}$ não parece ser uma equação racional, mas ela é. Podemos reescrevê-la da seguinte forma (veja como somar/subtrair expressões com quocientes de expressões algébricas aqui)
\begin{eqnarray}\frac{x^2+1}{x+1} + \frac{1}{x} &=& \frac{1}{x^2} \\ \frac{x(x^2+1)+1(x+1)}{(x+1)x} &=& \frac{1}{x^2} \\ \frac{x^3+2x+1}{x^2+x} &=& \frac{1}{x^2} \\ \frac{x^3+2x+1}{x^2+x} - \frac{1}{x^2} &=& 0 \\ \frac{x^2(x^3+2x+1)-1(x^2+x)}{(x^2+x)x^2} &=& 0 \\ \frac{x^5+2x^3-x}{x^4+x^3} &=& 0 \end{eqnarray}
Logo, essa equação pode ser reescrita na forma $\displaystyle\frac{x^5+2x^3-x}{x^4+x^3} = 0$ e, portanto, é uma equação racional.
Equação irracional
Uma equação irracional é qualquer equação cuja incógnita está dentro de um radical.
Vejamos alguns exemplos:
1. $\sqrt{x}-1 = x+2$
2. $\sqrt{x^2-4} = 3\sqrt{x}+1$
Equação modular
Uma equação modular é uma equação que possui um módulo, no qual a incógnita está, no 1º membro, no 2º membro os nos dois membros da equação.
Vejamos alguns exemplos.
1. $|x+1| = 7$
2. $|x^2-x-5| = |x|+1$
Esses quatro tipos de equações são somente alguns tipos, existem equações que não podem ser classificadas em nenhum desses tipos, como por exemplo, a equação
$$\frac{x+1}{\sqrt{x-2}} = x^2$$
Exemplo em vídeo:
Nas postagens a seguir veremos como resolver esses quatro tipos de equações e algumas outras equações que não são de nenhum desses tipos. Fique ligado acompanhe e as próximas postagens.
Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.
0 Comentários:
Postar um comentário