Inequações #9: Inequações modulares com mais de um módulo e com termos sem módulo

Nessa postagem vamos retomar as inequações modulares. Podemos encontrar algumas inequações nas quais aparecem expressões com mais de um termo com módulo ou ainda, com termos com módulos e  outros sem módulos (termos onde a incógnita está). O caminho usado para resolver esses tipos de inequações é um pouco diferente do que vimos até agora, para resolvê-las, vamos precisar reescrever expressões com módulos sem usar os módulos. Esse assunto foi tradado na postagem anterior, então, se você caiu por aqui sem ter visto a postagem anterior, sugiro que dê uma olhada por lá. Ainda, antes de qualquer cálculo, têm mais algumas coisas que precisamos ter em mente. Vamos precisar saber o que é um intervalo (intervalos limitados e ilimitados) e também como fazer a união e a interseção de intervalos (esses assuntos estão todos disponíveis nos links anteriores). Agora sim, estando preparados, vamos lá!

Inequações modulares com mais de um módulo e com termos sem módulo

Para deixar bem claro quais os tipos de inequações que vamos aprender a resolver nessa postagem, vamos ver alguns exemplos:

Exemplos:

1. $x-4|x-3| \leq 2$

Essa inequação possui dois termos na expressão que está ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, o $x$ e o $4|x-3|$, ou seja, um sem módulo e outro com módulo. Assim, essa é uma inequação modular com um termo que não possuem (termo com a incógnita sem módulo).

2. $|x+1|-|x-2| < 1$

Essa é uma inequação que possui uma expressão ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade com dois termos, os dois com módulos, ou seja, ela é uma inequação modular com mais de um módulo. Nesse caso não há termos com a incógnita sem módulo.

3. $|2x|+3|x+2| < -x + 6$

Essa é uma inequação modular com mais de um módulo e com um termo  sem módulo.

4. $|2x-3| - |x-4| \geq |x-1|$

Essa é uma inequação com mais de um módulo.

Observe que, em todos os exemplos, dentro dos módulos a incógnita $x$ possui apenas expoente $1$. Qualquer inequação em algum desses tipos apresentados acima pode ser resolvida com o que será apresentado aqui nessa postagem. Então, vamos seguir com exemplos, vamos apresentar uma forma, usando o que foi feito na postagem anterior, de resolver as quatro inequações acima.

Exemplos:

5. Determine o conjunto solução da inequação $x-4|x-3| \leq 2$.

Solução: Nessa inequação, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, temos uma expressão com dois termos, um com módulo e outro sem. Para resolver esse tipo de inequação,  vamos primeiramente reescrever a expressão $x-4|x-3|$ sem usar o módulo, usando o que aprendemos na postagem anterior. Temos que:

$$x - 4|x-3| = \left\{ \begin{array}{ccc} 5x-12 & \mbox{se} & x < 3 \\ -3x+12 & \mbox{se} & x \geq 3. \end{array} \right.$$

A expressão $x-4|x-3|$, reescrita, ficou dividida em duas partes, para $x < 3$ ela é igual a $5x -12$ e para $x \geq 3$ ela é igual a $-3x+12$. Desse modo, vamos separar a resoluçao da inequação em duas partes. Na primeira parte vamos considerar somente $x < -3$ e na segunda somente $x \geq -3$. Temos,

Para $x < 3$: Note que,  $x < 3$ é o mesmo que $x \in (-\infty, 3)$.  Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} x-4|x-3| &\leq& 2 \\ 5x-12 & \leq & 2 \\ 5x & \leq& 14 \\ x & \leq & \frac{14}{5} \end{eqnarray}

A solução da inequação acima é o conjunto $\left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$. Mas, como resolvemos essa inequação somente para $x < 3$, a solução da inequação nesse caso, a qual chamaremos de $S_1$, será a interseção $(-\infty, 3) \cap \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$. Desse modo, $S_1 = \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$.

Para $x \geq 3$: Note que, $x \geq 3$ é o mesmo que $x \in [3, +\infty)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} x-4|x-3| &\leq& 2 \\ -3x+12 & \leq & 2 \\ -3x & \leq& -10 \\ x & \geq & \frac{10}{3} \end{eqnarray}

A solução da inequação acima é o conjunto $\left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$. Mas, como resolvemos essa inequação somente para $x \geq 3$, a solução da inequação nesse caso, a qual chamaremos de $S_2$, será a interseção $[3, +\infty) \cap \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$. Desse modo, $S_2 = \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$.

Ainda não acabamos, mas estamos quase no fim. A solução da inequação $x-4|x-3| \leq 2$ é a união das soluções encontradas em casa uma das partes em que a resolução foi separada. Logo, a solução da inequação do enunciado, a qual chamaremos de $S$, é $S = S_1 \cup S_2$. Portanto, $S = \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right] \cup \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$.

Observação: Nessa postagem não serão feitos os diagramas para o cálculo da união e a interseção de intervalos. Se você precisar relembrar de como esses cálculos são feitos, leia as postagens onde esses assuntos foram tratados. Escolhi fazer dessa forma para essa postagem não ficar tão grande.

Nos próximos exemplos usaremos a mesma estratégia de resolução de inequações apresentada no exemplo acima, isto é, vamos reescrever uma expressão com termos com e sem módulos, separando-a em partes, para resolver a inequação nessas respectivas partes.

6. Determine o conjunto solução da inequação $|x+1|-|x-2| < 1$.

Solução: Nesse exemplo, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, a expressão possui dois termos com módulo. Então, para resolver essa inequação, vamos reescrever a expressão $|x+1|-|x-2|$ sem usar os módulos. Temos

$$|x+1|-|x-2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -3 & \mbox{se} & x < -1 \\ 2x-1 & \mbox{se} & -1 \leq x < 2 \\ 3 &\mbox{se} & x \geq 2. \end{array} \right.$$

Ao reescrevermos a expressão $|x+1|-|x-2| $, a separamos em três partes, ela é igual a $-3$ se $x < -1$, é igual a $2x-1$ se $-1 \leq x < 2$ e é igual a $3$ se $x \geq 2$. Por esse motivo, a resolução da inequação $|x+1|-|x-2| < 1$, será feita separadamente em cada uma dessas partes. Temos

Para $x < -1$: Observe que $x < -1$ é o mesmo que dizer que $x \in (-\infty, -1)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ -3 &<& 1.  \end{eqnarray}

Como $-3 < 1 $ é sempre verdadeiro, segue que o conjunto solução da inequação acima é $\mathbb{R}$. Mas,  como estamos no caso $x < -1$, a solução  $S_1$ que estamos procurando é $S_1 = (-\infty, -1) \cap \mathbb{R}$. Logo, $S_1 = (-\infty, -1)$.

Para $-1 \leq x < 2$: Observe que $-1 \leq 2$ é o mesmo que $x \in [-1,2)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ 2x-1 &<& 1 \\ 2x &<&2 \\ x &<& 1.  \end{eqnarray}

Desse modo, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = [-1,2) \cap (-\infty, 1)$, ou seja, $S_2 = [-1,1)$. Lembre-se, em cada caso (ou parte), deve ser feita a interseção do conjunto solução da inequação com o conjunto onde estamos considerando $x$. Não podemos exquecer disso.

Para $x \geq 2$: Observe que $x \geq 2$ é o mesmo que $x \in [2, +\infty)$. Nese caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ 3 &<& 1.  \end{eqnarray}

Como $3 < 1$ nunca ocorre, o conjunto solução da inequação acima é $\emptyset$. Assim, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = [2, +\infty) \cap \emptyset$, isto é, $S_3 = \emptyset$.

Portanto, a solução da inequação do enunciado é $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3$, ou seja, $S = (-\infty,1)$.

7. Determine o conjunto solução da inequação $|2x|+3|x+2| < -x + 6$.

Solução: Nessa inequação, diferentemente dos exemplos anteriores, do lado direito do símbolo de desigualdade há uma expressão que contém a incógnita $x$. Embora isso ocorra, podemos resolvê-la da mesma forma que fizemos nos exemplos anteriores, isto é, vamos reescrever a expressão que está do lado esquerdo do símbolo de desigualdade e depois determinar o conjunto solução dessa inequação em partes. Assim, reescrevendo a expressão $|2x|+3|x+2|$, temos

$$|2x|+3|x+2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -5x-6 & \mbox{se} & x < -2 \\x+6 & \mbox{se} & -2 \leq x < 0 \\ 5x+6 &\mbox{se} & x \geq 0. \end{array} \right.$$

Vamos prosseguir resolvendo a inequação separando a resolução nos casos $x < -2$, $ -2 \leq x < 0$ e $x \geq 0$. Temos,

Para $x < -2$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ -5x-6 &<& -x+6 \\ -4x &<& 12 \\ x &<& \frac{12}{-4} \\ x &>& -3.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_1$ desse caso é $S_1 = (-\infty, -2) \cap (-3, +\infty)$, ou seja, $S_1 = (-3,-2)$.

Para $-2 \leq x < 0$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ x+6 &<& -x+6 \\ 2x &<& 0 \\ x &<& 0.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = [-2,0) \cap (-\infty, 0)$, ou seja, $S_2 = (-2,0)$.

Para $x \geq 0$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ 5x+6 &<& -x+6 \\ 6x &<& 0 \\ x &<& 0.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = [0,+\infty) \cap (-\infty, 0)$, ou seja, $S_3 = \emptyset$.

Desse modo, a soluçaõ da inequação do enunciado é $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3$. Portanto, $S = (-3,0)$.

Vamos para o último exemplo.

8. Determine o conjunto solução da inequação $|2x-3| - |x-4| \geq |x-1|$.

Solução: Nesse exemplo, do lado direito do símbolo de desigualdade, temos um termo com módulo. Para usar o método que estamos usando para resolver essas inequações, devemos deixar os termos com módulos, todos eles, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Desse modo, a inequação do enunciado ficará na forma

$$|2x-3| - |x-4| - |x-1| \geq 0$$

Agora, vamos resolver a inequação nesse formato, reescrevendo a expressão $|2x-3| - |x-4| - |x-1|$. Fazendo isso, obtemos

$$|2x-3| - |x-4| - |x-1| = \left\{ \begin{array}{ccc} -2 & \mbox{se} & x < 1 \\ -2x & \mbox{se} & 1 \leq x < \frac{3}{2} \\ 2x-6 &\mbox{se} & \frac{3}{2} \leq x < 4 \\ 2 & \mbox{se} & x \geq 4. \end{array} \right.$$

A expressão $|2x-3| - |x-4| - |x-1|$ ficou separa em quatro partes. Isso ocorreu por que ela possui três termos com módulo. Como ela está dividida em quatro partes, a resolução dela será feita em quatro casos, são eles, $x < 1$, $1 \leq x < \displaystyle\frac{3}{2}$, $\displaystyle\frac{3}{2} \leq x < 4$ e $x < 4$. Assim, temos

Para $x < 1$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ -2 &\geq & 0.  \end{eqnarray}

Como $-2  \geq 0$ nunca é verdade, a solução da inequação acima é o conjunto $\emptyset$. Desse modo, a solução desse caso é $S_1 = (-\infty,1) \cap \emptyset = \emptyset$.

Para $1 \leq x < \displaystyle\frac{3}{2}$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ -2x &\geq & 0 \\ x \leq 0.  \end{eqnarray}

 Desse modo, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = \left[1,\displaystyle\frac{3}{2}\right) \cap (-\infty, 0]$, isto é, $S_2 = \emptyset$.

Para $\displaystyle\frac{3}{2} \leq x < 4$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ 2x - 6 &\geq & 0 \\ 2x &\geq& 6 \\ x &\geq& 3.  \end{eqnarray}

Logo, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = \left[\displaystyle\frac{3}{2}, 4\right) \cap [3, +\infty)$, isto é, $S_3 = [3,4)$.

Para $x \geq 4$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ 2 &\geq & 0.  \end{eqnarray}

Como $2 \geq 0$ é verdade, segue que a solução da inequação acima é $\mathbb{R}$. Logo, a solução $S_4$ desse caso é $S_4 = \left[\displaystyle\frac{3}{2}, 4\right) \cap \mathbb{R}$, isto é, $S_4 = [4,+\infty)$.

Por fim, a solução $S$ da inequação $|2x-3| - |x-4| - |x-1| \geq 0$, que é equivalente à inequação do enunciado, é a união da solução dos qutro casos anteriores. Portanto $S = [3, +\infty]$.

Exemplo em vídeo:

Acredtito que, com os exemplos feitos aqui, você estará apto para resolver qualquer inequação como as que vimos nesses exemplos, ou seja, com termos com e sem módulo, sempre com a incógnita com expoente igual a $1$.

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Inequações #8: Como reescrever uma expressão com módulos sem o módulo

Até aqui, aprendemos a resolver vários tipos de inequações, inclusive àquelas que possuem módulo. Para continuarmos o estudo das inequações com módulos, vamos precisar parar um pouco com as inequações, propriamente ditas, e pensarmos um pouco mais sobre o módulo. Nessa postagem vamos responder à seguinte pergunta: "é possível reescrever uma expressão com módulos sem utilizar o módulo?" Já antecipando a resposta, sim! Esse processo de reescrever uma expressão com módulos sem utilizar o módulo é muito útil para resolver alguns tipos complicados de inequações. E não para por aí, esse processo é muito importante também em assuntos mais avançados de matemática, como calcular derivadas e integrais de funções (derivadas e integrais são estudados em cursos superiores que possuem uma disciplina chamada Cálculo I). Então, não vamos perder mais tempo, vamos aprender como fazer isso. Vamos lá!

Como reescrever uma expressão com módulos sem o módulo

Antes de qualquer coisa, vamos relembrar a definição de módulo (ou valor absoluto) de um número real.

Definição: Definimos o módulo ou valor absoluto de um número real $x$, denotado por $|x|$, como sendo

$$|x| = \left\{ \begin{array}{rcc} x, & \mbox{se} & x \geq 0 \\ -x, & \mbox{se} & x < 0. \end{array} \right.$$

Veja mais detalhes sobre o módulo de um número real e sua interpretação geométrica nessa postagem.

Observe que, na definção de módulo temos um $x$ representando um número real qualquer. Isso implica que esse $x$ pode ser substituído por qualquer outra "coisa" que seja um número real, isto é, podemos colocar no lugar do $x$ uma expressão algébrica. Já fizemos isso, pelo menos, nas duas postagens anteriores. 

A seguir vamos ver exemplos de como reescrever expressões com módulos sem usar o módulo. Vamos fazer isso separando em casos, são eles: expressões com somente um módulo, expressões com mais de um módulo e expressões com módulos e sem módulos. 

Expressões com somente um módulo

Exemplos:

1. Considere a expressão algébrica $x-1$ e o seu módulo, ou seja, $|x-1|$. Trocando, na definição de módulo, $x$ por $x-1$, vamos ter

$$|x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-1, & \mbox{se} & x-1 \geq 0 \\ -(x-1), & \mbox{se} & x-1 < 0. \end{array} \right.$$

Podemos melhorar o que está escrito acima. Note que $-(x-1) = -x+1$, $x-1 \geq 0$ é equivalente a $x \geq 1$ e que $x-1 < 0$ é equivalente a $x < 1$. Assim,

$$|x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-1, & \mbox{se} & x \geq 1 \\ -x+1, & \mbox{se} & x < 1. \end{array} \right.$$

Pronto! Reescremos a expressão $|x-1|$, a qual possui somente um módulo, como uma expressão que não possui módulo. A expressão reescrita fica assim mesmo, em duas partes. Você pode até pensar que não ficou tão simples ou que não há vantagem em reescrever uma expressão com módulo dessa forma, mas apesar disso, é vantajoso. Fazer contas com uma expressão sem módulo, mesmo que esteja em partes, é mais fácil.

Vamos fazer mais um exemplo. 

2. Considere a expressão com módulo $|2x+3|$. Usando o mesmo raciocínio anterior e fazendo as contas

$$-(2x+3) = -2x-3,$$

\begin{eqnarray} 2x + 3 & \geq & 0 \\ 2x &\geq& -3 \\ x &\geq& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} 2x + 3 & < & 0 \\ 2x &<& -3 \\ x &<& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}

temos que,

$$|2x+3| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x+3, & \mbox{se} & x \geq -\frac{3}{2} \\ -2x-3 & \mbox{se} & x < -\frac{3}{2}. \end{array} \right.$$

Agora vamos complicar um pouquinho as coisas. Vamos fazer dois exemplos com expressões com mais de um módulo.

Expressões com mais de um módulo

Exemplos:

3. Considere a expressão $|x+1| + |x-2|$. Primeiramente, reescreva, sem utilizar o módulo, os dois termos da soma, assim como fizemos nos exemplos anteriores. Desse modo, temos

$$|x+1| = \left\{ \begin{array}{rcc} x+1, & \mbox{se} & x \geq -1 \\ -x-1 & \mbox{se} & x < -1 \end{array} \right.$$

e

$$|x-2| = \left\{ \begin{array}{rcc} x-2, & \mbox{se} & x \geq 2 \\ -x+2 & \mbox{se} & x < 2 \end{array} \right.$$

Note que, aos reescrevermos a expressão $|x-1|$, ela ficou dividida em duas partes pelo $-1$ e a expressão $|x-2|$ ficou dividida em duas partes pelo $2$. Desse modo, para reescrevermos a soma $|x+1|+|x-2|$ sem os módulos, devemos considerar três possibilidades para o valor de $x$, a saber, $x < -1$, $-1 \leq x < 2$ e $x \geq 2$ e analisar o que acontece com a soma dos módulos em cada um desses casos. Devemos fazer isso pois alguma das expressões dentro dos módulos sempre mudará de sinal quando mudamos o intervalo onde $x$ está. Assim, temos:

• Para $x < -1$:

Nesse caso temos $|x+1| = -x-1$ e, como, $x < -1 < 2$, também temos $|x-2| = -x+2$. Logo, para $x < -1$, segue que

$$|x+1|+|x-2| = -x-1 + (-x+2) = -2x+1$$

• Para $-1 \leq x < 2$:

Nesse caso, temos $|x+1| = x+1$ e $|x-2| = -x+2$. Logo, para $-1 \leq x < 2$, segue que

$$|x+1|+|x-2| = x+1 + (-x+2) = 3$$

• Para $x \geq 2$:

Nesse caso,  como $x \geq 2 \geq -1$ temos $|x+1| = x+1$ e $|x-2| = x-2$. Logo, para $x \geq 2$, segue que

$$|x+1|+|x-2| = x+1 + x-2 = 2x-1.$$

Reescrevendo os cálculos acima em uma expressão só, temos:

$$|x+1|+|x-2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -2x+1, & \mbox{se} & x < -1 \\ 3 & \mbox{se} & -1 \leq x < 2 \\ 2x-1 & \mbox{se} & x \geq 2 \end{array} \right.$$

Portanto, a expressão $|x+1|+|x-2|$ pode ser reescrita sem o módulo em três partes.

Vamos fazer mais um exemplo parecido com o anterior. 

4. Considere a expressão $|2x-1|-3|x+4|$. Reescrevendo os módulos que aparecem nessa expressão, temos 

$$|2x-1| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x-1, & \mbox{se} & x \geq \frac{1}{2} \\ -2x+1 & \mbox{se} & x < \frac{1}{2} \end{array} \right.$$

e

$$|x+4| = \left\{ \begin{array}{rcc} x+4, & \mbox{se} & x \geq -4 \\ -x-4 & \mbox{se} & x < -4 \end{array} \right.$$

Como o primeiro módulo foi dividido em duas partes em $\displaystyle\frac{1}{2}$ e o segundo em $-4$, para reescrever a expressão $|2x-1|-3|x+4|$ vamos considerar os casos $x < -4$, $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$ e $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$. Desse modo,

• Para $x < -4$:

Como $x < -4 < \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que  $|2x-1| = -2x+1$. Também temos $|x+4| = -x-4$. Logo, para $x < -4$, segue que

$$|2x-1|-3|x+4| = -2x+1 - 3(-x-4) = -2x+1 + 3x + 12 = x+13$$

• $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$:

Nesse caso, temos $|2x-1| = -2x+1$ e $|x+4| = x+4$. Logo, para $-4 \leq x < \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que

$$|2x-1|-3|x+4| = -2x+1 - 3(x+4) = -2x+1 - 3x - 12 = -5x-11$$

• Para $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$:

Nesse caso, temos $|2x-1| = 2x-1$ e, como $x \geq \displaystyle\frac{1}{2} > -4$, segue que $|x+4| = x+4$. Logo, para $x \geq \displaystyle\frac{1}{2}$, segue que

$$|2x-1|-3|x+4| = 2x-1 - 3(x+4) = 2x-1 - 3x - 12 = -x-13$$

Reescrevendo os cálculos acima em uma expressão só, temos:

$$|2x-1|-3|x+4| = \left\{ \begin{array}{ccc} x+13, & \mbox{se} & x < -4 \\ -5x-11 & \mbox{se} & -4 \leq x < \frac{1}{2} \\ -x-13 & \mbox{se} & x \geq \frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Observação: Se você precisar reescrever uma expressão que é formada por somas ou subtrações de mais de 2 módulos, você pode usar o mesmo raciocínio. Mas lembre-se, quanto mais termos com módulo houver na expressão, em um maior número de partes ela será dividida. Por exemplo, uma expressão com três módulo será divida em quatro partes, uma com 4 módulos será dividida em 5 partes e assim por diante.

Vamos passar para um outro caso. Vamos abordar expressões com módulos e sem módulos. 

Expressões com módulos e sem módulos

Exemplos:

5. Considere a expressão $|3-2x| + x-2$. O termo da expressão que possui um módulo precisa ser reescrito sem o módulo, enquanto os outros que não possuem módulo, podem simplesmente serem mantidos como estão. Reescrevendo $|3-2x|$ temos

$$|3-2x| = \left\{ \begin{array}{rcc} 3-2x, & \mbox{se} & x \leq \frac{3}{2} \\ 2x-3 & \mbox{se} & x > \frac{3}{2} \end{array} \right.$$  

Desse modo, temos:

• Para $x \leq \displaystyle\frac{3}{2}$:

Como $x \leq \displaystyle\frac{3}{2}$, temos que $|3-2x| = 3-2x$. Assim,

$$|3-2x|+x-2 = 3-2x+x-2 = -x+1.$$

• Para $x > \displaystyle\frac{3}{2}$:

Como $x > \displaystyle\frac{3}{2}$, temos que $|3-2x| = 2x-3$. Assim,

$$|3-2x|+x-2 = 2x-3+x-2 = 3x-5.$$

Juntando os cálculos acima em uma expressão só, temos:

$$|3-2x|+x-2 = \left\{ \begin{array}{rcc} -x+1, & \mbox{se} & x \leq \frac{3}{2} \\ 3x-5 & \mbox{se} & x > \frac{3}{2} \end{array} \right.$$

Vamos fazer mais um exemplo.

6. Considere a expressão $2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5$. Vamos reescrever os módulos dessa expressão e vamos manter os termos que não possuem módulo.Temos

$$|1-x| = \left\{ \begin{array}{rcc} 1-x, & \mbox{se} & x \leq 1 \\ x-1 & \mbox{se} & x > 1 \end{array} \right.$$

e

$$|2x+1| = \left\{ \begin{array}{rcc} 2x+1, & \mbox{se} & x \geq -\frac{1}{2} \\ -2x-1 & \mbox{se} & x < -\frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Temos que escrever a soma $2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5$ considerando os casos $x < -\displaystyle\frac{1}{2}$, $-\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ e $ x > 1$.

• Para $x < -\displaystyle\frac{1}{2}$, temos 

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(1-x) + (-2x-1) -4x -5 = 2-2x-2x-1-4x-5=-8x-4$$

• Para $-\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1$, temos 

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(1-x) + 2x+1 -4x -5 = 2-2x+2x+1-4x-5=-4x-2$$

• Para $x >1$, temos 

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = 2(x-1) + 2x+1 -4x -5 = 2x-2+2x+1-4x-5=-6$$

Reunindo todas as informações acima numa expressão só, temos

$$2|1-x| + |2x+1| - 4x - 5 = \left\{ \begin{array}{rcc} -8x-4, & \mbox{se} & x < -\frac{1}{2} \\ -4x-2 & \mbox{se} & -\displaystyle\frac{1}{2} \leq x \leq 1 \\ -6 & \mbox{se} & x >1 \end{array} \right.$$

Exemplos em vídeo:

Agora sabemos reescrever expressões com módulos sem utilizar módulos. A partir da próxima postagem, vamos voltar com as inequações.

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Inequações #7: Inequações modulares com polinômios de grau maior que 1

Na postagem anterior, aprendemos como resolver inequações que possuem um módulo com um polinômio de grau  1 dentro dele. Esse é o primeiro passo no mundo das inequações modulares. Agora,  nessa postagem, vamos dar mais um passo no estudo das inequações modulares, vamos aprender como resolver inequações modulares que possuem um polinômio com grau maior que 1 dentro do módulo. A ideia por trás da resolução dessas inequações é a mesma usada na resolução daquelas que possuem um polinômio de grau 1 dentro do módulo, mas, quando o grau do polinômio é maior que 1, o processo de resolução é mais trabalhoso e, por isso, vamos precisar recorrer à análise de sinal de polinômios. Além da análise de sinal de polinômios, vamos precisar da união e da interseção de intervalos de números reais. Caso você não se lembre desses assuntos, estude essas postagens. Se você já domina esses assuntos, siga comigo adiante. Vamos lá!

Inequações modulares com polinômios de grau maior que 1

Primeiramente, vamos deixar claro quais os tipos de inequações que vamos aprender a resolver nessa postagem. Seja $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x+ a_0$ um polinômio qualquer com $n \in \mathbb{N}$, $a_i \in \mathbb{R}$ para todo $i = 1,2, \dots, n$ e $a_n \neq 0$. Qualquer inequação em uma das seguintes formas:

$$|p(x)| < c, \; |p(x)| \leq c, \; |p(x)| > c \mbox{ ou } |p(x)| \geq c$$

onde $c \in \mathbb{R}$ e $c \geq 0$ é uma inequação modular com polinômio. Na postagem anterior, já abordamos o caso em que $n = 1$, por isso, nessa postagem vamos considerar polinômios com $n \geq 2$, ou seja, vamos considerar as inequações modulares com polinômios de grau maior que $1$.

Para ficar mais claro, vejamos alguns exemplos dessas inequações.

Exemplos:

1. $|x^2+2x-1| < 1$

2. $|2x^3-x+5| \leq 4$

3. $|-x^5+1| > 2$

4. $|x^4+x^2+1| \geq 1$

Nem sempre as inequações modulares com polinômios de grau maior que 1 aparecem na forma dos exemplos acima. Elas podem aparecer com números multiplicando ou dividindo o módulo e também com números sendo somados ou subtraídos aos lados esquerdo e direito do símbolo de desigualdade. Vejamos alguns exemplos dessas situações.

5. $4|x^2-1| < 1$

6. $\displaystyle\frac{3}{2} - |x^3+2x+1| < 1$

7. $\displaystyle\frac{|x^2-x+1|}{3} \geq 2 $

As inequações dos exemlos 5 a 7 podem ser facilmente reescritas para que fiquem na forma das que estão nos exemplos de 1 a 4. Vejamos como fazer isso.

Exemplo 5:

\begin{eqnarray} 4|x^2-1| &<& 1 \\ |x^2-1| &<& \frac{1}{4} \end{eqnarray}

Exemplo 6:

\begin{eqnarray} \frac{3}{2} - |x^3+2x+1| &<& 1 \\ - |x^3+2x+1| &<& 1 - \frac{3}{2} \\ - |x^3+2x+1| &<& - \frac{1}{2} \\ |x^3+2x+1| &>&  \frac{1}{2} \end{eqnarray}

Exemplo 7:

\begin{eqnarray} \frac{|x^2-x+1|}{3} &\geq& 2  \\ |x^2-x+1| &\geq& 2 \cdot 3 \\ |x^2-x+1| &\geq& 6 \\ \end{eqnarray}

Como resolver inequações modulares com polinômios de grau maior que 1

Para resolver essas inequações, também vamos precisar da interpretação geométrica do módulo. Isso foi abordado na postagem anterior e também pode ser visto com mais detalhes na postagem sobre módulo (valor absoluto). Vamos aprender como resolver as inequações modulares com polinômios de grau maior que 1 por meio de exemplos. Para a postagem não ficar muito longa, resolveremos dois exemplos cujas ideias podem ser usadas para resolver qualquer outra inequação do mesmo tipo. Esses exemplos estarão na forma das inequações dos exemplos de 1 a 4, pois caso estejam nas formas dos exemplos de 5 a 7, como vimos, elas podem ser facilmente escritas em uma das formas que estão nos exemplos de 1 a 4. Então, vamos aos exemplos:

Exemplos:

8. Determine o conjunto solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$.

Solução: Primeiramente, observe que nessa inequação temos o símbolo de menor ou igual ($\leq$). Desse modo, o conjunto solução $S$ dessa inequação será a interseção do conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \leq 1$, ao qual chamaremos de $S_1$, e o conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \geq -1$, ao qual chamaremos de $S_2$. Temos então duas inequação polinomiais para resolver. Vamos lá!

Resolvendo a inequação $x^2-x-1 \leq 1$:

Podemos pensar em em algumas formas de resolver inequação polinomais, umas mais simples e outras mais complicadas, mas para resolver essa inequação e também as outras que virão, vou usar a análise de sinal de polinômios. Essa pode até não ser a forma mais simples de resolver uma inequação polinomial, mas com certeza é muito eficiente e pode ser aplicada a inequações polinomais de qualquer grau. Para usar esse método, vamos reescrever a inequação de modo a deixar o lado direito do símbolo de desigualdade somente com o $0$. Temos,

\begin{eqnarray} x^2-x-1 &\leq& 1 \\ x^2-x-1-1 &\leq& 0 \\ x^2 - x - 2 &\leq& 0 \end{eqnarray}

Resolver a inequação $x^2-x-1 \leq 1$ é o mesmo que resolver a inequação $x^2 - x - 2 \leq 0$, por isso, vamos usar a análise de sinal na segunda inequação.  Vamos começar fatorando o polinômio $x^2 - x - 2$. Usando Soma e Produto, as raízes desse polinômio são $2$ e $-1$ e, desse modo, temos

$$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).$$

Vamos analisar o sinal de cada fator presente na decomposição acima. Para $x-2$, temos

\begin{eqnarray} x-2 &<& 0 \\ x &<& 2, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-2 &>& 0 \\ x &>& 2 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-2 &=& 0 \\ x &=& 2. \end{eqnarray}

Para $x+1$, temos,

\begin{eqnarray} x+1 &<& 0 \\ x &<& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 &>& 0 \\ x &>& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 &=& 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^2 - x - 2$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \leq 1$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^2 - x - 2 \leq 0$) é o conjunto $S_1 = [-1,2]$.

Resolvendo a inequação $x^2-x-1 \geq -1$:

Vamos resolver essa inequação também usando a análise de sinal de polinômios. Reescrevendo essa inequação, temos:

\begin{eqnarray} x^2-x-1 &\geq& -1 \\ x^2-x-1 + 1 &\geq& 0 \\ x^2-x &\geq& 0 \end{eqnarray}

Assim, resolver a inequação $x^2-x-1 \geq -1$ é o mesmo que resolver a inequação $x^2-x \geq 0$. O polinômio $x^2-x$ pode ser fatorado como segue:

$$x^2-x = x(x-1)$$.

Vamos analisar o sinal de cada fator presente na fatoração acima. Para $x$, temos que $x$ será positivo quando $x>0$, será negativo quando $x<0$ e será zero quando $x=0$.

Para $x-1$, temos,

\begin{eqnarray} x-1 &<& 0 \\ x &<& 1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 &>& 0 \\ x &>& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 &=& 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^2 - x$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^2-x-1\geq -1$ (lembre-se, resovemos essa inequação na forma $x^2 - x \geq 0$) é o conjunto $S_2 = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

Ainda não terminamos, mas falta pouco. A solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$ é a interseção de $S_1$ com $S_2$. Fazendo isso por meio do seguinte diagrama, temos:

Portanto, o conjunto solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$ é $S = [-1,0] \cup [1,2]$. 

9. Resolva a inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$.

Solução: Note que, nessa inequação temos o símbolo de maior ($>$). Assim, o conjunto solução $S$ dessa inequação será a união do conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$, ao qual chamaremos de $S_1$, e o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$, ao qual chamaremos de $S_2$. Vamos ao trabalho, pois temos duas inequações com polinômios de grau de $3$ para resolver. 

Resolvendo a inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$:

Como havia dito antes, vamos usar a análise de sinal de polinômios para resolver essa inequação. Reescrevendo essa inequação de modo a deixar o lado direito do símbolo de desigualdade somente com o $0$, temos,

\begin{eqnarray} x^3-x^2+x+1 &>& 2 \\ x^3-x^2+x+1 -2 &>& 0 \\ x^3-x^2+x-1 &>& 0 \end{eqnarray}

Resolver a inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$ é o mesmo que resolver a inequação $x^3-x^2+x-1 > 0$. Vamos começar fatorando o polinômio $x^3-x^2+x-1$. Observe que $1$ é uma raiz desse polinômio, pois $1^3-1^2+1-1 = 0$. Logo, o polinômio $x^3-x^2+x-1$ é divisível pelo polinômio $x-1$. Fazendo essa divisão, temos:

Assim, obtemos

$$x^3-x^2+x-1 = (x-1)(x^2+1)$$

A fatoração obtida acima está completa, pois o polinômio $x^2+1$ é irredutível, isto é, não pode ser mais fatorado, visto que ele possui $\Delta = -4 < 0$. Além disso, como $a=1$ nesse polinômio, ele é sempre positivo para qualquer valor de $x$. Logo, a análise de sinal desse fator já está feita. Agora, para o fator $x-1$, temos 

\begin{eqnarray} x-1 &<& 0 \\ x &<& 1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 &>& 0 \\ x &>& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 &=& 0 \\ x &=& 1, \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^3-x^2+x-1$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^3-x^2+x-1 > 0$) é o conjunto $S_1 = (1, +\infty)$.

Resolvendo a inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$:

Reescrevendo essa inequação, temos:

\begin{eqnarray} x^3-x^2+x+1 &<& -2 \\ x^3-x^2+x+1 + 2 &<& 0 \\ x^3-x^2+x+3 &<& 0 \end{eqnarray}

Assim, resolver a inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$ é o mesmo que resolver a inequação $x^3-x^2+x+3 < 0$. Observe que $-1$ é raiz do polinômio $x^3-x^2+x+3$, pois $(-1)^3 - (-1)^2+(-1)+3 = -1 -1 -1 +3 = 0$. Desse modo, o polinômio $x^3-x^2+x+3$ é divisível por $x+1$. Fazendo essa divisão, obtemos

Logo, 

$$x^3-x^2+x+3 = (x+1)(x^2-2x+3).$$

O fator $x^2-2x+3$ acima é irredutível, pois ele possui  $\Delta = -8 < 0$. Além disso, ele possui $a = 1 > 0$, o que faz com esse polinômio seja positivo para qualquer $x$. Logo, a fatoração do polinômio $x^3-x^2+x+3$ está completa e análise de sinal de $x^2-2x+3$ está feita. Para o fator $x+1$, temos

\begin{eqnarray} x+1 &<& 0 \\ x &<& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 &>& 0 \\ x &>& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 &=& 0 \\ x &=& -1, \end{eqnarray}

Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^3-x^2+x+3$, temos

Portanto, o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^3-x^2+x+3 < 0$) é o conjunto $S_2 = (-\infty, -1)$.

Estamos quase acabando! A solução da inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$ é a união de $S_1$ com $S_2$. Fazendo isso por meio do seguinte diagrama, temos:

Portanto, o conjunto solução da inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$ é $S = (-\infty,-1) \cup (1,+\infty)$. 

Exemplos em vídeo:

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Inequações #5: Inequações racionais

Nas postagens anteriores (acesse-as aqui) focamos em resolver inequações polinomiais. Agora, vamos seguir nosso estudo sobre inequações passando para as inequações racionais. Se você não viu as duas postagens anteriores, sugiro que as estude, pois vamos precisar bastante delas. Para resolver as inequações racionais vamos precisar analisar sinais de polinômios e também resolver inequações polinomiais. Nessa postagem vamos aprender o que é uma inequação racional, como resolver uma inequação racional e também todos os detalhes nos quais precisamos estar atentos na hora fazer a resolução. Então, vamos lá!

Inequações racionais

Primeiramente, vamos definir o que é uma equação racional.

Definição: Sejam $p(x)$ e $q(x)$ dois polinômios (sobre $\mathbb{R}$). Qualquer inequação que pode ser escrita em uma das formas

$$\frac{p(x)}{q(x)} < 0, \; \frac{p(x)}{q(x)} \leq 0, \; \frac{p(x)}{q(x)} > 0 \mbox{ ou } \frac{p(x)}{q(x)} \geq 0$$

é chamada inequação racional.

De uma forma mais informal, uma inequação racional é qualquer inequação que pode ser escrita como um quociente de dois polinômios, um símbolo de desigualdade e o zero. Vejamos alguns exemplos:

Exemplos:

1. $\displaystyle\frac{x}{x+1} < 0$

2. $\displaystyle\frac{x^2-x-1}{2x+\sqrt{3}} \leq 0$

3. $\displaystyle\frac{x-1}{3x^2+\frac{x}{3}-4} > 0$

4. $\displaystyle\frac{x^4-2x+3}{-x^4+4x^3} \geq 0$

Uma inequação polinomial pode ser vista como um caso particular de equações racionais. Uma equação polinomial é uma equação racional onde o polinômio que está na parte de baixo do quociente é igual a $1$.

Nem sempre uma inequação racional aparece um uma das formas que estão na definição, ou seja, em uma das formas que estão nos quatro exemplos anteriores. Se uma inequação é formada por termos que são polinômios e/ou quocientes de polinômios, então ela é uma inequação racional. Vejamos alguns exemplos desses casos.

5. A inequação $\displaystyle\frac{x}{x^2-1} < 1$ pode ser escrita um uma das formas que estão na definição de inequação racional. De fato,

\begin{eqnarray} \frac{x}{x^2-1} &<& 1 \\   \frac{x}{x^2-1} - 1 &<& 0 \\ \frac{x - (x^2-1)}{x^2-1} &<& 0 \\ \frac{x - x^2+1}{x^2-1} &<& 0 \\ \frac{-x^2 +x+1}{x^2-1} &<& 0  \end{eqnarray}

A inequação $\displaystyle\frac{x}{x^2-1} < 1$ é uma inequação racional.

6. A inequação $\displaystyle\frac{x+1}{x+3} + x \geq 2$ é uma inequação racional. De fato,

\begin{eqnarray} \frac{x+1}{x+3} + x &\geq& 2 \\   \frac{x+1}{x+3} + x - 2 &\geq& 0 \\ \frac{x+1 + (x+3)(x-2)}{x+3} &\geq& 0 \\ \frac{x+1 + x^2-2x+3x-6}{x+3} &\geq& 0 \\ \frac{x^2+2x-5}{x+3} &\geq& 0.  \end{eqnarray}

7. A inequação $\displaystyle\frac{x^2}{x+2} + \displaystyle\frac{3}{x}  \leq 0$ é uma inequação racional. De fato,

\begin{eqnarray} \frac{x^2}{x+2} + \frac{3}{x}  &\leq& 0 \\   \frac{x \cdot x^2 + 3(x+2)}{(x+2)x} &\leq& 0 \\ \frac{x^3 + 3x+6}{x^2+2x} &\leq& 0.  \end{eqnarray}

8. A inequação $\displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{x}{x+1}  > \displaystyle\frac{x^2}{2x+1}$ é uma inequação racional. De fato,

\begin{eqnarray} \frac{1}{x} - \frac{x}{x+1}  &>& \frac{x^2}{2x+1} \\   \frac{x+1 - x \cdot x}{x(x+1)}  &>& \frac{x^2}{2x+1} \\  \frac{-x^2 + x +1}{x^2+x} - \frac{x^2}{2x+1} &>& 0  \\ \frac{(2x+1)(-x^2 + x +1) - x^2(x^2+x)}{(x^2+x)(2x+1)} &>& 0 \\ \frac{-2x^3+2x^2+2x-x^2+x+1-x^4-x^3}{x^3+x^2+2x^2+x} &>& 0 \\  \frac{-x^4-3x^3+x^2+3x+1}{x^3+3x^2+x} &>& 0 \end{eqnarray}

Se você teve alguma dificuldade em entender as contas que foram feitas nos exemplos acima, veja a postagem sobre soma, subtração, produto e divisão de quocientes com expressões algébricas.

Logo, embora as inequações dos exemplos 5 a 8, a princípio, não estejam de acordo com a definição de inequação racional, elas podem ser escritas de acordo com a definição e, portanto, são inequações racionais.

Agora que já sabemos identificar as inequações racionais, vamos aprender a resolvê-as.

Como resolver uma inequação racional

Acredito que a melhor forma de aprender a resolver inequações racionais é por meio de exemplos, mas como podemos fazer uma infinidade de exemplos diferentes, vamos separar os exemplos em casos e destacar as ideias que serão usadas em cada caso. Assim, com alguns exemplos podemos aprender estratégias para resolver inequações racionais e replicar essas estratégias para resolver todas as inequações racionais.

Antes de passarmos para os exemplos, o seguinte raciocício estará presente em todos os exemplos:

Sejam $a, b \in \mathbb{R}$ com $b \neq 0$. O quociente $\displaystyle\frac{a}{b}$ será igual a zero quando $a = 0$, será positivo quando $a > 0$ e $b > 0$ ou $a < 0$ e $b < 0$  e será negativo quando $a > 0$ e $b < 0$ ou $a < 0$ e $b > 0$. Isto é, para saber o sinal de $\displaystyle\frac{a}{b}$, basta fazer o jogo de sinais com $a$ e $b$. 

Vamos aos exemplos.

Exemplos:

Caso 1: Inequação racional em um dos formatos da definição onde os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ possuem grau $1$.

9. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1} < 0$.

Solulção: Conforme o raciocínio exposto antes de começarmos esses exemplos, para resolver esse exemplo, basta analisarmos os sinais dos polinômios $x+1$ e $2x-1$ e, por meio de um diagrama (que faremos a seguir), determinarmos o sinal da divisão $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1}$ usando jogo de sinais.  Lembre-se que o valor de $x$ que anula o polinômio que está em baixo no quociente não pode estar na solução, pois não existe divisão por zero. Desse modo, para $x+1$, temos

 \begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Para o fator $2x-1$, temos

\begin{eqnarray} 2x-1 & > & 0 \\ 2x &>& 1 \\ x &>& \frac{1}{2}  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} 2x-1 & < & 0 \\ 2x &<& 1 \\ x &<& \frac{1}{2} \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} 2x-1 & = & 0 \\ 2x &=& 1 \\ x &=& \frac{1}{2}. \end{eqnarray}

Com essas informações, podemos construir o seguinte diagrama de análise de sinal

Observe que, em baixo do número $\displaystyle\frac{1}{2}$ não marcamos o número $0$ no segmento que está em frente ao quociente  $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1}$, mas sim um $\times$. Fizemos isso para deixar claro que ele não pode fazer parte da solução da inequação, pois ele anula $2x-1$ e não se pode fazer divisão por zero. Portanto, solução da inequação é $S = \left(-1, \displaystyle\frac{1}{2}\right)$ ou, de outra forma, $S = \left\{x \in \mathbb{R}: -1 < x < \displaystyle\frac{1}{2}\right\}$. Observe também que $-1 \notin S$, pois nele o quociente $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1}$ é igual $0$, mas queremos os valores de $x$ para os quais $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1} < 0$.

Caso 2: Inequação racional em um dos formatos da definição onde pelo menos um dos polinômios $p(x)$ e $q(x)$ possui grau maior  que  $1$.

10. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x+3} \geq 0$.

Solulção: Nesse exemplo, o polinômio que está em cima no quociente possui grau igual a $2$, isso significa que ele pode ser fatorado. Todas as vezes que você se deparar com uma inequação racional em uma das formas da definição onde pelos menos um dos polinômios possui grau maior que $1$, tais polinômios precisam ser fatorados. Vamos fazer isso para a inequação do enunciado. Usando soma e produto, as raízes do polinômio $x^2-x-2$ são $-1$ e $2$. Desse modo, segue que, 

$$x^2-x-2 = (x+1)(x-2).$$

Assim, podemos reescrever a inequção $\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x+3} \geq 0$ na forma:

$$\displaystyle\frac{(x+1)(x-2)}{x+3} \geq 0$$

Tendo feito esse passo, vamos analisar o sinal de cada fator presente na inequação. Para o fator $x+1$ temos

\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Para o fator $x-2$. Temos

\begin{eqnarray} x-2 & > & 0 \\ x &>& 2  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-2 & < & 0 \\ x &<& 2 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-2 & = & 0 \\ x &=& 2. \end{eqnarray}

Para o fator $x+3$. Temos

\begin{eqnarray} x+3 & > & 0 \\ x &>& -3  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+3 & < & 0 \\ x &<& -3 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+3 & = & 0 \\ x &=& -3. \end{eqnarray}

Com essas informações, podemos construir seguinte  diagrama da análise de sinal;

De acordo com o diagrama da análise de sinal, temos que a solução da inequação $\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x+3} \geq 0$ é igual a $S = (-3,-1] \cup [2, +\infty)$ ou, de outra forma, $S =\{x \in \mathbb{R}: -3 < x \leq -1 \mbox{ ou } x \geq 2\}$. Observe que $-3 \notin S$ pois ele anula o polinômios que está em baixo no quociente.

Caso 3: Inequação racional que não está em um dos formatos da definição.

11. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{2x+5}{x+3} \leq 1$.

Solução: Quando vemos uma inequação nesse formato, dá uma vontade muito grande de multiplicar cruzado ou, especificamente nesse caso, passar o $x+3$ multiplicando para o outro lado. Mas, você não pode fazer simplesmente isso, pois o sinal da expressão $x+3$ muda de acordo com o valor de $x$. Passar o $x+3$ multiplicando o outro lado é a mesma coisa que multiplicarmos os dois lados da inequação por $x+3$ e, sabemos que, quando mutliplicamos uma inequação por um número negativo, o símbolo de desigualdade deve ser invertido. Assim, ante de fazer essa multiplicação, o sinal de $x+3$ deve ser analisado. Esse é um caminho que pode ser usado para resolver a inequação, mas acredito que ele é mais trabalhoso. Por esse motivo, vamos usar outra estratégia, vamos reescrever a inequação em uma das formas da definição de inequação racional e depois usar uma das estratégias que aprendemos nos dois casos anteriores. Desse modo, temos

\begin{eqnarray} \frac{2x+5}{x+3} &\leq& 1 \\ \frac{2x+5}{x+3} -1 &\leq& 0 \\ \frac{2x+5-(x+3)}{x+3} &\leq& 0 \\ \frac{2x+5-x-3}{x+3} &\leq& 0 \\ \frac{x+2}{x+3} &\leq& 0\end{eqnarray}

Logo, reescrevendo a inequação $\displaystyle\frac{2x+5}{x+3} \leq 1$ na forma $\displaystyle\frac{x+2}{x+3} \leq 0$, caímos no caso 1 e esse caso já aprendemos como resolver. Vamos analisar o sinal de cada fator presenta na inequação. Para o fator $x+2$ temos

\begin{eqnarray} x+2 & > & 0 \\ x &>& -2, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+2 & < & 0 \\ x &<& -2 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+2 & = & 0 \\ x &=& -2. \end{eqnarray}

Para o fator $x-2$. Temos

\begin{eqnarray} x+3 & > & 0 \\ x &>& -3  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+3 & < & 0 \\ x &<& -3 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+3 & = & 0 \\ x &=& -3. \end{eqnarray}

Colocando essa informações no diagrama, temos

De acordo com o diagrama, a solução da inequação é $S = (-3,-2]$ ou, de outra forma, $S = \{x \in \mathbb{R}: -3 < x \leq -2\}$.

12. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{2x^2}{x^2-1} - 2 \leq \displaystyle\frac{1}{x^2}$.

Solução: Assim como no exemplo anterior, vamos escrever essa inequação em um dos formatos da definição de inequação racional. Temos

\begin{eqnarray} \frac{2x^2}{x^2-1} - 2 &\leq& \displaystyle\frac{1}{x^2} \\ \frac{2x^2-2(x^2-1)}{x^2-1} &\leq& \displaystyle\frac{1}{x^2} \\ \frac{2x^2-2x^2+2)}{x^2-1} - \displaystyle\frac{1}{x^2} &\leq& 0 \\  \frac{2}{x^2-1} - \displaystyle\frac{1}{x^2} &\leq& 0 \\ \frac{2x^2 - (x^2-1)}{(x^2-1)x^2} &\leq& 0 \\ \frac{2x^2 - x^2+1}{(x^2-1)x^2} &\leq& 0 \\ \frac{x^2 +1}{(x^2-1)x^2} &\leq& 0 \end{eqnarray}

Logo, a inequação $\displaystyle\frac{2x^2}{x^2-1} - 2 \leq \displaystyle\frac{1}{x^2}$ pode ser rescrita na forma $\displaystyle\frac{x^2 +1}{(x^2-1)x^2} \leq 0$, isto é, caímos no caso 2.. Agora, vamos fatorar os polinômios que aparecem nessa inequação. Temos que $x^2+1$ é irredutível (não pode ser fatorado), pois para ele temos $\Delta = 0$. Além disso, nele temos $a=1 > 0$, logo $x^2 + 1$ é sempre positivo. O polinômio $x^2-1$ é uma diferença de quadrados, logo 

$$x^2-1 = (x+1)(x-1).$$

O polinômio $x^2$ aparece como um fator na inequação, mas vamos deixá-lo dessa forma, pois a análise de sinal dele é bem simples, para qualquer $x \neq 0$ temos $x^2 > 0$ e $x^2 = 0$ somente para $x = 0$. Assim, podemos reescrever a inequação $\displaystyle\frac{2x^2}{x^2-1} - 2 \leq \displaystyle\frac{1}{x^2}$ na forma

\begin{eqnarray} \frac{x^2 +1}{(x+1)(x-1)x^2} &\leq& 0 \end{eqnarray}

Vamos analisar o sinal de cada fator presente na inequação. Note que já sabemos os sinais de $x^2+1$ e de $x^2$. Agora, para o fator $x+1$ temos

\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Para o fator $x-1$. Temos

\begin{eqnarray} x-1 & > & 0 \\ x &>& 1  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 & < & 0 \\ x &<& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 & = & 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}

Colocando essas informação no diagrama, temos:

Portanto, de acordo com o diagrama, a solução da inequação é $S = (-1, 0) \cup (0, 1)$ ou, de outra forma, $S = \{x \in \mathbb{R}: -1 < x < 1 \mbox{ e } x \neq 0\}$. Observe que $-1, 1, 0 \notin S$ pois anulam o polinômio que está em baixo na inequação.

Observação: Nos exemplos acima reescrevemos cada inequação de uma outra forma para resolvê-las. Isso pode ser feito sempre, mas devemos tomar alguns cuidados. Caso exista um ou mais fatores em comum nos polinômios que estão em cima e em baixo na inequação, como no exemplo a seguir

$$\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1} > 0,$$

podemos simplificar o $x-1$ e reescrevermos a inequação na forma $2x+1 > 0$ para rresolver. Mas, não podemos nos esquecer que na inequação original havia $x-1$ na parte de baixo, isto é, o número $1$ não pode estar no conjunto solução da inequação, pois do contrário, vamos ter uma divisão por $0$. Então, lembre-se, você sempre pode simplificar termos comuns que aparecem na parte de cima e de baixo de um termo de uma inequação racional, mas não se esqueça de retirar da solução o(s) numero(s) que anulam esses termos. 

Exemplo em vídeo:

Com as ideias que foram apresentadas aqui, você vai conseguir resolver muitas inequações racionais.

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Inequações #4: Inequações polinomiais

Na postagem anterior aprendemos o que é uma inequação polinomial e também apredemos como analisar o sinal de um polinômio (saber analisar o sinal de um polinômio é muito importante). Embora tenhamos aprendido o que é uma inequação polinomial, na postagem anterior nós não resolvemos nenhuma inequação polinomial, fizemos somente análises de sinais de algum polinômios. Por esse motivo, nessa postagem vamos focar na resolução de inequações polinomiais por meio da aplicação da análise de sinal de polinômios. Vamos lá!

Inequações polinomiais

Antes de qualquer coisa, vamos lembrar o que é uma inequação polinomial.

Definição: Qualquer inequação que possa ser escrita em uma das formas

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 > 0,$$

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \geq 0,$$

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 < 0$$

ou

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \leq 0.$$

com $n \geq 0$ inteiro e $a_i \in \mathbb{R}$ para $i=1,2 \dots, a_n$ é chamada inequação polinomial.

Vejamos alguns exemplos de inequações polinomiais.

Exemplos:

1. $x^2-1 >0$

2. $x^3-4x-2 < 0$

3. $x^5-3x^2+x+1 \leq 0$

4. $3x-\sqrt{5} \geq 0$

Em alguma situações, as inequações polinomais podem aparecer na seguinte forma

5. $x^2-4x+1 < 3x-2$

6. $2x^2+4x-1>6x$

7. $3x^3 +\displaystyle\frac{3}{4}x^2 \leq \sqrt{3}x +1$

8. $x^5-1 \geq x^4+x^2+1$

Embora as inequações dos exemplos 5 ao 8 não estejam em um dos formatos das inequações que estão na definição de inequação polinomial, elas podem facilmente serem escritas em uma das formas que estão na definição, basta passar tudo o que está ao lado direito do símbolo de desigualdade para o lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Em geral, qualquer inequação na forma $p(x) < q(x)$, $p(x) \leq q(x)$, $p(x) > q(x)$ ou $p(x) \geq q(x)$, onde $p(x)$ e $q(x)$ são polinômios, é uma inequação polinomial.

Agora que relembramos e sabemos identificar inequações polinomiais, vamos, por meio de exemplos, aprender como aplicar a análise de sinal na resolução de inequações polinomiais.

Exemplos:

9. Determine a solução da inequação polinomial $x^2-2x-3 > 0$.

Solução: Para aplicar a análise de sinal de polinômios na resolução de uma inequação polinomial, é necessário, primeiramente, escrever a inequação polinomial em um dos formatos que está na definição, ou seja, ela tem que estar na forma "polinômio, símbolo de desigualdade e o zero". Nesse exemplo, a inequação já está em um dos formatos da definição, então vamos prosseguir aplicando a análise de sinal de polinômios. Utilizando Soma e Produto, temos que as raízes do polinômio $x^2-2x-3$ são $-1$ e $3$. Como esse polinômio é mônico (o termo dominante é igual a $1$), segue que o polinômio $x^2-2x-3$ pode ser fatorado como segue

$$x^2-2x-3 = (x+1)(x-3).$$

Lembre-se que o primeiro passo da análise de sinal de polinômios é fatorar o polinômio de forma completa. Agora que temos o polinômio fatorado, vamos analisar o sinal de cada fator que aparece na fatoração do polinômio. Para o fator $x+1$. Temos

\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Para o fator $x-3$. Temos

\begin{eqnarray} x-3 & > & 0 \\ x &>& 3, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-3 & < & 0 \\ x &<& 3 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-3 & = & 0 \\ x &=& 3. \end{eqnarray}

Construindo o diagrama da análise de sinal, temos:

A inequação que queremos resolver é $x^2-2x-3 > 0$, isto é, estamos procurando os valores de $x$ tais que o polinômio $x^2-2x-3$ é maior que zero. Segundo a análise sinal que fizemos, isso ocorre para valores de $x$ menores que $-1$ e maiores que $3$ (observe que no $-1$ e no $3$ o polinômio é igual a zero e, por isso, esses valores não satisfazem a inequação). Logo, o conjunto solução da inequação $x^2-2x-3 > 0$ é $S=(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ ou, de uma outra forma, $S=\{x \in \mathbb{R}: x < -1 \mbox{ ou } x > 3\}$. 

10. Determine o conjunto solução da inequação $x^2+2x+1 \leq 7-x^3-3x^2+x$.

Solução: Essa inequação não está em nenhuma das formas que estão na definição de inequação polinomial. Por esse motivo, vamos reescrevê-la. Temos:

\begin{eqnarray} x^2+2x+1 &\leq& 7-x^3-3x^2+x \\ x^2+2x+1 - 7 +x^3+3x^2-x &\leq& 0 \\ x^3 + 4x^2 + x -6 &\leq& 0. \end{eqnarray}

Desse modo, resolver a inequação $x^2+2x+1 \leq 7-x^3-3x^2+x$ é o mesmo que resolver a inequação $x^3+4x^2+x-6 \leq 0$. Vamos agora aplicar a análise de sinal de polinômios à inequação  $x^3+4x^2+x-6 \leq 0$, ou seja, vamos analisar o sinal do polinômio $x^3+4x^2+x-6$. Esse polinômio possui $1$ como raiz (pois a soma dos seus coeficientes é igual a zero). Desse modo, ele pode ser divido por $x-1$. Fazendo esse divisão, temos:

Desse modo $x^3+4x^2+x-6 = (x-1)(x^2+5x+6)$. Agora, aplicando Soma e Produto no polinômio $x^2+5x+6$ temos que suas raízes são $-2$ e $-3$. Logo, $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$. Portanto, a fatoração completa do polinômio $x^3+4x^2+x-6$ é igual a $(x-1)(x+2)(x+3)$. Agora, vamos analisar o sinal dos fatores que estão na fatoração. Para o fator $x-1$. Temos

\begin{eqnarray} x-1 & > & 0 \\ x &>& 1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 & < & 0 \\ x &<& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 & = & 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}

Para o fator $x+2$. Temos

\begin{eqnarray} x+2 & > & 0 \\ x &>& -2, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+2 & < & 0 \\ x &<& -2 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+2 & = & 0 \\ x &=& -2. \end{eqnarray}

Para o fator $x+3$. Temos

\begin{eqnarray} x+3 & > & 0 \\ x &>& -3, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+3 & < & 0 \\ x &<& -3 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+3 & = & 0 \\ x &=& -3. \end{eqnarray}

Construindo o diagrama da análise de sinal, temos:

De acordo com a análise de sinal que fizemos, o polinômio $x^3+4x^2+x-6$ é menor ou igual a zero para valores de $x$ menores ou iguais a $-3$ e para valores de $x$ entre $-2$ e $1$, incluindo o $-2$ e o $1$. Portanto, o conjunto solução da inequação $x^3+4x^2+x-6 \leq 0$ é $S = (-\infty, -3] \cup [-2,1]$ ou, de outra forma, $S = \{x \in \mathbb{R}: x \leq -3 \mbox{ ou } -2 \leq x \leq 1\}$. Como a inequação $x^3+4x^2+x-6 \leq 0$ é equivalente à inequação $x^2+2x+1 \leq 7-x^3-3x^2+x$, o conjunto $S$ também é solução da inequação $x^2+2x+1 \leq 7-x^3-3x^2+x$.

11. Resolva a inequação $x^4-2x^3+4x-4 \geq 0$.

Solução: A inequação polinomial já está de acordo com a definição de inequação polinomial, assim, vamos aplicar a análise de sinal de polinômios. Como sabemos, primeiramente precisamos fatorar completamente o polinômio da inequação. Existem algumas formas de fatora um polinômio, talvez a maneira mais famosa seja encontrando as raízes do polinômio. Mas, existem outras maneiras, como colocar alguns termos em evidência e até mesmo somar e subtrair alguns termos. Vamos fazer isso com o polinômio do enunciado do exemplo. Temos:

\begin{eqnarray}x^4-2x^3+4x-4 &=&  x^4-2x^3+2x^2-2x^2+4x-4 \\ &=& x^2(x^2-2x+2)-2(x^2-2x+2) \\ &=& (x^2-2)(x^2-2x+2) \\ &=& (x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2-2x+2)  \end{eqnarray}

Logo  $x^4-2x^3+4x-4 = (x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2-2x+2)$. Essa é uma fatoração é completa, pois os polinômios $x-\sqrt{2}$ e $x+\sqrt{2}$ possuem grau $1$ e o polinômio $x^2-2x+2$ é irredutível (veja mais sobre polinômios irredutíveis aqui), visto que, calculando seu $\Delta$, temos:

\begin{eqnarray} \Delta &=& (-2)^2-4\cdot 1 \cdot 2 \\ &=& 4-8 = -4. \end{eqnarray}

Agora, vamos analisar o sinal dos fatores na fatoração do polinômio $x^4-2x^3+4x-4$ . Para o fator $x-\sqrt{2}$, temos

\begin{eqnarray} x-\sqrt{2} & > & 0 \\ x &>& \sqrt{2}, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-\sqrt{2} & < & 0 \\ x &<& \sqrt{2} \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-\sqrt{2} & = & 0 \\ x &=& \sqrt{2}. \end{eqnarray}

Para o fator $x+\sqrt{2}$. Temos

\begin{eqnarray} x+\sqrt{2} & > & 0 \\ x &>& -\sqrt{2}, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+\sqrt{2} & < & 0 \\ x &<& -\sqrt{2} \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+\sqrt{2} & = & 0 \\ x &=& -\sqrt{2}. \end{eqnarray}

Como o fator $x^2-2x+2$ possui $\Delta < 0$ e $a = 1 > 0$, segue que ele é positivo para todo $x \in \mathbb{R}$.

Construindo o diagrama da análise de sinal, temos:

Desse modo, de acordo com a análise de sinal que fizemos, a solução da inequação $x^4-2x^3+4x-4 \geq 0$ é o conjunto $S = \left(-\infty,-\sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2}, +\infty\right)$ ou, de outra forma, $S = \left\{x \in \mathbb{R}: x \leq -\sqrt{2} \mbox{ ou } x \geq \sqrt{2}\right\}$.

12. Resolva a inequação $x(x+2) < -1$.

Solução: Essa inequação parece ser bem simples de resolver, mas nela existem alguns detalhes importantes para serem observados. Observe que, ao lado esquedo do símbolo de desigualdade, temos uma multiplicação. Se do lado direito tivéssemos o zero, era só aplicar a análise de sinal, pois o polinômio do lado esquedo já estaria fatorado. Mas, como isso não ocorre, é melhor fazer a multiplicação do lado esquerdo e passar o $-1$ para o lado esquedo, assim, vamos ter uma inequação em um dos formatos da definição de inequação polinomial. Fazendo isso, temos,

\begin{eqnarray} x(x+2) &<& -1 \\ x^2+ 2x &<& -1 \\ x^2+2x+1 < 0. \end{eqnarray}

Logo, temos a inequação do enunciado escrita na forma $x^2+2x+1 < 0$. Observe que o lado esquerdo do símbolo de desigualdade é igual a $(x+1)^2$, assim, a inequação fica na foma $(x+1)^2 < 0$. Nesse caso não a análise de sinal fica muito simples e nem precisamos usar o diagrama, pois qualquer número ao quadrado ou é zero ou é positivo. Assim, é impossível obtermos algum $x$ tal que $(x+1)^2 < 0$, isto é, essa inequação não possui solução e podemos escrever que seu conjunto solução é vazio, isto é, $S = \emptyset$. Vamos pensar em outras possibilidades para essa inequação: se o símbolo de desigualdade fosse igual a $\leq$, teríamos como solução o conjunto $S = \{-1\}$, pois para $x = -1$, vamos ter $x+1 = -1+1 = 0$. Se o símbolo de desigualdade fosse $\geq$, o conjunto solução seria $S = \mathbb{R}$, pois, como já sabemos, qualquer número ao quadrado é igual a zero ou é positivo. Por fim, se o símbolo de desigualdade fosse $>$, o conjunto solução seria $S = (-\infty,-1) \cup (-1, +\infty)$ ou $S = \{x \in \mathbb{R}: x \neq -1\}$, pois $x = -1$ é o único valor para o qual temos $x+1 = -1+1 = 0$ e, para todos os outros valores possíveis de $x$, temos $(x+1)^2 > 0$.

Observação: De um modo geral, qualquer número elevado a uma potência par será igual a zero se o número for zero e será positivo em qualquer outro caso. Qualquer número elevado a uma potência ímpar será positivo se o número for positivo, será zero se o número for zero e será negativo se o número for negativo. Lembre-se disso na hora de resolver inequações polinômiais, isso pode ser muito útil, assim como foi no exemplo anterior.

Exemplo em vídeo:

Acredito que, entendendo bem tudo o que foi feito nessa postagem, você terá conhecimento sufiente para lidar com as inequações polinômiais.

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