Teoria dos Conjuntos #8: Diferença de conjuntos

 Já vimos as operações de união e de interseção de conjuntos e suas propriedades, agora podemos seguir em frente com a operação de diferença de conjuntos. Essa operação não é tão frequente nos cálculos matemáticos básicos, mas aparece com uma certa frequência em cálculos mais avançados e no ensino superior. Apesar disso, a diferença de conjuntos não é uma operação complexa, pelo contrário, é bem simples. Então, vamos aprender o que é a diferença de conjuntos.

Diferença de Conjuntos

Considere dois conjuntos $A$ e $B$ quaisquer. Chamamos diferença de conjuntos, denotada por $A-B$, a operação entre conjuntos definida por

$$A-B = \{x:x \in A \mbox{ e } x \notin B\}.$$

Ou seja, o conjunto $A-B$ é formado pelos elementos que estão em $A$ mas não estão em $B$.

A diferença de conjuntos, algumas vezes, aparece denotada como $A \backslash B$.

Podemos visualizar essa operação por meio de diagramas.

$A-B$

Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1. Considere os conjuntos

$$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} \mbox{ e } B=\{2,4,6,8\}.$$

Determine $A-B$.

Solução: Pela definição de diferença de conjuntos, o conjunto $A-B$ é formado pelos elementos que estão em $A$ e não estão em $B$. Logo,

$$A-B=\{1,3,5,7\}.$$

2. Sejam $A = \{a,b,c,d\}$ e $B = \{c,d,e,f\}$. Determine $A-B$.

Solução: Novamente, usando a definição de diferença de conjuntos temos

$$A-B = \{a,b\}.$$

3. Considere os seguintes conjuntos

$$A=\{\{1,2\},3,5,7\} \mbox{ e } B=\{1,2,9,11\}.$$

Determine $A-B$.

Solução: Neste caso, $A-B = \{\{1,2\},3,5,7\}$, que é o próprio conjunto $A$. Isso ocorre pois nenhum elemento de $A$ está em $B$, ou seja, todo elemento de $A$ não é elemento de $B$. Assim, quando procuramos, dentre os elementos de $A$, aqueles que não estão em $B$, vemos que todos os elementos de $A$ não estão em $B$, logo, $A-B = A$.

4. Sejam $A = \{a,b\}$ e $B=\{1,a,b,2\}$. Determine $A-B$.

Solução: O conjunto $A-B$ é formado por todos os elementos de $A$ que não estão em $B$. Nesse caso, todos os elementos de $A$ estão também em $B$, em outras palavras, não existe elemento em $A$  que não esteja em $B$. Portanto $A-B = \emptyset$.

5. Considere os conjuntos 

$$A = \{a,b,c,1,2\}; \mbox{ } B = \{b,c,3,4,5\} \mbox{ e } C = \{3,4,5\}.$$

Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.

(a) $b \in A-B$

(b) $a \in A-C$

(c) $5 \notin B-C$

(d) $2 \notin A-B$

(e) $\{1,2\} \subset A-C$

Solução: 

(a) Falso. Observe que $b \in A$ e $b \in B$. Desse modo $b \notin A-B$.

(b) Verdadeiro. Temos que $a \in A$ e $a \notin C$, ou seja, $a$ satisfaz a definição para estar em $A-C$.

(c) Verdadeiro. Observe que $5$ está em $B$ e está em $C$, logo $5$ não pode estar em $B-C$.

(d) Falso. Temos que $2 \in A$ e $2 \notin B$, logo $2 \in A-B$.

(e) Verdadeiro. O números $1$ e $2$ estão no conjunto $A$ e não estão no conjunto $C$. Desse modo, os elementos de $\{1,2\}$ estão em $A-C$. Logo, pela definição de inclusão de conjuntos $\{1,2\} \subset A-C$.

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Teoria dos Conjuntos #4: Igualdade de Conjuntos

 Nos posts anteriores sobre teoria dos conjuntos (acesse-os aqui), vimos as definições de elementos e conjuntos, a relação de pertinência, a definição de subconjuntos e a relação de inclusão. A relação de pertinência ocorre entre um objeto e um conjunto e a relação de inclusão ocorre entre dois conjuntos. Mas, ainda existe outra relação entre conjuntos, a relação de igualdade.

Você sabe quando dois conjuntos são iguais? Bom, temos essa relação de igualdade meio que de modo natural em nossa mente, é difícil até defini-la, basta você olhar dois objetos, se eles são iguais, então eles são iguais, não é mesmo?  Porém, quando se trata de igualdade na matemática, temos que tomar cuidado. Para cada classe de objetos matemáticos, há uma definição específica de igualdade. Por exemplo, há uma definição para igualdade de números, há outra para funções, outra para matrizes e outra para conjuntos. Veremos aqui a definição de igualdade de conjuntos.

Igualdade de Conjuntos

Considere dois conjuntos quaisquer $A$ e $B$. Dizemos que $A$ é igual a $B$ e, denotamos por $A=B$, quando $A \subset B$ e $B \subset A$. Em outra palavras,  os conjuntos $A$ e $B$ são iguais quando $A$ está contido em $B$ e $B$ está contido em $A$, ou ainda, quando $A$ é subconjunto de $B$ e $B$ é subconjunto de $A$.

Podemos ainda dizer que os conjuntos $A$ e $B$ são iguais quando todo elemento de $A$ também é elemento de $B$ e todo elemento de $B$ também é elemento de $A$.

Quando $A \not\subset B$ ou $B \not\subset A$ dizemos que $A$ é diferente de $B$ e denotamos isso por $A \not= B$.

Exemplos

1. Considere os conjuntos 

$$A = \{2,3,4,5, \dots\} \mbox{ e } B = \{x \in \mathbb{N}:x\geq2\}.$$

Temos que $A=B$, pois todo elemento de $A$ é elemento de $B$ e todo elemento de $B$ é elemento de $A$.

2. Considere os conjuntos

$$A=\{x \in \mathbb{R}: x>0 \} \mbox{ e } B=\{1,2,3,4, \dots\}.$$

Nesse caso, temos que $B \subset A$, pois os elementos de $B$ são números naturais (em particular, números reais) que são maiores que $0$. Porém $A \not\subset B$ pois $\displaystyle\frac{1}{2} \in A$ e $\displaystyle\frac{1}{2} \not\in B$. Logo $A \not= B$.

3. Considere os conjuntos

$$A=\{x \in \mathbb{Z}: x \mbox{ divide } 10\}, \mbox{ } B=\{-10,-5,-2,-1,0,1,2,5,10\} \mbox{ e } C=\{x \in \mathbb{Z}:x \leq 10\}.$$

Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro ou falso.

(a) $A=B$

(b) $A=C$

(c) $B \neq C$

Solução:

(a) Verdadeiro. Os elementos de $B$ são $-10$, $-5$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $5$ e $10$. Como todos esses números são divisores de $10$, segue que eles estão em $A$. Logo $B \subset A$. Por outro lado,  todos os divisores de $10$ são $-10$, $-5$, $-2$, $-1$, $1$, $2$, $5$ e $10$. Esses são exatamente os elementos de $B$. Assim $A \subset B$. Portanto $A = B$.

(b) Falso. O número $-11 \in C$, porém $-11 \not\in A$, isto é, $A \not\subset C$. Logo, não podemos ter a igualdade $A = C$.

(c) Verdadeiro. O número $-3 \in C$, porém $-3 \not\in B$. Assim, $C \not\subset B$, ou seja, $B \neq C$.

Outros símbolos usados para inclusão de conjuntos

Agora, com a definição de igualdade de conjuntos, podemos introduzir alguns símbolos diferentes usados para indicar inclusão. Dados conjuntos $A$ e $B$ quaisquer, temos

• $A \subseteq B$: $A$ está contido ou é igual a $B$;
• $A \supseteq B$: $A$ contém ou é igual a $B$;
• $A \not\subseteq B$: $A$ não está contido em $B$;
• $A \not\supseteq B$: $A$ não contém $B$;
• $A \subsetneq B$: $A$ está contido em $B$ e é diferente de $B$;
• $A \supsetneq B$: $A$ contém $B$ e é diferente de $B$;

No exemplo 2 podemos escrever $B \subsetneq A$ ou, de modo equivalente, $A \supsetneq B$, pois $B$ está contido em $A$ e é diferente de $A$. Nesse mesmo exemplo podemos também escrever $A \not\subseteq B$ ou $B \not\supseteq A$, pois $A$ não está contido em $B$. 

No exemplo 3 temos $A \subsetneq C$ ou, de maneira equivalente, $C \subsetneq A$, pois $A$ está contido em $C$ e é diferente de $C$. Também temos $C \not\subseteq A$, ou ainda, $C \not\supseteq A$ pois $C$ não está contido em $A$.

No exemplo 3 temos que $A = B$. Isso implica todas essas inclusões: $A \subset B$ ($B \supset A$), $B \subset A$ ($A \supset B$), $A \subseteq B$ ($B \supseteq A$) e $B \subseteq A$ ($B \supseteq A$).

Quando temos dois conjunto $A$ e $B$ com $A \subsetneq B$ ou $B \supsetneq A$, dizemos que $A$ é um subconjunto próprio de $B$. No exemplo 2, $B$ é um subconjunto próprio de $A$.

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Teoria dos Conjuntos #3 - Detalhes sobre as relações de pertinência e de inclusão

 Esse é o terceiro post sobre Teoria dos Conjuntos. No primeiro post tratamos sobre a definição de conjuntos e elementos e no segundo tratamos sobre subconjuntos. Se você ainda não deu uma olhada lá, sugiro que dê. Nesse post vamos misturar um pouco as coisas, vamos tratar de conjuntos, elementos e subconjuntos tudo misturado.. É muito importante saber quando usar a relação de inclusão ("contido em" e "não está contido em") e a relação de pertinência ("pertence a" e "não pertence a"). Vamos lá!

Sobre a diferença entre a relação de pertinência e a relação de inclusão

Dado um um objeto $x$ e um conjunto $A$, podemos verificar se $x \in A$ ou se $x \not\in A$. Essa é a relação de pertinência entre objetos e conjuntos. Dados dois conjuntos $A$ e $B$, podemos verificar de $A \subset B$ ou se $A \not\subset B$. Essa é a relação de inclusão de conjuntos. Aqui, nós podemos perceber que a relação de pertinência se dá entre objetos e conjuntos e a relação de inclusão se dá entre dois conjuntos. Sendo assim, é errado dizer que um elemento está contido num conjunto  e que um conjunto pertence a outro conjunto.

Sobre a notação de conjunto

Dado um objeto qualquer $x$, $x$ e $\{x\}$ significam coisas diferentes. O primeiro é simplesmente o objeto $x$, o segundo é o conjunto que só tem $x$ como elemento. Um elemento sozinho, sem estar entre chaves, nunca será um conjunto.

Um conjunto pode ser um elemento?

Bom, vimos acima que um objeto sozinho nunca será um conjunto, mas é possível que um conjunto seja um elemento de outro conjunto? A resposta é sim.

Considere o seguinte conjunto:

$$P = \{\{a\}, b, c\}$$

Os elementos desse conjunto são $\{a\}$, $b$ e $c$. Nesse caso, o conjunto $\{a\}$ é um elemento do conjunto $P$. Assim, podemos dizer que $\{a\}$ pertence a $P$, ou em símbolos, $\{a\} \in P$.  E, porquê isso? Simplesmente porque $\{a\}$ está listado como elemento de $P$. Como $\{a\}$ é um elemento de $P$, está errado dizer que $\{a\} \subset P$, pois para que isso fosse verdade, teríamos que ter $a \in P$, mas isso não ocorre, $a$ (sozinho, sem as chaves) não é listado como elemento de $P$. 

Exemplo

1. Dado os seguintes conjuntos

$$A = \{a,b,c,d\}, \mbox{ } B=\{\{a\}, b, c,\} \mbox{ e } C = \{\{a,b\}, c\}$$

verifique quais afirmação são verdadeiras e quais são falsas.

(a) $a \in A$

(b) $\{a\} \subset B$

(c) $\{a,b\} \in C$

(d) $\{c\} \subset B$

(e) $\{a,b\} \subset A$

Solução:

(a) Verdadeiro. O objeto $a$ está listado como elemento de $A$.

(b) Falso. O conjunto $\{a\}$ é um elemento de $B$, logo $\{a\} \not\subset B$. Para que $\{a\} \subset B$, deveríamos ter $a \in A$, o que não ocorre.

(c) Verdadeiro. Quando olhamos os elementos de $C$, vemos que $\{a,b\}$ está listado em $C$.

(d) Verdadeiro. Observe que $c \in B$, o que nos dá $\{c\} \subset C$.

(e) Verdadeiro. Como $a,b \in A$, segue $\{a,b\} \subset B$.

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Teoria dos Conjuntos #2: Subconjuntos

Esse é o segundo post sobre Teoria dos Conjuntos. Nele vamos aprender o que são subconjuntos de um conjunto. Se você ainda não leu o primeiro post, aqui está ele. Nessa primeira postagem abordamos as definições de elemento e conjuntos, a relação de pertinência, a maneira correta de escrever um conjunto e também fizemos alguns exemplos. Sem mais enrolações, vamos falar sobre os subconjuntos.

Subconjuntos

Considere dois conjuntos $A$ e $B$. Dizemos que o conjunto $A$ é um subconjunto do conjunto $B$ se todo elemento de $A$ também é um elemento de $B$, ou seja, se todo elemento de $A$ pertence a $B$. Se $A$ é um subconjunto de $B$, dizemos que $A$ está contido em $B$ ou que $B$ contém $A$.

O conjunto $A$ não é um subconjunto de $B$ quando existe pelo menos um elemento de $A$ que não pertence a $B$. Quando isso acontece, dizemos que $A$ não está contido em $B$ ou que $B$ não contém $A$.

Aqui está estabelecida uma relação entre dois conjuntos, a relação de inclusão. Dados dois conjuntos quaisquer, podemos decidir se um dos conjuntos está contido no outro ou não, verificando se todos os elementos de um deles está no outro.

Notação

Para dizer que $A$ está contido em $B$, usamos o símbolo $\subset$. Desse modo, $A \subset B$ é lido como $A$ está contido em $B$ ou $A$ é subconjunto de $B$. Usamos o símbolo $\supset$ para dizer que $B$ contém $A$, assim, $B \supset A$ é lido como $B$ contém $A$, ou ainda, $A$ é um subconjunto de $B$. 

Ainda se tratando da inclusão de conjuntos, temos mais dois símbolos que podem ser usados. O símbolo $\not\subset$ é usado para dizer que um conjunto não está contido no outro, ou seja, $A \not\subset B$ significa $A$ não está contido em $B$. O símbolo $\not\supset$ é usado para dizer que um conjunto não contém o outro, assim, $B \not\supset A$ significa $B$ não contém $A$.

Podemos visualizar a relação de inclusão de conjuntos por meio de diagramas:

       $A \not\subset B$ ou $B \not\supset A$                                                        $A \not\subset B$ ou $B \not\supset A$                                                     $A \subset B$ ou $B\supset A$

Exemplos

1. Considere os seguintes conjuntos:

$$A = \{1,2,5,7,10\}, \mbox{ } B = \{1,6,7,10,12\} \mbox{ e } C=\{1,7,10\}.$$

Entre esses conjuntos, temos as seguintes relações: 

• $C \subset A$ pois todos os elementos de $C$, que são $1,7 \mbox{ e } 10$, estão também em $A$, ou seja, $1,7,10 \in A$; 
• $C \subset B$ pois todos os elementos de $C$, que são $1,7 \mbox{ e } 10$, estão também em $B$, ou seja, $1,7,10 \in B$; 
•  $A \not\subset B$ pois $2 \in A$ e $2 \not\in B$, ou seja, existe pelo menos um elemento em $A$ que não está em $B$;
• $A \not\supset B$ pois $12 \in B$ e $12 \not\in A$, ou seja, existe pelos um elemento em $B$ que não está em $A$;

A ideia por trás da relação de inclusão de conjuntos parece ser bem fácil, porém dependendo dos conjuntos envolvidos, pode não ser tão fácil de dizer se um conjunto está ou não contido em outro.

2. Considere os seguintes conjuntos:

$$A = \{2,6,8,10\}, \mbox{ } B = \{x \in \mathbb{Z}: x \mbox{ é par}\} \mbox{ e } C=\{x \in \mathbb{R}: 0<x<8\}.$$

Classifique as seguintes afirmações em verdadeira ou falsa.

(a) $A \subset B$

(b) $C \supset A$

(c) $C \subset A$

(d) $A \not\supset B$

(e) $B \not\subset C$

Solução:

(a) Verdadeiro. O conjunto $A$ é formado pelos elementos $2, 6, 8$ e  $10$, que são números pares. O conjunto $B$ não é dado pela listagem de seus elementos, mas por uma propriedade de seus elementos, que é ser número par. Assim, tendo verificado que $2, 6, 8$ e $10$ são pares, com certeza, esses números estão também em $B$. Portanto $A \subset B$.

(b) Falso. O conjunto $C$ é formado por todos os números reais que estão entre $0$ e $8$, assim, o número $10 \not\in C$. Observe que $ 10 \in A$. Logo, existe um elemento de $A$ que não está em $C$. Portanto $C \not\supset A$.

(c) Falso. O conjunto $C$ é formado pelos números reais entre $0$ e $8$, então $\frac{1}{2} \in C$. No conjunto $A$ estão somente os elementos $2,6,8$ e $10$, logo $\frac{1}{2} \not\in A$. Portanto $C \not\subset A$. 

(d) Verdadeiro. O número $0$ é par e, assim, $0 \in B$. Como $0 \not\in A$, segue que $A \not\supset B$.

(e) Verdadeiro. O número $8 \in B$ pois é um número par, mas $8 \not\in C$, visto que, para um número estar em $C$, ele dever ser real, maior que 0 e menor que 8. Logo $B \not\subset C$.

Observação: Para mostrar que um conjunto $A$ está contido num conjunto $B$, devemos mostrar que todo elemento de $A$ também é um elemento de $B$. Agora, para mostrar que $A$ não está contido em $B$, devemos apresentar um elemento que está em $A$, mas não está em $B$. No exemplo 2(c), para justificar que $C \not\subset A$, mostrei que $\frac{1}{2} \in C$ e $\frac{1}{2} \not\in A$, mas poderia tem usado no lugar do $\frac{1}{2}$ o elemento  $\frac{3}{5} \in C$, pois $\frac{3}{5}$ também não pertence a $A$.  

Nesse exemplo 2 não basta somente olhar os elementos dos conjuntos para decidir se um conjunto é subconjunto de outro, é necessário olhar as propriedades que caracterizam esses conjuntos e verificar se os elementos satisfazem ou não essas propriedades.

Antes de finalizar, é importante observar que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. E, por que isso acontece? Para que um conjunto $A$ não esteja contido num conjunto $B$, deve existir algum elemento em $A$ que não pertence a $B$. Bom, dado um conjunto $A$ qualquer, existe algum elemento no conjunto vazio que não pertence a $A$? Não, pois no vazio não há elemento algum. Logo $\emptyset \subset A$ para qualquer conjunto $A$.  

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