Na postagem anterior aprendemos o que é uma inequação polinomial e também apredemos como analisar o sinal de um polinômio (saber analisar o sinal de um polinômio é muito importante). Embora tenhamos aprendido o que é uma inequação polinomial, na postagem anterior nós não resolvemos nenhuma inequação polinomial, fizemos somente análises de sinais de algum polinômios. Por esse motivo, nessa postagem vamos focar na resolução de inequações polinomiais por meio da aplicação da análise de sinal de polinômios. Vamos lá!
Inequações polinomiais
Antes de qualquer coisa, vamos lembrar o que é uma inequação polinomial.
Definição: Qualquer inequação que possa ser escrita em uma das formas
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 > 0,$$
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \geq 0,$$
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 < 0$$
ou
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \leq 0.$$
com $n \geq 0$ inteiro e $a_i \in \mathbb{R}$ para $i=1,2 \dots, a_n$ é chamada inequação polinomial.
Vejamos alguns exemplos de inequações polinomiais.
Exemplos:
1. $x^2-1 >0$
2. $x^3-4x-2 < 0$
3. $x^5-3x^2+x+1 \leq 0$
4. $3x-\sqrt{5} \geq 0$
Em alguma situações, as inequações polinomais podem aparecer na seguinte forma
5. $x^2-4x+1 < 3x-2$
6. $2x^2+4x-1>6x$
7. $3x^3 +\displaystyle\frac{3}{4}x^2 \leq \sqrt{3}x +1$
8. $x^5-1 \geq x^4+x^2+1$
Embora as inequações dos exemplos 5 ao 8 não estejam em um dos formatos das inequações que estão na definição de inequação polinomial, elas podem facilmente serem escritas em uma das formas que estão na definição, basta passar tudo o que está ao lado direito do símbolo de desigualdade para o lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Em geral, qualquer inequação na forma $p(x) < q(x)$, $p(x) \leq q(x)$, $p(x) > q(x)$ ou $p(x) \geq q(x)$, onde $p(x)$ e $q(x)$ são polinômios, é uma inequação polinomial.
Agora que relembramos e sabemos identificar inequações polinomiais, vamos, por meio de exemplos, aprender como aplicar a análise de sinal na resolução de inequações polinomiais.
Exemplos:
9. Determine a solução da inequação polinomial $x^2-2x-3 > 0$.
Solução: Para aplicar a análise de sinal de polinômios na resolução de uma inequação polinomial, é necessário, primeiramente, escrever a inequação polinomial em um dos formatos que está na definição, ou seja, ela tem que estar na forma "polinômio, símbolo de desigualdade e o zero". Nesse exemplo, a inequação já está em um dos formatos da definição, então vamos prosseguir aplicando a análise de sinal de polinômios. Utilizando Soma e Produto, temos que as raízes do polinômio $x^2-2x-3$ são $-1$ e $3$. Como esse polinômio é mônico (o termo dominante é igual a $1$), segue que o polinômio $x^2-2x-3$ pode ser fatorado como segue
$$x^2-2x-3 = (x+1)(x-3).$$
Lembre-se que o primeiro passo da análise de sinal de polinômios é fatorar o polinômio de forma completa. Agora que temos o polinômio fatorado, vamos analisar o sinal de cada fator que aparece na fatoração do polinômio. Para o fator $x+1$. Temos
\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}
Para o fator $x-3$. Temos
\begin{eqnarray} x-3 & > & 0 \\ x &>& 3, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x-3 & < & 0 \\ x &<& 3 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x-3 & = & 0 \\ x &=& 3. \end{eqnarray}
Construindo o diagrama da análise de sinal, temos:
A inequação que queremos resolver é $x^2-2x-3 > 0$, isto é, estamos procurando os valores de $x$ tais que o polinômio $x^2-2x-3$ é maior que zero. Segundo a análise sinal que fizemos, isso ocorre para valores de $x$ menores que $-1$ e maiores que $3$ (observe que no $-1$ e no $3$ o polinômio é igual a zero e, por isso, esses valores não satisfazem a inequação). Logo, o conjunto solução da inequação $x^2-2x-3 > 0$ é $S=(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ ou, de uma outra forma, $S=\{x \in \mathbb{R}: x < -1 \mbox{ ou } x > 3\}$.
10. Determine o conjunto solução da inequação $x^2+2x+1 \leq 7-x^3-3x^2+x$.
Solução: Essa inequação não está em nenhuma das formas que estão na definição de inequação polinomial. Por esse motivo, vamos reescrevê-la. Temos:
\begin{eqnarray} x^2+2x+1 &\leq& 7-x^3-3x^2+x \\ x^2+2x+1 - 7 +x^3+3x^2-x &\leq& 0 \\ x^3 + 4x^2 + x -6 &\leq& 0. \end{eqnarray}
Desse modo, resolver a inequação $x^2+2x+1 \leq 7-x^3-3x^2+x$ é o mesmo que resolver a inequação $x^3+4x^2+x-6 \leq 0$. Vamos agora aplicar a análise de sinal de polinômios à inequação $x^3+4x^2+x-6 \leq 0$, ou seja, vamos analisar o sinal do polinômio $x^3+4x^2+x-6$. Esse polinômio possui $1$ como raiz (pois a soma dos seus coeficientes é igual a zero). Desse modo, ele pode ser divido por $x-1$. Fazendo esse divisão, temos:
\begin{eqnarray} x-1 & > & 0 \\ x &>& 1, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x-1 & < & 0 \\ x &<& 1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x-1 & = & 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}
Para o fator $x+2$. Temos
\begin{eqnarray} x+2 & > & 0 \\ x &>& -2, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+2 & < & 0 \\ x &<& -2 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+2 & = & 0 \\ x &=& -2. \end{eqnarray}
Para o fator $x+3$. Temos
\begin{eqnarray} x+3 & > & 0 \\ x &>& -3, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+3 & < & 0 \\ x &<& -3 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+3 & = & 0 \\ x &=& -3. \end{eqnarray}
Construindo o diagrama da análise de sinal, temos:
De acordo com a análise de sinal que fizemos, o polinômio $x^3+4x^2+x-6$ é menor ou igual a zero para valores de $x$ menores ou iguais a $-3$ e para valores de $x$ entre $-2$ e $1$, incluindo o $-2$ e o $1$. Portanto, o conjunto solução da inequação $x^3+4x^2+x-6 \leq 0$ é $S = (-\infty, -3] \cup [-2,1]$ ou, de outra forma, $S = \{x \in \mathbb{R}: x \leq -3 \mbox{ ou } -2 \leq x \leq 1\}$. Como a inequação $x^3+4x^2+x-6 \leq 0$ é equivalente à inequação $x^2+2x+1 \leq 7-x^3-3x^2+x$, o conjunto $S$ também é solução da inequação $x^2+2x+1 \leq 7-x^3-3x^2+x$.
11. Resolva a inequação $x^4-2x^3+4x-4 \geq 0$.
Solução: A inequação polinomial já está de acordo com a definição de inequação polinomial, assim, vamos aplicar a análise de sinal de polinômios. Como sabemos, primeiramente precisamos fatorar completamente o polinômio da inequação. Existem algumas formas de fatora um polinômio, talvez a maneira mais famosa seja encontrando as raízes do polinômio. Mas, existem outras maneiras, como colocar alguns termos em evidência e até mesmo somar e subtrair alguns termos. Vamos fazer isso com o polinômio do enunciado do exemplo. Temos:
\begin{eqnarray}x^4-2x^3+4x-4 &=& x^4-2x^3+2x^2-2x^2+4x-4 \\ &=& x^2(x^2-2x+2)-2(x^2-2x+2) \\ &=& (x^2-2)(x^2-2x+2) \\ &=& (x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2-2x+2) \end{eqnarray}
Logo $x^4-2x^3+4x-4 = (x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2-2x+2)$. Essa é uma fatoração é completa, pois os polinômios $x-\sqrt{2}$ e $x+\sqrt{2}$ possuem grau $1$ e o polinômio $x^2-2x+2$ é irredutível (veja mais sobre polinômios irredutíveis aqui), visto que, calculando seu $\Delta$, temos:
\begin{eqnarray} \Delta &=& (-2)^2-4\cdot 1 \cdot 2 \\ &=& 4-8 = -4. \end{eqnarray}
Agora, vamos analisar o sinal dos fatores na fatoração do polinômio $x^4-2x^3+4x-4$ . Para o fator $x-\sqrt{2}$, temos
\begin{eqnarray} x-\sqrt{2} & > & 0 \\ x &>& \sqrt{2}, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x-\sqrt{2} & < & 0 \\ x &<& \sqrt{2} \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x-\sqrt{2} & = & 0 \\ x &=& \sqrt{2}. \end{eqnarray}
Para o fator $x+\sqrt{2}$. Temos
\begin{eqnarray} x+\sqrt{2} & > & 0 \\ x &>& -\sqrt{2}, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+\sqrt{2} & < & 0 \\ x &<& -\sqrt{2} \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+\sqrt{2} & = & 0 \\ x &=& -\sqrt{2}. \end{eqnarray}
Como o fator $x^2-2x+2$ possui $\Delta < 0$ e $a = 1 > 0$, segue que ele é positivo para todo $x \in \mathbb{R}$.
Construindo o diagrama da análise de sinal, temos:
12. Resolva a inequação $x(x+2) < -1$.
Solução: Essa inequação parece ser bem simples de resolver, mas nela existem alguns detalhes importantes para serem observados. Observe que, ao lado esquedo do símbolo de desigualdade, temos uma multiplicação. Se do lado direito tivéssemos o zero, era só aplicar a análise de sinal, pois o polinômio do lado esquedo já estaria fatorado. Mas, como isso não ocorre, é melhor fazer a multiplicação do lado esquerdo e passar o $-1$ para o lado esquedo, assim, vamos ter uma inequação em um dos formatos da definição de inequação polinomial. Fazendo isso, temos,
\begin{eqnarray} x(x+2) &<& -1 \\ x^2+ 2x &<& -1 \\ x^2+2x+1 < 0. \end{eqnarray}
Logo, temos a inequação do enunciado escrita na forma $x^2+2x+1 < 0$. Observe que o lado esquerdo do símbolo de desigualdade é igual a $(x+1)^2$, assim, a inequação fica na foma $(x+1)^2 < 0$. Nesse caso não a análise de sinal fica muito simples e nem precisamos usar o diagrama, pois qualquer número ao quadrado ou é zero ou é positivo. Assim, é impossível obtermos algum $x$ tal que $(x+1)^2 < 0$, isto é, essa inequação não possui solução e podemos escrever que seu conjunto solução é vazio, isto é, $S = \emptyset$. Vamos pensar em outras possibilidades para essa inequação: se o símbolo de desigualdade fosse igual a $\leq$, teríamos como solução o conjunto $S = \{-1\}$, pois para $x = -1$, vamos ter $x+1 = -1+1 = 0$. Se o símbolo de desigualdade fosse $\geq$, o conjunto solução seria $S = \mathbb{R}$, pois, como já sabemos, qualquer número ao quadrado é igual a zero ou é positivo. Por fim, se o símbolo de desigualdade fosse $>$, o conjunto solução seria $S = (-\infty,-1) \cup (-1, +\infty)$ ou $S = \{x \in \mathbb{R}: x \neq -1\}$, pois $x = -1$ é o único valor para o qual temos $x+1 = -1+1 = 0$ e, para todos os outros valores possíveis de $x$, temos $(x+1)^2 > 0$.
Observação: De um modo geral, qualquer número elevado a uma potência par será igual a zero se o número for zero e será positivo em qualquer outro caso. Qualquer número elevado a uma potência ímpar será positivo se o número for positivo, será zero se o número for zero e será negativo se o número for negativo. Lembre-se disso na hora de resolver inequações polinômiais, isso pode ser muito útil, assim como foi no exemplo anterior.
Exemplo em vídeo:
Acredito que, entendendo bem tudo o que foi feito nessa postagem, você terá conhecimento sufiente para lidar com as inequações polinômiais.
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