Essa postagem abre a série de postagens sobre inequações aqui no blog. Nessa postagem vamos aprender o que é uma inequação e, para isso, também vamos lembrar dos símbolos de desigualdades e da ordem nos números reais. O enfoque dessa postagem será no que é uma inequação, pois para vermos maneiras de resolver as inequações, precisamos separá-las em diferentes tipos e, por esse motivo, faremos isso em postagens separadas. Então, vamos entender o que é uma inequação.
Inequações
A ordem no conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais é ordenado, ou seja, podemos comparar dois números reais distintos dizendo se um é maior (menor) que o outro.
Vamos ver os símbolos que usamos para comparar dois números reais com relação à ordem. Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, temos
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{Símbolo} & \mbox{Leitura} \\ \hline \hline a>b & a \mbox{ é maior que } b \\ \hline a<b & a \mbox{ é menor que } b \\ \hline a \geq b & a \mbox{ é maior ou igual a } b \\ \hline a \leq b & a \mbox{ é menor ou igual a } b \\ \hline \end{array}$$
Os símbolos $>$, $<$, $\geq$ e $\leq$ são chamados símbolos de desigualdade.
Observação:
(i) $a$ é positivo se, e somente se, $a > 0$;
(ii) $a$ é positivo ou zero se, e somente se, $a \geq 0$;
(iii) $a$ é negativo se, e somente se, $a < 0$;
(iv) $a$ é negativo ou zero se, e somente se, $a \leq 0$.
Para todos $a,b,c \in \mathbb{R}$ temos as seguintes propriedades:
(1) $a \leq a$ (propriedade reflexiva).
(2) Se $a \leq b$ e $b \leq a$, então $a=b$ (propriedade transitiva).
(3) Se $a \leq b$ e $b \leq c$, então $a \leq c$ (propriedade transitiva).
(4) Se $a \leq b$, então $a + c \leq b+c$ para todo $c \in \mathbb{R}$ (compatibilidade da ordem com a adição).
(5) Se $a \leq b$ e $c > 0$, então $ac \leq bc$.
(6) Se $a \leq b$ e $c < 0$, então $ac \geq bc$.
(7) Se $a > 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} > 0$.
(8) Se $a < 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} < 0$.
(9) Se $a$ e $b$ são ambos negativos ou ambos positivos, então $a < b$ implica $\displaystyle\frac{1}{a} > \displaystyle\frac{1}{b}$.
As propriedades (1) e (2) continuam valendo se trocarmos o símbolo $\leq$ pelo símbolo $\geq$ e as propriedades de (3) a (6), continuam valendo se trocarmos o símbolo de $\leq$ pelos símbolos $\geq$, $<$ ou $>$. Para ver exemplos numéricos dessas propriedades, veja a postagem sobre a ordem dos números reais.
Agora, tendo essas definições propriedades, podemos passar para as inequações propriamente ditas.
Inequações
Apesar de estarmos usando o termo inequações, nessa série de postagens, vamos estudar inequações com somente uma incógnita. Vamos à definição:
Definição: Uma inequação na incónita $x$ (pode ser qualquer outra letra) é uma afirmação que contém ao menos um dos símbolos $<$, $>$, $\leq$ e $\geq$.
Vamos ver alguns exemplos:
Exemplos:
1. $5x-4 < 1$
2. $x^2-4x+1 > 0$
3. $\displaystyle\frac{x}{x+1} \leq 1$
4. $\sqrt{x^3-x+1} > x^2$
5. $|x+1| > x+5$
6. $-3 < 4x+2 \leq 5$
Vamos parar no exemplo 6, por que podemos continuar infinitamente com os exemplos. A seguir, temos alguns conceitos importantes sobre inequações.
Resolver uma inequação em $x$ (ou em qualquer outra incógnita) significa encontrar todos os valores para os quais a inequação é verdadeira. Uma solução de uma inequação em $x$ é um número que satisfaz a inequação, ou seja, que a torna verdadeira. O conjunto de todas as soluções de uma inequação é chamado conjunto solução.
Para entendermos melhor os conceitos de resolver uma inequação em $x$, solução e de conjunto solução, considere a inequação $5x-4 < 1$. O número $\displaystyle\frac{4}{5}$ é uma solução dessa inequação, pois, ao colocarmos ele no lugar do $x$, a inequação se torna verdadeira. De fato, para $x = \displaystyle\frac{4}{5}$, temos:
\begin{eqnarray} 5x-4 &<& 1 \\ 5 \cdot \frac{4}{5} - 4 & < & 1 \\ 4 - 4 &<& 1 \\ 0 &<& 1 \end{eqnarray}
Como $0 < 1$ é verdade, para $x = \displaystyle\frac{4}{5}$ a afirmação $5x-4 < 1$ é verdadeira. Agora, o número $2$ não é solução da inequação, pois, ao colocarmos ele no lugar do $x$, a inequação se torna falsa. De fato, para $x=2$, temos:
\begin{eqnarray} 5x-4 &<& 1 \\ 5 \cdot 2 - 4 & < & 1 \\ 10 - 4 &<& 1 \\ 6 &<& 1 \end{eqnarray}
Assim, como $6 < 1$ não é verdade, $x=2$ não é solução da inequação.
Resolver uma inequação é o processo de encontrar, assim como o $\displaystyle\frac{4}{5}$, todos os números que, colocados no lugar do $x$ tornam a inequação verdadeira. Ao terminar esse processo, vamos ter então o conjunto solução, vamos saber quais são todos os números que satizfazem a inequação.
Note que $-1$ também é solução da inequação, pois:
\begin{eqnarray} 5x-4 &<& 1 \\ 5 \cdot (-1) - 4 & < & 1 \\ -5 - 4 &<& 1 \\ -11 &<& 1 \end{eqnarray}
Até aqui vimos duas soluções da inequação $4x-4<1$, mas diferentemente das equações, as inequações não possuem somente uma, duas, três ou um número finito de soluções, elas possuem um conjunto infinito de soluções que são intervalos de números reais ou união de intervalos de números reais. Por isso, é muito importante que, antes de aprendermos métodos para resolver inequações, saibamos bem o que é um intervalo limitado, o que é um intervalo ilimitado, que são conjuntos e as maneiras diferentes de escrevê-los bem como fazer a união e a interseção de intervalos de números reais. Tudo o que você precisa saber intervalos e conjuntos estão nesses links.
Outra coisa importante a ser observada é que nem sempre uma inequação possui solução, por exemplo, a inequação $x^2 < 0$ não possui solução, pois nenhum número ao elevado ao quadrado é negativo, ou seja, é menor que zero. Quando isso ocorre, nós dizemos que o conjunto solução dessa inequação é o conjunto vazio, denotado por $\emptyset$.
Independentemente do tipo de inequação que vamos resolver, o processo de resolução de uma inequação é feito usando as propriedades da ordem dos números reais que vimos acima. Por esse motivo, elas são muito importantes, são elas que nos dizem o que podemos fazer na hora de resolver uma inequação. Por isso, é sempre bom tê-las em mente na hora de resolver uma inequação.
Exercício resolvido sobre ordem e operações com números reais:
Agora que sabemos o que é uma inequação, o que é resolver uma inequação e o que usar para rsolver inequação, chegou a hora de, de fato, resolvermos inequação. Mas, veremos isso à partir da próxima postagem. Te vejo lá.
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