Inequações #9: Inequações modulares com mais de um módulo e com termos sem módulo

Nessa postagem vamos retomar as inequações modulares. Podemos encontrar algumas inequações nas quais aparecem expressões com mais de um termo com módulo ou ainda, com termos com módulos e  outros sem módulos (termos onde a incógnita está). O caminho usado para resolver esses tipos de inequações é um pouco diferente do que vimos até agora, para resolvê-las, vamos precisar reescrever expressões com módulos sem usar os módulos. Esse assunto foi tradado na postagem anterior, então, se você caiu por aqui sem ter visto a postagem anterior, sugiro que dê uma olhada por lá. Ainda, antes de qualquer cálculo, têm mais algumas coisas que precisamos ter em mente. Vamos precisar saber o que é um intervalo (intervalos limitados e ilimitados) e também como fazer a união e a interseção de intervalos (esses assuntos estão todos disponíveis nos links anteriores). Agora sim, estando preparados, vamos lá!

Inequações modulares com mais de um módulo e com termos sem módulo

Para deixar bem claro quais os tipos de inequações que vamos aprender a resolver nessa postagem, vamos ver alguns exemplos:

Exemplos:

1. $x-4|x-3| \leq 2$

Essa inequação possui dois termos na expressão que está ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, o $x$ e o $4|x-3|$, ou seja, um sem módulo e outro com módulo. Assim, essa é uma inequação modular com um termo que não possuem (termo com a incógnita sem módulo).

2. $|x+1|-|x-2| < 1$

Essa é uma inequação que possui uma expressão ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade com dois termos, os dois com módulos, ou seja, ela é uma inequação modular com mais de um módulo. Nesse caso não há termos com a incógnita sem módulo.

3. $|2x|+3|x+2| < -x + 6$

Essa é uma inequação modular com mais de um módulo e com um termo  sem módulo.

4. $|2x-3| - |x-4| \geq |x-1|$

Essa é uma inequação com mais de um módulo.

Observe que, em todos os exemplos, dentro dos módulos a incógnita $x$ possui apenas expoente $1$. Qualquer inequação em algum desses tipos apresentados acima pode ser resolvida com o que será apresentado aqui nessa postagem. Então, vamos seguir com exemplos, vamos apresentar uma forma, usando o que foi feito na postagem anterior, de resolver as quatro inequações acima.

Exemplos:

5. Determine o conjunto solução da inequação $x-4|x-3| \leq 2$.

Solução: Nessa inequação, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, temos uma expressão com dois termos, um com módulo e outro sem. Para resolver esse tipo de inequação,  vamos primeiramente reescrever a expressão $x-4|x-3|$ sem usar o módulo, usando o que aprendemos na postagem anterior. Temos que:

$$x - 4|x-3| = \left\{ \begin{array}{ccc} 5x-12 & \mbox{se} & x < 3 \\ -3x+12 & \mbox{se} & x \geq 3. \end{array} \right.$$

A expressão $x-4|x-3|$, reescrita, ficou dividida em duas partes, para $x < 3$ ela é igual a $5x -12$ e para $x \geq 3$ ela é igual a $-3x+12$. Desse modo, vamos separar a resoluçao da inequação em duas partes. Na primeira parte vamos considerar somente $x < -3$ e na segunda somente $x \geq -3$. Temos,

Para $x < 3$: Note que,  $x < 3$ é o mesmo que $x \in (-\infty, 3)$.  Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} x-4|x-3| &\leq& 2 \\ 5x-12 & \leq & 2 \\ 5x & \leq& 14 \\ x & \leq & \frac{14}{5} \end{eqnarray}

A solução da inequação acima é o conjunto $\left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$. Mas, como resolvemos essa inequação somente para $x < 3$, a solução da inequação nesse caso, a qual chamaremos de $S_1$, será a interseção $(-\infty, 3) \cap \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$. Desse modo, $S_1 = \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right]$.

Para $x \geq 3$: Note que, $x \geq 3$ é o mesmo que $x \in [3, +\infty)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} x-4|x-3| &\leq& 2 \\ -3x+12 & \leq & 2 \\ -3x & \leq& -10 \\ x & \geq & \frac{10}{3} \end{eqnarray}

A solução da inequação acima é o conjunto $\left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$. Mas, como resolvemos essa inequação somente para $x \geq 3$, a solução da inequação nesse caso, a qual chamaremos de $S_2$, será a interseção $[3, +\infty) \cap \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$. Desse modo, $S_2 = \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$.

Ainda não acabamos, mas estamos quase no fim. A solução da inequação $x-4|x-3| \leq 2$ é a união das soluções encontradas em casa uma das partes em que a resolução foi separada. Logo, a solução da inequação do enunciado, a qual chamaremos de $S$, é $S = S_1 \cup S_2$. Portanto, $S = \left(-\infty, \displaystyle\frac{14}{5}\right] \cup \left[\displaystyle\frac{10}{3}, + \infty\right)$.

Observação: Nessa postagem não serão feitos os diagramas para o cálculo da união e a interseção de intervalos. Se você precisar relembrar de como esses cálculos são feitos, leia as postagens onde esses assuntos foram tratados. Escolhi fazer dessa forma para essa postagem não ficar tão grande.

Nos próximos exemplos usaremos a mesma estratégia de resolução de inequações apresentada no exemplo acima, isto é, vamos reescrever uma expressão com termos com e sem módulos, separando-a em partes, para resolver a inequação nessas respectivas partes.

6. Determine o conjunto solução da inequação $|x+1|-|x-2| < 1$.

Solução: Nesse exemplo, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade, a expressão possui dois termos com módulo. Então, para resolver essa inequação, vamos reescrever a expressão $|x+1|-|x-2|$ sem usar os módulos. Temos

$$|x+1|-|x-2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -3 & \mbox{se} & x < -1 \\ 2x-1 & \mbox{se} & -1 \leq x < 2 \\ 3 &\mbox{se} & x \geq 2. \end{array} \right.$$

Ao reescrevermos a expressão $|x+1|-|x-2| $, a separamos em três partes, ela é igual a $-3$ se $x < -1$, é igual a $2x-1$ se $-1 \leq x < 2$ e é igual a $3$ se $x \geq 2$. Por esse motivo, a resolução da inequação $|x+1|-|x-2| < 1$, será feita separadamente em cada uma dessas partes. Temos

Para $x < -1$: Observe que $x < -1$ é o mesmo que dizer que $x \in (-\infty, -1)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ -3 &<& 1.  \end{eqnarray}

Como $-3 < 1 $ é sempre verdadeiro, segue que o conjunto solução da inequação acima é $\mathbb{R}$. Mas,  como estamos no caso $x < -1$, a solução  $S_1$ que estamos procurando é $S_1 = (-\infty, -1) \cap \mathbb{R}$. Logo, $S_1 = (-\infty, -1)$.

Para $-1 \leq x < 2$: Observe que $-1 \leq 2$ é o mesmo que $x \in [-1,2)$. Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ 2x-1 &<& 1 \\ 2x &<&2 \\ x &<& 1.  \end{eqnarray}

Desse modo, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = [-1,2) \cap (-\infty, 1)$, ou seja, $S_2 = [-1,1)$. Lembre-se, em cada caso (ou parte), deve ser feita a interseção do conjunto solução da inequação com o conjunto onde estamos considerando $x$. Não podemos exquecer disso.

Para $x \geq 2$: Observe que $x \geq 2$ é o mesmo que $x \in [2, +\infty)$. Nese caso, temos

\begin{eqnarray} |x+1|-|x-2| &<& 1 \\ 3 &<& 1.  \end{eqnarray}

Como $3 < 1$ nunca ocorre, o conjunto solução da inequação acima é $\emptyset$. Assim, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = [2, +\infty) \cap \emptyset$, isto é, $S_3 = \emptyset$.

Portanto, a solução da inequação do enunciado é $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3$, ou seja, $S = (-\infty,1)$.

7. Determine o conjunto solução da inequação $|2x|+3|x+2| < -x + 6$.

Solução: Nessa inequação, diferentemente dos exemplos anteriores, do lado direito do símbolo de desigualdade há uma expressão que contém a incógnita $x$. Embora isso ocorra, podemos resolvê-la da mesma forma que fizemos nos exemplos anteriores, isto é, vamos reescrever a expressão que está do lado esquerdo do símbolo de desigualdade e depois determinar o conjunto solução dessa inequação em partes. Assim, reescrevendo a expressão $|2x|+3|x+2|$, temos

$$|2x|+3|x+2| = \left\{ \begin{array}{ccc} -5x-6 & \mbox{se} & x < -2 \\x+6 & \mbox{se} & -2 \leq x < 0 \\ 5x+6 &\mbox{se} & x \geq 0. \end{array} \right.$$

Vamos prosseguir resolvendo a inequação separando a resolução nos casos $x < -2$, $ -2 \leq x < 0$ e $x \geq 0$. Temos,

Para $x < -2$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ -5x-6 &<& -x+6 \\ -4x &<& 12 \\ x &<& \frac{12}{-4} \\ x &>& -3.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_1$ desse caso é $S_1 = (-\infty, -2) \cap (-3, +\infty)$, ou seja, $S_1 = (-3,-2)$.

Para $-2 \leq x < 0$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ x+6 &<& -x+6 \\ 2x &<& 0 \\ x &<& 0.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = [-2,0) \cap (-\infty, 0)$, ou seja, $S_2 = (-2,0)$.

Para $x \geq 0$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x|+3|x+2| &<& -x + 6 \\ 5x+6 &<& -x+6 \\ 6x &<& 0 \\ x &<& 0.  \end{eqnarray}

Sendo assim, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = [0,+\infty) \cap (-\infty, 0)$, ou seja, $S_3 = \emptyset$.

Desse modo, a soluçaõ da inequação do enunciado é $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3$. Portanto, $S = (-3,0)$.

Vamos para o último exemplo.

8. Determine o conjunto solução da inequação $|2x-3| - |x-4| \geq |x-1|$.

Solução: Nesse exemplo, do lado direito do símbolo de desigualdade, temos um termo com módulo. Para usar o método que estamos usando para resolver essas inequações, devemos deixar os termos com módulos, todos eles, ao lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Desse modo, a inequação do enunciado ficará na forma

$$|2x-3| - |x-4| - |x-1| \geq 0$$

Agora, vamos resolver a inequação nesse formato, reescrevendo a expressão $|2x-3| - |x-4| - |x-1|$. Fazendo isso, obtemos

$$|2x-3| - |x-4| - |x-1| = \left\{ \begin{array}{ccc} -2 & \mbox{se} & x < 1 \\ -2x & \mbox{se} & 1 \leq x < \frac{3}{2} \\ 2x-6 &\mbox{se} & \frac{3}{2} \leq x < 4 \\ 2 & \mbox{se} & x \geq 4. \end{array} \right.$$

A expressão $|2x-3| - |x-4| - |x-1|$ ficou separa em quatro partes. Isso ocorreu por que ela possui três termos com módulo. Como ela está dividida em quatro partes, a resolução dela será feita em quatro casos, são eles, $x < 1$, $1 \leq x < \displaystyle\frac{3}{2}$, $\displaystyle\frac{3}{2} \leq x < 4$ e $x < 4$. Assim, temos

Para $x < 1$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ -2 &\geq & 0.  \end{eqnarray}

Como $-2  \geq 0$ nunca é verdade, a solução da inequação acima é o conjunto $\emptyset$. Desse modo, a solução desse caso é $S_1 = (-\infty,1) \cap \emptyset = \emptyset$.

Para $1 \leq x < \displaystyle\frac{3}{2}$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ -2x &\geq & 0 \\ x \leq 0.  \end{eqnarray}

 Desse modo, a solução $S_2$ desse caso é $S_2 = \left[1,\displaystyle\frac{3}{2}\right) \cap (-\infty, 0]$, isto é, $S_2 = \emptyset$.

Para $\displaystyle\frac{3}{2} \leq x < 4$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ 2x - 6 &\geq & 0 \\ 2x &\geq& 6 \\ x &\geq& 3.  \end{eqnarray}

Logo, a solução $S_3$ desse caso é $S_3 = \left[\displaystyle\frac{3}{2}, 4\right) \cap [3, +\infty)$, isto é, $S_3 = [3,4)$.

Para $x \geq 4$: Nesse caso, temos

\begin{eqnarray} |2x-3| - |x-4| - |x-1| & \geq & 0 \\ 2 &\geq & 0.  \end{eqnarray}

Como $2 \geq 0$ é verdade, segue que a solução da inequação acima é $\mathbb{R}$. Logo, a solução $S_4$ desse caso é $S_4 = \left[\displaystyle\frac{3}{2}, 4\right) \cap \mathbb{R}$, isto é, $S_4 = [4,+\infty)$.

Por fim, a solução $S$ da inequação $|2x-3| - |x-4| - |x-1| \geq 0$, que é equivalente à inequação do enunciado, é a união da solução dos qutro casos anteriores. Portanto $S = [3, +\infty]$.

Exemplo em vídeo:

Acredtito que, com os exemplos feitos aqui, você estará apto para resolver qualquer inequação como as que vimos nesses exemplos, ou seja, com termos com e sem módulo, sempre com a incógnita com expoente igual a $1$.

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Leia mais

Inequações #6: Inequações modulares com polinômios de grau 1

Já estamos bem avançados no estudo das inequações e, a partir dessa postagem, vamos começar a estudar as inequações modulares, ou seja, inequações nas quais a incógnita está dentro de um módulo. Inequações modulares, em geral, são difíceis de resolver, pois para resolvê-las é necessário uma boa compreensão do que é o módulo de um número real, um bom conhecimento sobre como resolver inequações sem módulo (polinomiais e racionais) e até de teoria dos conjuntos (união e interseção de intervalos). Por esse motivo, vamos estudar as inequações modulares passo a passo, para que, mesmo sendo difíceis de resolver, você consiga entender bem o processo de resolução de cada uma delas e, quando encontrar como uma delas, saiba o que fazer. Então, nessa postagem vamos começar com as inequações modulares com polinômios de grau $1$. Para que você entenda bem o que vamos fazer nessa postagem, eu sugiro que você estude as seguintes postagens:

Definição de módulo e sua interpretação geométrica:

Números Reais #10: Módulo ou Valor Absoluto de um número real

Como resolver inequações do primeiro grau:

Inequações #2: Inequação do primeiro grau

Inequações modulares com polinômios de grau 1

Já disse que nessa postagem que vamos aprender a resolver inequações modulares com polinômios de grau $1$, mas que tipo de inequação é essa? Vamos defini-las.

Definição: Uma inequação será desse tipo de estiver em algumas das seguintes formas:

$$|ax+b| < c, \; |ax+b| \leq c, \; |ax+b| > c \mbox{ ou } |ax+b| \geq c$$

onde $a$, $b$ e $c$ são constantes reais com $a \neq 0$ a $c \geq 0$. 

Em outras palavras, uma inequação modular com polinômio de grau $1$ é uma inequação na forma "polinômio de grau dentro do módulo, símbolo de desigualdade e uma constante". 

Vejamos alguns exemplos de inequações desse tipo.

Exemplos:

1. $|x+1| < 3$

2. $|3x-1| \leq 5$

3. $|-4x + \sqrt{2} | > \displaystyle\frac{3}{2}$

4. $\left|\displaystyle\frac{x}{2}-5\right| \geq 4$

Todas as inequações acima são inequações modulares com polinômios de grau $1$, mas nem sempre elas estão nesse formato. Algumas vezes, elas podem aparecer assim:

5. $3|x+1| < 4$

6. $\displaystyle\frac{|-2x+1|}{5} \leq 1$

7. $5-6|1-x| \leq 4-1$ 

Ou seja, além do polinômio de grau $1$ dentro do módulo, essas equações modulares também podem ter um número multiplicando ou dividindo o módulo e outros números sendo somados à esquerda e à direita do símbolo de desigualdade. Mas isso não é um grande problema, essas inequações podem facilmente serem reescritas de modo que elas só tenham um módulo, o símbolo de desigualdade e outro número, após o símbolo de desigualdade. Reescrevendo os exemplos de 5 a 7, temos:

Exemplo 5:

\begin{eqnarray} 3|x+1| &<& 4 \\ |x+1| &<& \frac{4}{3} \end{eqnarray}

Exemplo 6:

\begin{eqnarray} \frac{|-2x+1|}{5} &\leq& 1 \\ |-2x+1| &\leq& 5 \end{eqnarray}

Exemplo 7:

\begin{eqnarray} 5-6|1-x| &\leq& 4-1 \\ 5-6|1-x| &\leq& 3 \\ -6|1-x| &\leq& 3-5 \\ -6|1-x| &\leq& -2 \\ |1-x| &\geq& \frac{2}{6} \\ |1-x| &\geq& \frac{1}{3} \end{eqnarray}

Agora que sabemos como uma inequação modular com um polinômio de grau $1$ pode aparecer, vamos ver uma maneira de resolvê-las.

Como resolver inequações modulares com polinômios de grau 1 

Primeiramente, se a inequação não estiver em uma das formas que estão na definição

$$|ax+b| < c, \; |ax+b| \leq c, \; |ax+b| > c \mbox{ ou } |ax+b| \geq c$$

ou seja, se estiver como nos exemplos de $5$ a $7$, vamos precisar reescrevê-la em uma das formas acima. 

Tendo feito isso, podemos classificar essas inequações modulares em dois grupos, a saber, o grupos das que possuem os símbolos de menor ou menor ou igual  e o grupo das que possuemos símbolos de maior ou maior ou igual. Os exemplos 1 e 2 fazem parte das inequações que possuem $<$ ou $\leq$ como símbolo de desigaldade e as inequações dos exemplos 3 e 4 fazem parte das inequações que possuem $>$ ou $\geq$ como símbolo de desigualdade. Separar essas inequações em dois grupos diferentes é muito importante, pois as inequações com o símbolo $<$ ou o símbolo $\leq$ possuem uma forma de resolver, enquanto que as inequações com o símbolo $>$ ou o símbolo $\geq$ possuem outra forma de resolver.

Antes do fazermos os exemplos, vamos ver como resolver as inequações em cada um desses grupos. 

Como resolver inequações modulares com polinômios de grau $1$ e com o símbolo $<$ ou $\leq$.

Considere  uma incógnita $u$ e um número real $c \geq 0$. Geometricamente, o módulo de $u$ pode ser interpretado como a distância de $u$ até o zero, sobre a reta real. Desse modo, dizer que $|u| < c$ é mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é menor que $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u < c$ e $u > -c$ (são os números que estão entre $c$ e $-c$). Usando o mesmo raciocínio, dizer que dizer que $|u| \leq c$ é o mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é menor ou igual a $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u \leq c$ e $u \geq -c$ (são os números que estão entre $c$ e $-c$, incluindo o $c$ e o $-c$). Desse modo, se considerarmos $u$ como sendo $ax+b$, a solução da inequação $|ax+b| < c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b < c$ e $ax+b > -c$. De modo análogo, a solução da inequação $|ax+b| \leq c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b \leq c$ e $ax+b \geq -c$. Portanto, podemos concluir que:

A solução da inequação $|ax+b| < c$ é a interseção dos conjuntos soluções das inequações $ax+b < c$ e $ax+b > c$ e a solução da inequação $|ax+b| \leq c$ é a interseção dos conjuntos soluções das inequações $ax+b \leq c$ e $ax+b \geq -c$.

Relembre como fazer a interseção de intervalos lendo a postagem:

Números Reais #9: Interseção de intervalos

Como resolver inequações modulares com polinômios de grau $1$ e com o símbolo $>$ ou $\geq$.

Considere novamente uma incógnita $u$ e um número real $c \geq 0$. Mais uma vez, geometricamente, o módulo de $u$ pode ser interpretado como a distância de $u$ até o zero, sobre a reta real. Desse modo, dizer que $|u| > c$ é mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é maior que $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u > c$ ou $u < -c$ (todos os números fora do intervalo fechado $[c,-c]$). Usando o mesmo raciocínio, dizer que $|u| \geq c$ é o mesmo que dizer que a distância de $u$ até $0$ é maior ou igual a $c$. Os possíveis números que satisfazem essa condição são os números $u$ tais que $u \geq c$ e $u \leq -c$ (todos os números fora do intervalo aberto $(c, -c)$). Desse modo, se considerarmos $u$ como sendo $ax+b$, a solução da inequação $|ax+b| > c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b > c$ ou $ax+b < -c$. De modo análogo, a solução da inequação $|ax+b| \leq c$ será o conjunto formado por todos os valores de $x$ tais que $ax+b \geq c$ ou $ax+b \leq -c$. Portanto, podemos concluir que:

A solução da inequação $|ax+b| < c$ é a união dos conjuntos soluções da inequações $ax+b > c$ e $ax+b < -c$ e a solução da inequação $|ax+b| \geq c$ é a união dos conjuntos soluções da inequações $ax+b \geq c$ e $ax+b \leq -c$.

Relembre como fazer a união de intervalos lendo a postagem:

Números Reais #8: União de intervalos

 Vamos ver, por meio de exemplos, como resolver inequações nesses dois grupos diferentes. 

Exemplos:

8. Determine o conjunto solução da inequação $|2x+1| < 3$.

Solução: Essa inequação se encaixa no primeiro grupo, pois ela possui o símbolo de desigualdade $<$. Assim, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $2x+1 < 3$ e $2x +1 > -3$ e depois fazer a interseção dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $|2x+1| < 3$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $2x+1 < 3$, temos:

\begin{eqnarray} 2x + 1 &<& 3 \\ 2x &< & 3-1 \\ 2x &<& 2 \\ x &<& \frac{2}{2} \\ x &<& 1 \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = (-\infty,1)$. Agora, resolvendo a segunda inequação $2x +1 > -3$, temos:

\begin{eqnarray} 2x + 1 &>& -3 \\ 2x & > & -3-1 \\ 2x &>& -4 \\ x &>& \frac{-4}{2} \\ x &>& -2 \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-2, +\infty)$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|2x+1| < 3$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa interseção:

Pelo diagrama, obtemos que $S = (-2, 1)$. Logo, essa é a solução da inequação $|2x+1| < 3$.

9. Determine o conjunto solução da inequação $\left|4-\displaystyle\frac{x}{3}\right| \leq 1$.

Solução: Essa inequação  também se encaixa no primeiro grupo, pois ela possui o símbolo  de desigualdade $\leq$. Assim, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $4-\displaystyle\frac{x}{3} \leq 1$ e $4-\displaystyle\frac{x}{3} \geq -1$ e depois fazer a interseção dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $\left|4-\displaystyle\frac{x}{3}\right| \leq 1$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $4-\displaystyle\frac{x}{3} \leq 1$, temos:

\begin{eqnarray} 4-\frac{x}{3} &\leq& 1 \\ -\frac{x}{3} &\leq& 1-4 \\ -\frac{x}{3} &\leq& -3 \\ -x &\leq& 3 \cdot (-3) \\ -x &\leq& -9 \\ x &\geq& 9 \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = [9, +\infty)$. Agora, resolvendo a segunda inequação, temos:

\begin{eqnarray} 4-\frac{x}{3} &\geq& -1 \\ -\frac{x}{3} &\geq& -1-4 \\ -\frac{x}{3} &\leq& -5 \\ -x &\geq& 3 \cdot (-5) \\ -x &\geq& -15 \\ x &\leq& 15 \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-\infty, 15]$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|2x+1| < 3$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa interseção:

Pelo diagrama, obtemos que $S = [9,15]$. Logo, essa é a solução da inequação $\left|4-\displaystyle\frac{x}{3}\right| \leq 1$.

10. Resolva a inequação quação modular $-2|x+3| > -4$.

Solução: Essa inequação não está em uma das formas da definição lá do começo da postagem, por esse motivo, antes de decidirmos a qual grupo de inequações ela faz parte, precisamos reescrevê-la. Temos:

\begin{eqnarray} -2|x+3| &>& -4 \\ |x+3| &<& \frac{-4}{-2} \\ |x+3| &<& 2   \end{eqnarray}

Logo, a inequação $-2|x+3| > -4$ é equivalente à inequação $|x+3| < 2$, que possui o símbolo $<$ de desigualdade. Para resolver a inequação $|x+3| < 2$ precisamos resolver as inequações $x+3 < 2$ e $x+3 > -2$ e depois fazer a interseção dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $|x+3| < 2$ que também é o conjunto solução da inequação $-2|x+3| > -4$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $x+3 < 2$, temos:

\begin{eqnarray} x+3 &<& 2 \\ x &<& 2 - 3 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = (-\infty, -1)$. Agora, resolvendo a segunda inequação $x+3 > -2$, temos:

\begin{eqnarray} x+3 &>& -2 \\ x &>& -2-3 \\ x &>& -5 \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-5, +\infty)$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $-2|x+3| > -4$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa interseção:

Pelo diagrama, obtemos que $S = (-5,-1)$. Logo, essa é a solução da inequação $-2|x+3| > -4$.

11. Determine o conjunto solução da inequação $|2x+5| > 2$.

Solução: Essa inequação se encaixa no segundo grupo, pois ela possui o símbolo  de desigualdade $>$. Desse modo, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $2x+5 > 2$ e $2x+5 < -2$ e depois fazer a união dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da união será o conjunto solução da inequação $|2x+5| > 2$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $2x+5 > 2$, temos:

\begin{eqnarray} 2x+5 &>& 2 \\ 2x &>& 2-5 \\ 2x &>& -3 \\  x &>& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = \left(-\displaystyle\frac{3}{2}, +\infty\right)$. Agora, resolvendo a segunda inequação, temos:

\begin{eqnarray} 2x+5 &<& -2 \\ 2x &<& -2-5 \\ 2x &<& -7 \\  x &<& -\frac{7}{2} \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{7}{2}\right)$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|2x+1| < 3$ será dado por $S=S_1 \cup S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa união:

Pelo diagrama, obtemos que $S = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{7}{2}\right) \cup \left(-\displaystyle\frac{3}{2}, +\infty\right)$ e esse é o conjunto solução da inequação $|2x+5| > 2$.

12. Determine o conjunto solução da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$.

Solução: Essa inequação também se encaixa no segundo grupo, pois ela possui o símbolo  de desigualdade $\geq$. Desse modo, para resolver essa inequação, precisamos resolver as inequações $4x-1 \geq \displaystyle\frac{1}{2}$ e $4x-1 \leq -\displaystyle\frac{1}{2}$ e depois fazer a união dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da união será o conjunto solução da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $4x-1 \geq \displaystyle\frac{1}{2}$, temos:

\begin{eqnarray} 4x-1 &\geq& \frac{1}{2} \\ 4x &\geq& \frac{1}{2}+1 \\ 4x &\geq& \frac{3}{2} \\  x &\geq& \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} \\ x &\geq& \frac{3}{8} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = \left[\displaystyle\frac{3}{8}, +\infty\right)$. Agora, resolvendo a segunda inequação, temos:

\begin{eqnarray} 4x-1 &\leq& -\frac{1}{2} \\ 4x &\leq& -\frac{1}{2}+1 \\ 4x &\leq& \frac{1}{2} \\  x &\leq& \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \\ x &\leq& \frac{1}{8} \end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = \left(-\infty, \displaystyle\frac{1}{8}\right]$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$ será dado por $S=S_1 \cup S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa união:

Pelo diagrama, obtemos que $S = \left(-\infty, \displaystyle\frac{1}{8}\right] \cup \left[\displaystyle\frac{3}{8}, +\infty\right)$ e esse é o conjunto solução da inequação $|4x-1| \geq \displaystyle\frac{1}{2}$.

13. Resolva a inequação modular $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$.

Solução: Antes de resolver essa inequação, precisamos reescrevê-la. Observe que, nesse exemplo, a expressão que está dentro do módulo precisa ser simplificada. Temos:

\begin{eqnarray} \frac{|2(2x-3)-x+1|}{3} &\geq& 2 \\ |2(2x-3)-x+1| &\geq& 6 \\  |4x-6-x+1| &\geq& 6 \\ |3x-5| &\geq& 6 \end{eqnarray}

Logo, a inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$ é equivalente à inequação $|3x-5| \geq 6$, que possui o símbolo $\geq$ de desigualdade. Para resolver a inequação $|3x-5| \geq 6$ precisamos resolver as inequações $3x-5 \geq 6$ e $3x-5 \leq -6$ e depois fazer a união dos conjuntos soluções dessas inequações. O conjunto resultante da interseção será o conjunto solução da inequação $|x+3| < 2$ que também é o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$. 

Resolvendo primeiramente a inequação $3x-5 \geq 6$ temos:

\begin{eqnarray} 3x-5 &\geq& 6 \\ 3x &\geq& 6+5 \\ 3x &\geq& 11 \\ x &\geq& \frac{11}{3} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = \left[\displaystyle\frac{11}{3},+\infty \right)$. Agora, resolvendo a segunda inequação $3x-5 \leq -6$, temos:

\begin{eqnarray} 3x-5 &\leq& -6 \\ 3x &\leq& -6+5 \\ 3x &\leq& -1 \\ x &\leq& \frac{-1}{3}\end{eqnarray}

Assim, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{1}{3} \right]$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$ será dado por $S=S_1 \cap S_2$. Vamos utilizar o seguinte diagrama para calcular essa união:

Pelo diagrama, obtemos que $S = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{1}{3} \right] \cup \left[\displaystyle\frac{11}{3},+\infty \right)$. Logo, essa é a solução da inequação $\displaystyle\frac{|2(2x-3)-x+1|}{3}\geq 2$.

Observação importante: Há dois tipos de inequações que os seus respectivos conjuntos soluções são obtidos de forma direta. O primeiro tipo são as inequações na forma $|ax+b| < 0$ com $a \neq 0$. Como o módulo um número real é sempre maior ou igual a zero, para qualquer que seja $x$, nunca vamos obter $|ax+b| < 0$, isto é, o conjunto solução dessa inequação é o conjunto vazio $\emptyset$. Aplicando isso a alguns casos particulares, as inequações

$$|-x+5| < 0, \; |2x+\sqrt{3}| < 0 \mbox{ e } \left|\frac{x}{5}-\pi \right| < 0$$

possuem por conjunto solução o conjunto vazio.

O outro tipo são inequações na forma $|ax+b| \geq 0$. Como já foi obervado , o módulo de um número real é sempre maior ou igual a zero, assim, o cojunto solução de inequações desse tipo é igual $\mathbb{R}$, ou seja, todo número real é solução dessa inequação. Outra forma de escrever o conjunto solução dessa inequação é $(\infty,+\infty)$.

Resumo da postagem com exemplo em vídeo:

Acredito que, com esses exemplos, você vai conseguir resolver qualquer inequação modular com um polinômios de grau $1$.

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Inequações #5: Inequações racionais

Nas postagens anteriores (acesse-as aqui) focamos em resolver inequações polinomiais. Agora, vamos seguir nosso estudo sobre inequações passando para as inequações racionais. Se você não viu as duas postagens anteriores, sugiro que as estude, pois vamos precisar bastante delas. Para resolver as inequações racionais vamos precisar analisar sinais de polinômios e também resolver inequações polinomiais. Nessa postagem vamos aprender o que é uma inequação racional, como resolver uma inequação racional e também todos os detalhes nos quais precisamos estar atentos na hora fazer a resolução. Então, vamos lá!

Inequações racionais

Primeiramente, vamos definir o que é uma equação racional.

Definição: Sejam $p(x)$ e $q(x)$ dois polinômios (sobre $\mathbb{R}$). Qualquer inequação que pode ser escrita em uma das formas

$$\frac{p(x)}{q(x)} < 0, \; \frac{p(x)}{q(x)} \leq 0, \; \frac{p(x)}{q(x)} > 0 \mbox{ ou } \frac{p(x)}{q(x)} \geq 0$$

é chamada inequação racional.

De uma forma mais informal, uma inequação racional é qualquer inequação que pode ser escrita como um quociente de dois polinômios, um símbolo de desigualdade e o zero. Vejamos alguns exemplos:

Exemplos:

1. $\displaystyle\frac{x}{x+1} < 0$

2. $\displaystyle\frac{x^2-x-1}{2x+\sqrt{3}} \leq 0$

3. $\displaystyle\frac{x-1}{3x^2+\frac{x}{3}-4} > 0$

4. $\displaystyle\frac{x^4-2x+3}{-x^4+4x^3} \geq 0$

Uma inequação polinomial pode ser vista como um caso particular de equações racionais. Uma equação polinomial é uma equação racional onde o polinômio que está na parte de baixo do quociente é igual a $1$.

Nem sempre uma inequação racional aparece um uma das formas que estão na definição, ou seja, em uma das formas que estão nos quatro exemplos anteriores. Se uma inequação é formada por termos que são polinômios e/ou quocientes de polinômios, então ela é uma inequação racional. Vejamos alguns exemplos desses casos.

5. A inequação $\displaystyle\frac{x}{x^2-1} < 1$ pode ser escrita um uma das formas que estão na definição de inequação racional. De fato,

\begin{eqnarray} \frac{x}{x^2-1} &<& 1 \\   \frac{x}{x^2-1} - 1 &<& 0 \\ \frac{x - (x^2-1)}{x^2-1} &<& 0 \\ \frac{x - x^2+1}{x^2-1} &<& 0 \\ \frac{-x^2 +x+1}{x^2-1} &<& 0  \end{eqnarray}

A inequação $\displaystyle\frac{x}{x^2-1} < 1$ é uma inequação racional.

6. A inequação $\displaystyle\frac{x+1}{x+3} + x \geq 2$ é uma inequação racional. De fato,

\begin{eqnarray} \frac{x+1}{x+3} + x &\geq& 2 \\   \frac{x+1}{x+3} + x - 2 &\geq& 0 \\ \frac{x+1 + (x+3)(x-2)}{x+3} &\geq& 0 \\ \frac{x+1 + x^2-2x+3x-6}{x+3} &\geq& 0 \\ \frac{x^2+2x-5}{x+3} &\geq& 0.  \end{eqnarray}

7. A inequação $\displaystyle\frac{x^2}{x+2} + \displaystyle\frac{3}{x}  \leq 0$ é uma inequação racional. De fato,

\begin{eqnarray} \frac{x^2}{x+2} + \frac{3}{x}  &\leq& 0 \\   \frac{x \cdot x^2 + 3(x+2)}{(x+2)x} &\leq& 0 \\ \frac{x^3 + 3x+6}{x^2+2x} &\leq& 0.  \end{eqnarray}

8. A inequação $\displaystyle\frac{1}{x} - \displaystyle\frac{x}{x+1}  > \displaystyle\frac{x^2}{2x+1}$ é uma inequação racional. De fato,

\begin{eqnarray} \frac{1}{x} - \frac{x}{x+1}  &>& \frac{x^2}{2x+1} \\   \frac{x+1 - x \cdot x}{x(x+1)}  &>& \frac{x^2}{2x+1} \\  \frac{-x^2 + x +1}{x^2+x} - \frac{x^2}{2x+1} &>& 0  \\ \frac{(2x+1)(-x^2 + x +1) - x^2(x^2+x)}{(x^2+x)(2x+1)} &>& 0 \\ \frac{-2x^3+2x^2+2x-x^2+x+1-x^4-x^3}{x^3+x^2+2x^2+x} &>& 0 \\  \frac{-x^4-3x^3+x^2+3x+1}{x^3+3x^2+x} &>& 0 \end{eqnarray}

Se você teve alguma dificuldade em entender as contas que foram feitas nos exemplos acima, veja a postagem sobre soma, subtração, produto e divisão de quocientes com expressões algébricas.

Logo, embora as inequações dos exemplos 5 a 8, a princípio, não estejam de acordo com a definição de inequação racional, elas podem ser escritas de acordo com a definição e, portanto, são inequações racionais.

Agora que já sabemos identificar as inequações racionais, vamos aprender a resolvê-as.

Como resolver uma inequação racional

Acredito que a melhor forma de aprender a resolver inequações racionais é por meio de exemplos, mas como podemos fazer uma infinidade de exemplos diferentes, vamos separar os exemplos em casos e destacar as ideias que serão usadas em cada caso. Assim, com alguns exemplos podemos aprender estratégias para resolver inequações racionais e replicar essas estratégias para resolver todas as inequações racionais.

Antes de passarmos para os exemplos, o seguinte raciocício estará presente em todos os exemplos:

Sejam $a, b \in \mathbb{R}$ com $b \neq 0$. O quociente $\displaystyle\frac{a}{b}$ será igual a zero quando $a = 0$, será positivo quando $a > 0$ e $b > 0$ ou $a < 0$ e $b < 0$  e será negativo quando $a > 0$ e $b < 0$ ou $a < 0$ e $b > 0$. Isto é, para saber o sinal de $\displaystyle\frac{a}{b}$, basta fazer o jogo de sinais com $a$ e $b$. 

Vamos aos exemplos.

Exemplos:

Caso 1: Inequação racional em um dos formatos da definição onde os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ possuem grau $1$.

9. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1} < 0$.

Solulção: Conforme o raciocínio exposto antes de começarmos esses exemplos, para resolver esse exemplo, basta analisarmos os sinais dos polinômios $x+1$ e $2x-1$ e, por meio de um diagrama (que faremos a seguir), determinarmos o sinal da divisão $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1}$ usando jogo de sinais.  Lembre-se que o valor de $x$ que anula o polinômio que está em baixo no quociente não pode estar na solução, pois não existe divisão por zero. Desse modo, para $x+1$, temos

 \begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Para o fator $2x-1$, temos

\begin{eqnarray} 2x-1 & > & 0 \\ 2x &>& 1 \\ x &>& \frac{1}{2}  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} 2x-1 & < & 0 \\ 2x &<& 1 \\ x &<& \frac{1}{2} \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} 2x-1 & = & 0 \\ 2x &=& 1 \\ x &=& \frac{1}{2}. \end{eqnarray}

Com essas informações, podemos construir o seguinte diagrama de análise de sinal

Observe que, em baixo do número $\displaystyle\frac{1}{2}$ não marcamos o número $0$ no segmento que está em frente ao quociente  $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1}$, mas sim um $\times$. Fizemos isso para deixar claro que ele não pode fazer parte da solução da inequação, pois ele anula $2x-1$ e não se pode fazer divisão por zero. Portanto, solução da inequação é $S = \left(-1, \displaystyle\frac{1}{2}\right)$ ou, de outra forma, $S = \left\{x \in \mathbb{R}: -1 < x < \displaystyle\frac{1}{2}\right\}$. Observe também que $-1 \notin S$, pois nele o quociente $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1}$ é igual $0$, mas queremos os valores de $x$ para os quais $\displaystyle\frac{x+1}{2x-1} < 0$.

Caso 2: Inequação racional em um dos formatos da definição onde pelo menos um dos polinômios $p(x)$ e $q(x)$ possui grau maior  que  $1$.

10. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x+3} \geq 0$.

Solulção: Nesse exemplo, o polinômio que está em cima no quociente possui grau igual a $2$, isso significa que ele pode ser fatorado. Todas as vezes que você se deparar com uma inequação racional em uma das formas da definição onde pelos menos um dos polinômios possui grau maior que $1$, tais polinômios precisam ser fatorados. Vamos fazer isso para a inequação do enunciado. Usando soma e produto, as raízes do polinômio $x^2-x-2$ são $-1$ e $2$. Desse modo, segue que, 

$$x^2-x-2 = (x+1)(x-2).$$

Assim, podemos reescrever a inequção $\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x+3} \geq 0$ na forma:

$$\displaystyle\frac{(x+1)(x-2)}{x+3} \geq 0$$

Tendo feito esse passo, vamos analisar o sinal de cada fator presente na inequação. Para o fator $x+1$ temos

\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Para o fator $x-2$. Temos

\begin{eqnarray} x-2 & > & 0 \\ x &>& 2  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-2 & < & 0 \\ x &<& 2 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-2 & = & 0 \\ x &=& 2. \end{eqnarray}

Para o fator $x+3$. Temos

\begin{eqnarray} x+3 & > & 0 \\ x &>& -3  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+3 & < & 0 \\ x &<& -3 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+3 & = & 0 \\ x &=& -3. \end{eqnarray}

Com essas informações, podemos construir seguinte  diagrama da análise de sinal;

De acordo com o diagrama da análise de sinal, temos que a solução da inequação $\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x+3} \geq 0$ é igual a $S = (-3,-1] \cup [2, +\infty)$ ou, de outra forma, $S =\{x \in \mathbb{R}: -3 < x \leq -1 \mbox{ ou } x \geq 2\}$. Observe que $-3 \notin S$ pois ele anula o polinômios que está em baixo no quociente.

Caso 3: Inequação racional que não está em um dos formatos da definição.

11. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{2x+5}{x+3} \leq 1$.

Solução: Quando vemos uma inequação nesse formato, dá uma vontade muito grande de multiplicar cruzado ou, especificamente nesse caso, passar o $x+3$ multiplicando para o outro lado. Mas, você não pode fazer simplesmente isso, pois o sinal da expressão $x+3$ muda de acordo com o valor de $x$. Passar o $x+3$ multiplicando o outro lado é a mesma coisa que multiplicarmos os dois lados da inequação por $x+3$ e, sabemos que, quando mutliplicamos uma inequação por um número negativo, o símbolo de desigualdade deve ser invertido. Assim, ante de fazer essa multiplicação, o sinal de $x+3$ deve ser analisado. Esse é um caminho que pode ser usado para resolver a inequação, mas acredito que ele é mais trabalhoso. Por esse motivo, vamos usar outra estratégia, vamos reescrever a inequação em uma das formas da definição de inequação racional e depois usar uma das estratégias que aprendemos nos dois casos anteriores. Desse modo, temos

\begin{eqnarray} \frac{2x+5}{x+3} &\leq& 1 \\ \frac{2x+5}{x+3} -1 &\leq& 0 \\ \frac{2x+5-(x+3)}{x+3} &\leq& 0 \\ \frac{2x+5-x-3}{x+3} &\leq& 0 \\ \frac{x+2}{x+3} &\leq& 0\end{eqnarray}

Logo, reescrevendo a inequação $\displaystyle\frac{2x+5}{x+3} \leq 1$ na forma $\displaystyle\frac{x+2}{x+3} \leq 0$, caímos no caso 1 e esse caso já aprendemos como resolver. Vamos analisar o sinal de cada fator presenta na inequação. Para o fator $x+2$ temos

\begin{eqnarray} x+2 & > & 0 \\ x &>& -2, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+2 & < & 0 \\ x &<& -2 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+2 & = & 0 \\ x &=& -2. \end{eqnarray}

Para o fator $x-2$. Temos

\begin{eqnarray} x+3 & > & 0 \\ x &>& -3  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+3 & < & 0 \\ x &<& -3 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+3 & = & 0 \\ x &=& -3. \end{eqnarray}

Colocando essa informações no diagrama, temos

De acordo com o diagrama, a solução da inequação é $S = (-3,-2]$ ou, de outra forma, $S = \{x \in \mathbb{R}: -3 < x \leq -2\}$.

12. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{2x^2}{x^2-1} - 2 \leq \displaystyle\frac{1}{x^2}$.

Solução: Assim como no exemplo anterior, vamos escrever essa inequação em um dos formatos da definição de inequação racional. Temos

\begin{eqnarray} \frac{2x^2}{x^2-1} - 2 &\leq& \displaystyle\frac{1}{x^2} \\ \frac{2x^2-2(x^2-1)}{x^2-1} &\leq& \displaystyle\frac{1}{x^2} \\ \frac{2x^2-2x^2+2)}{x^2-1} - \displaystyle\frac{1}{x^2} &\leq& 0 \\  \frac{2}{x^2-1} - \displaystyle\frac{1}{x^2} &\leq& 0 \\ \frac{2x^2 - (x^2-1)}{(x^2-1)x^2} &\leq& 0 \\ \frac{2x^2 - x^2+1}{(x^2-1)x^2} &\leq& 0 \\ \frac{x^2 +1}{(x^2-1)x^2} &\leq& 0 \end{eqnarray}

Logo, a inequação $\displaystyle\frac{2x^2}{x^2-1} - 2 \leq \displaystyle\frac{1}{x^2}$ pode ser rescrita na forma $\displaystyle\frac{x^2 +1}{(x^2-1)x^2} \leq 0$, isto é, caímos no caso 2.. Agora, vamos fatorar os polinômios que aparecem nessa inequação. Temos que $x^2+1$ é irredutível (não pode ser fatorado), pois para ele temos $\Delta = 0$. Além disso, nele temos $a=1 > 0$, logo $x^2 + 1$ é sempre positivo. O polinômio $x^2-1$ é uma diferença de quadrados, logo 

$$x^2-1 = (x+1)(x-1).$$

O polinômio $x^2$ aparece como um fator na inequação, mas vamos deixá-lo dessa forma, pois a análise de sinal dele é bem simples, para qualquer $x \neq 0$ temos $x^2 > 0$ e $x^2 = 0$ somente para $x = 0$. Assim, podemos reescrever a inequação $\displaystyle\frac{2x^2}{x^2-1} - 2 \leq \displaystyle\frac{1}{x^2}$ na forma

\begin{eqnarray} \frac{x^2 +1}{(x+1)(x-1)x^2} &\leq& 0 \end{eqnarray}

Vamos analisar o sinal de cada fator presente na inequação. Note que já sabemos os sinais de $x^2+1$ e de $x^2$. Agora, para o fator $x+1$ temos

\begin{eqnarray} x+1 & > & 0 \\ x &>& -1, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x+1 & < & 0 \\ x &<& -1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x+1 & = & 0 \\ x &=& -1. \end{eqnarray}

Para o fator $x-1$. Temos

\begin{eqnarray} x-1 & > & 0 \\ x &>& 1  \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x-1 & < & 0 \\ x &<& 1 \end{eqnarray}

e

\begin{eqnarray} x-1 & = & 0 \\ x &=& 1. \end{eqnarray}

Colocando essas informação no diagrama, temos:

Portanto, de acordo com o diagrama, a solução da inequação é $S = (-1, 0) \cup (0, 1)$ ou, de outra forma, $S = \{x \in \mathbb{R}: -1 < x < 1 \mbox{ e } x \neq 0\}$. Observe que $-1, 1, 0 \notin S$ pois anulam o polinômio que está em baixo na inequação.

Observação: Nos exemplos acima reescrevemos cada inequação de uma outra forma para resolvê-las. Isso pode ser feito sempre, mas devemos tomar alguns cuidados. Caso exista um ou mais fatores em comum nos polinômios que estão em cima e em baixo na inequação, como no exemplo a seguir

$$\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1} > 0,$$

podemos simplificar o $x-1$ e reescrevermos a inequação na forma $2x+1 > 0$ para rresolver. Mas, não podemos nos esquecer que na inequação original havia $x-1$ na parte de baixo, isto é, o número $1$ não pode estar no conjunto solução da inequação, pois do contrário, vamos ter uma divisão por $0$. Então, lembre-se, você sempre pode simplificar termos comuns que aparecem na parte de cima e de baixo de um termo de uma inequação racional, mas não se esqueça de retirar da solução o(s) numero(s) que anulam esses termos. 

Exemplo em vídeo:

Com as ideias que foram apresentadas aqui, você vai conseguir resolver muitas inequações racionais.

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Inequações #2: Inequação do primeiro grau

Na primeira postagem dessa série sobre inequações vimos o que é uma inequação e o que devemos fazer na hora de encontrar sua solução, isto é, na hora resolvê-la. A partir dessa postagem vamos ver como resolver alguns tipos de inequações e, especificamente nessa postagem, vamos aprender a resolver as inequações do primeiro grau, que também são conhecidas como inequações lineares com uma variável. Esse tipo de inequação é o mais fácil de resolver, mas nem por isso elas são menos importantes. Saber como resolver uma inequação do primeiro grau é fundamental para resolver os outros tipo de inequaçções. Por esse motivo, entender bem o conteúdo dessa postagem é um passo muito importante para aprender a resolver as inequações. Então, vamos lá!

Inequação do primeiro grau

Antes de mais nada, vamos ver a definição de inequação do primeiro grau.

Definição: Qualquer inequação que pode ser escrita em uma das formas

$$ax + b < 0, \mbox{ } ax+b \leq 0, \mbox{ } ax+b > 0 \mbox{ ou } ax + b \geq 0$$

com $a,b \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$ é chamada inequação do primeiro grau.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplos:

1. $x+ 1 < 0$

2. $\displaystyle\frac{x}{2} - 4 \leq 0$

3. $-\sqrt{2}x + \displaystyle\frac{3}{4} > 0$

4. $4x  \geq 0$

Algumas vezes, talvez na maioria delas, as inequações lineares não aparecem no formato em que estão as inequações dos quatro exemplos anteriores e, para deixá-las nesse formato, é necessário fazer algumas simplificações usando as propriedades de ordem com as opearações dos números reais e as próprias operações. Vamos continuar os exemplos vendo alguns desses casos.

5. Escreva a inequação $3x - 4 < 2x +1$ no formato $ax + b < 0$.

Solução: Vamos fazer esse exemplo bem detalhadamente, apresentando em cada passo as propriedades de ordem que estamos usando. Para que a inequação $3x - 4 < 2x +1$ fique no formato desejado, devemos "transformar" ou "fabricar" um $0$ no lado direito do símbolo $<$. Vamos fazer isso usando a seguinte propriedade:

Se $a < b$, então $a + c < b+c$ para todo $c \in \mathbb{R}$.

Essa propriedade nos diz que podemos somar um mesmo número em ambos os lados de um símbolo de desigualdade, que o símbolo não se altera. Lembre-se que essa propriedade também vale se trocarmos o símbolo $<$ por $\leq$, $>$ ou $\geq$. Sendo assim, devemos somar em ambos os lados da inequação $3x - 4 < 2x +1$ os termos $-1$ e $-2x$. Fazendo isso passo a passo, temos:

\begin{eqnarray} 3x - 4 &<& 2x + 1 \\ 3x - 4 + (-1) &<& 2x + 1 + (-1) \\ 3x - 4 - 1 &<& 2x + 1 - 1 \\ 3x - 4 - 1 &<& 2x \\ 3x - 5 &<& 2x \\ 3x - 5 + (-2x) &<& 2x + (-2x) \\ 3x - 5 - 2x &<& 2x - 2x \\ 3x - 5 - 2x &<& 0 \\ x - 5 &<& 0 \end{eqnarray}

Logo, a inequação $3x - 4 < 2x +1$ pode ser reescrita na forma $x - 5 < 0$. 

Continuando nesse exemplo, vamos reescrever a simplificação feita cima, omitindo algumas linhas.

\begin{eqnarray} 3x - 4 &<& 2x + 1 \\ 3x - 4 - 1 &<& 2x \\ 3x - 5 &<& 2x \\ 3x - 5 - 2x &<& 0 \\ x - 5 &<& 0 \end{eqnarray}

As linhas omitidas na simplificação acima foram àquelas em que somamos um mesmo termo nos dois lados do símbolo $<$ e as linhas que tinham o resultado dessas somas. Observando a simplificação com essas linha omitidas, ao aplicarmos a propriedade de ordem que citamos anteriormente,  parece que passamos o $1$ do lado direito para o lado esquerdo, com o sinal trocado, e também o $2x$ do lado direito para o lado esquerdo, com o sinal trocado. Isso nos mostra que, em qualquer inequação, assim como nas equações, podemos passar um termo que está sendo somado ou subtraído de um lado para o outro trocando o seu sinal. Esse processo nos será muito útil  na hora de resolver as inequações. Não se esqueça disso.

6. Escreva a inequação $2(x - 3) +1 \geq 5x - 8$ no formato $ax + b \geq 0$. 

Solução: Se uma inequação possui alguma operação a ser feita em um ou nos dois lados do símbolo de desigualdade, essas operações devem ser feitas por primeiro, a fim de simplificar as expressões que estão nos dois lados da inequação, para que esta possa ser reescrita no formato $ax + b \geq 0$. Na inequação do enunciado, no lado esquerdo do símbolo de desigualdade, temos a expressão $2(x-3)+1$. Desse modo, vamos começar a reescrever a inequação $2(x - 3) +1 \geq 5x - 8$, simplificando essa expressão. Temos:

\begin{eqnarray} 2(x-3)+1 &\geq& 5x-8 \\ 2x - 6 + 1 &\geq & 5x - 8 \\ 2x -5 &\geq& 5x-8 \\ 2x - 5 + 8 \geq 5x \\ 2x +3 &\geq& 5x \\ 2x + 3 - 5x &\geq& 0 \\ -3x + 3 & \geq & 0 \end{eqnarray}

Logo, a inequação $2(x - 3) +1 \geq 5x - 8$ pode ser reescrita na forma $-3x+3 \geq 0$.

Nesses dois últimos exemplos podemos perceber que, para identificar uma inequação do primeiro grau mesmo que ela não esteja em um dos formatos da definição, basta olharmos para a incónita presente na inequação, vamos chamá-la de $x$ para facilitar. Se não houver uma potência fracionária, inteira negativa, nula, ou maior ou igual a $2$ em $x$, se $x$ não estiver dentro de uma raiz, não estiver na parte de baixo de um quociente e nem dentro de um módulo, então a inequação é do primeiro grau, pois nesses caso, ela sempre vai poder se reescrita em um dos formatos que estão na definição.

Então, não precisamos fazer como nos exemplos 5 e 6 para identificar uma inequação do primeiro grau. Mas, mesmo assim, esses exemplos são importantes, pois eles nos mostram que, se um termo está somando ou subtraindo, podemos trocá-lo de lado mudando seu sinal e que podemos simplificar as expressões que estão em cada lado do símbolo de desigualdade nas inequações. Agora, vamos ver como resolver as inequações do primeiro grau e como escrever seu conjunto solução.

Como resolver uma inequação do primeiro grau

Quando se trata de equações, para resolvê-las, o principal objetivo é isolar a incógnita. Quando se trata de inequações do primeiro grau, o principal objetivo é o mesmo, isolar a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um dos lados do símbolo de desigualdade. Vamos ver como fazer isso por meio de exemplos, começando pelos mais fáceis e depois passando para os mais complicados.

Exemplos:

7. Resolva a inequação $5x+10 < 0$.

Solução: Vamos isolar o $x$ na inequação do enunciado, deixando o $x$ sozinho do lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Já vimos anteriormente que podemos passar um termo que está somando ou subtraindo para o outro lado do símbolo de desigualdade trocando o seu sinal. Desse modo, temos:

\begin{eqnarray} 5x + 10 &<& 0 \\ 5x &<& -10 \end{eqnarray}

Agora, do lado esquerdo, temos $5x$. Para "transformá-lo" em $x$, vamos usar a seguinte propriedade:

Se $a < b$ e $c > 0$, então $ac < bc$.

Essa propriedade nos diz que podemos multiplicar os dois lados de uma inequação por um número positivo que o símbolo de desigualdade não muda. Lembre-se que essa propriedade também vale se trocarmos o símbolo $<$ por $\leq$, $>$ ou $\geq$. Como do lado esquerdo temos $5x$, vamos multiplicar os dois lados da inequação por $\displaystyle\frac{1}{5}$, o inverso do $5$, pois multiplicando um número pelo seu inverso, o resultado sempre é igual a $1$, assim, vamos conseguir isolar o $x$. Assim, temos:

\begin{eqnarray} 5x + 10 &<& 0 \\ 5x &<& -10 \\ \frac{1}{5} \cdot 5x &<& \frac{1}{5} \cdot (-10) \\ x &<& \frac{-10}{5} \\ x &<& -2 \end{eqnarray}

Vamos reescrever os cálculos acima omitindo a linha em que multiplicamos os dois lados da inequação por $\displaystyle\frac{1}{5}$. Temos:

\begin{eqnarray} 5x + 10 &<& 0 \\ 5x &<& -10  \\ x &<& \frac{-10}{5} \\ x &<& -2 \end{eqnarray}

Perceba que, quando aplicamos a regra citada acima, o $5$ que estava multiplicando o $x$ passou para o outro lado dividindo. Assim, em qualquer inequação, se um número positivo está multiplicando o $x$, ele pode passar para o outro lado dividindo. Além disso, usando o mesmo raciocínio, o contrário também vale, isto é, se um número positivo está dividindo o $x$, ele pode passar para o outro lado multiplicando. 

Agora, vamos para o último passo da resolução da inequação, ou seja, escrever o conjunto solução. No final das contas que fizemos, chegamos a $ x < -2$. Uma das maneiras de escrever o conjunto solução é usando a notação de intervalo. Todos os $x$ que satisfazem $x < -2$ estão no intervalo $(-\infty, -2)$, isto é, dizer que $x < -2$ é o mesmo que dizer que $x \in (-\infty, -2)$. Assim, podemos dizer que o conjunto solução $S$ da inequação é $S = (-\infty, -2)$. Outra  maneira de escrever o conjunto solução é usando a notação de conjunto mesmo, usando as chaves e descrevendo a propriedade do conjunto. Nesse formato, podemos escrever o conjunto solução $S$ da inequação na forma $S = \{x \in \mathbb{R}:x<-2\}$. Em algumas ocasições, o conjunto solução nem vai ter nome e vai ser simplesmente escrito como $x < -2$, mas é importante conhecer todas as maneiras de escrever o conjunto solução.

8. Resolva a inequação $-2x + 8 < 0$.

Solução: Assim como no exemplo anteior, vamos isolar o $x$ na inequação do enunciado, deixando o $x$ sozinho do lado esquerdo do símbolo de desigualdade. Vamos começar a fazer isso, passando o $8$ para o outro lado da inequação. Desse modo, temos:

\begin{eqnarray} -2x + 8 &<& 0 \\ -2x &<& -8 \end{eqnarray}

Perceba que o número que está multiplicando $x$ não é positivo, assim, não podemos proceder da mesma forma que o exemplo anterior, ou seja, passar o $-2$ dividindo o outro lado. Nesse caso, a propriedade a ser usada é a seguinte:

Se $a < b$ e $c < 0$, então $ac > bc$.

Essa propriedade nos diz que podemos multiplicar os dois lados de uma inequação por um número negativo, mas ao fazermos isso,  o símbolo de desigualdade deve ser invertido. Lembre-se que essa propriedade também vale se trocarmos o símbolo $<$ por $\leq$, $>$ ou $\geq$ (lembrando também de inverter o símbolo após multiplicar pelo número negativo). Como do lado esquerdo temos $-2x$, vamos multiplicar os dois lados da inequação por $\displaystyle\frac{1}{-2}$, o inverso do $-2$, pois multiplicando um número pelo seu inverso, o resultado sempre é igual a $1$, assim, vamos conseguir isolar o $x$. Assim, temos:

\begin{eqnarray} -2x + 8 &<& 0 \\ -2x &<& -8 \\ \frac{1}{-2} \cdot (-2x) &>& \frac{1}{-2} \cdot (-8) \\ x &>& \frac{-8}{-2} \\ x &>& 4  \end{eqnarray}

Vamos reescrever os cálculos acima omitindo a linha em que multiplicamos os dois lados da inequação por $\displaystyle\frac{1}{-2}$. Temos:

\begin{eqnarray} -2x + 8 &<& 0 \\ -2x &<& -8 \\ x &>& \frac{-8}{-2} \\ x &>& 4  \end{eqnarray}

Perceba que, quando aplicamos a regra citada acima, o $-2$ que estava multiplicando o $x$ passou para o outro lado dividindo e o símbolo de desigualdade foi invertido. Assim, em qualquer inequação, se um número negativo está multiplicando o $x$, ele pode passar para o outro lado dividindo, mas sempre é necessário inverter o símbolo de desigualdade. Além disso, usando o mesmo raciocínio, o contrário também vale, isto é, se um número negativo está dividindo o $x$, ele pode passar para o outro lado multiplicando, desde que o símbolo de desigualdade seja invertido.

No final das contas que fizemos, chegamos a $ x > 4$. Desse modo, o conjunto solução $S$ da inequação é $S = (4, + \infty)$ ou  $S = \{x \in \mathbb{R}:x > 4\}$, ou ainda, simplesmente $x > 4$.

Agora que sabemos quais propriedades usar, como usá-las e também por onde começar a resolver uma inequação, vamos fazer os próximos exemplos de forma mais direta.

9. Determine o conjunto solução da inequação $2(3x-4)-4x \leq x+1$.

Solução: Temos:

\begin{eqnarray} 2(3x-4)-4x &\leq& x+1 \\ 6x-8-4x &\leq& x+1 \\ 2x-8 &\leq& x+1 \\ 2x-x -8 &\leq& 1 \\ x - 8 &\leq& 1 \\ x &\leq& 1+9 \\ x &\leq& 10\end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S = (- \infty, 10]$. Observe que usamos o colchete no limitante direito do intervalo pois o número $10$ está no conjunto solução.

10. Resolva a inequação $\displaystyle\frac{2x}{3} - 2(x+1) \geq 3x - \displaystyle\frac{1}{2}$

Solução: Efetuando os cálculos, temos:

\begin{eqnarray} \frac{2x}{3} - 2(x+1) &\geq& 3x - \frac{1}{2} \\ \frac{2x}{3} - 2x-2 &\geq& 3x - \frac{1}{2} \\ -\frac{4x}{3} - 2 &\geq& 3x - \frac{1}{2} \\ -\frac{4x}{3} &\geq& 3x - \frac{1}{2} + 2 \\ -\frac{4x}{3} &\geq& 3x + \frac{3}{2}  \\ -\frac{4x}{3} - 3x &\geq& \frac{3}{2} \\ -\frac{13x}{3}  &\geq& \frac{3}{2} \\ -13x  &\geq&  3 \cdot \frac{3}{2} \\ -13x  &\geq&  \frac{9}{2} \\ x  &\leq&  \frac{\frac{9}{2}}{-13} \\ x  &\leq&  \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{-13} \\ x  &\leq&  \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{-13} \\  x  &\leq& - \frac{9}{26} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S = \left(-\infty, -\displaystyle\frac{9}{26}\right]$.

11. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{x+2}{3} < x+ 2(x -2) + 4$.

Solução: Efetuando os cálculos, temos:

\begin{eqnarray}\frac{x+2}{3} &<& x+ 2(x -2) + 4 \\ \frac{x+2}{3} &<& x+ 2x -4 + 4 \\ \frac{x+2}{3} &<& 3x \\ x+2 &<& 3 \cdot 3x \\ x+2 &<& 9x  \\ x -9x+2 &<& 0 \\ -8x+2 &<& 0 \\ -8x &<& -2 \\ x &>& \frac{-2}{-8} \\ x &>& \frac{1}{4} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S = \left(\displaystyle\frac{1}{4}, +\infty \right)$.

12. Determine o conjunto solução da inequação $\displaystyle\frac{3x+2}{4}-x + 3(x-1) \geq 5+ 2(x -2) + \displaystyle\frac{2}{5}$.

Solução: Efetuando os cálculos, temos:

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{3x+2}{4}-x + 3(x-1) &\geq& 5+ 2(x -2) + \displaystyle\frac{2}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}-x + 3x-3 &\geq& 5+ 2x -4 + \displaystyle\frac{2}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}+2x-3 &\geq&  2x +1 + \displaystyle\frac{2}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}+2x-3 &\geq&  2x  + \displaystyle\frac{7}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}+2x-3 -2x &\geq&  \displaystyle\frac{7}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4}-3 &\geq&  \displaystyle\frac{7}{5} \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4} &\geq&  \displaystyle\frac{7}{5}+3 \\ \displaystyle\frac{3x+2}{4} &\geq&  \displaystyle\frac{22}{5} \\ 3x+2 &\geq&  4 \cdot \displaystyle\frac{22}{5} \\ 3x+2 &\geq&  \frac{88}{5} \\ 3x &\geq&  \frac{88}{5} - 2 \\ 3x &\geq&  \frac{78}{5} \\ x &\geq& \frac{\frac{78}{5}}{3} \\ x &\geq& \frac{78}{5}\cdot \frac{1}{3} \\ x &\geq& \frac{78}{15} \\ x &\geq& \frac{26}{5} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S = \left[\displaystyle\frac{26}{5}, +\infty \right)$.

Exemplos em vídeo:

Observação importante: Alguma vezes pode acontecer que, ao simplicar uma inequação para resolvê-la, a inequação se torne sempre verdadeira ou sempre falsa. Por exemplo, simplificando a inequação $3x+1 > 3x$ vamos obter a inequação $1 > 0$, que é sempre verdade. Logo, essa inequação é verdadeira para todo $x \in \mathbb{R}$ e, o seu conjunto solução é $\mathbb{R}$ ou $(-\infty, +\infty)$. Agora, considere inequação $2x - 2 > 1 + 2x$. Simplificando essa inequação vamos obter a inequação $-2 > 1$, que é uma afirmação falsa. Logo, essa inequação é falsa para todo $x \in \mathbb{R}$, ou seja, ela nunca é verdadeira, independentemente de quem seja o $x$, ou ainda, ela não possui solução. Portanto, o seu conjunto solução é $\emptyset$ (conjunto vazio).

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Inequações #1: O que é uma inequação?

Essa postagem abre a série de postagens sobre inequações aqui no blog. Nessa postagem vamos aprender o que é uma inequação e, para isso, também vamos lembrar dos símbolos de desigualdades e da ordem nos números reais. O enfoque dessa postagem será no que é uma inequação, pois para vermos maneiras de resolver as inequações, precisamos separá-las em diferentes tipos e, por esse motivo, faremos isso em postagens separadas. Então, vamos entender o que é uma inequação.

Inequações

A ordem no conjunto dos números reais

O conjunto dos números reais é ordenado, ou seja, podemos comparar dois números reais distintos dizendo se um é maior (menor) que o outro.

Vamos ver os símbolos que usamos para comparar dois números reais com relação à ordem. Sejam $a,b \in \mathbb{R}$, temos

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{Símbolo} & \mbox{Leitura} \\ \hline \hline a>b & a \mbox{ é maior que } b  \\ \hline a<b & a \mbox{ é menor que } b \\ \hline a \geq b & a \mbox{ é maior ou igual a } b  \\ \hline a \leq b & a \mbox{ é menor ou igual a } b \\ \hline  \end{array}$$

Os símbolos $>$, $<$, $\geq$ e $\leq$ são chamados símbolos de desigualdade.

Observação:

(i) $a$ é positivo se, e somente se, $a > 0$;

(ii) $a$ é positivo ou zero se, e somente se, $a \geq 0$;

(iii) $a$ é negativo se, e somente se, $a < 0$;

(iv) $a$ é negativo ou zero se, e somente se, $a \leq 0$.

Para todos $a,b,c \in \mathbb{R}$ temos as seguintes propriedades:

(1) $a \leq a$ (propriedade reflexiva).

(2) Se $a \leq b$ e $b \leq a$, então $a=b$ (propriedade transitiva).

(3) Se $a \leq b$ e $b \leq c$, então $a \leq c$ (propriedade transitiva).

(4) Se $a \leq b$, então $a + c \leq b+c$ para todo $c \in \mathbb{R}$ (compatibilidade da ordem com a adição).

(5) Se $a \leq b$ e $c > 0$, então $ac \leq bc$.

(6) Se $a \leq b$ e $c < 0$, então $ac \geq bc$.

(7) Se $a > 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} > 0$.

(8) Se $a < 0$, então $\displaystyle\frac{1}{a} < 0$.

(9) Se $a$ e $b$ são ambos negativos ou ambos positivos, então $a < b$ implica $\displaystyle\frac{1}{a} > \displaystyle\frac{1}{b}$.

As propriedades (1) e (2) continuam valendo se trocarmos o símbolo $\leq$ pelo símbolo $\geq$ e as propriedades de (3) a (6), continuam valendo se trocarmos o símbolo de $\leq$ pelos símbolos $\geq$,  $<$ ou $>$. Para ver exemplos numéricos dessas propriedades, veja a postagem sobre a ordem dos números reais.

Agora, tendo essas definições propriedades, podemos passar para as inequações propriamente ditas.

Inequações

Apesar de estarmos usando o termo inequações, nessa série de postagens, vamos estudar inequações com somente uma incógnita. Vamos à definição:

Definição: Uma inequação na incónita $x$ (pode ser qualquer outra letra) é uma afirmação que contém ao menos um dos símbolos $<$, $>$, $\leq$ e $\geq$.

Vamos ver alguns exemplos:

Exemplos:

1. $5x-4 < 1$

2. $x^2-4x+1 > 0$

3. $\displaystyle\frac{x}{x+1} \leq 1$

4. $\sqrt{x^3-x+1} > x^2$

5. $|x+1| > x+5$

6. $-3 < 4x+2 \leq 5$

Vamos parar no exemplo 6, por que podemos continuar infinitamente com os exemplos. A seguir, temos alguns conceitos importantes sobre inequações.

Resolver uma inequação em $x$ (ou em qualquer outra incógnita) significa encontrar todos os valores para os quais a inequação é verdadeira. Uma solução de uma inequação em $x$ é um número que satisfaz a inequação, ou seja, que a torna verdadeira. O conjunto de todas as soluções de uma inequação é chamado conjunto solução.

Para entendermos melhor os conceitos de resolver uma inequação em $x$, solução e de conjunto solução, considere a inequação  $5x-4 < 1$. O número $\displaystyle\frac{4}{5}$ é uma solução dessa inequação, pois, ao colocarmos ele no lugar do $x$, a inequação se torna verdadeira. De fato, para $x = \displaystyle\frac{4}{5}$, temos:

\begin{eqnarray} 5x-4 &<& 1 \\ 5 \cdot \frac{4}{5} - 4 & < & 1 \\ 4 - 4 &<& 1 \\ 0 &<& 1 \end{eqnarray}

Como $0 < 1$ é verdade, para $x = \displaystyle\frac{4}{5}$ a afirmação $5x-4 < 1$ é verdadeira. Agora, o número $2$ não é solução da inequação, pois, ao colocarmos ele no lugar do $x$, a inequação se torna falsa. De fato, para $x=2$, temos:

\begin{eqnarray} 5x-4 &<& 1 \\ 5 \cdot 2 - 4 & < & 1 \\ 10 - 4 &<& 1 \\ 6 &<& 1 \end{eqnarray}

Assim, como $6 < 1$ não é verdade, $x=2$ não é solução da inequação.

Resolver uma inequação é o processo de encontrar, assim como o $\displaystyle\frac{4}{5}$, todos os números que, colocados no lugar do $x$ tornam a inequação verdadeira. Ao terminar esse processo, vamos ter então o conjunto solução, vamos saber quais são todos os números que satizfazem a inequação.

Note que $-1$ também é solução da inequação, pois:

\begin{eqnarray} 5x-4 &<& 1 \\ 5 \cdot (-1) - 4 & < & 1 \\ -5 - 4 &<& 1 \\ -11 &<& 1 \end{eqnarray}

Até aqui vimos duas soluções da inequação $4x-4<1$, mas diferentemente das equações, as inequações não possuem somente uma, duas, três ou um número finito de soluções, elas possuem um conjunto infinito de soluções que são intervalos de números reais ou união de intervalos de números reais. Por isso, é muito importante que, antes de aprendermos métodos para resolver inequações, saibamos bem o que é um intervalo limitado, o que é um intervalo ilimitado, que são conjuntos e as maneiras diferentes de escrevê-los bem como fazer a união e a interseção de intervalos de números reais. Tudo o que você precisa saber intervalos e conjuntos estão nesses links.

Outra coisa importante a ser observada é que nem sempre uma inequação possui solução, por exemplo, a inequação $x^2 < 0$ não possui solução, pois nenhum número ao elevado ao quadrado é negativo, ou seja, é menor que zero. Quando isso ocorre, nós dizemos que o conjunto solução dessa inequação é o conjunto vazio, denotado por $\emptyset$.

Independentemente do tipo de inequação que vamos resolver, o processo de resolução de uma inequação é feito usando as propriedades da ordem dos números reais que vimos acima. Por esse motivo, elas são muito importantes, são elas que nos dizem o que podemos fazer na hora de resolver uma inequação. Por isso, é sempre bom tê-las em mente na hora de resolver uma inequação.

Exercício resolvido sobre ordem e operações com números reais:

Agora que sabemos o que é uma inequação, o que é resolver uma inequação e o que usar para rsolver inequação, chegou a hora de, de fato, resolvermos inequação. Mas, veremos isso à partir da próxima postagem. Te vejo lá.

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