Potenciação e Radiciação #5: Como calcular raízes de índice $n$ de números inteiros

Depois de vermos a definição de radiciação e suas propriedades, está na hora de aprendermos um método para calcular as raízes. Não precisamos de um método para calcular as raízes de qualquer número real (ainda bem, pois isso não é fácil). Precisamos somente de um método para calcular ou simplificar as raízes de números inteiros positivos, isso já é o suficiente. Na matemática, não há nenhum problema em não calcularmos uma raiz de um número que não possui uma raiz inteira (ou exata). Para efeito de cálculo, é melhor que tais raízes fiquem na forma de raízes mesmo, pois assim não há a necessidade de fazer aproximações por meio de números com vírgula, o que pode gerar erros grandes nos resultados (quanto mais aproximações fizermos em nossas contas, mais distante do valor exato o resultado vai ficar). Agora, quando é possível de se calcular a raiz, devemos calculá-la. Sem enrolação, vamos calcular algumas raízes.   

Cálculo da raiz de índice $n$ de um número inteiro

Para se calcular raízes de índice $n$ de números inteiros, vamos precisar lembrar de duas coisas: números primos e fatoração. Um número primo é um número inteiro positivo diferente de $1$ que é divisível somente por $1$ e por ele próprio. Este é o conjunto dos números primos

$$\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,31,37,41,43,47,53,59,\dots\}.$$ 

Esse conjunto é infinito. Fatorar um número é o ato se escrever um dado número inteiro como produto de números primos, obtendo-se assim a fatoração desse número. Na matemática podemos provar que isso é possível de ser feito para todo número inteiro diferente de $0$ e $1$ e que essa fatoração é única se não levarmos em conta a ordem dos fatores. Vejamos alguns exemplos de fatoração de números inteiros

1. $2 = 2$;

2. $6 = 2 \cdot 3$;

3. $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$;

4. $3850 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11$.

Como obter a fatoração de um número inteiro positivo

Dado um número inteiro positivo, para obter a sua fatoração em números primos, fazemos divisões exatas sucessivas desse número pelos números primos. Começamos as divisões pelo primo $2$. Caso o número seja divisível por $2$, vamos sucessivamente dividindo por $2$ até obtermos um número que não seja divisível por $2$, passando, depois disso, para o $3$. Se o número não for divisível por $2$, passamos diretamente para o primo $3$. Agora, caso o número que obtemos seja divisível por $3$, prosseguimos dividindo por $3$ até o obtermos um número que não seja divisível por $3$, passado, após isso, para o primo $5$. Se ele não for divisível por $3$, passamos diretamente para o primo $5$. Esse processo continua para os primos de maneira crescente até chegarmos como resultado dessas divisões sucessivas o número $1$.  Costumamos fazer a fatoração de um número usando uma "chave", ou seja, escrevemos o número que queremos fatorar, do lado direito dele colocamos uma linha vertical e, do lado direito dessa linha colocamos os primos que dividem o número, um após o outro, os quais são chamados de fatores primos. Abaixo do número que estamos fatorando ficará os resultados das divisões sucessivas, isto é, os quocientes. Essa chave fica com a seguinte forma:

$$\begin{array}{c|c} \mbox{Número a ser fatorado} & \mbox{F} \\  & \mbox{a} \\ \mbox{Q} & \mbox{t} \\ \mbox{u} & \mbox{o} \\ \mbox{o} & \mbox{r} \\ \mbox{c} & \mbox{e} \\ \mbox{i} & \mbox{s} \\ \mbox{e} & \mbox{ } \\ \mbox{n} & \mbox{p} \\ \mbox{t} & \mbox{r} \\ \mbox{e} & \mbox{i} \\ \mbox{s} & \mbox{m} \\ & \mbox{o} \\ & \mbox{s} \\ \end{array}$$

Vamos ver alguns exemplos.

1. Fatore o número $252$.

Solução: Observe que $252$ é um número par, isto é, divisível por $2$, assim vamos começar a fatoração pelo número primo $2$.

$$\begin{array}{c|c} 252 & 2 \\ 126 & 2 \\ 63 & 3 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$$

Portanto, a fatoração de $252$ é $252 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$.

2. Fatore o número $6825$.

Solução: Note que $6825$ não é par e, portanto, não é divisível por $2$. Como ele é um número divisível por $3$, começaremos a fatoração pelo número primo $3$.

$$\begin{array}{c|c} 6825 & 3 \\ 2275 & 5 \\ 455 & 5 \\ 91 & 7 \\ 13 & 13 \\ 1 & \\ \end{array}$$

Portanto $6825 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 13$.

3. Fatore o número $112$.

Solução: Note que $112$ é par, começaremos a fatoração pelo número primo $2$.

$$\begin{array}{c|c} 112 & 2 \\ 56 & 2 \\ 28 & 2 \\ 14 & 2 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$$

Portanto $112 = 2^4 \cdot 7$.

Observação: 

(i) A fatoração de um número primo é ele próprio, pois ele não pode ser dividido por nenhum primo, exceto por ele mesmo. Por exemplo, a fatoração de $2$ é o próprio $2$ e a fatoração do $17$ é o próprio $17$.

(ii) Para se dar bem com a fatoração, é bom conhecer os critérios de divisibilidade dos números inteiros.  Esse assunto de divisibilidade vale um post (ou talvez mais de um). Então, vou mencionar aqui alguns critérios de divisibilidade. Seja $a \in \mathbb{Z}$. Temos,

• $a$ é divisível por $2$ se $a$ for par;
• $a$ é divisível por $3$ se a soma dos algarismos de $a$ for um múltiplo de $3$;
• $a$ é divisível por $5$ se termina em $0$ ou em $5$.
• $a$ é divisível por $7$ se, ao duplicarmos o algarismo das unidades e subtraí-lo do resto do número, o resultado que obtivermos for divisível por $7$;
• $a$ é divisível por $11$ se a soma dos algarismos que estão nas posições pares menos a soma dos algarismos que estão nas posições ímpares é um número divisível por $11$.

(iii) Acima está um método para se fatorar números inteiros positivos, mas como podemos fatorar os negativos? Bom, basta tirar o sinal negativo do número, fatorar e depois colocar o sinal de negativo na fatoração. Vejamos um exemplo

4. Fatore o número $-4235$.

Solução: Vamos, primeiramente, fatorar o número $4235$. Temos,

$$\begin{array}{c|c} 4235 & 5 \\ 847 & 7 \\ 121 & 11 \\ 11 & 11 \\ 1 &  \\ \end{array}$$

Assim, obtemos $4235 = 5 \cdot 7 \cdot 11^2$. Agora, basta colocar o sinal de menos nos dois lados da igualdade anterior, obtendo a fatoração de $-4235$. Portanto $-4235 = -5 \cdot 7 \cdot 11^2$.

Agora vamos, de fato, ao cálculo das raízes. Faremos isso usando as propriedades de raízes que vimos no post anterior.

Cálculo da raiz de índice $n$ de um número inteiro

A melhor maneira de aprendermos a fazer esse cálculo é por meio de exemplos. Então, vamos à eles!

Exemplos:

1. Calcule $\sqrt{64}$.

Solução: Vamos começar fatorando o número $64$. Temos

$$\begin{array}{c|c} 64 & 2 \\ 32 & 2 \\ 16 & 2 \\ 8 & 2 \\ 4 & 2  \\ 2 & 2 \\ 1 & \\ \end{array}$$

Assim obtemos $64 = 2^6$. Observe que temos que calcular uma raiz quadrada, isto é, o índice da raiz é igual a $2$. Vamos então escrever a fatoração de $64$ como o produto de potências com expoente $2$. Vamos obter

$$\sqrt{64} = \sqrt{2^6} = \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2}.$$

Usando a propriedade $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ para $n \geq 2$ natural e $a,b \in \mathbb{R}$ com $a,b \geq 0$, vamos ter

$$\sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2}.$$

Agora, usando a propriedade $\sqrt[n]{a^n} = a$ para todo $n \geq 2$ natural e $a \in \mathbb{R}$, $a \geq 0$, temos 

$$\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8.$$

Portanto $\sqrt{64} = 8$.

Nos exemplos a seguir usaremos as mesmas propriedades e o mesmo raciocínio do exemplos anterior, por isso, focaremos mais nas contas.

2. Calcule $\sqrt{9604}$.

Solução: Vamos fatorar o número $9064$.

$$\begin{array}{c|c} 9604 & 2 \\ 4802 & 2 \\ 2401 & 7 \\ 343 & 7 \\ 49 & 7  \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array}$$

Logo $9064 = 2^2 \cdot 7^4$. Assim

\begin{eqnarray} \sqrt{9604} &=& \sqrt{2^2 \cdot 7^4} \\ & = & \sqrt{2^2 \cdot 7^2 \cdot 7^2} \\ &=& \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{7^2} \\ &=& 2 \cdot 7 \cdot 7 = 98 . \end{eqnarray}

3. Calcule $\sqrt[3]{3375}$.

Solução: Começamos sempre fatorando o número que está dentro da raiz.

$$\begin{array}{c|c} 3375 & 3 \\ 1125 & 3 \\ 375 & 3 \\ 125 & 5 \\ 25 & 5  \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array}$$

Assim, $3375 = 3^3 \cdot 5^3$. Observe que queremos calcular uma raiz cúbica, ou seja, uma raiz de índice $3$. Logo, devemos escrever a fatoração como produto de potências com expoentes iguais a $3$. No caso desse exemplo, já temos isso, então

\begin{eqnarray} \sqrt[3]{3375} &=& \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3} \\ & = & \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{5^3}  \\ &=& 3 \cdot 5  =  15 . \end{eqnarray}

4. Calcule $\sqrt[3]{ 8000}$.

Solução: Vamos fatorar o número $8000$.

$$\begin{array}{c|c} 8000 & 2 \\ 4000 & 2 \\ 2000 & 2 \\ 1000 & 2 \\ 500 & 2  \\ 250 & 2 \\ 125 & 5 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\  \end{array}$$

Assim, $8000 = 2^6 \cdot 5^3$. Logo,

\begin{eqnarray} \sqrt[3]{8000} &=& \sqrt[3]{2^6 \cdot 5^3} \\ & = & \sqrt[3]{2^3 \cdot 2^3 \cdot 5^3}  \\ &=& \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5^3} \\ &=& 2 \cdot 2 \cdot 5  =  20. \end{eqnarray}

5. Calcule $\sqrt[4]{ 1296}$.

Solução: Vamos fatorar o número $1296$.

$$\begin{array}{c|c} 1296 & 2 \\ 648 & 2 \\ 324 & 2 \\ 162 & 2 \\ 81 & 3  \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 &  \end{array}$$

Assim, $1296 = 2^4 \cdot 3^4$. Observe que queremos calcular uma raiz de índice $4$. Logo, devemos escrever a fatoração como produto de potências com expoentes iguais a $4$. No caso desse exemplo, já temos isso, então

\begin{eqnarray} \sqrt[4]{1296} &=& \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} \\ & = & \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3^4}  \\ &=& 2 \cdot 3  =  6. \end{eqnarray}

Para raízes de ordens maiores que $4$, procedemos de modo análogo. Agora, o que fazemos quando a raiz não é exata? Nesse caso nós simplificamos a raiz. Vamos alguns exemplos disso.

6. Calcule $\sqrt{160}$.

Solução: Novamente vamos fatorar o radicando.

$$\begin{array}{c|c} 160 & 2 \\ 80 & 2 \\ 40 & 2 \\ 20 & 2 \\ 10 & 2  \\ 5 & 5 \\ 1 &  \\ \end{array}$$

Sendo assim,

$$\begin{eqnarray} \sqrt{160} &=& \sqrt{2^5 \cdot 5} \\ &=& \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 5} \\ &=& \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 10} \\ &=& \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{10} \\ &=& 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{10} = 4 \cdot \sqrt{10}. \end{eqnarray}$$

Concluímos então que $\sqrt{160} = 4 \cdot \sqrt{10}$. Observe que $\sqrt{10}$ não é exata, assim, não precisamos calculá-la, podemos deixar simplesmente $4 \cdot \sqrt{10}$ como resultado de $\sqrt{160}$. Ao fazermos isso, estamos simplificando a raiz.

7. Calcule $\sqrt[3]{756}$.

Solução: Vamos novamente fatorar $756$.

$$\begin{array}{c|c} 756 & 2 \\ 378 & 2 \\ 189 & 3 \\ 63 & 3 \\ 21 & 3  \\ 7 & 7 \\ 1 &  \\ \end{array}$$

Desse modo, 

$$\begin{eqnarray} \sqrt[3]{756} &=& \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^3 \cdot 7} \\ &=& \sqrt[3]{3^3 \cdot 4 \cdot 7} \\ &=& \sqrt[3]{3^3 \cdot 28} \\ &=& \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{28} \\ &=& 3 \cdot \sqrt[3]{28}. \end{eqnarray}$$

Logo, $\sqrt[3]{756} = 3 \cdot \sqrt[3]{28}$.

8. Calcule $\sqrt[4]{9072}$

Solução: Vamos obter uma fatoração para $9072$.

$$\begin{array}{c|c} 9072 & 2 \\ 4536 & 2 \\ 2268 & 2 \\ 1134 & 2 \\ 567 & 3  \\ 189 & 3 \\ 63 & 3 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 &  \end{array}$$

Assim, 

$$\begin{eqnarray} \sqrt[4]{9072} &=& \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4 \cdot 7} \\ &=& \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{7} \\ &=& 2 \cdot 3 \cdot \sqrt[4]{7} = 6 \sqrt[4]{7}. \end{eqnarray}$$

Portanto $\sqrt[4]{9072} = 6 \sqrt[4]{7}$.

E se tivermos uma raiz de índice ímpar de um número negativo, como vamos calcular. Vamos ver dois exemplos dessa situação.

9. Calcule $\sqrt[3]{-2744}$.

Solução: Uma das propriedade que vimos de radiciação é a seguinte:

$$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} \mbox{ se } a \geq 0 \mbox { e } n \mbox{ ímpar}.$$

Sendo assim, para calcular $\sqrt[3]{-2744}$, basta fatorar $2744$, pois, pela propriedade acima, temos que $\sqrt[3]{-2744} = -\sqrt[3]{2744}$. Temos

$$\begin{array}{c|c} 2744 & 2 \\ 1372 & 2 \\ 686 & 2 \\ 343 & 7 \\ 49 & 7  \\ 7 & 7 \\ 1 &   \end{array}$$

Logo,

$$\begin{eqnarray} \sqrt[3]{-2744} &=& -\sqrt[3]{2744} = -\sqrt[3]{2^3 \cdot 7^3} \\ &=& -\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{7^3} \\ &=& -2 \cdot 7 = -14. \end{eqnarray}$$

Portanto $\sqrt[3]{-2744} = -14$.

10. Calcule $\sqrt[5]{-486}$.

Solução: Vamos proceder de maneira análoga ao exemplo anterior. Temos

$$\begin{array}{c|c} 486 & 2 \\ 243 & 3 \\ 81 & 3 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3  \\ 3 & 3 \\ 1 &   \end{array}$$

Logo,

$$\begin{eqnarray} \sqrt[5]{-486} &=& -\sqrt[5]{486} = -\sqrt[5]{2 \cdot 3^5} \\ &=& -\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{3^5} \\ &=& -3 \cdot \sqrt[5]{2}. \end{eqnarray}$$

Portanto $\sqrt[5]{-486} = -3 \cdot \sqrt[5]{2}$.

Vídeo com exemplos:

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Potenciação e Radiciação #4: Propriedades da radiciação

No post anterior aprendemos o que é uma raiz de índice $n$. Para um bom conhecimento sobre raízes, saber somente o que é uma raiz de índice $n$ não é suficiente, por esse motivo, vimos também que não é possível calcular raiz de índice par de números negativos e, mais que isso, vimos que raiz de um número positivo sempre existe e que, se $n$ for ímpar, existe também as raízes de números negativos. Agora que conhecemos o que é a radiciação e alguns de seus detalhes mais importantes, chegou a hora de vermos ainda mais detalhes sobre ela. Nesse post vamos ver as propriedades da radiciação, as quais são muito úteis para calcular e simplificar raízes. Vamos lá!

Propriedades da radiciação

Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, com $a,b \geq 0$, $m \in \mathbb{Z}$ e $n,p \in \mathbb{N}$ onde $m \neq 0$ e $n,p \geq 2$. Valem:

(i) $\sqrt[n]{a^n} = a$;

(ii) $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$;

(iii) $\displaystyle\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}} = \displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ se $b \neq 0$;

(iv) $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$;

(v) $\sqrt[p]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[p \cdot n]{a}$;

(vi) $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$.

(vii) Se $\sqrt[n]{a} = b$, temos que $b^n = a$. Assim, $(\sqrt[n]{a})^n = b^n = a$ e, portanto, $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Para essa postagem não ficar muito longa e, como o objetivo dela é aprender a calcular e usar as propriedades da radiciação, não vou demonstrar essas propriedades (quem sabe em uma outra oportunidade).

Observações importantes: 

(a) As propriedades acima estão enunciadas para $a$ e $b$ números reais maiores ou iguais a zero. Bom, é isso mesmo e é muito importante estar atento a esse fato pelos seguintes motivos:

• a propriedade (i) não vale quando $a$ é negativo, devido à definição de raiz de índice $n$;
• Se considerarmos $a$ ou $b$ negativos na propriedade (ii) e na propriedade (iii), elas nem sempre serão verdadeiras, pois pode aparecer uma raiz com índice par de um número negativo, a qual sabemos que não existe. Por exemplo, $\sqrt{8} = \sqrt{(-2) \cdot (-4)}$ que é diferente de $\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-4}$, visto que essas duas últimas raízes não existem. Também, $\sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{6}} = \sqrt[4]{\displaystyle\frac{-1}{-6}}$, a qual não é igual a $\displaystyle\frac{\sqrt[4]{-1}}{\sqrt[4]{-6}}$, visto novamente que as duas últimas raízes também não existem. A propriedades (i) e (ii) serão verdadeiras para $a$ ou $b$ negativos somente se $n$ for ímpar.
• Se considerarmos $a$ negativo nas propriedades (iv), (v) e (vi), elas podem se tornar falsas, pois também pode aparecer uma raiz com índice par de um número negativo, a qual não existe. Por exemplo, $\sqrt{(-2)^4}$ é diferente de $(\sqrt{-2})^4$ pois $\sqrt{-2}$ não existe, $\sqrt[4]{\sqrt[3]{-8}}$ nem pode ser calculada pois $\sqrt[3]{-8}$ é um número negativo que está dentro de uma raiz de índice par e, por último $\sqrt[2]{(-1)^{3}}$ não existe e, portanto é diferente de $\sqrt[4 \cdot2]{(-1)^{4 \cdot 3}} = \sqrt[8]{(-1)^{12}} = 1$. A propriedade (iv) vale para $a$ negativo só quando o $n$ for ímpar ($m$ pode ser par ou ímpar), a propriedade (v) só vale para $p$ e $n$ ímpares e, é melhor usar a propriedade (vi) somente para $a$ positivo mesmo.
• A propriedade (vii) vale para todo $n$ quando $a \in \mathbb{R}$ é maior ou igual a $0$ e, se $a$ for negativo, essa propriedade vale somente para $n$ ímpar.

Essas propriedades podem ser usadas, mas cuidado, observe as condições nas quais elas podem ser usadas.

(b) A propriedade (i) pode ser generalizada de modo a incluir os números negativos. Ela fica dessa forma:

$$\sqrt[n]{a^n} = \left\{\begin{array}{ccc} |a| & \mbox{se} & n \mbox{ for par}   \\ a & \mbox{se} & n \mbox{ for ímpar}.\end{array}\right.$$

Isso se deve ao fato de que a definição de raiz de índice $n$ de um número real $a$ diz que o resultado da raiz deve ter o mesmo sinal do número $a$.

Por exemplo,

$$\sqrt{4^2} = 4 = |4|; \mbox{ } \sqrt[4]{(-10)^4} = 10 = |-10|; \mbox{ } \sqrt[3]{7^3} = 7 \mbox{ e } \sqrt[5]{(-8)^5} = -8.$$

(c) No caso  de $n$ ser um número ímpar, se $a \in \mathbb{R}$ é um número positivo, vale a igualdade $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$. De fato, observe que $\sqrt[n]{-1} = -1$ quando $n$ é impar e, usando o segundo ponto da observação (b) acima, temos

$$\sqrt[n]{-a} = \sqrt[n]{(-1) \cdot a} = \sqrt[n]{-1}\sqrt{a} = -1 \cdot \sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{a}.$$ 

Por exemplo,

$$\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8}; \mbox{ } \sqrt[5]{-10} = -\sqrt[5]{10} \mbox{ e } \sqrt[9]{-2} = -\sqrt[9]{2}.$$  

Vamos ver agora alguns exemplos de como aplicar as propriedades de (i) a (vi).

Exemplos:

1. $\sqrt{3^2} = 3$; $\sqrt[3]{5^3} = 5$; $\sqrt[4]{10^4} = 10$;

2. $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9}$; $\sqrt[5]{3 \cdot 8} = \sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[5]{8}$;

3. $\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{5}{3}} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$; $\displaystyle\sqrt[4]{\displaystyle\frac{9}{7}} = \displaystyle\frac{\sqrt[4]{9}}{\sqrt[4]{7}}$;

4. $(\sqrt{3})^5 = \sqrt{3^5}$; $(\sqrt[6]{2})^4 = \sqrt[6]{2^4}$; $(\sqrt[4]{5})^{-1} = \sqrt[4]{5^{-1}} = \sqrt[4]{\displaystyle\frac{1}{5}}$;

5. $\sqrt{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4}$; $\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}} = \sqrt[5 \cdot 3]{11} = \sqrt[15]{11}$;

6. $\sqrt{5^4} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^{3 \cdot 4}} = \sqrt[6]{5^{12}}$; $\sqrt[3]{7^{-5}} = \sqrt[ 4 \cdot 3]{7^{4 \cdot (-5)}} = \sqrt[12]{7^{-20}}$.

7.  $(\sqrt{3})^2 = 3$; $(\sqrt[3]{5})^3 = 5$; $(\sqrt[5]{-100})^5 = -100$.

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Potenciação e Radiciação #3: Raiz de índice $n$

Nas duas postagens anteriores vimos as definições de potência com expoente natural e de potência com expoente inteiro, bem como as suas propriedades. Agora, para continuarmos o estudo de potenciação, precisamos começar a estudar radiciação, ou seja, o processo de se calcular a raiz de índice $n$ (também chamada de de raiz $n$-ésima) de um número real. Índice $n$? Raiz $n$-ésima? O que são essa coisas? Fique tranquilo, vamos ver em detalhes, o que é cada nome desse. Vamos lá! 

Raiz de índice $n$

Existem algumas formas de se definir o que é uma raiz de índice $n$ ou uma raiz $n$-ésima de um número real. Dentre essas formas de se definir a raiz de índice $n$, a que vou colocar a seguir é a mais simples dela, na minha opinião.

Definição: Considere um número natural $n$ maior que $1$ e $a$ um número real. Chamamos de raiz de índice $n$ ou raiz $n$-ésima do número real $a$ ao número real $b$, de mesmo sinal que $a$, tal que $b^n = a$. Denotamos a raiz de índice $n$ (raiz $n$-ésima) de $a$ por $\sqrt[n]{a}$ onde $n$ é o índice da raiz e $a$ é o radicando.

Resumindo, se $b$ é um número de mesmo sinal que $a$ tal que $b^n = a$, então $b$ é a raiz de índice $n$ de $a$ e escrevemos 

$$\sqrt[n]{a} = b.$$

O símbolo $\sqrt[n]{ \mbox{ }}$ é chamado radical. 

Quando o índice é igual a $2$, chamamos a raiz de índice $2$ de raiz quadrada e, no radical que a denota, omitimos o número $2$, ficando na forma $\sqrt{a}$. Quando o índice é igual  a $3$, chamamos a raiz de índice $3$ de raiz cúbica. Somente quando o índice é igual a $2$ é que omitimos o índice no radical, assim, os radicais com índice maior ou igual a três devem conter o índice na sua notação, por exemplo, $\sqrt[3]{a}$. Quando o índice da raiz é igual a $4$, chamamos a raiz de índice $4$ de raiz quarta. Se o índice for igual a $5$, chamamos a raiz de índice $5$ de raiz quinta. Seguindo esse raciocínio, nomeamos as raízes de índices superiores.

Agora que sabemos o que é a raiz de índice $n$ de um número real, vamos ver alguns exemplos.

Exemplos:

1. $\sqrt{4} = 2$, pois $2^2 = 4$. Observe que $(-2)^2 = 4$ também, porém como está na definição acima, a raiz de um número, independentemente da ordem da raiz, sempre tem o mesmo sinal do radicando, ou seja, do número que está dentro do radical. Portanto, $-2$ não é raiz quadrada de $4$ visto que $4$ é positivo e $-2$ é negativo.

2. $\sqrt[3]{64} = 4$, pois $4^3 = 64$.

3. $\displaystyle\sqrt[4]{\displaystyle\frac{81}{625}} = \displaystyle\frac{3}{5}$, pois $\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^4 = \displaystyle\frac{81}{625}$.

4. $\sqrt[5]{-7776} = -6$, pois $(-6)^5 = -7776$.

5. $\sqrt[6]{11,390625} = 1,5$, pois $1,5^6 = 11,390625$.

6. $\sqrt[n]{0} = 0$, pois $0^n = 0$ para todo $n$ natural maior ou igual a $1$.

Observações importantes: 

(i) Não é possível calcular uma raiz com índice par de um número real negativo. Isso ocorre pelo seguinte fato. Se $n$ for um número natural par, diferente de zero, e $a$ um número real negativo, pela definição de raiz de índice $n$, vamos ter que $\sqrt[n]{a}$ tem que ser um número $b$ negativo tal que $b^n = a$. Para que essa igualdade seja verdadeira, devemos ter $b^n$ negativo, pois $a$ é negativo.  Mas isso é impossível, visto que $b$ elevado a um número par será sempre positivo para qualquer $b$. Logo, se $a$ é negativo e $n$ é um número par, não existe $\sqrt[n]{a}$.

(ii) Não há nenhum problema em se obter uma raiz de índice $n$ com um sinal de menos na frente do radical, como por exemplo,

$$-\sqrt[3]{8} = -2, \mbox{ } -\sqrt{4} = -2, \mbox{ } \pm\sqrt{9} = \pm 3 \mbox{ e } -\sqrt[5]{-243} = -(-3) = 3.$$

Basta manter o sinal no resultado da raiz.

Uma pergunta que pode surgir quando a gente está estudando essa questão das raízes é o motivo dela ser definida da forma acima. Por exemplo, por que $\sqrt{4}$ também não é igual a $-2$? A respeito disso temos os seguintes teoremas provados na matemática.

Teorema 1: Sejam $a > 0$ um número real e $n > 1$ um número natural. Então existe um único número real $b > 0$ tal que $b^n = a$.

Esse teorema garante que, dados um número real positivo $a$ e um natural $n > 1$, sempre existe um número $b$, também positivo tal que $b^n = a$, isto é, esse teorema está nos dizendo que a raiz de índice $n$ de um número real positivo $a$ sempre existe, vai ser o número real positivo $b$ onde $b^n = a$. Por isso faz sentido definir as raízes de números positivos, pois sempre é possível calculá-las, independentemente do índice. 

Agora, por que $\sqrt{4}$ também não pode ser $-2$? Bom, para você pensar na resposta dessa pergunta, vou te fazer outra pergunta: "Por que $2+2$ também não é igual a 5?" As respostas dessas duas perguntas são iguais, quando definimos uma operação em um conjunto, no caso, dos números reais, elas precisam estar bem definidas, isto é, o resultado deve ser único. Imagina a confusão que seria se $2+2$ fosse 5 também?

O Teorema 1 trata somente da existência da raiz de índice $n$ de $a$ quando $a$ é positivo. E quando $a$ é negativo? Para esse caso temos o seguinte teorema.

Teorema 2: Seja $a$ um número real qualquer. Se $n$ for um número natural ímpar maior que $1$, então existe um número $b$ real tal que $b^n = a$.

Esse teorema garante que, dados um número real $a$ qualquer e um natural $n > 1$ ímpar, sempre existe um número $b$, tal que $b^n = a$, ou seja, esse teorema está nos dizendo que a raiz de índice $n$, com $n$ ímpar de um número real $a$ qualquer sempre existe. Analisando esse teorema no caso particular de $a$ ser negativo, ele nos garante a existência da raiz de índice ímpar de qualquer número negativo. Podemos nesse ponto, concluir que, se $a$ é negativo e $n$ é par, então $\sqrt[n]{a}$ não existe, conforme a observação (i), e que, se $n$ for ímpar a raiz existe, isto é, a raiz de um número negativo só existe se o índice $n$ da raiz for ímpar. Agora, seja $a$ um número real negativo e $n$ um número natural ímpar maior que $1$. Pelo Teorema 2, sabemos que existe $b$ de modo que $b^n = a$. Como $a$ é negativo, o $b$ também tem que ser, pois do contrário $b^n$ seria positivo. Logo, a raiz de índice ímpar de um número negativo $a$ sempre existe e também é negativo. 

Leia a definição de raiz de índice $n$ novamente. Perceba que, agora, ela faz muito mais sentido.

Definição: Considere um número natural $n$ maior que $1$ e $a$ um número real. Chamamos de raiz de índice $n$ ou raiz $n$-ésima do número real $a$ ao número real $b$, de mesmo sinal que $a$, tal que $b^n = a$. Denotamos a raiz de índice $n$ (raiz $n$-ésima) de $a$ por $\sqrt[n]{a}$ onde $n$ é o índice da raiz e $a$ é o radicando.

Essa postagem se encerra por aqui mesmo. O objetivo dela é definir a raiz  de índice $n$ e compreender o que é isso de fato. Na postagem seguinte veremos as propriedades da radiciação e, na postagem seguinte a essa, estudaremos um método para se calcular as raízes de números inteiros e também vamos ver o que fazer quando o resultado das raízes não são exatos, ou seja, não são inteiros. 

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Potenciação e Radiciação #2: Potências com expoentes inteiros negativos

O post anterior foi o primeiro post sobre potenciação e radiciação. Nele aprendemos o caso mais simples de potenciação de um número real, aprendemos o que é potenciação com um expoente natural. Nesse segundo post, vamos dar um passo adiante no estudo da potenciação, vamos definir o que é uma potência com expoente inteiro. Sendo $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2, \dots\}$, uma parte do problema de se compreender o que é uma potência com número inteiro está resolvido, isto é, quando o número inteiro é positivo, ele é um número natural e, nesse caso, já sabemos como calcular uma potência com tal expoente, esse é o caso que vimos no post anterior. Assim, nesse post, vamos concentrar a nossa atenção nas potências com expoentes inteiros negativos. Vamos lá!

Potências com expoentes negativos

Definição: Dado um número real $a$, diferente de zero, e um número inteiro positivo $n$, definimos a potência de base $a$ e expoente $-n$, denotada por $a^{-n}$, (observe que, se $n$ é positivo, $-n$ será negativo) como sendo

$$a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}.$$

Pela definição acima, vemos que $a^{-n}$, com $a \neq 0$, é o inverso de $a^n$. Também podemos dizer que $a$ está elevado a $-n$. Vamos ver alguns exemplos.

Exemplos: 

1. $2^{-1} = \displaystyle\frac{1}{2^1} = \displaystyle\frac{1}{2}$;

2. $4^{-3} = \displaystyle\frac{1}{4^3} = \displaystyle\frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \displaystyle\frac{1}{64}$;

3. $(-3)^{-4} = \displaystyle\frac{1}{(-3)^4} = \displaystyle\frac{1}{(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)} = \displaystyle\frac{1}{81}$;

4. $-7^{-2} = - \displaystyle\frac{1}{7^2} = -\displaystyle\frac{1}{49}$;

5. $\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^{-2} = \displaystyle\frac{1}{(\frac{4}{5})^2} = \displaystyle\frac{1}{\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}} = \displaystyle\frac{1}{\frac{16}{25}} = \displaystyle\frac{25}{16}$;

6. $\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-5} = \displaystyle\frac{1}{(-\frac{1}{2})^5} = \displaystyle\frac{1}{-\frac{1}{32}} = -\displaystyle\frac{32}{1} = -32$;

7. $-\left(\displaystyle\frac{5}{3}\right)^{-3} = -\displaystyle\frac{1}{(\frac{5}{3})^3} = -\displaystyle\frac{1}{\frac{5^3}{3^3}} = -\displaystyle\frac{1}{\frac{125}{27}} = -\displaystyle\frac{27}{125}$;

8. $(2,3)^{-6} = \displaystyle\frac{1}{(2,3)^6} = \displaystyle\frac{1}{148,035889} = 0,006755118$;

9. $(-1,24)^{-3} = \displaystyle\frac{1}{(-1,24)^3} = \displaystyle\frac{1}{-1,906624} = -0,524487261$.

Note que, onde foi necessário, usei nos cálculos acima o fato de que uma potenciação de um número negativo com expoente par possui resultado positivo e uma potenciação de um número negativo com expoente ímpar possui resultado negativo.

Observações importantes:

(i) No exemplo 4 somente o número $7$ está elevado a $-2$, o sinal de menos não. Assim o menos "fica para fora" em todo o cálculo, implicando um resultado negativo. No exemplo 7 acontece algo análogo, somente o número $\displaystyle\frac{5}{3}$ está elevado a $-3$.

(ii) Há algo importante a ser observado nos exemplos 4, 5 e 7. Eles podem ser calculados de uma forma mais simples. Considere um número racional qualquer $\displaystyle\frac{a}{b}$, diferente de $0$, e um número inteiro positivo qualquer $n$. Temos, usando a definição de potência com expoente inteiro negativo, que

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n.$$

Assim, quando uma fração está elevada a um expoente negativo, para fazer essa potenciação, basta inverter a fração, mudar o sinal do expoente e, em seguida, fazer o cálculo. Vamos ver mais três exemplos.

10. $\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-5} = \left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^5 = \displaystyle\frac{4^5}{3^5} = \displaystyle\frac{1024}{243}$; 

11. $\left(-\displaystyle\frac{7}{2}\right)^{-2} = \left(-\displaystyle\frac{2}{7}\right)^2 = \displaystyle\frac{2^2}{7^2} = \displaystyle\frac{4}{49}$; 

12. $\left(-\displaystyle\frac{5}{6}\right)^{-3} = \left(-\displaystyle\frac{6}{5}\right)^3 = -\displaystyle\frac{6^3}{5^3} = -\displaystyle\frac{216}{125}$; 

(iii) No post anterior está explicado o motivo de uma potenciação de um número negativo com expoente par possuir resultado positivo e uma potenciação de um número negativo com expoente ímpar possuir resultado negativo. Porém, no contexto do post anterior, estávamos tratando somente de expoentes positivos. Agora, essa propriedade pode ser estendida para expoentes pares e ímpares negativos também? A resposta é: sim! Temos números pares e ímpares negativos também, basta colocar um sinal de menos na frente de um par positivo que você terá um par negativo e, fazendo a mesma coisa com um ímpar, você terá um ímpar negativo. Assim, dado um número real $a$ positivo e um $n$ inteiro positivo, temos

Se $n$ é par, então $(-a)^{-n} = a^{-n}$ e, se $n$ é ímpar, então $(-a)^{-n} = -a^{-n}$

Vamos fazer mais alguns exemplos.

13. $(-5)^{-2} = 5^{-2} = \displaystyle\frac{1}{5^2} = \displaystyle\frac{1}{25}$;

14. $\left(-\displaystyle\frac{5}{2}\right)^{-3} = \left(-\displaystyle\frac{2}{5}\right)^3 = -\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)^3 = -\displaystyle\frac{2^3}{5^3} = -\displaystyle\frac{8}{125}$;

15. $-(-3)^{-5} = -(-3^{-5}) = -\left(-\displaystyle\frac{1}{3^5}\right) = \displaystyle\frac{1}{243}$; 

16. $-\left(-\displaystyle\frac{6}{11}\right)^{-4} = -\left(\displaystyle\frac{6}{11}\right)^{-4} = -\left(\displaystyle\frac{11}{6}\right)^4 = -\displaystyle\frac{11^4}{6^4} = -\displaystyle\frac{14641}{1296}$.

No post anterior, onde estudamos as potências com expoentes naturais, apresentei as propriedades de tais potências. Essas mesmas propriedades valem para as potências com expoentes inteiros também. Para lembrá-las, vou listá-las aqui novamente e, logo após, veremos alguns exemplos.

Propriedades: Sejam $m,n \in \mathbb{Z}$ e $a,b \in \mathbb{R}$. Temos

(i) $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$;

(iii) $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n = \displaystyle\frac{a^n}{b^n}$ se $b \neq 0$;

(v) $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Essas propriedades também possuem demonstrações. Porém, para fazer a demonstração dessas propriedades é necessário um objeto matemático chamado princípio de indução finita, o que está além do meu objetivo aqui. Por isso, vou omitir as demonstrações dessas propriedades.

Exemplos:

1. $2^{(-3)} \cdot 2^5 = 2^{-3+5} = 2^2$;  $4^3 \cdot 4^{-1} = 4^{3+(-1)} = 4^2$;  $3^{-2} \cdot 3^{-3} = 3^{-2+(-3)} = 2^{-5}$;

2. $\displaystyle\frac{6^{(-5)}}{6^2} = 6^{-5-2} = 6^{-7}$;  $\displaystyle\frac{2^3}{6^{-2}} = 2^{3-(-2)} = 2^{3+2} = 2^{5}$;  $\displaystyle\frac{10^{-6}}{10^{-3}} = 10^{-6-(-3)} = 10^{-6+3} = 10^{-3}$;

3. $(-4 \cdot 8)^{-4} = (-4)^{-4} \cdot 8^{-4}$; 

4. $\left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^{-2} = \displaystyle\frac{6^{-2}}{7^{-2}}$;

5. $(10^{-3})^9 = 10^{-3 \cdot 9} = 10^{-27}$;  $(5^2)^{-8} = 5^{2 \cdot (-8)} = 5^{-16}$; $(15^{-1})^{-2} = 15^{-1 \cdot (-2)} = 15^{2}$;  

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