Na postagem anterior, aprendemos como resolver inequações que possuem um módulo com um polinômio de grau 1 dentro dele. Esse é o primeiro passo no mundo das inequações modulares. Agora, nessa postagem, vamos dar mais um passo no estudo das inequações modulares, vamos aprender como resolver inequações modulares que possuem um polinômio com grau maior que 1 dentro do módulo. A ideia por trás da resolução dessas inequações é a mesma usada na resolução daquelas que possuem um polinômio de grau 1 dentro do módulo, mas, quando o grau do polinômio é maior que 1, o processo de resolução é mais trabalhoso e, por isso, vamos precisar recorrer à análise de sinal de polinômios. Além da análise de sinal de polinômios, vamos precisar da união e da interseção de intervalos de números reais. Caso você não se lembre desses assuntos, estude essas postagens. Se você já domina esses assuntos, siga comigo adiante. Vamos lá!
Inequações modulares com polinômios de grau maior que 1
Primeiramente, vamos deixar claro quais os tipos de inequações que vamos aprender a resolver nessa postagem. Seja $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x+ a_0$ um polinômio qualquer com $n \in \mathbb{N}$, $a_i \in \mathbb{R}$ para todo $i = 1,2, \dots, n$ e $a_n \neq 0$. Qualquer inequação em uma das seguintes formas:
$$|p(x)| < c, \; |p(x)| \leq c, \; |p(x)| > c \mbox{ ou } |p(x)| \geq c$$
onde $c \in \mathbb{R}$ e $c \geq 0$ é uma inequação modular com polinômio. Na postagem anterior, já abordamos o caso em que $n = 1$, por isso, nessa postagem vamos considerar polinômios com $n \geq 2$, ou seja, vamos considerar as inequações modulares com polinômios de grau maior que $1$.
Para ficar mais claro, vejamos alguns exemplos dessas inequações.
Exemplos:
1. $|x^2+2x-1| < 1$
2. $|2x^3-x+5| \leq 4$
3. $|-x^5+1| > 2$
4. $|x^4+x^2+1| \geq 1$
Nem sempre as inequações modulares com polinômios de grau maior que 1 aparecem na forma dos exemplos acima. Elas podem aparecer com números multiplicando ou dividindo o módulo e também com números sendo somados ou subtraídos aos lados esquerdo e direito do símbolo de desigualdade. Vejamos alguns exemplos dessas situações.
5. $4|x^2-1| < 1$
6. $\displaystyle\frac{3}{2} - |x^3+2x+1| < 1$
7. $\displaystyle\frac{|x^2-x+1|}{3} \geq 2 $
As inequações dos exemlos 5 a 7 podem ser facilmente reescritas para que fiquem na forma das que estão nos exemplos de 1 a 4. Vejamos como fazer isso.
Exemplo 5:
\begin{eqnarray} 4|x^2-1| &<& 1 \\ |x^2-1| &<& \frac{1}{4} \end{eqnarray}
Exemplo 6:
\begin{eqnarray} \frac{3}{2} - |x^3+2x+1| &<& 1 \\ - |x^3+2x+1| &<& 1 - \frac{3}{2} \\ - |x^3+2x+1| &<& - \frac{1}{2} \\ |x^3+2x+1| &>& \frac{1}{2} \end{eqnarray}
Exemplo 7:
\begin{eqnarray} \frac{|x^2-x+1|}{3} &\geq& 2 \\ |x^2-x+1| &\geq& 2 \cdot 3 \\ |x^2-x+1| &\geq& 6 \\ \end{eqnarray}
Como resolver inequações modulares com polinômios de grau maior que 1
Para resolver essas inequações, também vamos precisar da interpretação geométrica do módulo. Isso foi abordado na postagem anterior e também pode ser visto com mais detalhes na postagem sobre módulo (valor absoluto). Vamos aprender como resolver as inequações modulares com polinômios de grau maior que 1 por meio de exemplos. Para a postagem não ficar muito longa, resolveremos dois exemplos cujas ideias podem ser usadas para resolver qualquer outra inequação do mesmo tipo. Esses exemplos estarão na forma das inequações dos exemplos de 1 a 4, pois caso estejam nas formas dos exemplos de 5 a 7, como vimos, elas podem ser facilmente escritas em uma das formas que estão nos exemplos de 1 a 4. Então, vamos aos exemplos:
Exemplos:
8. Determine o conjunto solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$.
Solução: Primeiramente, observe que nessa inequação temos o símbolo de menor ou igual ($\leq$). Desse modo, o conjunto solução $S$ dessa inequação será a interseção do conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \leq 1$, ao qual chamaremos de $S_1$, e o conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \geq -1$, ao qual chamaremos de $S_2$. Temos então duas inequação polinomiais para resolver. Vamos lá!
Resolvendo a inequação $x^2-x-1 \leq 1$:
Podemos pensar em em algumas formas de resolver inequação polinomais, umas mais simples e outras mais complicadas, mas para resolver essa inequação e também as outras que virão, vou usar a análise de sinal de polinômios. Essa pode até não ser a forma mais simples de resolver uma inequação polinomial, mas com certeza é muito eficiente e pode ser aplicada a inequações polinomais de qualquer grau. Para usar esse método, vamos reescrever a inequação de modo a deixar o lado direito do símbolo de desigualdade somente com o $0$. Temos,
\begin{eqnarray} x^2-x-1 &\leq& 1 \\ x^2-x-1-1 &\leq& 0 \\ x^2 - x - 2 &\leq& 0 \end{eqnarray}
Resolver a inequação $x^2-x-1 \leq 1$ é o mesmo que resolver a inequação $x^2 - x - 2 \leq 0$, por isso, vamos usar a análise de sinal na segunda inequação. Vamos começar fatorando o polinômio $x^2 - x - 2$. Usando Soma e Produto, as raízes desse polinômio são $2$ e $-1$ e, desse modo, temos
$$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).$$
Vamos analisar o sinal de cada fator presente na decomposição acima. Para $x-2$, temos
\begin{eqnarray} x-2 &<& 0 \\ x &<& 2, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x-2 &>& 0 \\ x &>& 2 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x-2 &=& 0 \\ x &=& 2. \end{eqnarray}
Para $x+1$, temos,
\begin{eqnarray} x+1 &<& 0 \\ x &<& -1, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+1 &>& 0 \\ x &>& -1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+1 &=& 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}
Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^2 - x - 2$, temos
Portanto, o conjunto solução da inequação $x^2-x-1 \leq 1$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^2 - x - 2 \leq 0$) é o conjunto $S_1 = [-1,2]$.
Resolvendo a inequação $x^2-x-1 \geq -1$:
Vamos resolver essa inequação também usando a análise de sinal de polinômios. Reescrevendo essa inequação, temos:
\begin{eqnarray} x^2-x-1 &\geq& -1 \\ x^2-x-1 + 1 &\geq& 0 \\ x^2-x &\geq& 0 \end{eqnarray}
Assim, resolver a inequação $x^2-x-1 \geq -1$ é o mesmo que resolver a inequação $x^2-x \geq 0$. O polinômio $x^2-x$ pode ser fatorado como segue:
$$x^2-x = x(x-1)$$.
Vamos analisar o sinal de cada fator presente na fatoração acima. Para $x$, temos que $x$ será positivo quando $x>0$, será negativo quando $x<0$ e será zero quando $x=0$.
Para $x-1$, temos,
\begin{eqnarray} x-1 &<& 0 \\ x &<& 1, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x-1 &>& 0 \\ x &>& 1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x-1 &=& 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}
Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^2 - x$, temos
Portanto, o conjunto solução da inequação $x^2-x-1\geq -1$ (lembre-se, resovemos essa inequação na forma $x^2 - x \geq 0$) é o conjunto $S_2 = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.
Ainda não terminamos, mas falta pouco. A solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$ é a interseção de $S_1$ com $S_2$. Fazendo isso por meio do seguinte diagrama, temos:
Portanto, o conjunto solução da inequação $|x^2-x-1| \leq 1$ é $S = [-1,0] \cup [1,2]$.
9. Resolva a inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$.
Solução: Note que, nessa inequação temos o símbolo de maior ($>$). Assim, o conjunto solução $S$ dessa inequação será a união do conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$, ao qual chamaremos de $S_1$, e o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$, ao qual chamaremos de $S_2$. Vamos ao trabalho, pois temos duas inequações com polinômios de grau de $3$ para resolver.
Resolvendo a inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$:
Como havia dito antes, vamos usar a análise de sinal de polinômios para resolver essa inequação. Reescrevendo essa inequação de modo a deixar o lado direito do símbolo de desigualdade somente com o $0$, temos,
\begin{eqnarray} x^3-x^2+x+1 &>& 2 \\ x^3-x^2+x+1 -2 &>& 0 \\ x^3-x^2+x-1 &>& 0 \end{eqnarray}
Resolver a inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$ é o mesmo que resolver a inequação $x^3-x^2+x-1 > 0$. Vamos começar fatorando o polinômio $x^3-x^2+x-1$. Observe que $1$ é uma raiz desse polinômio, pois $1^3-1^2+1-1 = 0$. Logo, o polinômio $x^3-x^2+x-1$ é divisível pelo polinômio $x-1$. Fazendo essa divisão, temos:
Assim, obtemos
$$x^3-x^2+x-1 = (x-1)(x^2+1)$$
A fatoração obtida acima está completa, pois o polinômio $x^2+1$ é irredutível, isto é, não pode ser mais fatorado, visto que ele possui $\Delta = -4 < 0$. Além disso, como $a=1$ nesse polinômio, ele é sempre positivo para qualquer valor de $x$. Logo, a análise de sinal desse fator já está feita. Agora, para o fator $x-1$, temos
\begin{eqnarray} x-1 &<& 0 \\ x &<& 1, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x-1 &>& 0 \\ x &>& 1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x-1 &=& 0 \\ x &=& 1, \end{eqnarray}
Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^3-x^2+x-1$, temos
Portanto, o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 > 2$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^3-x^2+x-1 > 0$) é o conjunto $S_1 = (1, +\infty)$.
Resolvendo a inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$:
Reescrevendo essa inequação, temos:
\begin{eqnarray} x^3-x^2+x+1 &<& -2 \\ x^3-x^2+x+1 + 2 &<& 0 \\ x^3-x^2+x+3 &<& 0 \end{eqnarray}
Assim, resolver a inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$ é o mesmo que resolver a inequação $x^3-x^2+x+3 < 0$. Observe que $-1$ é raiz do polinômio $x^3-x^2+x+3$, pois $(-1)^3 - (-1)^2+(-1)+3 = -1 -1 -1 +3 = 0$. Desse modo, o polinômio $x^3-x^2+x+3$ é divisível por $x+1$. Fazendo essa divisão, obtemos
Logo,
$$x^3-x^2+x+3 = (x+1)(x^2-2x+3).$$
O fator $x^2-2x+3$ acima é irredutível, pois ele possui $\Delta = -8 < 0$. Além disso, ele possui $a = 1 > 0$, o que faz com esse polinômio seja positivo para qualquer $x$. Logo, a fatoração do polinômio $x^3-x^2+x+3$ está completa e análise de sinal de $x^2-2x+3$ está feita. Para o fator $x+1$, temos
\begin{eqnarray} x+1 &<& 0 \\ x &<& -1, \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} x+1 &>& 0 \\ x &>& -1 \end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray} x+1 &=& 0 \\ x &=& -1, \end{eqnarray}
Colocando essas informação no seguinte diagrama, para fazermos a análise de sinal do polinômio $x^3-x^2+x+3$, temos
Portanto, o conjunto solução da inequação $x^3-x^2+x+1 < -2$ (lembre-se, resolvemos essa inequação na forma $x^3-x^2+x+3 < 0$) é o conjunto $S_2 = (-\infty, -1)$.
Estamos quase acabando! A solução da inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$ é a união de $S_1$ com $S_2$. Fazendo isso por meio do seguinte diagrama, temos:
Portanto, o conjunto solução da inequação $|x^3-x^2+x+1| > 2$ é $S = (-\infty,-1) \cup (1,+\infty)$.
Exemplos em vídeo:
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