Que ótimo que estamos avançando no nosso estudo de expressões algébricas. Nas postagens anteriores vimos como somar, subtrair, multiplicar e dividir incógnitas e também vimos como simplificar potências e raízes de incógnitas. As postagens anteriores servem de base para as postagens que virão, elas apresentam o que é básico dentro do contexto de expressões algébricas. Agora, vamos, aos poucos, misturar tudo o que vimos e um pouco mais (hehe...). Nessa postagem vamos ver maneiras de simplificar expressões algébricas envolvendo somas, subtrações e multiplicações de potências e raízes de incógnitas.
Simplificando expressões algébricas com potências e raízes
Nesse ponto em que estamos, acredito que a melhor forma de entendermos como simplificar expressões algébricas é por meio de exemplos, vendo alguns detalhes importantes em cada exemplo e ideias que podem ser usadas para simplificar outras expressões algébricas. É importante lembrar que a ordem das operações numa expressão algébrica é a mesma de uma expressão numérica, pois as letras representam números. Então, vamos aos exemplos.
Exemplos:
1. Simplifique a expressão algébrica $x-x^2+4x+x^3-3x^3+1$.
Solução: Nessa expressão temos a soma e a subtração de potências da incógnita $x$ e de números também. Para simplificar essa expressão temos que fazer as operações que estão nela entre os termos que são semelhantes. Já falei um pouco sobre termos semelhantes em uma das postagens anteriores, mas vou dar mais detalhes aqui. O termos semelhantes são a mesma incógnita e os múltiplos das potências de mesmo expoente dessa incónita. A expressão desse exemplo é:
$$x-x^2+4x+x^3-3x^3+1$$
Os termos dessa expressão, na ordem em que aparecem, são:
$$x, \; -x^2, \; 4x, \; x^3, \; -3x^3, \; 1$$
Vamos separar esses termos em grupos de termos semelhantes:
Grupo 1: $1$
Grupo 2: $x$, $4x$
Grupo 3: $-x^2$
Grupo 4: $-x^3$, $3x^3$
Esses são os termos semelhantes que temos nessa expressão. Para simplificar uma expressão algébrica não é necessário escrever essa separação em grupos que fiz nesse exemplo, fiz essa separação somente para deixar claro quais são os termos semelhantes. Podemos fazer isso simplesmente olhando para a expressão algébrica. Agora, vamos fazer as operações que aparecem em cada grupo de termos semelhantes, fazendo a aperação entre os números que estão multiplicando as potências de $x$ em cada termo. Temos,
\begin{eqnarray} x - x^2 + 4x + x^3 - 3x^3 + 1 &=& \underbrace{x +4x}_{\; Grupo \; 2 \;} \underbrace{-x^2}_{\; Grupo \; 3 \;} \underbrace{+x^3 - 3x^3}_{\; Grupo \; 4 \;} \underbrace{+1}_{\; Grupo \; 1 \;} \\ &=& 5x - x^2 -2x^3 + 1 \end{eqnarray}
Observe que $x+4x = (1+4)x = 5x$ e $x^3-3x^3 = (1-3)x^3 = -2x^3$, ou seja, fizemos as operações que apareceram nos grupos dos termos semelhantes. Observe também que não existem termos semelhantes a $1$ e $x^2$, por isso ficaram como estão. Outra coisa importante para ser observada é que na passagem da primeira igualdade eu comutei (troquei de ordem) os termos da expressão para deixar os termos semelhantes juntos. Isso pode ajudar na simplificação, mas não é necessário. Mas, lembre-se, as operações de soma e subtração só podem ser feitas entre os termos semelhantes. Vamos usar essa ideia em todos os outros exemplos.
2. Simplifique as expressão algébrica $-2 + x^2-\sqrt{x}+3 - 2\sqrt{x}+x+x^2$.
Solução: Você pode até pensar que esse exemplo ficou mais difícil por conter algumas raízes. Mas, não se preocupe, vamos usar a mesma estratégia dos termos semelhantes. Os termos que possuem raízes quadradas só podem ser somados ou subtraídos com termos que possuem raízes quadradas, os termos que possuem raízes cúbicas só podem ser somados ou subtraídos com termos que possuem raízes cúbicas e assim por diante. E aqui, quando digo somados ou subtraídos, estou me referindo aos números que multiplicam essas raízes. Vamos reescrever a expressão agrupando os termos semelhantes e simplificá-la.
\begin{eqnarray} -2 + x^2 - \sqrt{x} + 3 - 2\sqrt{x} + x + x^2 &=& \underbrace{-2 + 3}_{\; \; \;} \underbrace{+x^2+x^2}_{\; \; \;} \underbrace{-\sqrt{x}-2\sqrt{x}}_{\; \; \;} \underbrace{+ x}_{\; \; \;} \\ &=& 1 + 2x^2 - 3\sqrt{x} + x \end{eqnarray}
3. Simplifique a expressão algébrica $x^2-1+2x^{\frac{2}{3}}-3\sqrt{x}+5x^{\frac{2}{3}}+\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{2}$.
Solução: Nessa expressão nós temos uma potência com expoente racional, mas isso não muda em nada a ideia de fazer a soma e a subtração entre os termos semelhantes. Temos
\begin{eqnarray} x^2-1+2x^{\frac{2}{3}} - 3\sqrt{x} + 5x^{\frac{2}{3}} + \frac{\sqrt{x}}{2} &=& x^2-1+2x^{\frac{2}{3}}+5x^{\frac{2}{3}}-3\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2} \\ &=& x^2 -1 +7x^{\frac{2}{3}}-\frac{5\sqrt{x}}{2}\end{eqnarray}
4. Simplifique a expressão algébrica $x^{-2} + \sqrt[3]{x} - 3x^{-2}+4\sqrt[3]{x}-x^2$.
Solução: Vamos seguir o mesmo raciocínio, somar e subtrair os termos semelhantes. Temos
\begin{eqnarray} x^{-2}+\sqrt[3]{x} - 3x^{-2}+4\sqrt[3]{x}-x^2 = -2x^{-2} + 5\sqrt[3]{x} - x^2\end{eqnarray}
Vamos introduzir nos próximos exemplos multiplicações de potências das incógnitas.
5. Simplifique a expressão algébrica $x^3(x^2+2)+5x-2x^3$.
Solução: Nesse exemplo, um dos fatores da expressão é $x^3(x^2+2)$. Para fazer essa multiplicação temos que usar a propridade distributiva da multiplicação. Vamos lembrá-la rapidamente: para $a$, $b$ e $c$ números reais quaisquer, vale:
$$a(b+c) = ab+ ac$$
No caso da multiplicação $x^3(x^2+2)$, o $x^3$ faz o papel do $a$, o $x^2$ faz o papel do $b$ e o $2$ faz o papeol do $c$. Assim, reescrevemos a expressão
\begin{eqnarray} x^3(x^2+2) + 5x - 2x^3 = x^3x^2+x^32+5x-2x^3 \end{eqnarray}
Agora, para simplificar o lado direito do sinal de igual, vamos usar a propriedade de potenciação que nos que quando multiplicamos potências de mesma base, somam-se os expoentes e, depois disso, vamos somar os termos semelhantes. Temos
\begin{eqnarray} x^3(x^2+2) + 5x - 2x^3 &=& x^3x^2+x^32+5x-2x^3 \\ &=& x^5+2x^3+5x-2x^3 \\ &=& x^5+5x \end{eqnarray}
6. Simplifique a expressão algébrica $(\sqrt{x}+1)(x^2-1) + x^{\frac{5}{2}}-4$.
Solução: Novamente vamos precisar usar a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos aplicá-la passo a passo não nos esquecendo do jogo de sinais. Simplificando essa expressão algébrica, temos:
\begin{eqnarray} (\sqrt{x}+1)(x^2-1) + x^{\frac{5}{2}} - 4 &=& (\sqrt{x}+1)x^2 + (\sqrt{x}+1)(-1) + x^{\frac{5}{2}} -4 \\ &=& \sqrt{x}x^2+1x^2+\sqrt{x}(-1) + 1(-1) + x^{\frac{5}{2}}-4 \\ &=& x^{\frac{1}{2}}x^2+x^2-\sqrt{x}-1+x^{\frac{5}{2}}-4 \\ &=& x^{\frac{5}{2}}+x^2-\sqrt{x}-1+x^{\frac{5}{2}}-4 \\ &=& 2x^{\frac{5}{2}} + x^2 -\sqrt{x} -5\end{eqnarray}
Nesse exemplo tranformamos uma raiz em uma potência, ou seja, $\sqrt{x}$ em $x^{\frac{1}{2}}$ para escrever o produto $\sqrt{x}x^2$ na forma $x^{\frac{5}{2}}$. Isso pode ser usado para "juntar" raízes com potências de uma mesma incógnita numa multiplicação.
7. Simplifique a espressão algébrica $\sqrt{x}(\sqrt{x}+x^{\frac{3}{2}})-x(x+2)+x^5$.
Solução: Temos
\begin{eqnarray} \sqrt{x}(\sqrt{x}+x^{\frac{3}{2}})-x(x+2)+x^5 &=& \sqrt{x}\sqrt{x}+\sqrt{x}x^{\frac{3}{2}}-xx-x2+x^5 \\ &=& \left(\sqrt{x}\right)^2 + x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{2}} - x^2-2x+x^5 \\ &=& x+x^{2}-x^2-2x+x^5 \\ &=& -x+x^5 \end{eqnarray}
A seguir veremos mais exemplos de simplificação de expressões algébricas com duas incógnitas.
8. Simplifique a expressão algébrica $(2x^2-4)y + y^2-x^2y+x$.
Solução: Vamos fazer a primeira multiplicação que aparece nessa expressão algébrica para vermos quais os termos que aparecem nessa expressão. Temos
\begin{eqnarray} (2x^2-4)y+y^2-x^2y+x = 2x^2y-4y+y^2-x^2y+x \end{eqnarray}
Observe que, nessa expressão algébrica, temos uns termos que podemos chamar de mistos. Esses termos são aqueles que apresentam o produto de potências de duas ou mais incógnitas diferentes. Esses termos entram na mesma regra dos termos semelhantes, isto é, o termo $2x^2y$ só pode ser somado ao termo $-x^2y$. Quando temos mais de uma incógnita numa expressão algébrica, podem aparecer esses termos mistos. Só podemos somar e subtrair aqueles que possuem as mesmas incónitas multiplicadas e com os mesmos expoentes. Assim,
\begin{eqnarray} (2x^2-4)y+y^2-x^2y+x &=& 2x^2y-4y+y^2-x^2y+x \\ &=& x^2y-4y-x^2+x \end{eqnarray}
9. Simplifique a expressão algébrica $xy^2-xy^{-\frac{1}{2}}+xy(y^{-\frac{1}{2}}-y)$.
Solução: Vamos seguir o mesmo raíciocínio que estamos usando, vamos multiplicar primeiro usando a propriedade distributiva, usar propriedades e definições de potências e depois somar e subtrair os termos semelhantes. Temos
\begin{eqnarray} xy^2-xy^{-\frac{1}{2}}+xy(y^{-\frac{1}{2}}-y) &=& xy^2-xy^{-\frac{1}{2}} + xyy^{-\frac{1}{2}}-xyy \\ &=& xy^2-xy^{-\frac{1}{2}}+xy^{-\frac{1}{2}}-xy^2 \\ &=& 0 \end{eqnarray}
10. Simplifique a expressão algébrica
$$3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + y(x^3+yx-y^{-1}x^2) + \sqrt{x+y}\right].$$
Solução: Seguindo o que já estamos fazendo, temos
\begin{eqnarray} 3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + y(x^3+yx-y^{-1}x^2) + \sqrt{x+y}\right] &=& 3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + x^3+yyx-yy^{-1}x^2 + \sqrt{x+y}\right] \\ &=& 3x + \frac{1}{2}\left[ x^2 + x^3+y^2x-x^2 + \sqrt{x+y}\right] \\ &=& 3x + \frac{1}{2}\left[ x^3+y^2x + \sqrt{x+y}\right] \\ &=& 3x + \frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}xy^2 + \frac{1}{2}\sqrt{x+y}\end{eqnarray}
Observação importante: Sobre o exemplo anterior, temos um termo com $\sqrt{x+y}$. Esse termo fica assim mesmo. Não podemos "abrir" uma raiz, independentemente do seu índice, ou seja,
$$\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$$
para quaisquer que sejam $a$ e $b$, incógnitas ou números diferentes de zero. Essa igualdade vai ser verdadeira se, e somenete se, $a=0$ ou $b=0$.
Exemplo em vídeo:
Com esses exemplos já pegamos o jeito de simplificar esse tipo de expressão. Com as ideias apresentadas aqui, você consiguirá simplicar esse tipo de expressão sem muitas dificuldades.
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