Polinômios #14: Polinômios redutíveis e irredutíveis

Já estamos na décima quarta postagem sobre poilnômios, mas ainda temos coisas importantes sobre polinômios para abordar. Nessa postagem vamos falar sobre o que é um polinômio redutível e o que é um polinômio irredutível. Esses conceitos estão diretamente relacionados com a fatoração de um polinômio (algo muito impotante e com muitas aplicações) e com a existência de raízes de um polinômio. Por esse motivo, se você quer aprofundar seus conhecimentos sobre polinômios e suas raízes, é bom que estude os conceitos abordados nessa postagem. Vamos lá!

Polinômios redutíveis e irredutíveis

A seguir está a definição de polinômio redutível e de polinômio irredutível.

Definição: Seja $p(x)$ um polinômio com coeficientes em $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$). O não constante $p(x)$ é dito redutível se existem outros polinômios $f(x)$ e $g(x)$, não nulos e não constantes, também com coefiecientes em $\mathbb{K}$, tais que $p(x) = f(x) \cdot g(x)$. Caso contrário, o polinômio $p(x)$ é dito irredutível, isto é, se $p(x) = f(x) \cdot g(x)$, então $f(x)$ é um polinômio constante ou $g(x)$ é um polinômio constante. 

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

1. O polinômio $p(x) = x^2-1$ é um polinômio redutível pois 

$$x^2-1 = (x+1)(x-1).$$

Temos que $x^2-1$ pode ser escrito como o produto de dois polinômios que não são constantes e, comparando esse exemplo com a definição anterior, temos $f(x) = x+1$ e $g(x) = x-1$.

2. O polinômio $h(x) = 2x^3-4x^2+6x+4$ é redutível pois 

$$2x^3-4x^2+6x+4 = (2x+1)(x^2-2x+4).$$

ou seja, o polinômio $h(x)$ é o produto dos polinômio $f(x) = 2x+1$ e $g(x) = x^2-2x+4$.

3. O polinômio $r(x) = x^2+1$ é irredutível se considerado sobre $\mathbb{R}$, isto é, não é possível escrever esse polinômio como produto de outros dois polinômios sobre $\mathbb{R}$ com os dois não constantes. De fato, se existissem $f(x)$ e $g(x)$, não constantes, tais que $r(x) = f(x) \cdot g(x)$, os graus de $f(x)$ e de $g(x)$ seriam iguais a $1$, visto que $gr(f(x))+gr(g(x))=gr(r(x)) = 2$. Todo polinômio de grau $1$ sobre $\mathbb{R}$ possui uma raiz sobre o conjunto no qual está definido, desse modo existiria $a \in \mathbb{R}$ tal que $f(a)=0$. Com isso, teríamos $r(a) = f(a) \cdot g(a) = 0 \cdot g(a) = 0$, ou seja, $r(x)$ teria uma raiz  real $a$, o que é uma contração pois $r(x)$ não possui raiz real. Logo, $r(x)$ é irredutível. Agora, se considermos $r(x)$ sobre $\mathbb{C}$ ele será redutível, pois temos

$$x^2+1 = (x+i)(x-i).$$

Esse exemplo mostra que o conjunto no qual o polinômio está definido faz diferença para ele ser redutível ou irredutível.

4. Esse exemplo, na verdade é um teorema, que diz o seguinte: Todo polinômio de grau $1$ sobre o conjunto $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$)  é irredutível. De fato, seja $p(x)$ um polinômio de grau $1$. Se $p(x)$ fosse redutível ele seria igual a um produto de dois polinômios $f(x)$ e $g(x)$ não constantes sobre $\mathbb{K}$. Sendo esses polinômios não constantes, segue que $gr(f(x)) \geq 1$ e $gr(g(x)) \geq 1$. Desse modo teríamos $gr(p(x)) = gr(f(x))+gr(g(x)) > 1$, o que não pode ocorrer, pois $gr(p(x))=1$. Portanto $p(x)$ é um polinômio irredutível.

Após vermos essa definição e os exemplos, podemos nos fazer as seguintes perguntas: Dado um polinômio qualquer, como saber se ele é irredutível ou não? Qual é a relação entre ser irredutível e a existência de raízes?

A seguir estão alguns resultados da Matemática que responderão a essas perguntas.

Teorema 1: Um polinômio sobre $\mathbb{C}$ é irredutível se, e somente se, possui grau $1$.

Esse teorema nos garante que não existem polinômios irredutíveis de grau maior que $1$ sobre $\mathbb{C}$. Em outras palavras, todo polinômio de grau maior que $1$ pode ser escrito como o produto de dois outros polinômios com os dois não constantes.

Agora, quando se trata de polinômios sobre $\mathbb{R}$, as coisas são diferentes.

Teorema 2: Seja $p(x)$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$ com grau maior ou igual a $2$. Se $p(x)$ possui uma raiz, então $p(x)$ não é irredutível.

É fácil de justificar esse teorema, basta lembrarmos que se $p(a) = 0$, isto é, se $a$ é uma raiz de $p(x)$, então $p(x) = (x-a)q(x)$ onde $q(x)$ é um polinômio sobre $\mathbb{R}$ e, como $p(x)$ tem grau maior ou igual a $2$, $q(x)$ possui grau maior ou igual a $1$, ou seja, não é constante. Logo $p(x)$ não é irredutível.

A recíproca do teorema anterior não é verdadeira, ou seja, não é verdade que, se um polinômio não é irredutível então ele possui uma raiz. Um contraexemplo para isso pode ser o polinômio $p(x)= x^4+1$. Esse polinômio não é irredutível, pois

$$x^4+1= \left(x^2+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}x+1\right)\left(x^2-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}x+1\right),$$

e ele não possui raiz em $\mathbb{R}$.

O próximo teorema trás uma condição para que um polinômio $p(x)$ seja irredutível sobre $\mathbb{R}$.

Teorema 3: Seja $p(x)$ um polinômio sobre $\mathbb{R}$. O polinômio $p(x)$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$ se, e somente se, $gr(p(x))=1$ ou $gr(p(x)) = 2$ com $\Delta < 0$.

Vamos ver alguns exemplos sobre como usar esses teoremas.

Exemplos:

5. O polinômio $p(x) = 2x-5$ é irredutível considerado sobre $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ pois possui grau $1$, conforme o Teorema 1 e o Teorema 3.

6. O polinômio $f(x)=x^2-4x-1$ não é redutível sobre $\mathbb{C}$, pelo Teorema 1, pois tem grau maior que $1$.

7. O polinômio $f(x)=4x+3$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$, pelo Teorema 3, pois tem grau igual a $1$.

8. Verifique se o polinômio $g(x) = x^2-3x+1$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$.

Solução: De acordo com o Teorema 3, um polinômio de grau $2$, sobre $\mathbb{R}$, será irredutível se possui $\Delta < 0$. Assim, vamos verificar se $\Delta < 0$. No polinômio $g(x)$ temos $a=1$, $b=-3$ e $c=1$, desse modo

$$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 1 = 9-4=5.$$

Como $\Delta = 5 >0$, segue que esse polinômio é redutível.

9. Verifique se o polinômio $h(x) = 2x^2-x+3$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$.

Solução: Vamos usar novamente o Teorema 3. Vamos verificar se $\Delta < 0$. No polinômio $h(x)$ temos $a=2$, $b=-1$ e $c=3$. Assim,

$$\Delta = b^2-4ac = (-1)^2-4 \cdot 2 \cdot 3 = 1-24 = -23$$

Como $\Delta = -23 < 0$, segue que o polinômio $h(x)$ é irredutível.

10. Verifique se o polinômio $p(x) = x^5-10x^2+x+1$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$.

Solução: Podemos fazer isso de duas formas. A primeira delas é usando o Teorema 3. O Teorema 3 nos diz que os polinômios irredutíveis sobre $\mathbb{R}$ são aqueles que possuem grau $1$ ou grau $2$ com $\Delta  < 0$. Assim, como $p(x)$ possui grau $5$, segue que ele é redutível em $\mathbb{R}$.

A segunda forma de fazer esse exercício é usando o Teorema $2$. Observe que $p(x)$ possui grau ímpar, o que implica que $p(x)$ possui uma raiz real. Portanto $p(x)$ é redutível em $\mathbb{R}$.

11. Verifique se o polinômio $f(x) = x^6-x^5+3x^4-5x^3+x^2-x+1$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$.

Solução: Como o grau do polinômio $f(x)$ é igual a $6$, segue do Teorema 3, que este polinômio é redutível sobre $\mathbb{R}$.

Como você deve ter percebido, os teoremas que vimos nessa postagem nos dão critérios, sobre $\mathbb{C}$ e sobre $\mathbb{R}$ para classificar os polinômio em redutíveis e irredutíveis. Mas, no caso do polinômio ser redutível, ou seja, no caso dele poder ser escrito como o produto de outros dois polinômios não constantes, esses teoremas não nos dão nenhuma informação sobre esses polinômio e nem um método para encontrá-los. Dependendo do polinômio redutível, não é fácil encontrar dois polinômios não nulos de modo que o produto desses polinômios seja igual a ele.

Então para que serve saber se um polinômio é irredutível ou não? Isso é muito importante para algo chamado fatoração de polinômios. E o que é uma fatoração de um polinômio? Fatorar ou obter uma fatoração de um polinômio é escrever esse polinômio como produto de fatores onde esses fatores são polinômios não constantes. Se um polinômio é irredutível, então ele não pode ser fatorado, de acordo com a definição de polinômios irredutíveis. Se um polinômio é redutível, então ele pode ser fatorado. E qual é a vantagem de fatorar um polinômio? Posso citar algumas aplicações da fatoração de polinômios. Ela é usada para obter as raízes de um polinômio, para fazer o estudo de sinal de um polinômio, para fazer o esboço de um gráfico de um polinômio, para estudar máximos e mínimos de uma função polinomial, que é muito importante no Cálculo 1, e possui muitas aplicações também em Álgebra Linear. 

Agora que sabemos quando um polinômio pode ser fatorado, ou seja, quando ele for redutível, na próxima postagem vamos ver como fatorar um polinômio.

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Polinômios #13 - O Teorema das Raízes Racionais

Nas postagens anteriores vimos fórmulas para determinar as raízes de polinômios de graus $1$, $2$, $3$ e $4$. No caso dos polinômios de grau $1$ é bem facil determinar sua raiz. No caso dos polinômios de grau $2$, temos a Fórmula de Bhaskara que é capaz de fornecer as raízes de qualquer polinômio de grau $2$. Já no caso dos polinômios de graus $3$ e $4$ temos a Fórmula de Tartaglia e a Fórmula de Ferrari, respectivamente, que são bem complicadas de serem usadas. Para os polinômios de grau $5$ em diante nem existe uma fórmula que forneça as raízes desses polinômios. Diante disso, percebemos que faz muito sentido e que é muito importante conhecermos métodos alternativos para calcular as raízes de um polinômio. Essa postagem está aqui para isso, para que você conheça um método alternativo para determinar as raízes de um polinômio. Nela eu vou te apresentar o Teorema das Raízes Racionais. Ele não é uma fórmula, mas ele é capaz de fornecer candidatos a raízes de um polinômio qualquer que tenha coeficientes inteiros. Vamos agora conhecê-lo a prender como aplicá-lo.

O Teorema das Raízes Racionais

Teorema (Teorema das raízes racionais): Seja $p(x)$ um polinômio dado por

$$p(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0$$

onde $a_n, \dots, a_0$ são números inteiros. Se $\displaystyle\frac{r}{s} \in \mathbb{Q}$, na forma irredutível, é uma raiz de $p(x)$, então $r$ divide $a_0$ e $s$ divide $a_n$.

Esse teorema não garante a existênca de uma raiz racional para o polinômio $p(x)$, ele diz que se $p(x)$ possui alguma raiz racional na forma irredutível $\displaystyle\frac{r}{s}$, então, obrigatoriamente, $r$ tem que dividir o $a_0$ (termo independente) e o $s$ tem que dividir o $a_n$ (termo dominante). Se ele não garante a existência dessa raiz racional, como podemos usá-lo? Usamos esse teorema da seguinte forma: primeiramente verificamos se o polinômio $p(x)$ possui coeficientes inteiros. Depois identificamos o número $n$, que é o grau do polinômio para podermos identificar os coeficientes $a_0$ e $a_n$. Em seguida determinamos todos os divisores de $a_0$ que serão os possíveis $r$ e todos os divisores de $a_n$ que serão os possíveis $s$. Conhecendo as possibilidades para $r$ e para $s$, o próximo passo é montar as frações $\displaystyle\frac{r}{s}$ com as possibilidades que encontranmos para $r$ e para $s$. Agora, o Teorema das Raízes Racionais nos diz que, se o polinômio $p(x)$ possui uma raiz racional, ela vai ter que ser uma das possibilidades de $\displaystyle\frac{r}{s}$ que econtramos. Assim, o último passo é aplicar o polinômio $p(x)$ em cada $\displaystyle\frac{r}{s}$ que encontramos para verificar qual dessas possibilidades é uma raiz. Observe que esse teorema só fornece candidatos a raízes que são racionais, ou seja, se o polinômio tiver raízes irracionais ou complexas, estas não vão aparcer como candidatas a raízes. Isto significa que esse teorema nem sempre fornece todas raízes de um polinômio. Caso entre os candadatos a raízes não haja nenhuma raiz, isso significa que o polinômio possui somente raízes irracionais ou complexas.

Vamos ver por meio de exemplos como aplicar o teorema das raízes racionais para determinar algumas raízes de um polinômio.

Exemplos:

1. Usando o teorema das raízes racionais, determine as raízes racionais do polinômio $p(x) = 2x^4-2x^3-3x^2-x-2$.

Solução: A primeira coisa que devemos verificar é se o polinômio possui coeficientes inteiros. Como o polinômio $p(x)$ possui os coeficientes inteiros, podemos aplicar o Teorema das Raízes Racionais. Temos que $n=4$, assim $a_4 = 2$ e $a_0=-2$. Agora vamos determinar os divisores de $a_0 = -2$ que serão os $r$ e os divisores de $a_4 = 2$ que serão os $s$. Desse modo, os possíveis $r$ são $\{\pm 1, \pm 2\}$ e os possíveis $s$ são $\{\pm 1, \pm 2\}$. Para obter as possiblidades para $\displaystyle\frac{r}{s}$, basta montar a possíveis frações com todas as possibilidades de $r$ e de $s$. Assim, as possibilidades de $\displaystyle\frac{r}{s}$ são 

$$\left\{\pm 1, \pm \displaystyle\frac{1}{2}, \pm 2 \right\}.$$

Agora vamos testar as possibilidades que encontramos para $\displaystyle\frac{r}{s}$. Temos

\begin{eqnarray} p(1) &=& 2 \cdot 1^4 - 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2  - 2 \\ &=& 2 - 2 - 3 - 1 - 2 = -6 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} p(-1) &=& 2 \cdot (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - (-1) - 2 \\ &=& 2 + 2 - 3 + 1 - 2 = 0 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} p\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) &=& 2 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4 - 2 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3 - 3 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) - 2 \\ &=& 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{16} - 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{8} - 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{4} - \displaystyle\frac{1}{2} - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{1}{8}-\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{3}{4}-\displaystyle\frac{1}{2}-2 \\ &=& -\displaystyle\frac{27}{8} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} p\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right) &=& 2 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^4 - 2 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3 - 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right) - 2 \\ &=& 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{16} + 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{8} - 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{4} + \displaystyle\frac{1}{2} - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{1}{8}+\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{3}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}-2 \\ &=& -\displaystyle\frac{15}{8} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} p(2) &=& 2 \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 2 \\ &=& 2 \cdot 16 - 2 \cdot 8 - 3 \cdot 4 - 2 - 2 \\ &=& 32-16-12-2-2 = 0 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} p(-2) &=& 2 \cdot (-2)^4 - 2 \cdot (-2)^3 - 3 \cdot (-2)^2 - (-2) - 2 \\ &=& 2 \cdot 16 - 2 \cdot (-8) - 3 \cdot 4 - (-2) - 2 \\ &=& 32+16-12+4-2 = 38 \end{eqnarray}

Como $p(-1)=0$ e $p(2)=0$, as raízes racionais do polinômio $p(x)$ são $-1$ e $2$.

Observe que, nesse exemplo, não estamos afirmando que essas são as únicas raízes do polinômio $p(x)$, estas são apenas suas raízes racionais. Como o grau desse polinômio é $4$, ele pode ter mais duas raízes reais que não são racionais. Nas postagens seguintes veremos como determinar todas as raízes reais de um polinômio. Vamos para mais um exemplo.

2. Calcule as raízes racionais do polinômio $f(x) = 3x^5-x^4+9x^3-3x^2+6x-2$.

Solução: Como este polinômio possui coeficientes inteiros, podemos aplicar o Teorema das Raízes Racionais. Nesse caso temos $n = 5$, $a_5 = 3$ e $a_0 = -2$. Agora vamos determinar os divisores de $a_0 = -2$ que serão os $r$ e os divisores de $a_5 = 3$ que serão os $s$. Assim, os possíveis $r$ são $\{\pm 1, \pm 2\}$ e os possíveis $s$ são $\{\pm 1, \pm 3\}$. As possíveis raízes racionais desse polinômio são as frações $\displaystyle\frac{r}{s}$ passando por todas as possibilidades de $r$ e de $s$. Logo, as possíveis raízes de $f(x)$ são

$$\left\{\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}\right\}.$$ 

Vamos aplicar $f(x)$ em cada possibilidade de raiz racional para verificar se esse polinômio possui raiz racional.

\begin{eqnarray} f(1) &=& 3 \cdot 1^5 - 1^4 + 9 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 -2 \\ &=& 3 - 1 + 9 - 3 + 6 -2 = 12 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f(-1) &=& 3 \cdot (-1)^5 - (-1)^4 + 9 \cdot (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 + 6 \cdot (-1) -2 \\ &=& -3 - 1 - 9 - 3 - 6 -2 = -24 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right) &=& 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^5 - \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^4 + 9 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^3 - 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2 + 6 \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right) - 2 \\ &=& - 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{243} - \displaystyle\frac{1}{81} - 9 \cdot \displaystyle\frac{1}{27} -  3 \cdot \displaystyle\frac{1}{9} - 6 \cdot \displaystyle\frac{1}{3}- 2  \\ &=& -\displaystyle\frac{1}{81}-\displaystyle\frac{1}{81}-\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{3}-2 - 2 \\ &=& -\displaystyle\frac{380}{81} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right) &=& 3 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^5 - \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^4 + 9 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^3 - 3 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2 + 6 \cdot \left(\displaystyle\frac{1}{3}\right) - 2 \\ &=& 3 \cdot \displaystyle\frac{1}{243} - \displaystyle\frac{1}{81} + 9 \cdot \displaystyle\frac{1}{27} -  3 \cdot \displaystyle\frac{1}{9} + 6 \cdot \displaystyle\frac{1}{3}- 2  \\ &=& \displaystyle\frac{1}{81}-\displaystyle\frac{1}{81}+\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{3}+2 - 2 \\ &=& 0 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f(2) &=& 3 \cdot 2^5 - 2^4 + 9 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 -2 \\ &=& 3 \cdot 32 - 16 + 9 \cdot 8 - 3 \cdot 4 + 6 \cdot 2 -2 \\ &=& 96 - 16 + 72 - 12 + 12 - 2  = 150 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f(-2) &=& 3 \cdot (-2)^5 - (-2)^4 + 9 \cdot (-2)^3 - 3 \cdot (-2)^2 + 6 \cdot (-2) -2 \\ &=& -3 \cdot 32 - 16 - 9 \cdot 8 - 3 \cdot 4 - 6 \cdot 2 -2 \\ &=& -96 - 16 - 72 - 12 - 12 - 2  = 210 \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right) &=& 3 \cdot \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^5 - \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^4 + 9 \cdot \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 - 3 \cdot \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2 + 6 \cdot \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right) - 2 \\ &=& 3 \cdot \displaystyle\frac{32}{243} - \displaystyle\frac{16}{81} + 9 \cdot \displaystyle\frac{8}{27} -  3 \cdot \displaystyle\frac{4}{9} + 6 \cdot \displaystyle\frac{2}{3}- 2  \\ &=& \displaystyle\frac{32}{81}-\displaystyle\frac{16}{81}+\displaystyle\frac{8}{3}-\displaystyle\frac{4}{3}+ 4 - 2 \\ &=& \displaystyle\frac{286}{81} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} f\left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right) &=& 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right)^5 - \left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right)^4 + 9 \cdot \left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 - 3 \cdot \left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2 + 6 \cdot \left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right) - 2 \\ &=& - 3 \cdot \displaystyle\frac{32}{243} - \displaystyle\frac{16}{81} - 9 \cdot \displaystyle\frac{8}{27} -  3 \cdot \displaystyle\frac{4}{9} - 6 \cdot \displaystyle\frac{2}{3}- 2  \\ &=& -\displaystyle\frac{32}{81}-\displaystyle\frac{16}{81}-\displaystyle\frac{8}{3}-\displaystyle\frac{4}{3}-4 - 2 \\ &=& -\displaystyle\frac{286}{27} \end{eqnarray}

Logo, das oito possibilidades de raízes racionais, somente uma delas é raiz, o número $\displaystyle\frac{1}{3}$. 

Exemplo em vídeo:

Observações importantes:

(a) Como já foi observado anteriormente, o Teorema das Raízes Racionais só fornece as raízes que forem racionais. Esse teorema nem sempre fornece todas as raízes de um polinômio. Se o número de raízes obtidas pelo Teorema das Raízes Racionais for menor que o grau do polinômio, pode ser que esse polinômio possua mais algumas raízes reais que não são racionais. Por exemplo, o polinômio $g(x) = x^3 + x^2-3x-3$ possui as raízes $1$, $\sqrt{3}$ e $-\sqrt{3}$. Ao aplicar o Teorema das Raízes Racionais nesse polinômio, a única raiz que vai aparecer entre as possibilidades de raízes é a raiz $1$. Assim, as outras raízes devem ser determinadas usando outros métodos. 

(b) Outra coisa que pode acontecer se o número de raízes obtidas for menor que o grau do polinômio é o polinômio não possuir mais raízes reais. Para ter certeza de que um polinômio não tem mais raízes reais além daquelas obtidas pelo Teorema das Raízes Racionais, outros métodos dever ser usados (veremos isso nas próximas postagens).

(c) Se ao aplicar o Teorema das Raízes Racionais em um polinômio, a quantidade de raízes obtidas for igual ao grau do polinômio, nesse caso e somente nesse caso, essas são todas as raízes reais do polinômio.

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Expressões Algébricas #1: O que é uma expressão algébrica?

Você já deve ter ouvido falar por aí alguma coisa do tipo: "Para que colocar letras na matemática?" ou "quem foi o maluco que colocou letras na matemática?", ou ainda, "A matemática era fácil até quando colocaram letras nela, como vou somar $x$ e $y$, faz sentido isso?" Nessa série de postagens que se inicia com esta aqui, vamos estudar as expressões algébricas,  isto é, vamos aprender como fazer algumas contas usando letras para representar números. Para começar bem, vamos entender o que é uma expressão algébrica, por que faz sentido somar letras e também por que elas são muito importantes na matemática. Vamos lá!

O que é uma expressão algébrica?

Definição: Uma expressão algébricas é uma sequência de operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) entre números e letras (que represdentam números).

Vamos ver alguns exemplos de expressões algébricas.

Exemplos:

1. $x+4$

2. $x+y$

3. $3x+\displaystyle\frac{y}{2}$

4. $-5ab+3a-2b$

5. $a^2b-3a+b^3$

6. $\displaystyle\frac{1}{x} + y(x^2+1)$

7. $x^3[3+\sqrt{x^2+y^2+1}]$

8. $\displaystyle\frac{x^3+y^{\frac{3}{2}}}{x^2-y(3+y)}$

9. $\displaystyle\frac{a^2(b-1)+b^2(a+1)}{\sqrt{a^2+b^2}}$

10. $\displaystyle\frac{1}{x}+y\{x^2+y^2[4xy-(x+y)^{\frac{1}{3}}]\}$

Nos exemplos acima foram usadas apenas as letras $a$, $b$, $x$ e $y$ para representar números, mas não há uma regra para isso, podemos usar quaisquer letras. Inclusive, em algumas situações, aparecem nas expressões algébricas letras maiúsculas e até letras gregas. Outra coisa importante, as expressões dos exemplos contém uma ou duas letras, mas isso também não é uma regra, podemos ter expressões numéricas com qualquer quantidade finita de letras, 3, 4, 5, e por aí vai.

Não é legal esse monte de contas com letrinhas? Isso é sensacional! (hehe...). Mas, afinal, por que fazemos contas com letras e as usamos para representar números? Vamos responder essa pergunta a seguir.

Para que servem as expressões algébricas?

Para responder a essa pergunta, vamos pensar de uma forma bem simples. Suponha que você é o dono de uma empresa e precisa comprar 2 computadores e um mesa para o seu escritório. Após uma pesquisa de preços, você encontrou um computador  2500 reais e uma mesa por 500 reais. Assim, se você comprar dois computadores e uma mesa você vai gastar 5500 reais, pois

$$2 \cdot 2500 + 500 = 5000+500 = 5500.$$

Essa é uma expressão numérica. Agora, vamos pensar nesse mesmo problema de uma forma diferente. Independentemente de qualquer coisa, eu sei que computadores e mesas possum um preço. Assim, vamos usar a letra $x$ para representar o preço do computador e a letra $y$ para representar o preço da mesa. Dessa forma, não importa qual computador ou qual mesa você compre, o valor em reais que você gastará é 

$$2x+y.$$

Essa é uma expressão algébrica.

Aí você pode pensar o seguinte "não preciso usar as letras, basta eu ver os preços e fazer as contas". Sim, eu concordo. Mas o que eu quero que você perceba aqui é o objetivo ou, o propósito, de cada expressão acima. A expressão numérica nos dá o valor da compra de dois determinados computadores e uma mesa enquando que a expressão algébrica é capaz de nos fornecer valor da compra de quaisquer dois computadores e uma mesa. Enquanto a expressão numérica nos dá uma informação quantitativa, a expressão algébrica nos dá uma informação qualitativa, ela nos mostra como vai ser calculado o valor gasto na compra independentemente de qual computador ou qual mesa forem comprados.

Vamos ver mais um exemplo do uso de expressões algébricas. Considere uma empresa que fabrica caixas de papel, sem tampas, onde a base é um quadrado. Para fabricar uma caixa qualquer desse tipo, independentemente de suas dimensões, como podemos calcular quantos centímetros quadrados de papel vão ser usados nessa caixa?. Considere uma caixa desse tipo onde os lados da base medem $x$ centímetros e a altura mede $y$ centímetros.

A área da base mede $x^2 \; \mbox{cm}^2$ e a área de cada lateral, que é um retângulo, mede $xy \; \mbox{cm}^2$. Sendo uma base e quatro laterais, a quantidade de papel usada para fabricar uma caixa desse tipo é dada pela expressão,

$$x^2+4xy.$$

Veja só o que temos aqui, uma expressão algébrica que nos fornecce a quantidade de papel usada na fabricação de qualquer caixa desse tipo. E no que ela é importante? Ela pode ser usada para $x$ e $y$ diferentes dada uma condição sobre a quantidade máxima de papel que pode ser usada na fabricação e até mesmo para decidir a qual preço vender essa caixa sabendo o preço do custo dela. Viu só? As expressões algébricas nos trazem informações de carater qualitativo, elas não são somente um número, mas uma exprssão capaz de nos dar respostas sobre o comportamento de alguma coisa. Isso não é incrível?

Agora, você também pode me perguntar: "Ok, entendi que as expressões algébricas são importantes, mas agora, o que eu faço com esse $x^2+4xy$?" Nada! A deixe como está. Ela representa, nesse caso, a quantida de papel gasto na fabricação da caixa e pronto. Caso seja necessário calular a quantidade de papel usada na fabricação de uma caixa, em específico, você pode substituir os valores das medidas na expressão calcular a quantidade de papel gasto.

Esses exemplos que mencionei acima são bem simples, mas acredito que são suficientes para entendermos por que as expressões algébricas são importantes. As expressão algébricas possuem inúmeras aplicações na matemática, em todas as áreas. Por esse motivo é muito importante saber fazer contas com elas e simplificá-las sempre que possível. Veremos como fazer isso nas próximas postagens.

Resumo dessa postagem em vídeo:

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Polinômios #12: Existe uma fórmula para calcular as raízes de polinômios de grau maior ou igual 5?

 Eu acho esse estudo de raízes de polinômios simplesmente sensacional. Os polinômios são funções muito úteis na matemática, possuem inúmeras aplicações em engenharia, física, economia, química e por aí vai. Dentro dessas áreas citadas, as raízes de um polinômio trazem informações importantes sobre os problemas aos quais eles estão relacionados e isso justifica todo o estudo sobre as raízes de um polinômio. Nas postagens anteriores vimos como se calculas as raízes de polinômios de graus $1$, $2$, $3$ e $4$. As fórmulas para se determinar as raízes desses polinômio vão ficando bem mais complicadas quando o grau do polinômio aumenta. Agora, conhecendo as fórmulas para determinar as raízes de polinômios de grau de $1$ até $4$, fazemos a seguinte pergunta: Existe uma fórmula para calcular as raízes de polinômios de grau maior que $5$? A seguir responderemos essa pergunta. Vamos lá!

Existe uma fórmula para calcular as raízes de polinômios de grau maior ou igual a 5?

Um polinômio de grau maior ou igual a $5$ tem a forma

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$$

onde $a_n, \dots, a_0$ são os coeficientes, $a_n \neq 0$ e $n \geq 5$. Uma raiz desse polinômio é um número $x$ tal que $p(x) = 0$, ou ainda, 

$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0.$$

Encontrar as raízes do polinômio $p(x)$ é o mesmo que resolver a equação acima. Quando $n = 5$, a equação acima recebe o nome de equação quíntica ou equação do quinto grau. Se $n=6$, essa equação recebe o nome de equação do sexto grau, se $n=7$ ela recebe o nome de equação do sétimo grau e assim por diante. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

1. O polinômio $f(x) = 3x^5+4x^3-x^2+x-1$ é um polinômio de grau $5$. Para determinar as raízes desse polinômio, temos que resolver a seguinte equação do quinto grau

$$3x^5+4x^3-x^2+x-1 = 0.$$

2. O polinômio $g(x) = x^6-x^4+2x+1$ é um polinômio de grau $6$. Para determinar as raízes desse polinômio é preciso encontrar as soluções da equação de sexto grau

$$x^6-x^4+2x+1 = 0.$$ 

Para responder a pergunta da introdução dessa postagem, vamos ver um pouco de história. 

Por volta de 1550 A.C. os babilônios já conheciam uma fórmula geral para calcular as raízes de um polinômio de grau $2$. Cardano e Tartaglia, entre 1500 e 1600 D.C. encontraram uma fórmula para calcular as raízes de um polinômio de grau $3$ (mais ou menos 3 mil anos depois!). Ferrari, por volta de 1545 encontrou uma fórmula para determinar as raízes de um polinômio de grua $4$. Essa busca continuou para os polinômios de grau $5$ a qual durou, mais ou menos, uns 250 anos. Em 1798, o matemático italiano Paolo Ruffini (o mesmo do Briott-Ruffini) provou que não é possível (isto mesmo, é impossível), resolver uma equação do quinto grau algebricamente, isto é, não é possível encontrar uma fórmula geral que envolva soma, subtração, multiplicação, divisão, potências e raízes de índice $n$ que forneça, ao menos, uma solução de qualquer equação do quinto grau. Me desculpe te decepcionar se você veio até aqui procurando por uma fórmula, ela não existe e nunca vai existir (não é a toa que o nome do blog é A Matemática Como Ela É, aqui você vê a realidade.... hehe...). Anos mais tarde, em 1824, um outro matemático chamado Niels Henrik Abel também provou que é impossível resolver algebricamente uma equação do quinto grau. 

Não estou dizendo aqui que é impossível encontrar as raízes de um polinômio de grau $5$, o que é impossível é determinar uma fórmula que possa ser aplicada para calcular as raízes de qualquer polinômio de grau $5$, assim como a Fórmula de Bhaskara é para os polinômios de grau $2$.

Vamos ver aqui alguns exemplos de polinômio de grau $5$ onde suas raízes podem ser calculadas usando o que vimos nas postagens anteriores e propriedades das operações com números reais.

Exemplos:

3. Calcule as raízes do polinômio $f(x) = x^5-1$.

Solução: Para encontrar as raízes desse polinômio, devemos resolver esta equação

$$x^5-1 = 0.$$

Assim, 

\begin{eqnarray}x^5-1=0 & \Rightarrow & x^5=1 \\ & \Rightarrow & \sqrt[5]{x^5} = \sqrt[5]{1} \\ & \Rightarrow & x = 1. \end{eqnarray}

Portanto esse polinômio possui somente uma raiz $x=1$.

4. Calcule as raízes do polinômio $g(x) = x^5-2x^3$.

Solução: Vamos resolver a equação

$$x^5-2x^3=0.$$

Observe que, nessa equação, podemos colocar $x^3$ em evidência. Assim, vamos obter

$$x^3(x^2-2)=0.$$

Da equação acima devemos ter que $x^3=0$ ou $x^2-2=0$. Da primeira equação segue que $x=0$ e da segunda equação

\begin{eqnarray}x^2-2=0 & \Rightarrow & x^2=2 \\ & \Rightarrow & \sqrt{x^2} =  \sqrt{2} \\ & \Rightarrow & x = \pm \sqrt{2}. \end{eqnarray}

Logo, as raízes do polinômio $g(x)$ são $0$, $-\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$.

5. Encontre as raízes do polinômio $h(x) = x^5-3x^3+2x$.

Solução: Temos que resolver a equação 

$$x^5-3x^3+2x=0.$$

Nessa equação podemos colocar $x$ em evidência e, assim, vamos ter

$$x(x^4-3x^2+2)=0.$$

Pela equação acima temos $x=0$ ou $x^4-3x^2+2=0$. Nesse passo já obtivemos uma das soluções, que é $x=0$. Agora falta determinar os valores de $x$ tais que $x^4-3x^2+2=0$. Essa equação é uma equação biquadrada, usando o método apresentado na postagem anterior, temos que as soluções dessa equação são $\pm 1$ e $\pm\sqrt{2}$. Logo, as raízes do polinômio $h(x)$ são $0$, $-1$, $1$, $\sqrt{2}$ e $-\sqrt{2}$.

Nesse exemplos percebemos que, usando o que sabemos das propriedades operacionais de números reais e também o que sabemos sobre encontrar raízes de polinômios de grau menor que $5$, podemos determinar as raízes de alguns casos particulares de polinômios de grau $5$.

E os polinômios de grau maiores que $5$, eles possuem fórmulas para calcular suas raízes? A resposta é: Não! Um matemático francês chamado Évariste Galois que viveu de 1811 a 1832 provou que é impossível encontrar uma fórmula que envolva somas, subtrações, multiplicações, divisões, potências e raízes que forneça raízes de polinômios de grau maior ou igual a $5$. Novamente, isso não significa que esses polinômios não possuem raízes ou que é impossível encontrá-las, o que ele provou é que não existe uma fórmula que determine as raízes qualquer polinômio de grau maior ou igual a $5$. 

Como vimos nos exemplos acima de polinômios de grau $5$, as raízes de alguns casos particulares de polinômios de grau maior que $5$ podem ser encontradas usando propriedades operacionais de números reais, fatoração e o que já sabemos de polinômios de grau menor.

Portanto, como não há fórmulas que determinem as raízes de polinômios de grau maior ou igual a $5$ e as fórmulas para os de grau $3$ e $4$ são complicadas, precisamos de outros métodos para encontrar raízes de polinômios. Por isso, nas próximas postagens veremos outros métodos para determinar raízes de polinômios.

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Polinômios #11: Raízes de polinômios de grau 4 - Fórmula de Ferrari

Nosso estudo sobre raízes de polinômios está avançando, nessa postagem veremos como encontrar raízes de polinômios de grau $4$ ou, pelo menos, tentar fazer isso. Já vimos que é bem fácil determinar a raiz de um polinômio de grau $1$ e que ela sempre existe. Os polinômios de grau $2$ nem sempre possuem raízes reais, mas é sempre possível saber se ele possui raízes reais e, nesse caso, é até que fácil calculá-las. Já no caso de polinômio de grau $3$ as coisas já complicam um pouco (para não dizer muito). A Fórmula de Tartaglia, que fornece uma raiz de um polinômio de grau $3$, é bem complicada e fornece somente uma raiz, que ainda pode ser complexa, assim, ela não é muito prática. E para os polinômio de grau $4$? É, aqui as coisas complicam mais ainda... Vamos ver o que conseguimos fazer para este caso. Vamos lá!

A Fórmula de Ferrari

Um polinômio de grau $4$ sempre vai ter a forma $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2++dx+e$. Uma raiz desse polinômio é um número $x$ tal que $f(x)=0$, ou ainda,

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$

Toda equação no formato da equação acima é chamada equação do quarto grau. Determinar uma raiz de um polinômio de grau $4$ é o mesmo que resolver ou, encontrar as soluções, de uma equação do quarto grau. 

Existe uma fórmula para determinar as raízes de qualquer polinômio de grau $4$, é a chamada Fórmula de Ferrari, porém ela é muito grande e muito complicada de ser usada e, portanto, não é muito útil. Por esse motivo eu não vou demonstrá-la aqui e nem colocar exemplos de como usá-la (existem formas mais eficientes de procurar pelas raízes de polinômios de grau $4$, veremos isso nas próximas postagens).

Para quem quiser conhecer a Fórmula de Ferrari e saber de onde ela vem, vou deixar os links abaixo:

Vídeo aula sobre a Fórmula de Ferrari (muito interessante): Para compreender esse vídeo é bom ter em mente que podemos considerar qualquer polinômio de grau $4$ tendo a forma $f(x) = x^4+\alpha x^3+\beta x^2 + \gamma x + \delta = 0$ na hora de calcular suas raízes. Podemos fazer isso por que as soluções das equações 

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ com $a \neq 0$ e $x^4+\frac{b}{a}x^3+\frac{c}{a}x^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0$

são as mesmas. Para obter a segunda, dividimos a primeira por $a$.

Texto explicando a Fórmula de Ferrari: Se você prefere um texto, nesse link está uma abordagem diferente da do vídeo acima.

A seguir vamos estudar um caso particular de polinômio de grau $4$ para o qual não é necessário usar a fórmula de Ferrari para determinar suas raízes.

Polinômios na forma $f(x) = ax^4+bx^2+c$.

Vamos estudar um meio de determinar as raízes reais de um polinômio de grau $4$ na forma $f(x) = ax^4+bx^2+c$ com $a \neq 0$. Uma raiz desse polinômio é um número $x$ tal que $f(x)=0$, ou ainda, tal que

$ax^4+bx^2+c=0$

As equação no formato acima são chamadas de equações biquadradas. Esse nome se deve ao fato de $x^4 = (x^2)^2$, ou seja, um "duplo" quadrado. Assim, determinar uma raiz de um polinômio no formato do polinômio $f(x)=ax^4+bx^2+c$ é o mesmo que encontrar as soluções de uma equação biquadrada.

Resolver uma equação biquadrada é relativamente fácil, o processo de resolução de uma equação nessa forma  é o seguinte. Primeiramente fazemos uma mudança de variável, substituímos $x^2$ por $y$, isto é, fazemos $y=x^2$. Fazendo isso, a equação biquadrada $ax^4+bx^2+c=0$ fica na forma

\begin{eqnarray}0 &=&  ax^4+bx^2+c  = a(x^2)^2 + bx^2+c \\ &=& ay^2+by+c. \end{eqnarray}

Transformamos então equação $ax^4+bx^2+c=0$ na equação $ay^2+by+c=0$, ou seja, numa equação do segundo grau. Agora, o próximo passo é resolver a equação $ay^2+by+c=0$ usando a Fórmula de Bhaskara ou algum outro método alternativo que possa ser usado e, com os valores de $y$ obtidos, encontrar os valore de $x$ usando o fato de $y=x^2$. Esse é o processo. Vamos fazer alguns exemplos para esse processo de resolução fique ainda mais claro.

Exemplos:

1. Calcule as raízes do polinômio $f(x) = x^4-6x^2+8$.

Solução: Para calcular as raízes desse polinômio, precisamos resolver a seguinte equação

$x^4-6x^2+8=0.$

Como podemos perceber, esta é uma equação biquadrada, assim, vamos fazer a seguinte mudança de variável $y=x^2$. Fazendo essa mudança, a equação acima ficará na forma

$$y^2-6y+8=0.$$

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver esta última equação. Temos

\begin{eqnarray} \Delta = b^2-4ac &=& (-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 8 \\ &=& 36-32 = 4. \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} y = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} &=& \displaystyle\frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} \\ &=& \displaystyle\frac{6 \pm 2}{2}. \end{eqnarray}

Logo, as raízes da equação são $y_1 = \displaystyle\frac{6+2}{2} = 4$ e $y_2 = \displaystyle\frac{6-2}{2} = 2$. Observe que encontramos as soluções da equação $y^2-6y+8=0$, mas queremos as soluções da equação $x^4-6x^2+8=0$. Para isso, basta usar que $y=x^2$, assim

$y_1 = 4 = x^2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{4} = \pm 2$ e 

$y_2 = 2 = x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$.

Portanto as raízes do polinômio $f(x) = x^4-6x^2+8$ são $-2$, $2$, $-\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$.

2. Calcule as raízes do polinômio $f(x) = x^4+x^2-2$.

Solução: Novamente,  para calcular as raízes desse polinômio, precisamos resolver a seguinte equação

$x^4+x^2-2=0.$

Vamos fazer a seguinte mudança de variável $y=x^2$. Fazendo essa mudança, a equação acima ficará na forma

$$y^2+y-2=0.$$

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver esta última equação. Temos

\begin{eqnarray} \Delta = b^2-4ac &=& 1^2-4 \cdot 1 \cdot(-2) \\ &=& 1+8 = 9. \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} y = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} &=& \displaystyle\frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \\ &=& \displaystyle\frac{-1 \pm 3}{2}. \end{eqnarray}

Logo, as raízes da equação são $y_1 = \displaystyle\frac{-1+3}{2} = 1$ e $y_2 = \displaystyle\frac{-1-3}{2} = -2$. Agora vamos usar que $y=x^2$, para determinar as soluções de $x^4+x^2-2$, assim

$y_1 = 1 = x^2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{1} = \pm 1$ e 

$y_2 = -2 = x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-2}$.

Portanto as raízes reais do polinômio $f(x) = x^4+x^2-2$ são $1$ e $-1$, pois não existem números reais que satisfaçam $x=\pm\sqrt{-2}$.

3. Calcule as raízes do polinômio $g(x) = 2x^4+5x^2+4$.

Solução: Precisamos resolver a seguinte equação

$2x^4+5x^2+4=0.$

Fazendo a  mudança de variável $y=x^2$, vamos obter a equação

$$2y^2+5y+4=0.$$

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver esta última equação. Temos

\begin{eqnarray} \Delta = b^2-4ac &=& 5^2-4 \cdot 2 \cdot 4 \\ &=& 25-32 = -7. \end{eqnarray}

Como $\Delta < 0$, segue que a equação do segundo grau em $y$ não possui raízes reais e, desse modo, a equação original $2x^4+5x^2+4=0$ também não possui raízes reais.

4. Calcule as raízes do polinômio $h(x) = 3x^4 - x^2$.

Solução: Temos resolver a seguinte equação

$3x^4-x^2=0.$

Fazendo a mudança de variável $y=x^2$, vamos obter a equação

$$3y^2-y=0.$$

Não precisamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação acima, podemos resolver da seguinte forma

\begin{eqnarray} 3y^2-y=0  &\Rightarrow& y(3y-1)=0.  \end{eqnarray}

Logo, as raízes dessa equação são $y_1 = 0$ e $y_2=\frac{1}{3}$ (que veio do fato de $3y-1=0$). Usando que $y=x^2$, temos

$y_1 = 0 = x^2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{0} = 0$ e 

$y_2 = \frac{1}{3} = x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Logo, as raízes da equação $3x^4-x^2=0$ são, $0$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$, e $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

5. Calcule as raízes do polinômio $h(x) = 2x^4 - 8$.

Solução: Temos resolver a seguinte equação

$2x^4-8=0$

Fazendo a mudança de variável $y=x^2$, vamos obter a equação

$$2y^2-8=0.$$

Também não precisamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação acima, podemos resolver da seguinte forma

\begin{eqnarray} 2y^2-8=0  &\Rightarrow& 2y^2-8=0 \\ & \Rightarrow& y^2 = 4 \\ y=\pm 2.   \end{eqnarray}

Logo, as raízes dessa equação são $y_1 = 2$ e $y_2=-2$. Usando que $y=x^2$, temos

$y_1 = 2 = x^2 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$ e 

$y_2 = -2 = x^2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-2} $.

Como não existe $x$ real tal que $x = \pm \sqrt{-2}$, as raízes da equação $2x^4-8=0$ são, $-\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$.

Exemplo em vídeo:

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Polinômios #10: Uma fórmula para determinar uma raiz de um polinômio de grau 3 - Fórmula de Tartaglia

Na postagem #8 aprendemos como encontrar a raiz de um polinômio de grau $1$, que sempre existe, na postagem #9 aprendemos a verificar se um polinômio de grau $2$ tem raízes reais e, em caso, afirmativo, como calculá-las. Nessa postagem vamos ver uma fórmula para determinar uma raiz de um polinômio de grau 3. Essa fórmula não é muito bem conhecida e eu também não me lembro de tê-la aprendido na escola (você verá o porquê disso). O nome dessa fórmula é Fórmula de Tartaglia ou Fórmula de Cardano. O objetivo dessa postagem é apresentar essa fórmula mais a título de curiosidade, pois ela não é muito prática, na verdade. Nas postagens seguintes veremos métodos mais eficientes para determinar as raízes de um polinômio. Mas, mesmo assim, é interessante saber que existe uma fórmula para calcular uma raiz de um polinômio de grau $3$. Vamos lá!

Fórmula de Tartaglia ou Fórmula de Cardano

Qualquer polinômio de grau $3$ tem a forma $p(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ com $a \neq 0$. Assim, para obtermos uma raiz de $p(x)$ devemos resolver a equação

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

Equações no formato acima são chamadas de equações do terceiro grau. Procurar por uma raiz de $p(x)$ é o mesmo que procurar por uma solução da equação $ax^3+bx^2+cx+d=0$. Sendo assim, a seguir vamos procurar por uma fórmula que determine uma solução da equação $ax^3+bx^2+cx+d=0$.

Considere a equação $ax^3+bx^2+cx+d=0$. Vamos fazer uma mudança na incógnita $x$, vamos reescrevê-la como $x=y+m$ onde $m$ é um número qualquer. Desse modo podemos reescrever a equação $ax^3+bx^2+cx+d=0$ como segue:

\begin{eqnarray} ax^3 + bx^2 + cx + d &=& 0 \\ a(y+m)^3 + b(y+m)^2 + c(y+m) + d &=& 0 \\ a(y^3+3y^2m+3ym^2+m^3) + b(y^2+2ym+m^2)+cy+cm +d &=& 0 \\ ay^3+y^2(3am+b)+y(3am^2+2mb+c)+am^3+bm^2+cm+d &=& 0 \\ y^3+y^2\left(\frac{3am+b}{a}\right)+y\left(\frac{3am^2+2mb+c}{a}\right)+\frac{am^3+bm^2+cm+d}{a} &=& 0  \end{eqnarray}

Bom, olhando para a última equação que escrevemos, parece que as coisas complicaram, não é? Mas, na verdade, não. A fim de tornar a última equação mais simples, vamos determinar um $m$ para o qual $3am +b =0$. Isso deixará a última equação mais simples, pois não teremos o termo com $y^2$. Então, para que $3am+b = 0$, devemos ter

\begin{eqnarray} 3am+b &=&0 \\ 3am &=& -b \\ m &=& -\frac{b}{3a}\end{eqnarray}

Assim, na substituição que fizemos no início $x=y+m$, tomando $m=-\displaystyle\frac{b}{3a}$, conseguimos transformar a equação $ax^3+bx^2+cx+d=0$ numa equação na forma $y^3+py+q=0$, onde $p=\displaystyle\frac{3am^2+2mb+c}{a}$ e $q = \displaystyle\frac{am^3+bm^2+cm+d}{a}$. Temos que concordar que a equação $y^3+py+q=0$ é mais simples que $ax^3+bx^2+cx+d=0$. Um fato importante aqui é que, se determinarmos um $y$ que satisfaz $y^3+py+q=0$, como $x=y-\displaystyle\frac{b}{3a}$, vamos determinar um $x$ que satisfaz $ax^3+bx^2+cx+d=0$.

Vamos ver agora um exemplo de como fazer, na prática, essa mudança na incógnita $x$.

Exemplo:

1. Considere o polinômio $x^3+3x^2+x+1=0$. Nesse polinômio temos $a=1$ e $b=3$, assim, temos $m = -\displaystyle\frac{3}{3\cdot 1} = -1$. Logo, a substituição que vamos fazer é $x=y-1$ e, desse modo

\begin{eqnarray} x^3+3x^2+x+1 &=& 0 \\ (y-1)^3+3(y-1)^2+(y-1)+1 &=& 0 \\ y^3-3y^2+3y-1+3y^2-2y+1 +1 &=& 0 \\ y^3-2y+2 &=& 0. \end{eqnarray}

Fazendo a substituição $y=x-1$, transformamos a equação $x^3+3x^2+x+1=0$ na equação mais simples $y^3-2y+2=0$.

Por qual motivo fizemos essa substituição na equação do terceiro grau? O motivo de fazer essa substituição é que a fórmula que vamos obter para encontrar uma solução de uma equação do terceiro grau só pode ser aplicada em equações do tipo $x^3+px+q=0$. Desse modo, se uma equação não estiver nessa forma, precisamos primeiramente transformá-la numa equação dessa forma (como no exemplo 1) para depois aplicar a fórmula que vamos ver a seguir. Vamos seguir os passos do matemático Tartaglia (1535) para chegar na fórmula, que recebe seu nome, Fórmula de Tartaglia.

Tartaglia supôs que a solução da equação $x^3+px+q=0$ tinha a forma $x = A+B$. Desse modo, vamos ter

\begin{eqnarray} x^3 = (A+B)^3 &=& A^3+3A^2B+3AB^2+B^3 \\ &=& (A^3+B^3) + 3AB(A+B) \\ &=& (A^3+B^3)+3ABx. \end{eqnarray}

Desse modo, obtemos $x^3-3ABx-(A^3+B^3)=0$. Comparando essa última iguldade com $x^3+px+q=0$, vamos ter que

$$p=-3AB \mbox{ e } q = -(A^3+B^3)$$

Ou ainda, na forma de sistema

$$\left\{\begin{array}{ccc} A^3  +  B^3 & =& -q \\ A^3 \cdot B^3 &=& -\left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3. \end{array} \right.$$

Se conseguirmos resolver esse sistema, isto é, se conseguirmos encontrar $A$ e $B$ dependendo que $p$ e de $q$ (que são dados na equação $x^3+px+q=0$) vamos ter uma fórmula para resolver esta equação. Bom, aí surge uma pergunta: Como vamos resolver esse sistema? Vamos deixar o sistema acima guardado e vamos resolver, de uma forma geral, sistemas que possuem o formato do sistema acima. 

Considere o sistema

$$\left\{\begin{array}{ccc} z  +  w & =& s \\ z \cdot w &=& r. \end{array} \right.$$

Observe que esse sistema se torna aquele que queremos resolver se fizermos $z = A^3$, $w=B^3$, $s = -q$ e $r =-\left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3$

Afirmo que a solução do sistema anterior é $z = s \pm \displaystyle\frac{\sqrt{s^2 - 4r}}{2}$ e $w = s \mp \displaystyle\frac{\sqrt{s^2-4r}}{2}$. De fato, pela primeira equação do sistema, segue que, $w=s-z$. Substituindo essa igualdade na segunda equação, temos

\begin{eqnarray} r = z \cdot w &=& z(s-z) \\ &=& sz-z^2  \end{eqnarray}

O que implica em $z^2-sz+r=0$. Aplicando a fórmula de Bhaskara a esta última equação, vamos ter

$z = \displaystyle\frac{s \pm \sqrt{s^2+4r}}{2} = \displaystyle\frac{s}{2} \pm \displaystyle\frac{\sqrt{s^2+4r}}{2}$.

Substituindo esse $z$ em $w = s-z$, vamos ter

\begin{eqnarray} w &=& s-\left(\displaystyle\frac{s}{2} \pm \displaystyle\frac{\sqrt{s^2-4r}}{2}\right) \\ &=& s-\displaystyle\frac{s}{2} \mp \displaystyle\frac{\sqrt{s^2-4r}}{2} \\ &=& \displaystyle\frac{s}{2} \mp \displaystyle\frac{\sqrt{s^2-4r}}{2} \end{eqnarray}

Observe que, quando temos o $\pm$ como sendo $+$ em $z$, o $\mp$ em $w$ é igual a $-$ e vice versa. Portanto a solução do sistema é

$$z = \displaystyle\frac{s}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{s^2+4r}}{2}$$ e 

$$w = \displaystyle\frac{s}{2} - \displaystyle\frac{\sqrt{s^2+4r}}{2}.$$

Voltando ao sistema

$$\left\{\begin{array}{ccc} A^3  +  B^3 & =& -q \\ A^3 \cdot B^3 &=& -\left(\displaystyle\frac{p}{q}\right)^3. \end{array} \right.,$$

fazendo $z = A^3$, $w=B^3$, $s = -q$, $r =-\left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3$ e usando asolução do sistema geral que obtivemos acima, temos

\begin{eqnarray} A^3 &=& -\displaystyle\frac{q}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(-q)^2 - 4 \cdot\left(-\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3} \\ &=& -\displaystyle\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\displaystyle\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3} \end{eqnarray}

o que implica em 

$$A = \sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} +\sqrt{\left(\displaystyle\frac{q}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3}}$$

e

\begin{eqnarray} B^3 &=& -\displaystyle\frac{q}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(-q)^2 - 4 \cdot\left(-\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3} \\ &=& -\displaystyle\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\displaystyle\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3} \end{eqnarray}

o que implica

$$B= \sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} -\sqrt{\left(\displaystyle\frac{q}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3}}.$$

Portanto, uma solução da equação $x^3+px+q=0$, ou de forma equivalente, uma raiz do polinômio $f(x) = x^3+px+q=0$ é

$$x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}$$

Exemplo:

2. Encontre uma raiz do polinômio $f(x) = x^3-6x-9$.

Solução: Encontrar uma raiz do polinômio $f$ é o mesmo que calcular uma solução da equaçaõ $x^3-6x-9=0$. Note que esta equação já está na forma $x^3+px+q=0$ com $p=-6$ e $q=-9$. Desse modo, aplicando a fórmula de Tartaglia, temos

\begin{eqnarray} x &=& \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} \\ &=&\sqrt[3]{-\frac{-9}{2}+\sqrt{\left(\frac{-9}{2}\right)^2 + \left(\frac{-6}{2}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{-9}{2} - \sqrt{\left(\frac{-9}{2}\right)^2+\left(\frac{-6}{2}\right)^3}} \\ &=& \sqrt[3]{\frac{9}{2}+\sqrt{\frac{81}{4}+(-2)^3}}+\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\sqrt{\frac{81}{4}+(-2)^3}} \\ &=& \sqrt[3]{\frac{9}{2}+\sqrt{\frac{81}{4}-8}}+\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\sqrt{\frac{81}{4}-8}}  \\ &=& \sqrt[3]{\frac{9}{2}+\sqrt{\frac{49}{4}}}+\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\sqrt{\frac{49}{4}}} \\ &=& \sqrt[3]{\frac{9}{2}+\frac{7}{2}}+\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\frac{7}{2}} \\ &=& \sqrt[3]{\frac{16}{2}}+\sqrt[3]{\frac{2}{2}} \\ &=& \sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{1} = 2+1 = 3  \end{eqnarray}

Portanto $x=3$ é uma raiz do polinômio $f(x) = x^3-6x-9$.

Observação:

(i) Nem sempre a fórmula de Tartaglia fornece uma raiz real. A expressão dentro das raízes quadradas pode ser negativa dependendo do $p$ e do  $q$.

(ii) Essa fórmula é bem complicada e, assim, não é muito útil, até por que ela nos dá somente uma raiz que pode não ser real. Nas próximas postagens veremos maneiras mais eficientes de encontrar as raízes de um polinômio de grau $3$.

(iii) Se o polinômio não estiver na forma $x^3+px+q$, vai ser ainda mais complicado encontrar uma de suas raízes pela fórmula de Tartaglia, pois antes de aplicar a fórmula deve ser feita uma mudança na variável $x$. (Talvez por isso não te ensinaram isso na escola)

(iv) Todo polinômio de grau 3 possui pelo menos uma raíz real.

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Polinômios #9: Raízes reais de polinômios de grau 2 (equação do segundo grau)

 No post anterior começamos a estudar métodos para encontrar raízes de polinômios. Começamos bem do começo mesmo, dos polinômios de grau $1$. Nessa postagem vamos avançar em nossos estudos sobre raízes de polinômios, vamos ver uma forma de determinar se um polinômio de grau $2$  possui raízes reais e, se possuir, vamos estudar formas de determiná-las. Vamos lá!

Raízes reais de polinômios de grau 2 (equação do segundo grau)

Considere $f(x)$ um polinômio de grau $2$ sobre $\mathbb{R}$. Desse modo, $f(x)$ possui a seguinte forma:

$f(x) = ax^2+bx+c$ com $a \neq 0$.

Uma raiz de $f(x)$ é um valor de $x$ para o qual $f(x) = 0$, ou seja, uma raiz de $f(x)$ vai satisfazer a equação

$ax^2+bx+c = 0$

Qualquer equação no formato da equação acima é chamada de equação do segundo grau. Assim, as raízes de um polinômio de grau $2$ são as soluções de uma equação do segundo grau (também conhecida como equação quadrática) formada pelo polinômio igualado a $0$.

Para verificarmos se um equação do segundo grau $ax^2+bx+c=0$ possui solução real (ou equivalentemente, se um polinômio $f(x) = ax^2+bx+c$ possui raízes reais) usamos uma fórmula chamada Fórmula de Bhaskara, que é dada por

$x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Essa fórmula também pode ser escrita em duas partes, denotando por $\Delta$ (letra maiúscula do alfabeto grego chamada Delta) o que está dentro da raiz, ficando na forma

$\Delta = b^2 - 4ac \mbox{ e } x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Os números $a$, $b$ e $c$ que estão na fórmula de Bhaskara são os mesmos que estão na equação $ax^2+bx+c=0$.

Como estamos interessados em raízes reais ou soluções reais, é interessante usar a Fórmula de Bhaskara em duas partes. O Delta é usado para saber se uma equação do segundo grau não possui raízes reais, se possui somente uma raiz real ou se possui duas raízes reais. Ele é usado da seguinte forma:

• Se $\Delta < 0$, $f$ não possui raiz real;
• Se $\Delta = 0$, vamos ter $x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \displaystyle\frac{-b}{2a}$, ou seja, $f$ possui somente uma raiz $x = \displaystyle\frac{-b}{2a}$;
• Se $\Delta > 0$, vamos ter $x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, ou seja, temos duas raízes, a saber, $x_1 = \displaystyle\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ e $x_2 = \displaystyle\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Se você quiser saber mais detalhes sobre a Fórmula de Bhaskara e de onde ela veio, veja essa postagem:

Funções Quadráticas #2: Raízes ou zeros de uma função quadrática (equação do segundo grau) e a Fórmula de Bhaskara

Vamos ver agora alguns exemplos de como usar a Fórmula de Bhaskara para determinar as raízes de um polinômio de grau $2$.

Exemplos:

1. Determine as raízes do polinômio $f(x) = 2x^2+5x-3$.

Solução: Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara. Para isso, precisamos saber quem são os coeficientes $a,b$ e $c$ da fórmula. Temos $f(x) = 2x^2+5x-3$, o que nos dá $a=2$, $b=5$ e $c=-3$. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

$$\Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25+24 = 49 \mbox{ e }$$

$$x = \displaystyle\frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \displaystyle\frac{-5 \pm 7}{4}$$

$$\Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{-5 + 7}{4} = \displaystyle\frac{2}{4} = \displaystyle\frac{1}{2} \mbox{ e } x_2 = \displaystyle\frac{-5 - 7}{4} = \displaystyle\frac{-12}{4} = -3.$$

Portanto, $f$ possui duas raízes, $x_1 = \displaystyle\frac{1}{2}$ e $x_2 = -3$.

2. Verifique se o polinômio $g(x) = x^2+4x+5$ possui raízes reais.

Solução: Nesse exercício basta calcular $\Delta$, pois por meio dele saberemos se $g$ possui raízes reais. Nesse exemplo temo $a=1$, $b=4$ e $c=5$. Vejamos:

$$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16-20 = -4.$$

Como $\Delta < 0$, o polinômio $g$ não possui raízes reais.

3. Calcule as raízes polinômio $f(x) = -3x^2+1$.

Solução: Basta aplicar a Fórmula de Bhaskara. Aqui nós temos $a=-3$, $b = 0$ e $c = 1$, assim:

$$\Delta = 0^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 1 = 12 \mbox{ e }$$

$$x = \displaystyle\frac{0 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot (-3)} = \displaystyle\frac{\pm 2\sqrt{3}}{-6} = \displaystyle\frac{ \mp \sqrt{3}}{3}.$$

Assim, as raízes de $f$ são $x_1 = \displaystyle\frac{-\sqrt{3}}{3}$ e $x_2 = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4. Quais são as raízes de $h(x) = x^2 - x$?

Solução: Nesse exemplo temos $a = 1$, $b = -1$ e $c =0$. Novamente, pela fórmula de Bhaskara, temos:

$$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 1 \mbox{ e }$$

$$x = \displaystyle\frac{-(-1) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \displaystyle\frac{1 \pm 1}{2}$$

Assim, as raízes de $f$ são $x_1 = 1$ e $x_2 = 0$.

5. Determine as raízes do polinômio $f(x) = \displaystyle\frac{1}{4}x^2 -3x+9$.

Solução: Aplicando a fórmula de Bhaskara para $a = \displaystyle\frac{1}{4}$, $b = -6$ e $c = 9$, temos:

$$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot \displaystyle\frac{1}{4} \cdot 9 = 9-9=0 \mbox{ e }$$

$$x = \displaystyle\frac{-(-3) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \displaystyle\frac{3}{\frac{1}{2}} = 6.$$

Assim, $f$ possui somente uma raiz $x = 6$.

 A Fórmula de Bhaskara serve para determinar as raízes de qualquer polinômio sobre $\mathbb{R}$, por esse motivo ela é muito importante. Porém, em alguns casos particulares de polinômios de grau $2$, ela não é necessária para encontrar as raízes desses polinômios, há formas mais simples de determinar as raízes. A seguir vamos ver esses casos particulares e as formas alternativas que podemos usar para determinar as raízes desses casos particulares.

Exemplos: 

Função quadrática na forma $f(x) = ax^2+bx$

6. Determine as raízes do polinômio $f(x) = 2x^2+3x$.

Solução: Fazendo $2x^2+3x=0$, temos, colocando $x$ em evidência,

$$x(2x+3)=0.$$

Assim, as raízes são $x=0$ e

$$2x+3=0$$

$$2x=-3$$

$$x=-\displaystyle\frac{3}{2}.$$

Função quadrática na forma $f(x) = ax^2-c$ ($a, c \in \mathbb{R}$ com $a,c >0$ ou $a,c<0$)

7. Determine as raízes do polinômio $f(x) = 4x^2-8$.

Solução: Fazendo $4x^2 - 8 =0$, vamos ter

$$4x^2 - 8 = 0$$

$$4x^2 = 8$$

$$x^2 = \displaystyle\frac{8}{4}$$

$$x^2 = 2.$$

$$x = \pm \sqrt{2}$$

Assim, as raízes de $f$ são $x_1 = \sqrt{2}$ e $x_2 = -\sqrt{2}$.

8. Determine as raízes do polinômio $g(x) = -x^2+9$.

Solução: Fazendo $-x^2+9 =0$, vamos ter

$$-x^2 + 9 = 0$$

$$-x^2 = -9$$

$$x^2 = 9$

$$x = \pm \sqrt{9}$$

Assim, as raízes de $g$ são $x_1 = \sqrt{9}=3$ e $x_2 = -\sqrt{9}=-3$.

Soma e Produto

Além da Fórmula de Bhaskara e esses casos particulares mencionados acima, há ainda uma outra forma de determinar as raízes de um um polinômio de grau $2$ chamada Soma e Produto. Esse método para encontrar as raízes de um polinômio de grau $2$ não dispensa a Fórmula de Bhaskara, a Soma e Produto só pode ser aplicada em alguns casos. Vejamos mais detalhes sobre a Soma e Produto a seguir.

Considere um polinômio $f(x) = x^2+bx+c$, ou seja, com  $a=1$. Suponha que $f$ possua duas raízes $m, n \in \mathbb{R}$ que podem ser iguais. Se $m$ e $n$ são raízes de $f$, pode ser provado (usando divisão de polinômios) que $f$ pode ser escrita na forma:

$$f(x) = (x-m)(x-n).$$

Fazendo a distributiva no segundo membro da igualdade acima, temos

$$f(x) = x^2-xn-mx+mn = x^2-(m+n)x+mn.$$

Desse modo, temos a igualdade:

$$x^2+bx+c =  x^2-(m+n)x+mn,$$

que só é possível se $b = -(m+n)$ e $c = mn$. Portanto, se sabemos que $f$ possui duas raízes $m$ e $n$ ainda desconhecidas, que podem ser iguais, para determiná-las, basta encontrarmos dois números $m$ e $n$ tais que $b = -(m+n)$ e $c = mn$. Essa método é chamado Soma e Produto 

Exemplos

9. Determine as raízes do polinômio $f(x) = x^2-5x+6$.

Solução: Nesse polinômio temos $b=-5$ e $c=6$. De acordo a soma e produto, se encontrarmos dois números reais $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = -5$ e $mn = 6$, esses números são raízes de $f$. Observe que, para $m=2$ e $n=3$ valem $-(2+3) = -5$ e $2 \cdot 3 = 6$. Logo as raízes do polinômio $f$ são $x_1 = 2$ e $x_2 = 3$.

10. Determine as raízes o polinômio $f(x) = x^2 +3x-4$.

Solução: Nesse polinômio temos $b=3$ e $c=-4$. De acordo com a regra soma e produto, se encontrarmos dois números reais $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = 3$, ou ainda $m+n=-3$ e $mn = -4$, esses números são raízes de $f$. Observe que, para $m=-4$ e $n=1$ valem $(-4+1) = -3$ e $(-4) \cdot 1 = -4$. Logo as raízes da função quadrática $f$ são $x_1 = -4$ e $x_2 = 1$.

11. Determine as raízes do polinômio $g(x) = 2x^2-3x-2$.

Solução: Aparentemente, não é possível usar soma e produto para calcular as raízes do polinômio $g$ pois $a = 2 \neq 1$. Porém podemos usar sim. Observe que a equação

$$2x^2-3x-2=0 \mbox{ é equivalente a } 2(x^2-\frac{3}{2}x-1)=0.$$

Isto é, para encontrar as raízes de $g$, basta encontrarmos as soluções da equação

$$x^2-\frac{3}{2}x-1=0.$$

Observe que podemos usar soma e produto para determinar as raízes de $h(x) = x^2-\frac{3}{2}x-1$. Note que $-(-\frac{1}{2}+ 2) = -\frac{3}{2}$ e $-\frac{1}{2} \cdot 2 =  -1$. Desse modo, as soluções de $f$ são $x_1 = -\frac{3}{2}$ e $x_2 = 2$.

Exemplo em vídeo:

Observação:

(a) Apesar da soma e produto ser aparentemente mais fácil de se usar para obter as raízes de um polinômio, ela não tem o poder de nos dar a informação sobre a existência de raízes reais de um polinômio. Além disso, dependendo dos coeficientes $b$ e $c$, vai ficar difícil de encontrar as raízes por soma e produto. Então, é aconselhável saber como usar a Fórmula de Bhaskara, pois ela sempre funciona.

(b) A regra soma e produto não facilita as contas em qualquer caso, por exemplo, considere o polinômio

$$f(x) = x^2 +\sqrt{2}x-\pi.$$

Esse polinômio possui duas raízes reais distintas $m$ e $n$. Por meio de soma e produto, devemos determinar $m$ e $n$ tais que $-(m+n) = \sqrt{2}$ e $mn = \pi$. Essa com certeza não é uma tarefa fácil. Logo, nesse caso deve-se se usar a velha e boa fórmula de Bhaskara.

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