Nas postagens anteriores (acesse-as aqui) focamos em resolver inequações polinomiais. Agora, vamos seguir nosso estudo sobre inequações passando para as inequações racionais. Se você não viu as duas postagens anteriores, sugiro que as estude, pois vamos precisar bastante delas. Para resolver as inequações racionais vamos precisar analisar sinais de polinômios e também resolver inequações polinomiais. Nessa postagem vamos aprender o que é uma inequação racional, como resolver uma inequação racional e também todos os detalhes nos quais precisamos estar atentos na hora fazer a resolução. Então, vamos lá!
Inequações racionais
Primeiramente, vamos definir o que é uma equação racional.
Definição: Sejam $p(x)$ e $q(x)$ dois polinômios (sobre $\mathbb{R}$). Qualquer inequação que pode ser escrita em uma das formas
$$\frac{p(x)}{q(x)} < 0, \; \frac{p(x)}{q(x)} \leq 0, \; \frac{p(x)}{q(x)} > 0 \mbox{ ou } \frac{p(x)}{q(x)} \geq 0$$
é chamada inequação racional.
De uma forma mais informal, uma inequação racional é qualquer inequação que pode ser escrita como um quociente de dois polinômios, um símbolo de desigualdade e o zero. Vejamos alguns exemplos:
Exemplos:
1. $\displaystyle\frac{x}{x+1} < 0$
2. $\displaystyle\frac{x^2-x-1}{2x+\sqrt{3}} \leq 0$
3. $\displaystyle\frac{x-1}{3x^2+\frac{x}{3}-4} > 0$
4. $\displaystyle\frac{x^4-2x+3}{-x^4+4x^3} \geq 0$
Uma inequação polinomial pode ser vista como um caso particular de equações racionais. Uma equação polinomial é uma equação racional onde o polinômio que está na parte de baixo do quociente é igual a $1$.
Nem sempre uma inequação racional aparece um uma das formas que estão na definição, ou seja, em uma das formas que estão nos quatro exemplos anteriores. Se uma inequação é formada por termos que são polinômios e/ou quocientes de polinômios, então ela é uma inequação racional. Vejamos alguns exemplos desses casos.
5. A inequação $\displaystyle\frac{x}{x^2-1} < 1$ pode ser escrita um uma das formas que estão na definição de inequação racional. De fato,
\begin{eqnarray} \frac{x}{x^2-1} &<& 1 \\ \frac{x}{x^2-1} - 1 &<& 0 \\ \frac{x - (x^2-1)}{x^2-1} &<& 0 \\ \frac{x - x^2+1}{x^2-1} &<& 0 \\ \frac{-x^2 +x+1}{x^2-1} &<& 0 \end{eqnarray}
A inequação $\displaystyle\frac{x}{x^2-1} < 1$ é uma inequação racional.
6. A inequação $\displaystyle\frac{x+1}{x+3} + x \geq 2$ é uma inequação racional. De fato,
\begin{eqnarray} \frac{x+1}{x+3} + x &\geq& 2 \\ \frac{x+1}{x+3} + x - 2 &\geq& 0 \\ \frac{x+1 + (x+3)(x-2)}{x+3} &\geq& 0 \\ \frac{x+1 + x^2-2x+3x-6}{x+3} &\geq& 0 \\ \frac{x^2+2x-5}{x+3} &\geq& 0. \end{eqnarray}
7. A inequação $\displaystyle\frac{x^2}{x+2} + \displaystyle\frac{3}{x} \leq 0$ é uma inequação racional. De fato,
\begin{eqnarray} \frac{x^2}{x+2} + \frac{3}{x} &\leq& 0 \\ \frac{x \cdot x^2 + 3(x+2)}{(x+2)x} &\leq& 0 \\ \frac{x^3 + 3x+6}{x^2+2x} &\leq& 0. \end{eqnarray}
8. A inequação $\displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{x}{x+1} > \displaystyle\frac{x^2}{2x+1}$ é uma inequação racional. De fato,
\begin{eqnarray} \frac{1}{x} - \frac{x}{x+1} &>& \frac{x^2}{2x+1} \\ \frac{x+1 - x \cdot x}{x(x+1)} &>& \frac{x^2}{2x+1} \\ \frac{-x^2 + x +1}{x^2+x} - \frac{x^2}{2x+1} &>& 0 \\ \frac{(2x+1)(-x^2 + x +1) - x^2(x^2+x)}{(x^2+x)(2x+1)} &>& 0 \\ \frac{-2x^3+2x^2+2x-x^2+x+1-x^4-x^3}{x^3+x^2+2x^2+x} &>& 0 \\ \frac{-x^4-3x^3+x^2+3x+1}{x^3+3x^2+x} &>& 0 \end{eqnarray}
Se você teve alguma dificuldade em entender as contas que foram feitas nos exemplos acima, veja a postagem sobre soma, subtração, produto e divisão de quocientes com expressões algébricas.
Logo, embora as inequações dos exemplos 5 a 8, a princípio, não estejam de acordo com a definição de inequação racional, elas podem ser escritas de acordo com a definição e, portanto, são inequações racionais.
Agora que já sabemos identificar as inequações racionais, vamos aprender a resolvê-as.
Como resolver uma inequação racional
Acredito que a melhor forma de aprender a resolver inequações racionais é por meio de exemplos, mas como podemos fazer uma infinidade de exemplos diferentes, vamos separar os exemplos em casos e destacar as ideias que serão usadas em cada caso. Assim, com alguns exemplos podemos aprender estratégias para resolver inequações racionais e replicar essas estratégias para resolver todas as inequações racionais.
Antes de passarmos para os exemplos, o seguinte raciocício estará presente em todos os exemplos:
Sejam $a, b \in \mathbb{R}$ com $b \neq 0$. O quociente $\displaystyle\frac{a}{b}$ será igual a zero quando $a = 0$, será positivo quando $a > 0$ e $b > 0$ ou $a < 0$ e $b < 0$ e será negativo quando $a > 0$ e $b < 0$ ou $a < 0$ e $b > 0$. Isto é, para saber o sinal de $\displaystyle\frac{a}{b}$, basta fazer o jogo de sinais com $a$ e $b$.
Vamos aos exemplos.
Exemplos:
Caso 1: Inequação racional em um dos formatos da definição onde os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ possuem grau $1$.
9. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1} < 0$.
Solulção: Conforme o raciocínio exposto antes de começarmos esses exemplos, para resolver esse exemplo, basta analisarmos os sinais dos polinômios $x+1$ e $2x-1$ e, por meio de um diagrama (que faremos a seguir), determinarmos o sinal da divisão $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1}$ usando jogo de sinais. Lembre-se que o valor de $x$ que anula o polinômio que está em baixo no quociente não pode estar na solução, pois não existe divisão por zero. Desse modo, para $x+1$, temos
\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}
Para o fator $2x-1$, temos
\begin{eqnarray} 2x-1 & > & 0 \\ 2x &>& 1 \\ x &>& \frac{1}{2} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} 2x-1 & < & 0 \\ 2x &<& 1 \\ x &<& \frac{1}{2} \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} 2x-1 & = & 0 \\ 2x &=& 1 \\ x &=& \frac{1}{2}. \end{eqnarray}
Com essas informações, podemos construir o seguinte diagrama de análise de sinal
Observe que, em baixo do número $\displaystyle\frac{1}{2}$ não marcamos o número $0$ no segmento que está em frente ao quociente $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1}$, mas sim um $\times$. Fizemos isso para deixar claro que ele não pode fazer parte da solução da inequação, pois ele anula $2x-1$ e não se pode fazer divisão por zero. Portanto, solução da inequação é $S = \left(-1, \displaystyle\frac{1}{2}\right)$ ou, de outra forma, $S = \left\{x \in \mathbb{R}: -1 < x < \displaystyle\frac{1}{2}\right\}$. Observe também que $-1 \notin S$, pois nele o quociente $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1}$ é igual $0$, mas queremos os valores de $x$ para os quais $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1} < 0$.
Caso 2: Inequação racional em um dos formatos da definição onde pelo menos um dos polinômios $p(x)$ e $q(x)$ possui grau maior que $1$.
10. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x+3} \geq 0$.
Solulção: Nesse exemplo, o polinômio que está em cima no quociente possui grau igual a $2$, isso significa que ele pode ser fatorado. Todas as vezes que você se deparar com uma inequação racional em uma das formas da definição onde pelos menos um dos polinômios possui grau maior que $1$, tais polinômios precisam ser fatorados. Vamos fazer isso para a inequação do enunciado. Usando soma e produto, as raízes do polinômio $x^2-x-2$ são $-1$ e $2$. Desse modo, segue que,
$$x^2-x-2 = (x+1)(x-2).$$
Assim, podemos reescrever a inequção $\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x+3} \geq 0$ na forma:
$$\displaystyle\frac{(x+1)(x-2)}{x+3} \geq 0$$
Tendo feito esse passo, vamos analisar o sinal de cada fator presente na inequação. Para o fator $x+1$ temos
\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}
Para o fator $x-2$. Temos
\begin{eqnarray} x-2 & > & 0 \\ x &>& 2 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x-2 & < & 0 \\ x &<& 2 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x-2 & = & 0 \\ x &=& 2. \end{eqnarray}
Para o fator $x+3$. Temos
\begin{eqnarray} x+3 & > & 0 \\ x &>& -3 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+3 & < & 0 \\ x &<& -3 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+3 & = & 0 \\ x &=& -3. \end{eqnarray}
Com essas informações, podemos construir seguinte diagrama da análise de sinal;
De acordo com o diagrama da análise de sinal, temos que a solução da inequação $\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x+3} \geq 0$ é igual a $S = (-3,-1] \cup [2, +\infty)$ ou, de outra forma, $S =\{x \in \mathbb{R}: -3 < x \leq -1 \mbox{ ou } x \geq 2\}$. Observe que $-3 \notin S$ pois ele anula o polinômios que está em baixo no quociente.
Caso 3: Inequação racional que não está em um dos formatos da definição.
11. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{2x+5}{x+3} \leq 1$.
Solução: Quando vemos uma inequação nesse formato, dá uma vontade muito grande de multiplicar cruzado ou, especificamente nesse caso, passar o $x+3$ multiplicando para o outro lado. Mas, você não pode fazer simplesmente isso, pois o sinal da expressão $x+3$ muda de acordo com o valor de $x$. Passar o $x+3$ multiplicando o outro lado é a mesma coisa que multiplicarmos os dois lados da inequação por $x+3$ e, sabemos que, quando mutliplicamos uma inequação por um número negativo, o símbolo de desigualdade deve ser invertido. Assim, ante de fazer essa multiplicação, o sinal de $x+3$ deve ser analisado. Esse é um caminho que pode ser usado para resolver a inequação, mas acredito que ele é mais trabalhoso. Por esse motivo, vamos usar outra estratégia, vamos reescrever a inequação em uma das formas da definição de inequação racional e depois usar uma das estratégias que aprendemos nos dois casos anteriores. Desse modo, temos
\begin{eqnarray} \frac{2x+5}{x+3} &\leq& 1 \\ \frac{2x+5}{x+3} -1 &\leq& 0 \\ \frac{2x+5-(x+3)}{x+3} &\leq& 0 \\ \frac{2x+5-x-3}{x+3} &\leq& 0 \\ \frac{x+2}{x+3} &\leq& 0\end{eqnarray}
Logo, reescrevendo a inequação $\displaystyle\frac{2x+5}{x+3} \leq 1$ na forma $\displaystyle\frac{x+2}{x+3} \leq 0$, caímos no caso 1 e esse caso já aprendemos como resolver. Vamos analisar o sinal de cada fator presenta na inequação. Para o fator $x+2$ temos
\begin{eqnarray} x+2 & > & 0 \\ x &>& -2, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+2 & < & 0 \\ x &<& -2 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+2 & = & 0 \\ x &=& -2. \end{eqnarray}
Para o fator $x-2$. Temos
\begin{eqnarray} x+3 & > & 0 \\ x &>& -3 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+3 & < & 0 \\ x &<& -3 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+3 & = & 0 \\ x &=& -3. \end{eqnarray}
Colocando essa informações no diagrama, temos
De acordo com o diagrama, a solução da inequação é $S = (-3,-2]$ ou, de outra forma, $S = \{x \in \mathbb{R}: -3 < x \leq -2\}$.
12. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{2x^2}{x^2-1} - 2 \leq \displaystyle\frac{1}{x^2}$.
Solução: Assim como no exemplo anterior, vamos escrever essa inequação em um dos formatos da definição de inequação racional. Temos
\begin{eqnarray} \frac{2x^2}{x^2-1} - 2 &\leq& \displaystyle\frac{1}{x^2} \\ \frac{2x^2-2(x^2-1)}{x^2-1} &\leq& \displaystyle\frac{1}{x^2} \\ \frac{2x^2-2x^2+2)}{x^2-1} - \displaystyle\frac{1}{x^2} &\leq& 0 \\ \frac{2}{x^2-1} - \displaystyle\frac{1}{x^2} &\leq& 0 \\ \frac{2x^2 - (x^2-1)}{(x^2-1)x^2} &\leq& 0 \\ \frac{2x^2 - x^2+1}{(x^2-1)x^2} &\leq& 0 \\ \frac{x^2 +1}{(x^2-1)x^2} &\leq& 0 \end{eqnarray}
Logo, a inequação $\displaystyle\frac{2x^2}{x^2-1} - 2 \leq \displaystyle\frac{1}{x^2}$ pode ser rescrita na forma $\displaystyle\frac{x^2 +1}{(x^2-1)x^2} \leq 0$, isto é, caímos no caso 2.. Agora, vamos fatorar os polinômios que aparecem nessa inequação. Temos que $x^2+1$ é irredutível (não pode ser fatorado), pois para ele temos $\Delta = 0$. Além disso, nele temos $a=1 > 0$, logo $x^2 + 1$ é sempre positivo. O polinômio $x^2-1$ é uma diferença de quadrados, logo
$$x^2-1 = (x+1)(x-1).$$
O polinômio $x^2$ aparece como um fator na inequação, mas vamos deixá-lo dessa forma, pois a análise de sinal dele é bem simples, para qualquer $x \neq 0$ temos $x^2 > 0$ e $x^2 = 0$ somente para $x = 0$. Assim, podemos reescrever a inequação $\displaystyle\frac{2x^2}{x^2-1} - 2 \leq \displaystyle\frac{1}{x^2}$ na forma
\begin{eqnarray} \frac{x^2 +1}{(x+1)(x-1)x^2} &\leq& 0 \end{eqnarray}
Vamos analisar o sinal de cada fator presente na inequação. Note que já sabemos os sinais de $x^2+1$ e de $x^2$. Agora, para o fator $x+1$ temos
\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}
Para o fator $x-1$. Temos
\begin{eqnarray} x-1 & > & 0 \\ x &>& 1 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x-1 & < & 0 \\ x &<& 1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x-1 & = & 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}
Colocando essas informação no diagrama, temos:
Portanto, de acordo com o diagrama, a solução da inequação é $S = (-1, 0) \cup (0, 1)$ ou, de outra forma, $S = \{x \in \mathbb{R}: -1 < x < 1 \mbox{ e } x \neq 0\}$. Observe que $-1, 1, 0 \notin S$ pois anulam o polinômio que está em baixo na inequação.
Observação: Nos exemplos acima reescrevemos cada inequação de uma outra forma para resolvê-las. Isso pode ser feito sempre, mas devemos tomar alguns cuidados. Caso exista um ou mais fatores em comum nos polinômios que estão em cima e em baixo na inequação, como no exemplo a seguir
$$\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1} > 0,$$
podemos simplificar o $x-1$ e reescrevermos a inequação na forma $2x+1 > 0$ para rresolver. Mas, não podemos nos esquecer que na inequação original havia $x-1$ na parte de baixo, isto é, o número $1$ não pode estar no conjunto solução da inequação, pois do contrário, vamos ter uma divisão por $0$. Então, lembre-se, você sempre pode simplificar termos comuns que aparecem na parte de cima e de baixo de um termo de uma inequação racional, mas não se esqueça de retirar da solução o(s) numero(s) que anulam esses termos.
Exemplo em vídeo:
Com as ideias que foram apresentadas aqui, você vai conseguir resolver muitas inequações racionais.
Gostou do conteúdo dessa postagem? Foi útil para você? Tem alguma dúvida? Deixe um comentário.
