Na postagem #8 aprendemos como encontrar a raiz de um polinômio de grau $1$, que sempre existe, na postagem #9 aprendemos a verificar se um polinômio de grau $2$ tem raízes reais e, em caso, afirmativo, como calculá-las. Nessa postagem vamos ver uma fórmula para determinar uma raiz de um polinômio de grau 3. Essa fórmula não é muito bem conhecida e eu também não me lembro de tê-la aprendido na escola (você verá o porquê disso). O nome dessa fórmula é Fórmula de Tartaglia ou Fórmula de Cardano. O objetivo dessa postagem é apresentar essa fórmula mais a título de curiosidade, pois ela não é muito prática, na verdade. Nas postagens seguintes veremos métodos mais eficientes para determinar as raízes de um polinômio. Mas, mesmo assim, é interessante saber que existe uma fórmula para calcular uma raiz de um polinômio de grau $3$. Vamos lá!
Fórmula de Tartaglia ou Fórmula de Cardano
Qualquer polinômio de grau $3$ tem a forma $p(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ com $a \neq 0$. Assim, para obtermos uma raiz de $p(x)$ devemos resolver a equação
$ax^3+bx^2+cx+d=0$
Equações no formato acima são chamadas de equações do terceiro grau. Procurar por uma raiz de $p(x)$ é o mesmo que procurar por uma solução da equação $ax^3+bx^2+cx+d=0$. Sendo assim, a seguir vamos procurar por uma fórmula que determine uma solução da equação $ax^3+bx^2+cx+d=0$.
Considere a equação $ax^3+bx^2+cx+d=0$. Vamos fazer uma mudança na incógnita $x$, vamos reescrevê-la como $x=y+m$ onde $m$ é um número qualquer. Desse modo podemos reescrever a equação $ax^3+bx^2+cx+d=0$ como segue:
\begin{eqnarray} ax^3 + bx^2 + cx + d &=& 0 \\ a(y+m)^3 + b(y+m)^2 + c(y+m) + d &=& 0 \\ a(y^3+3y^2m+3ym^2+m^3) + b(y^2+2ym+m^2)+cy+cm +d &=& 0 \\ ay^3+y^2(3am+b)+y(3am^2+2mb+c)+am^3+bm^2+cm+d &=& 0 \\ y^3+y^2\left(\frac{3am+b}{a}\right)+y\left(\frac{3am^2+2mb+c}{a}\right)+\frac{am^3+bm^2+cm+d}{a} &=& 0 \end{eqnarray}
Bom, olhando para a última equação que escrevemos, parece que as coisas complicaram, não é? Mas, na verdade, não. A fim de tornar a última equação mais simples, vamos determinar um $m$ para o qual $3am +b =0$. Isso deixará a última equação mais simples, pois não teremos o termo com $y^2$. Então, para que $3am+b = 0$, devemos ter
\begin{eqnarray} 3am+b &=&0 \\ 3am &=& -b \\ m &=& -\frac{b}{3a}\end{eqnarray}
Assim, na substituição que fizemos no início $x=y+m$, tomando $m=-\displaystyle\frac{b}{3a}$, conseguimos transformar a equação $ax^3+bx^2+cx+d=0$ numa equação na forma $y^3+py+q=0$, onde $p=\displaystyle\frac{3am^2+2mb+c}{a}$ e $q = \displaystyle\frac{am^3+bm^2+cm+d}{a}$. Temos que concordar que a equação $y^3+py+q=0$ é mais simples que $ax^3+bx^2+cx+d=0$. Um fato importante aqui é que, se determinarmos um $y$ que satisfaz $y^3+py+q=0$, como $x=y-\displaystyle\frac{b}{3a}$, vamos determinar um $x$ que satisfaz $ax^3+bx^2+cx+d=0$.
Vamos ver agora um exemplo de como fazer, na prática, essa mudança na incógnita $x$.
Exemplo:
1. Considere o polinômio $x^3+3x^2+x+1=0$. Nesse polinômio temos $a=1$ e $b=3$, assim, temos $m = -\displaystyle\frac{3}{3\cdot 1} = -1$. Logo, a substituição que vamos fazer é $x=y-1$ e, desse modo
\begin{eqnarray} x^3+3x^2+x+1 &=& 0 \\ (y-1)^3+3(y-1)^2+(y-1)+1 &=& 0 \\ y^3-3y^2+3y-1+3y^2-2y+1 +1 &=& 0 \\ y^3-2y+2 &=& 0. \end{eqnarray}
Fazendo a substituição $y=x-1$, transformamos a equação $x^3+3x^2+x+1=0$ na equação mais simples $y^3-2y+2=0$.
Por qual motivo fizemos essa substituição na equação do terceiro grau? O motivo de fazer essa substituição é que a fórmula que vamos obter para encontrar uma solução de uma equação do terceiro grau só pode ser aplicada em equações do tipo $x^3+px+q=0$. Desse modo, se uma equação não estiver nessa forma, precisamos primeiramente transformá-la numa equação dessa forma (como no exemplo 1) para depois aplicar a fórmula que vamos ver a seguir. Vamos seguir os passos do matemático Tartaglia (1535) para chegar na fórmula, que recebe seu nome, Fórmula de Tartaglia.
Tartaglia supôs que a solução da equação $x^3+px+q=0$ tinha a forma $x = A+B$. Desse modo, vamos ter
\begin{eqnarray} x^3 = (A+B)^3 &=& A^3+3A^2B+3AB^2+B^3 \\ &=& (A^3+B^3) + 3AB(A+B) \\ &=& (A^3+B^3)+3ABx. \end{eqnarray}
Desse modo, obtemos $x^3-3ABx-(A^3+B^3)=0$. Comparando essa última iguldade com $x^3+px+q=0$, vamos ter que
$$p=-3AB \mbox{ e } q = -(A^3+B^3)$$
Ou ainda, na forma de sistema
$$\left\{\begin{array}{ccc} A^3 + B^3 & =& -q \\ A^3 \cdot B^3 &=& -\left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3. \end{array} \right.$$
Se conseguirmos resolver esse sistema, isto é, se conseguirmos encontrar $A$ e $B$ dependendo que $p$ e de $q$ (que são dados na equação $x^3+px+q=0$) vamos ter uma fórmula para resolver esta equação. Bom, aí surge uma pergunta: Como vamos resolver esse sistema? Vamos deixar o sistema acima guardado e vamos resolver, de uma forma geral, sistemas que possuem o formato do sistema acima.
Considere o sistema
$$\left\{\begin{array}{ccc} z + w & =& s \\ z \cdot w &=& r. \end{array} \right.$$
Observe que esse sistema se torna aquele que queremos resolver se fizermos $z = A^3$, $w=B^3$, $s = -q$ e $r =-\left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3$
Afirmo que a solução do sistema anterior é $z = s \pm \displaystyle\frac{\sqrt{s^2 - 4r}}{2}$ e $w = s \mp \displaystyle\frac{\sqrt{s^2-4r}}{2}$. De fato, pela primeira equação do sistema, segue que, $w=s-z$. Substituindo essa igualdade na segunda equação, temos
\begin{eqnarray} r = z \cdot w &=& z(s-z) \\ &=& sz-z^2 \end{eqnarray}
O que implica em $z^2-sz+r=0$. Aplicando a fórmula de Bhaskara a esta última equação, vamos ter
$z = \displaystyle\frac{s \pm \sqrt{s^2+4r}}{2} = \displaystyle\frac{s}{2} \pm \displaystyle\frac{\sqrt{s^2+4r}}{2}$.
Substituindo esse $z$ em $w = s-z$, vamos ter
\begin{eqnarray} w &=& s-\left(\displaystyle\frac{s}{2} \pm \displaystyle\frac{\sqrt{s^2-4r}}{2}\right) \\ &=& s-\displaystyle\frac{s}{2} \mp \displaystyle\frac{\sqrt{s^2-4r}}{2} \\ &=& \displaystyle\frac{s}{2} \mp \displaystyle\frac{\sqrt{s^2-4r}}{2} \end{eqnarray}
Observe que, quando temos o $\pm$ como sendo $+$ em $z$, o $\mp$ em $w$ é igual a $-$ e vice versa. Portanto a solução do sistema é
$$z = \displaystyle\frac{s}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{s^2+4r}}{2}$$ e
$$w = \displaystyle\frac{s}{2} - \displaystyle\frac{\sqrt{s^2+4r}}{2}.$$
Voltando ao sistema
$$\left\{\begin{array}{ccc} A^3 + B^3 & =& -q \\ A^3 \cdot B^3 &=& -\left(\displaystyle\frac{p}{q}\right)^3. \end{array} \right.,$$
fazendo $z = A^3$, $w=B^3$, $s = -q$, $r =-\left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3$ e usando asolução do sistema geral que obtivemos acima, temos
\begin{eqnarray} A^3 &=& -\displaystyle\frac{q}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(-q)^2 - 4 \cdot\left(-\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3} \\ &=& -\displaystyle\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\displaystyle\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3} \end{eqnarray}
o que implica em
$$A = \sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} +\sqrt{\left(\displaystyle\frac{q}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3}}$$
e
\begin{eqnarray} B^3 &=& -\displaystyle\frac{q}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{(-q)^2 - 4 \cdot\left(-\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3} \\ &=& -\displaystyle\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\displaystyle\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3} \end{eqnarray}
o que implica
$$B= \sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2} -\sqrt{\left(\displaystyle\frac{q}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)^3}}.$$
Portanto, uma solução da equação $x^3+px+q=0$, ou de forma equivalente, uma raiz do polinômio $f(x) = x^3+px+q=0$ é
$$x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}$$
Exemplo:
2. Encontre uma raiz do polinômio $f(x) = x^3-6x-9$.
Solução: Encontrar uma raiz do polinômio $f$ é o mesmo que calcular uma solução da equaçaõ $x^3-6x-9=0$. Note que esta equação já está na forma $x^3+px+q=0$ com $p=-6$ e $q=-9$. Desse modo, aplicando a fórmula de Tartaglia, temos
\begin{eqnarray} x &=& \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}} \\ &=&\sqrt[3]{-\frac{-9}{2}+\sqrt{\left(\frac{-9}{2}\right)^2 + \left(\frac{-6}{2}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{-9}{2} - \sqrt{\left(\frac{-9}{2}\right)^2+\left(\frac{-6}{2}\right)^3}} \\ &=& \sqrt[3]{\frac{9}{2}+\sqrt{\frac{81}{4}+(-2)^3}}+\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\sqrt{\frac{81}{4}+(-2)^3}} \\ &=& \sqrt[3]{\frac{9}{2}+\sqrt{\frac{81}{4}-8}}+\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\sqrt{\frac{81}{4}-8}} \\ &=& \sqrt[3]{\frac{9}{2}+\sqrt{\frac{49}{4}}}+\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\sqrt{\frac{49}{4}}} \\ &=& \sqrt[3]{\frac{9}{2}+\frac{7}{2}}+\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\frac{7}{2}} \\ &=& \sqrt[3]{\frac{16}{2}}+\sqrt[3]{\frac{2}{2}} \\ &=& \sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{1} = 2+1 = 3 \end{eqnarray}
Portanto $x=3$ é uma raiz do polinômio $f(x) = x^3-6x-9$.
Observação:
(i) Nem sempre a fórmula de Tartaglia fornece uma raiz real. A expressão dentro das raízes quadradas pode ser negativa dependendo do $p$ e do $q$.
(ii) Essa fórmula é bem complicada e, assim, não é muito útil, até por que ela nos dá somente uma raiz que pode não ser real. Nas próximas postagens veremos maneiras mais eficientes de encontrar as raízes de um polinômio de grau $3$.
(iii) Se o polinômio não estiver na forma $x^3+px+q$, vai ser ainda mais complicado encontrar uma de suas raízes pela fórmula de Tartaglia, pois antes de aplicar a fórmula deve ser feita uma mudança na variável $x$. (Talvez por isso não te ensinaram isso na escola)
(iv) Todo polinômio de grau 3 possui pelo menos uma raíz real.
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