Funções #6 - Composição de funções

Na última postagem estudamos as operações com funções reais, mais específicamente, aprendemos como somar, subtrair, multiplicar e dividir funções. Além disso, aprendemos como calcular o domínio das funções resultantes dessas operações. Agora, vamos falar de uma outra operação importante com funções, vamos estudar a composição de funções. Vamos ver todos os detalhes sobre a composição de funções e também como determinar o domínio de uma função que é obtida da composição de outras funções. Mas, antes de entrarmos na postagem de fato, para entendê-la bem, você vai precisar ter conhecimentos sobre domínios de funções e também sobre como resolver inequações. Agora, vamos lá!

Composição de funções

Vamos começar com a definição de composição com funções.

Definição: Sejam $f: A \rightarrow B$ e $g: B \rightarrow C$ duas funções reais de uma varável real. Definimos a função composta de $g$ com $f$, denotada por $g \circ f : A \rightarrow D$, como sendo 

$$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$

para todo $x \in A$.

Antes de continuarmos, vamos entender melhor o que a definição de composição de funções nos diz. Primeiramente, observe que o conjunto $B$ é tanto o contradomínio de $f$ como o domínio de $g$. Coloquei a definição dessa forma, pois quando calculamos $g(f(x))$, o valor de $f(x)$ deve estar no domínio de $g$ para que esse cálculo faça sentido. Outro motivo de ter colocado a definição dessa forma é que fica mais fácil de entender o que de fato a composição de funções faz. Vamos visualizar isso por meio do seguinte diagrama: 

No diagrama acima podemos ver exatamente o que a composição de funções faz. Podemos dizer que ela "encurta" o caminho de $A$ até $C$. Temos que $f$ leva os elementos de $A$ em $B$ e $g$ leva os elementos de $B$ em $C$, enquando que $g \circ f$ leva os elementos de $A$ diretamente em $C$. Outro aspecto importante desse diagrama é que parece que tem algo de errado nele. Repare só, quando olhamos o caminho acima, temos $f$ aplicada primeiramente em $x$ e depois temos $g$ aplicada em $f(x)$. Por outro lado, quando olhamos o caminho de baixo, vemos a função $g \circ f$ que sai de $A$ e vai para $C$. Ao compararmos esses dois caminhos, parece que um está ao contrário em relação ao outro, não é? Mas não estão, quando escrevemos $(g \circ f)(x)  =  g(f(x))$ estamos dizendo exatamente que a função $f$ é aplicada primeiro e depois aplicamos a $g$ no resultado da $f$.

Observação 1: Existem outras maneiras de definir a composição de duas funções, não exatamente a operação de composição, mas a condição para se fazer a composição. No lugar de considerar $f: A \rightarrow B$ e $g: B \rightarrow C$ na definição acima, poderíamos escrever $f: A \rightarrow B$ e $g: C \rightarrow D$ com $Im(f) \subseteq D(g)$, o que não mudaria em nada a operação de composição. Em alguns livros não é colocada nenhuma condição para se fazer a composição de funções, nesse caso, se considera que é possível fazer a composição.

Observação 2: Na definição de função composta acima, temos somente duas funções, mas podemos definir a composição para um número qualquer de funções. Por exemplo, considere as funções $f: A \rightarrow B$,  $g: B \rightarrow C$ e $h: C \rightarrow D$. A função composta de $h$, $g$ e $f$, denotada por $h \circ g \circ f$, é definida por

$$(h \circ g \circ f)(x) = h(g(f(x))).$$

Vamos seguir agora com exemplos de como calcular a composição de funções sem nos preocuparmos com os domínios das funções e nem o domínio da função composta. Vamos fazer isso para treinar os cálculos e depois veremos a questão do domínio da função composta.

Exemplos:

1. Considere as funções $f(x) = x^2 +1$ e $g(x) = x+2$. Calcule $g \circ f$.

Solução: Primeiramente, devemos escrever a definição de função composta para não errarmos os cálculos. Temos,

$$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$

Observe que devemos aplicar a composição em $x$, isto é, devemos escrever $(g \circ f)(x) = \cdots$. Isso deve ser feito para encontrarmos a expressão que define a função $g \circ f$. Se escrevermos $g \circ f = \cdots$, está errado. Agora, continuando os cálculos à partir da definição de função composta que já escrevemos, vamos substituir as funções de dentro para fora, da seguinte forma:

\begin{eqnarray} (g \circ f)(x) &=& g(f(x)) \\ &=& g(x^2 +1) \end{eqnarray}

Veja que a função $g$ leva o $x$ em $x+2$, isso significa que a função $g$ leva "qualquer coisa" em "qualquer coisa"$+ 2$. Assim, para calcularmos $g(x^2+1)$, basta colocar a expressão $x^2+1$ no lugar do $x$ que está na expressão que define $g$. Temos então,

\begin{eqnarray} (g \circ f)(x) &=& g(f(x)) \\ &=& g(x^2 +1) \\ &=& (x^2+1) + 2 \\ &=& x^2+1+2 \\ &=& x^2+3 \end{eqnarray}

Portanto, $(g \circ f)(x) = x^2 + 3$.

2. Seja $f(x) = x^2 +1$. Calcule $f \circ f$.

Solução:  Nesse exemplo, iremos um pouco mais direto, usando exatamente o mesmo raciocínio do exemplo anterior. Observe que esse exemplo nos pede para fazermos a composta entre duas funções iguais. Isso pode ser feito? Sim. Então, vamos fazer.

\begin{eqnarray} (f \circ f)(x) &=& f(f(x)) \\ &=& f(x^2+1) \\ &=& (x^2+1)^2 + 1 \\ &=& x^4 + 2x^2 +1  +1 \\ &=&  x^4 + 2x^2 + 2\end{eqnarray}  

Portanto, $(f \circ f)(x) = x^4 + 2x^2 + 2$.

3. Considere as funções $g(x) = \displaystyle\frac{x}{x^2-3}$ e $h(x) = 4x +1$. Calcule $g \circ h$ e $h \circ g$.

Solução: Nesse exemplo temos as funções $g$ e $h$ e vamos calcular $g \circ h$ e $h \circ g$. Sempre que temos duas funções, podemos calcular essas duas composições. Vamos ver que, na maioria das vezes, elas dão resultados diferentes. Vamos calcular primeiramente $g \circ h$, temos:

\begin{eqnarray} (g \circ h)(x) &=& g(h(x)) \\ &=& g(4x+1) \\ &=& \frac{4x+1}{(4x+1)^2-3} \\ &=& \frac{4x+1}{16x^2+8x+1 -3} \\ &=& \frac{4x+1}{16x^2+8x-2} \end{eqnarray}

Logo, $(g \circ h)(x) = \displaystyle\frac{4x+1}{16x^2+8x-2}$

Vamos calcular agora $h \circ g$. Temos,

\begin{eqnarray} (h \circ g)(x) &=& h(g(x)) \\ &=& h\left(\frac{x}{x^2-3}\right) \\ &=& 4 \cdot \frac{x}{x^2-3} +1 \\ &=& \frac{4x}{x^2-3} + 1 \end{eqnarray}

Logo, $(h \circ g)(x) =  \displaystyle\frac{4x}{x^2-3} + 1$

4. Considere as funções $f(x) = x^2$, $g(x) = 2x+1$ e $h(x) = -x$. Calcule $f \circ g \circ h$.

Solução: Nesse exemplo, vamos calcular a composição de três funções. Nesse caso, a definição de composição de funções fica na forma,

$$(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$$

Para calcularmos essa composição, podemos, primeiramente, fazer a composição $g(h(x))$ e depois aplicamos $f$ ao resultado dessa composição. Vamos fazer isso. Temos

\begin{eqnarray} (g \circ h)(x) &=& g(h(x)) \\ &=& g(-x) \\ &=& 2(-x) +1 \\ &=& -2x + 1 \end{eqnarray}

Logo, $g(h(x)) = -2x+1$.  Agora, vamos aplicar $f$ em $g(h(x))$. Temos

\begin{eqnarray} (f \circ g \circ h)(x) &=& f(g(h(x))) \\ &=& f(-2x+1) \\ &=& (-2x+1)^2 \\ &=& 4x^2-4x+1 \end{eqnarray}

Portanto, $(f \circ g \circ h)(x) = 4x^2-4x+1$.

Vamos falar um pouco agora sobre o domínio de uma função composta.

Domínio de uma função composta

Dadas duas funções $f$ e $g$, segue da definição de função composta que, o domínio da função $g \circ f$ é formado por todo $x$ no domínio de $f$ tal que $f(x)$ pertence ao domínio de $g$. Em símbolos, temos

$$D(g \circ f)(x) = \{x \in D(f): f(x) \in D(g)\}.$$

Vamos fazer alguns exemplos de como calcular o domínio de uma função composta.

Exemplos:

5. Considere as funções $f(x) = \sqrt{x-4}$ e $g(x) = x^4+2$. Calcule $f \circ g$ e calcule seu domínio.

Solução: Primeiramente, como fizemos nos exemplos anteriores, vamos calcular $f \circ g$. Temos

\begin{eqnarray} (g \circ f)(x) &=& g(f(x)) \\ &=& g(\sqrt{x-4}) \\ &=& \left(\sqrt{x-4}\right)^4 + 2 \\ &=& (x-4)^2 + 2 \\ &=& x^2-8x + 16 + 2 \\ &=& x^2-8x+18 \end{eqnarray}

Logo, $(g \circ f)(x) = x^2-8x+18$. Agora, muito cuidado ao calcular o domínio dessa função composta. Olhando para a função $g \circ f$, vemos que ela é dada por meio de um polinômio, assim, poderíamos concluir que o seu domínio é $\mathbb{R}$. Mas, isto está errado. Como $g \circ f$ é uma função composta, devemos usar a definição do domínio de uma função composta que vimos acima, isto é, 

$$D(g \circ f)(x) = \{x \in D(f): f(x) \in D(g)\}.$$

Assim, para calcular o domímio dessa função composta, precisamos primeramente calcular os domínos de $f$ e $g$. Não é difícil ver que $D(f) = [4, +\infty)$ e $D(g) = \mathbb{R}$. Logo, $D(g \circ f)$ é formado por todo $x \in [4, +\infty)$ tal que $f(x) \in \mathbb{R}$. Como $f$ é uma função real, $f(x) \in \mathbb{R}$ para todo $x \in [4, +\infty)$. Portanto, $D(g \circ f) = [4, +\infty)$ (o qual é diferente de $\mathbb{R}$, que poderíamos ter concluído erroneamente depois de calcularmos $g \circ f$). 

6. Considere as funções $g(x) = \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x-3}}$ e $f(x) = x^2-1$. Calcule $g \circ f$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos começar calculando a função composta.

\begin{eqnarray} (g \circ f)(x) &=& g(f(x)) \\ &=& g(x^2-1) \\ &=& \frac{x^2-1}{\sqrt{(x^2-1)-3}} \\ &=& \frac{x^2-1}{\sqrt{x^2-1-3}} \\ &=& \frac{x^2-1}{\sqrt{x^2-4}}  \end{eqnarray}

Logo, $(g \circ f)(x) = \displaystyle\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2-4}}$. O domínio da função $g \circ f$ é formado por todo $x \in D(f)$ tal que $f(x) \in D(g)$. Temos que $D(f) = \mathbb{R}$ e $D(g) = (3, +\infty)$ e, assim, $D(g \circ f)$ é formado por todo $x \in \mathbb{R}$ tal que $f(x) \in (3, +\infty)$, ou ainda, tal que $x^2-1 \in (3, +\infty)$. Assim, devemos então, determinar os valores de $x$ reais tais que $x^2-1 > 3$. Essa última inequação é equivalente a $x^2-4 > 0$. Pensando rapidamente, a solução dessa inequação é o conjunto $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$. Portanto $D(g \circ f) = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Vamos fazer mais um exemplo.

7. Considere as funções $g(x) = \displaystyle\frac{1}{x^2-1}$ e $h(x) = \sqrt[4]{x}$. Calcule $h \circ g$ e determine seu domínio.

Solução: Calculando a função composta temos

\begin{eqnarray} (h \circ g)(x) &=& h(g(x)) \\ &=& h\left(\frac{1}{x^2-1}\right) \\ &=& \sqrt[4]{\frac{1}{x^2-1}} \end{eqnarray}

Portanto, $(h \circ g)(x) = \displaystyle\sqrt[4]{\frac{1}{x^2-1}}$.

Agora, temos que $D(h \circ g)$ é formado por todo $x \in D(g)$ tal que $g(x) \in D(h)$. Observe que $D(g) = (-\infty,-1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$ e que $D(h) = [0, +\infty)$. Sendo assim, $D(h \circ g)$ é formado por todo $x \in (-\infty,-1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$ tal que $\displaystyle\frac{1}{x^2-1} \in [0, +\infty)$, ou ainda, $\displaystyle\frac{1}{x^2-1} \geq 0$. Esta ultima inequação é equivalente a $x^2-1 > 0$. Resolvendo-a, encontramos o conjunto solução $x \in (-\infty,-1) \cup (1, +\infty)$. Portanto, $D(g \circ h) = x \in (-\infty,-1) \cup (1, +\infty)$ (Veja que $(-\infty,-1) \cup (1, +\infty) \subset (-\infty,-1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$).

Exemplo em vídeo:

Acredito que, depois dessa postagem, você não vai mais errar o cálculo de funções compostas e nem o cálculo de seus domínios.

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Triângulo de Sierpinski - Python

Nessa postagem está um código em Python com uma forma de construir o famoso fractal chamado Triângulo de Sierpinski. Sinta-se a vontade para comentar e dar sugestões para melhorar o código. Fique à vontade para usá-lo também. Não sou programador, apenas estudo quando posso. Acredito que essa construção geométrica seja bem interessante para mostrar aos estudantes, tanto de matemática quanto de programação, o que pode ser feito com Python. A explicação de como a construção desse fractal é feita está no próprio código. 

Triângulo de Sierpinski em Python

Esse é o código:

# importar o matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import math

# Intro do app

print('\n'+ 10*'*' + ' Triângulo de Sierspinsk ' + 10*'*')
print('\nVamos construir o famoso fractal chamado "Triângulo de Sierpinski".')

texto1 = '\nPara isso, vamos considerar três pontos não colineares que formam os vértices de um triângulo equilátero.'
texto2 = 'Esses pontos possuem coordenadas no plano cartesiano iguais a (0,0), (8,0) e (4,8sqrt(3)).'
texto3 =  'Esses pontos foram escolhidos simplesmente para termos um triângulo equilátero.'
print(texto1)
print(texto2)
print(texto3)

print('\nNo plano cartesiano, temos:')

# Vértices dados do triângulo
P = [0, 0]
Q = [8, 0]
R = [4, 8 * math.sqrt(3)]

input('Pressione ENTER para ver os vértices do triângulo.')

plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter([P[0], Q[0], R[0]], [P[1], Q[1], R[1]], s=3)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Triângulo de Siepinski")
plt.show()

# Explicação do processo de construção do Triângulo de Sierpinski
print('O processo de construção do Triângulo de Sierspinski funciona da seguinte forma:')
print('\n1. Primeiramente escolhemos um ponto aleatóriamente sobre os lados do triângulo ou no interior do triângulo;')
print('2. Em seguida, marcamos os pontos médios entre o ponto escolhido e os vértices do triângulo;')
print('3. Após isso, marcamos os pontos médios entre os pontos obtidos no passo anterior e os vértices do triângulo;')
print('4. Agora é só repetir o passo anterior e teremos o Triângulo de Sierpinski.')

# Fim da intro do app

print('\nVamos começar. Escolha um ponto qualquer sobre os lados do triângulo ou no interior do triângulo.')

# Função que virifica se os dados de entrada estão corretos
def verificador():
    cont_x = False
    while cont_x == False:
        try:
            Sx = float(input("\nCoordenada x do ponto: "))
            cont_x = True
        except ValueError:
            print('Digite uma coordenada válida (use o ponto para separar as casas decimais). Tente novamente.')

    cont_y = False
    while cont_y == False:
        try:
            Sy = float(input("\nCoordenada y do ponto: "))
            cont_y = True
        except ValueError:
            print('Digite uma coordenada válida (use o ponto para separar as casas decimais). Tente novamente.')
    return [Sx, Sy]

# Funcão para verificar se o ponto está nos lados ou no interior do trângulo
def esta(ponto):
    if ponto[1] >= 0 and ponto[1] <= 4*math.sqrt(3)*ponto[0] and ponto[1] <= -4*math.sqrt(3)*(ponto[0]-8):
        return True
    else:
        return False

# Função para calcular o ponto médio
def ponto_medio(a, b):
    x_1 = (a[0]+b[0]) / 2
    y_1 = (a[1]+b[1]) / 2
    return [x_1, y_1]

# Função para plotar o ponto inicial
def ponto_inicial(x, y, x_0, y_0):
    plt.figure(figsize=(8, 6))
    plt.scatter(x, y, s=1)
    plt.scatter(x_0, y_0, s=1, c='red')
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
    plt.title("Triângulo de Sierpinski")
    plt.show()

def sierpinski(S, x_0, y_0):
    passos = 9
    inicio = [S]
    x = []
    y = []
    while passos >= 0:
        novos = []
        for ponto in inicio:
            novos.append(ponto_medio(P,ponto))
            novos.append(ponto_medio(Q,ponto))
            novos.append(ponto_medio(R,ponto))
        for i in range(len(novos)):
            x.append(novos[i][0])
            y.append(novos[i][1])
        inicio = novos
        plt.figure(figsize=(8,6))
        plt.scatter(x, y, s=0.2, c='black')
        plt.scatter([P[0], Q[0], R[0]], [P[1], Q[1], R[1]], s = 3, c='blue')
        plt.scatter(x_0, y_0, s=3, c='red')
        plt.xlabel("x")
        plt.ylabel("y")
        plt.title("Triângulo de Siepinski")
        plt.show()
        passos = passos - 1

def main():
    S = verificador()
    while esta(S) == False:
        print('O ponto', S, 'não está no triângulo. Tente novamente.')
        S = verificador()
    print('\nO ponto ' + '(' + str(S[0]) + ', ' + str(S[1]) + ') ' + 'está no triângulo.')
    input('\nPressione ENTER para ver o ponto S.')
    ponto_inicial([P[0], Q[0], R[0], S[0]], [P[1], Q[1], R[1], S[1]], [S[0]], [S[1]])
    input('\nPressione ENTER para ver a construção do Triângulo de Sierpinski passo a passo.')
    sierpinski(S, [S[0]], [S[1]])
    print('\nQuer construir novamente o triângulo de Sierpinski começando por ponto?')
    encerrar = input('Digite "s" para sim, "n" para não e pressione ENTER: ')
    if encerrar == 's':
        main()

main()

print('Muito obrigado.')

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Funções #5: Operações com funções

Já estamos na quinta postagem sobre funções reais de uma variável real, que ótimo! Até aqui estudamos o conceito de função de um modo geral, depois passamos para as funções reais de uma variável real e estudamos, em detalhes, o domínio de uma função e como determiná-lo. Então, estamos num ponto onde conhecemos bem esse objeto chamado função real de uma variável real. Nessa postagem, vamos aprender como construir novas funções à partir de duas ou mais funções por meio das operações de soma, subtração, multiplicação e divisão de funções. É isto mesmo, nessa postagem vamos aprender como somar, subtrair, multiplicar e dividir funções. Saber como fazer essas operações com funções é muito importante, isso pode simplicar cálculos mais complicados como cálculos de limite, derivadas e integrais de funções. Então, sem enrolação, vamos aprender como fazer essas operações com funções.

Operações com funções

Considere duas funções reais de uma variável  $f=f(x)$ e $g = g(x)$ quaisquer (escrevemos $f=f(x)$ para dizer que estamos considerando uma função com nome $f$ e que seus valores dependem da variável $x$). Vamos definir as operações de soma (adição), subtração (diferença), multiplicação (produto) e divisão (quociente) de funções.

A soma (adição) das funções $f$ e $g$ é definida por 

$$(f+g)(x) = f(x)+g(x).$$

A igualdade acima nos diz que, a partir das funções $f$ e $g$, construímos a função $f+g$ que associa a cada $x$ o número real $f(x) + g(x)$.

A subtração (diferença) das funções $f$ e $g$ é definida por 

$$(f-g)(x) = f(x)-g(x).$$

A igualdade acima nos diz que, a partir das funções $f$ e $g$, construímos a função $f-g$ que associa a cada $x$ o número real $f(x) - g(x)$.

A multiplicação (produto) das funções $f$ e $g$ é definida por 

$$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x).$$

A igualdade acima nos diz que, a partir das funções $f$ e $g$, construímos a função $f \cdot g$ que associa a cada $x$ o número real $f(x) \cdot g(x)$. Geralmente, denotamos o produto de funções sem o uso da notação $\cdot$, escrevemos simplesmente $fg$ e $f(x)g(x)$.

Na multiplicação de função temos o caso particular onde uma das funções é constante. Podemos chamar esse caso de multiplicação de uma função por uma constante. Seja $a$ uma constante real qualquer e $f(x)$ uma função. A multiplicação da função $f$ pela constante $a$ é definida por

$$(af)(x) = af(x)$$

Multiplicar uma função $f$ por uma constante é o mesmo que multiplicar a expressão que define a função $f$ por essa constante.

A divisão (quociente) das funções $f$ e $g$ é definida por 

$$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \mbox{ com } g(x) \neq 0.$$

A igualdade acima nos diz que, a partir das funções $f$ e $g$, construímos a função $\displaystyle\frac{f}{g}$ que associa a cada $x$ o número real $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}$ desde que $g(x) \neq 0$.

Observação 1: Dadas duas funções $f$ e $g$ quaisquer, para que possamos calcular $(f+g)(x)$, $(f-g)(x)$ e $(fg)(x)$, o número real $x$ deve estar nos domínios de $f$ e de $g$, isto é, $x \in D(f) \cap D(g)$. Assim, concluímos que $D(f+g) = D(f) \cap D(g)$, $D(f - g) = D(f) \cap D(g)$ e $D(fg) = D(f) \cap D(g)$. Para calcularmos $\displaystyle\frac{f}{g}(x)$, além de que $x$ deve estar nos domínios de $f$ e $g$, também devemos ter $g(x) = 0$, pois não existe divisão por zero. Logo, $D\left(\displaystyle\frac{f}{g}\right) = \{x \in \mathbb{R} : x \in D(f) \cap D(g) \mbox{ e } g(x) \neq 0\}$.

Vamos fazer alguns exemplos com essas operações de funções.

Exemplos:

1. Calcule a soma das funções $f(x) = x^2 -2x+1$ e $g(x) = \sqrt{x+1}+x+4$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos calcular primeiramente a soma de $f$ e $g$. Temos

\begin{eqnarray} (f+g)(x) &=& f(x) + g(x) \\ &=& x^2-2x+1 + \sqrt{x+1} + x + 4 \\ &=& x^2  + \sqrt{x+1} - x + 4 \end{eqnarray}

Logo, $(f+g)(x) = x^2  + \sqrt{x+1} - x + 4$. Como podemos perceber, a soma de duas funções é igual à soma das expressões que a definem.

Agora vamos determinar o domínio de $(f+g)$. Na obsevação 1 que fizemos acima, vimos que $D(f+g) = D(f) \cap D(g)$, assim, vamos determinar o domínio de $f$ e de $g$ separadamente e depois vamos fazer a interseção deles. A função $f$ é uma função polinomial, logo, $D(f) = \mathbb{R}$. Na função $g$ existe uma raiz quadrada com a expressão $x+1$ dentro. Desse modo, devemos ter $x + 1 \geq 0$, ou de forma equivalente, $x \geq -1$. Logo $D(g) = [-1, +\infty)$.

Portanto $D(f+g) = \mathbb{R} \cap [-1, +\infty) = [-1, +\infty)$.

2. Calcule a soma das funções $f(x) = \displaystyle\frac{3x}{x+1}$ e $g(x) = \sqrt{x}$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos calcular $f+g$. Temos

\begin{eqnarray} (f+g)(x) &=& f(x) + g(x) \\ &=& \frac{3x}{x+1} + \sqrt{x}. \end{eqnarray}

Se parássemos por aqui, já estaria correto, mas podemos continuar, reescrevendo a soma acima com um termo só.

\begin{eqnarray} (f+g)(x) &=& \frac{3x}{x+1} + \sqrt{x} \\ &=& \frac{3x + \sqrt{x}(x+1)}{x+1}. \end{eqnarray}

Assim, $(f+g)(x) = \displaystyle\frac{3x + \sqrt{x}(x+1)}{x+1}$. A função $f$ é um quociente com a expressão $x+1$ na parte de baixo. Sendo assim, não podems ter $x+1 = 0$, ou ainda, $x =-1$. Logo, $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$. Na função $g$ temos a expressão $\sqrt{x}$ e, desse modo, devemos ter $x \geq 0$. Logo, $D(g) = [0, +\infty)$. Portanto, 

\begin{eqnarray} D(f+g) &=& \left((-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)\right) \cap [0, +\infty)  \\ D(f+g) &=& [0, +\infty). \end{eqnarray}

3. Calcule $p-q$ onde $p(x) = x^5+3x^2-x+1$ e $q(x) = 2x^5-4x^4-x^3+x^2+x-1$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos calcular primeiramente a diferença de $p$ e $q$. Temos:

\begin{eqnarray} (p-q)(x) &=& p(x) - q(x) \\ &=& x^5+3x^2-x+1 - (2x^5-4x^4-x^3+x^2+x-1) \\ &=& x^5+3x^2-x+1 - 2x^5+4x^4+x^3-x^2-x+1 \\ &=& -x^5+4x^4+x^3+2x^2-2x+2.  \end{eqnarray}

Logo, $(p-q)(x) = -x^5+4x^4+x^3+2x^2-2x+2$. Como podemos perceber, a diferença de duas funções é igual à diferença das expressões que a definem. Aqui, no caso da diferença, fique muito atento ao jogo de sinais.

Pela observação que vimos acima, o domínio da diferença $p-q$ é igual à interseção dos domínio de $p$ e $q$, isto é, $D(p-q) = D(p) \cap D(q)$. Assim, vamos determinar os domínios de $p$ e $q$ separadamente para depois fazer a interseção deles. As funções $p$ e $q$ são funções polinomiais, logo, $D(p) = D(q) = \mathbb{R}$. Portanto, $D(p-q) = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} =  \mathbb{R}$.

4. Calcule a diferença entre as funções $g(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}$ e $h(x) = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{x+1}}$. Determine $D(g - h)$.

Solução: Vamos calcular $g-h$. Temos:

\begin{eqnarray}(g-h)(x) &=& g(x) - h(x) \\ &=& \frac{1}{\sqrt{x}} - \left(\frac{2}{\sqrt{x+1}}\right) \\ &=& \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x+1}}. \end{eqnarray}

Se parássemos os cálculos por aqui com $(g-h)(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}} - \displaystyle\frac{2}{\sqrt{x+1}}$, estaria corrreto. Mas, se quisermos, podemos continuar da seguinte forma

\begin{eqnarray} (g-h)(x) &=&  \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x+1}} \\ &=& \frac{\sqrt{x+1} - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}} \\ &=& \frac{\sqrt{x+1} - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x(x+1)}}.  \end{eqnarray}

Assim, $(g-h)(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{x+1}-2\sqrt{x}}{\sqrt{x(x+1)}}$. Na função $g$ temos um quociente onde a expressão $\sqrt{x}$ está em baixo, assim, ela não pode ser zero e nem o que está dentro dela pode ser negativo. Isso implica $x > 0$. Logo, $D(g) = (0, +\infty)$. Na função $h$ também temos um quociente, mas com a expressão $\sqrt{x+1}$ na parte de baixo. Analogamente, devemos ter $x+1 > 0$, ou seja, $x > -1$. Logo, $D(h) = (-1, +\infty)$. Portanto $D(g-h) = (0, +\infty) \cap (-1, +\infty) = (0, +\infty)$.

5. Calcule $lm$ com $l(x) = x^2+x$ e $m(x) = \displaystyle\frac{1}{x} + 4$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos começar fazendo o produto das funções $l$ e $m$. Temos:

\begin{eqnarray}(lm)(x) &=& l(x)m(x) \\ &=& (x^2+x)\left(\frac{1}{x} + 4\right) \\ &=& x^2 \cdot \frac{1}{x} + x^24 + x \cdot \frac{1}{x} + x4 \\ &=& x+4x^2+1+4x \\ &=& 4x^2+5x+1. \end{eqnarray}

Assim, $(lm)(x) = 4x^2+5x+1$. O domínio de $lm$ é interseção dos domínios de $l$ e $m$ e, assim, vamos calculá-los separadamente de depois faremos a interseção deles. A função $l$ é uma função polinomial e, então, $D(l) = \mathbb{R}$. Na função $m$ temos o termo $\displaystyle\frac{1}{x}$, assim, devemos ter $x \neq 0$, isto é, $D(m) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Portanto,

\begin{eqnarray} D(lm) &=& \mathbb{R} \cap \left( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \right) \\ D(lm) &=& (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\end{eqnarray}

Observação 2: Depois desses exemplos que fizemos, você pode estar se perguntando: "Quando fazemos uma operação com duas funções e calculamos o seu domínio, podemos calcular o domínio da função que obtemos no resultado, ou temos que calcular o domínio das funções envolvidas na operação e depois fazer a interseção deles?" A resposta é: "temos que calcular o domínio das funções envolvidas na operação e depois fazer a interseção deles". Mas por que devemos fazer isso? Isso parece ser mais complicado. Isso até pode ser mais complicado, vou justificar essa resposta usando o exemplo anterior.

No exemplo anterior, obtivemos $(lm)(x) = 4x^2+5x+1$ e, olhando somente para esse resultado, não vemos nenhuma raiz de índice par e nenhum quociente. Por isso, poderíamos concluir, erroneamente, que seu domínio é $\mathbb{R}$. Conforme vimos anteriormente, seu domínio é $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Isso ocorre pois a função $lm$ é o produto de $l$ por $m$ e, para que o valor de $(lm)(x)$ seja calculado, deve ser possível calcular $m(x)$ e $l(x)$, visto que $(ml)(x) = m(x)l(x)$. Se tivéssemos a função $p(x) = 4x^2+5x+1$, terímaos $D(p) = \mathbb{R}$, pois ela não vem de nenhuma outra, ela própria é dada por essa expressão, para calcularmos os valores de $p(x)$, o $x$ não precisa passar por nhuma outra função previamente.

6. Calcule o produto das funções $f(x) = \displaystyle\frac{x^2+1}{x^2-1}$ e $g(x) = \displaystyle\frac{x^3}{x^2+2}$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos fazer o produto $fg$. Temos:

\begin{eqnarray}(fg)(x) &=& f(x)g(x) \\ &=&\frac{x^2+1}{x^2-1} \cdot \frac{x^3}{x^2+2} \\ &=& \frac{(x^2+1)x^3}{(x^2-1)(x^2+2)} \\ &=& \frac{x^5+x^3}{x^4+x^2-2}. \end{eqnarray}

Logo, $(fg)(x) = \displaystyle\frac{x^5+x^3}{x^4+x^2-2}$. A função $f$ é uma função racional e não podemos ter nela $x^2-1 = 0$. As soluções dessa equação são $-1$ e $1$. Logo, não podemos ter $x = \pm 1$ e, assim, $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1,1) \cup (1, +\infty)$. A função $g$ também é uma função racional com o polinômio $x^2+2$ na parte de baixo. Esse polinômio não possui raízes reais e, por isso, $D(g) = \mathbb{R}$. Portanto, 

\begin{eqnarray} D(fg) &=&  \left((-\infty, -1) \cup (-1,1) \cup (1, +\infty)\right) \cap \mathbb{R} \\ D(fg) &=& (-\infty, -1) \cup (-1,1) \cup (1, +\infty)\end{eqnarray}

7. Calcule o quociente entre as funções $g(x) = x^2-3x+1$ e $h(x) = \sqrt{x-3}$ e determine seu domínio.

Solução: Vamos calcular o quociente de $g$ por $h$. Temos

\begin{eqnarray} \left(\frac{g}{h}\right)(x) &=& \frac{g(x)}{h(x)} \\ &=& \frac{x^2-3x+1}{\sqrt{x-3}}. \end{eqnarray}

Logo, $\left(\displaystyle\frac{g}{h}\right)(x) = \displaystyle\frac{x^2-3x+1}{\sqrt{x-3}}$. O domínio da função $\displaystyle\frac{g}{h}$ é a interseção dos domínios de $g$ e de $h$ sem os valores de $x$ onde $h(x) = 0$. Como a função $g$ é um polinômio, temos que $D(g) = \mathbb{R}$. Na função $h$, devemos ter $x-3 \geq 0$, o que nos dá $x \geq 3$, ou seja, $D(h) = [3, +\infty)$. Sendo assim, $D(g) \cap D(h) = [3,+\infty)$. Esse ainda não é o domínio de $\displaystyle\frac{g}{h}$, ainda devemos retirar desse conjunto os valores de $x$ tais que $h(x) = 0$. Temos,

\begin{eqnarray} h(x) &=& 0 \\ \sqrt{x-3} &=& 0 \\ x-3 &=& 0 \\ x &=& 3 \end{eqnarray}

Assim, devemos retirar o número $3$ de $[3,+\infty)$. Portanto, o domínio de $\displaystyle\frac{f}{g}$ é igual a $(3, +\infty)$.

8. Calcule $\displaystyle\frac{f}{g}$ onde $f(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$ e $g(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^3+8}$ e determine seu domínio.

Solução: Calculando $\displaystyle\frac{f}{g}$, temos

\begin{eqnarray} \left(\frac{f}{g}\right)(x) &=& \frac{f(x)}{g(x)} \\ &=& \frac{\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}}{\frac{\sqrt{x}}{x^3+8}} \\ &=& \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \cdot \frac{x^3+8}{\sqrt{x}} \\ &=& \frac{\sqrt{x^2-1}(x^3+8)}{x\sqrt{x}} \\ &=& \frac{\sqrt{x^2-1}(x^3+8)}{\sqrt{x^3}}   \end{eqnarray}

Logo, $\left(\displaystyle\frac{f}{g}\right)(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{x^2-1}(x^3+8)}{\sqrt{x^3}}$. O domínio de $f$ é formado por todo $x \in \mathbb{R}$ tal que $x^2-1 \geq 0$ e $x \neq 0$. A solução da inequação $x^2-1 \geq 0$ é a união de intervalos $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. Observe que $x = 0$ não faz parte desse conjunto e, assim, $D(f) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. O domínio de $g$ é formado por todo $x$ real tal que $x \geq 0$ e não podemos ter $x^3+8 = 0$. A única solução para a equação anterior é $x = -2$, isto é, $x = -2$ não está no domínio de $g$. Como $x \geq 0$ engloba a condição $x \neq -2$,  temos que $D(g) = [0, +\infty)$. Desse, temos que 

\begin{eqnarray} D(f) \cap D(g) &=& \left((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)\right) \cap [0, +\infty) \\ &=& [1, +\infty) \end{eqnarray}

Agora, falta verificarmos quais são os valores de $x$ tais que $g(x) = 0$, pois esses valores não estão no domínio do quociente de $f$ por $g$. Temos

\begin{eqnarray} h(x) &=& 0 \\ \frac{\sqrt{x}}{x^3+8} &=& 0 \\ \sqrt{x} &=& 0 \\ x &=& 0. \end{eqnarray}

Já temos que $x=0$ não está em $[1, +\infty)$, segue que $D\left(\displaystyle\frac{f}{g}\right) = [1, +\infty).$

Observação 3: Podemos estender as definições de somas, subtração e multiplicação de funções para mais de duas funções de maneira análoga. Também de maneira análoga, calculamos os domínios das funções resultantes de operações.

Vamos ver agora uma outra forma de se aplicar as operações com funções.

Uma outra forma de aplicar as operações com funções

Considere a função $f(x) = \sqrt{x} + x^2$. Veja que essa função é a soma de dois termos, sendo eles $\sqrt{x}$ e $x^2$. Veja também que cada termo desse depende de $x$, isto é, podemos considerar esses termos como funções de $x$. Desse modo, se fizermos $g(x) = \sqrt{x}$ e $h(x) = x^2$, podemos escrever a função $f$ na forma 

$$f(x) = \sqrt{x} +x^2 = g(x) + h(x) = (g+h)(x)$$

Podemos então escrever a função $f$ como a soma das funções $g$ e $h$, que são mais simples que $f$. Esse processo de resscrever uma função como uma ou mais operações entre outras funções é muito importante. Em algumas situações na matemática é necessário "quebrar" uma funções em partes mais simples para facilitar os cálculos. Vamos ver mais exemplos com as outras operações.

Exemplos:

9. A função $f(x) = x^2-3x +1$ pode ser escrita como a soma das funções $f_1(x) = x^2$, $f_2(x) = -3x$ e $f_3(x) = 1$. Ainda podemos reescrever $f$ de outra forma, $f(x) = f_1(x) - f_4(x) + f_3(x)$ onde $f_4(x) = 3x$.

10. A função $g(x) = 8\sqrt[3]{x}(1-x^3)$ pode ser escrita como o produto das funções $g_1(x) = 8\sqrt[3]{x}$ e $g_2(x) = 1-x^3$. Considerando  a função $g_3(x) = \sqrt[3]{x}$, ainda podemos rescrever a função $g$ na forma $g(x) = 8g_3(x)g_2(x)$.

11. A função $h(x) = \displaystyle\frac{x-2}{\sqrt{4x-3}}$, pode ser reescrita como o quociente das funções $h_1(x) = x-2$ e $h_2(x) = \sqrt{4x-3}$.

12. Podemos usar uma cobinação de operações de funções para reescrever uma função. Considere a função $q(x) = \displaystyle\frac{x(x+1)}{2\sqrt[4]{x^3+x}} - 3x$. Considerando as funções $q_1(x) = x$, $q_2(x) = x+1$, $q_3(x) = \sqrt[4]{x^3+x}$ e $q_4(x) = x$, temos que $q(x) = \displaystyle\frac{q_1(x)q_2(x)}{2q_3(x)} - 3q_4(x)$.

Exemplo em vídeo:

Acredito que, com as definições e exemplos que foram feitos aqui nessa postagem, você não terá maiores dificuldades para fazer operações com funções e determinar seus domínios. Além disso, conseguirá perceber como reescrever funções como operações entre outras funções.

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Funções #4 - Domínio de uma função de uma variável real

Nas postagens anteriores, abordamos as funções de um jeito mais conceitual, juntamente com os conceitos de domínio, contradomínio e imagem. Agora, essa postagem será dedicada ao estudo do domínio de uma função de uma varável real com mais detalhes, com tudo o que você precisa saber sobre o domínio desse tipo de função. Em geral, em textos de matemática, as funções reais de uma variável real não são apresentadas juntamente com seus domínios, isto é, na maioria das vezes as funções não são dadas assim: "Considere a função $f:\mathbb{R} - \{-1, 1\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \displaystyle\frac{1}{x^2-1}$", onde está claro que o domínio de $f$ é o conjunto $\mathbb{R}-\{-1,1\}$. Na maioria das vezes elas aparecem simplesmente assim: "Seja $h(x) = \sqrt{x+1}$ uma função", sem apresentar o domínio de $h$. Então, o que fazemos quando uma função é dada sem seu domínio? Nessa postagem vamos responder a essa pergunta e vamos detalhar bem esse assunto para que, quando você precisar lidar com domínios de funções, não haja nenhuma dúvida. Então, vamos lá.

Domímio de uma função de uma variável real

Quando uma função é dada com seu domínio, por exemplo, $g: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $g(x) = x^2$, nós podemos calcular os valores de $g(x)$ somente para $x \in (0, +\infty)$, isto é, não podemos calcular $g(-1)$, apesar de ser possível trocar o $x$ por $-1$ na expressão $x^2$ e fazermos as contas. Isso ocorre pois a informação $g: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ nos diz que $g$ está considerada somente sobre o conjunto $(0, +\infty)$ e fora dele ela não faz sentido (independentemente de qual seja o motivo para isso).

Agora, quando uma função $f$ é dada sem seu domímio, nós consideramos o que chamamos de domínio natural da função. O domínio natural de uma função é o conjunto formado por todos os números reais na qual podemos aplicar a dada função. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os números reais $x$ tais que é possível calcular $f(x)$, ou ainda, é o "maior" subconjunto de $\mathbb{R}$ onde $f$ está definida.

Para deixar isso mais claro, vamos ver um exemplo. Considere a função $p(x) = \displaystyle\frac{x^2-1}{\sqrt{1-x}}$. Observe que, para $x = -3$, é possível calcular $p(-3)$. De fato, temos

\begin{eqnarray}p(-3) &=& \frac{(-3)^2 - 1}{\sqrt{1-(-3)}} \\ &=& \frac{9-1}{\sqrt{1+3}} \\ &=& \frac{8}{2} = 4  \end{eqnarray}

Logo, $-3$ pertence ao domínio natural de $f$.

Vamos tantar aplicar a função $f$ em $x = 1$. Temos

\begin{eqnarray}p(1) &=& \frac{1^2 - 1}{\sqrt{1-1}} \\ &=& \frac{1-1}{\sqrt{0}} \\ &=& \frac{0}{0}  \end{eqnarray}

Encontramos que $p(1) = \displaystyle\frac{0}{0}$. Como não é possível fazer a conta $\displaystyle\frac{0}{0}$, não existe $p(1)$, o valor $p(1)$ não pode ser calculado, ou ainda, $p(1)$ não está definido. Logo, o número $1$ não faz parte do domínio natural da função $p$.

Para reforçar esse conceito, o domíno natural de uma função é o conjunto formado por todos os números reais onde a função está definida. Geralemente, o chamamos simplesmente de domínio da função.

Com o que vimos até aqui, podemos respoder à pergunta da introdução da postagem: então, o que fazemos quando uma função é dada sem seu domínio? E a resposta é: podemos calculá-lo. 

Ok, podemos calculá-lo, mas como calcular o domínio de uma função? Bom, com certeza não é testando todos os números reais. No exemplo da função $p$ acima, tentamos calcular $p(-3)$ e $p(1)$ simplesmente para mostrar que $-3$ está no domínio de $p$ enquanto o $1$ não. Para determinar o domínio de uma função, devemos pensar de outra forma. E é isso o que vamos ver a seguir.

Como calcular o domínio de uma função

Antes de fazermos qualquer conta para calcular o domínio de uma função, vamos pensar na seguinte pergunta: Quais são os cálculos que não podem ser feitos com números reais? São dois, não podemos calcular raízes de índice par de números negativos e não podemos dividir por zero. É nisso que precisamos pensar na hora de calcular o domínio de uma função. Quando olhamos para a expressão de uma função devemos pensar assim: há raízes na expressão dessa função? Se sim, dentro das raízes de índice par não podemos ter nada negativo. Há quocientes na expressão dessa função? Se sim, a parte de baixo deles não pode ser zero. Desse modo, conseguimos determinar o domínio de uma dada função. Vamos fazer alguns exemplos para aplicar esse raciocício.

Exemplos:

1. Determine o domínio da função $q(x) = x^2+x-2$.

Solução: Temos que determinar o domínio da função $q(x) = x^2+x-2$. Quando olhamos para ela vimos alguma raiz de índice par ou algum quociente (divisão)? Não. Então, não importa o número que colocamos no lugar do $x$, $q(x)$ sempre poderá ser calculado. Outra forma de ver isso é perceber que em $q$ há somente potências com expoentes inteiros, multiplcações, somas e subtrações. Essas operações podem ser feitas com qualquer número real. Portanto o domínio da função $p$ é igual a $\mathbb{R}$. Usando a notação de domíno, podemos escrever $D(p) = \mathbb{R}$.

Observação: O que foi feito no examplo anterior pode ser estendido para qualquer função que seja dada por meio de um polinômio. Tais funções são chamadas funções polinomiais. Desse modo, o domínio de qualquer função polinomial é igual a $\mathbb{R}$.

2. Determine o domínio da função $h(x) = \displaystyle\frac{x^2-4}{x^3-3x^2+2x}$.

Solução: Olhando para a função $h$, podemos perceber que ela possui um quociente (divisão). Como observamos anteriormente, não podemos fazer divisão por zero. Desse modo, devemos determinar todos os valores de $x$ para os quais a parte de baixo do quociente é igual a $0$, pois eles não fazem parte do domínio. Logo, devemos resolver a equação $x^3-3x^2+2x = 0$ para sabermos quais valores de $x$ não estão no domínio. 

Temos que $x^3-3x^2+2x = 0$ é equivalente a $x(x^2-3x+2) = 0$, o que nos garante que $x = 0$ é uma solução da equação. Agora, para determinar as outras soluções, devemos resolver a equação $x^2-3x+2 = 0$. Usando Soma e Produto, temos que as raízes da ùltima equação são $1$ e $2$. Logo, as soluções da equação $x^3-3x^2+2x = 0$ são $0$, $1$ e $2$. Portanto o domínio da função $h$ é $\mathbb{R} - \{0,1,2\}$, ou, de outra forma,. usando intervalos, $D(h) = (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1,2) \cup (2, +\infty)$.

Observação: As funções no formato do exemplos acima, ou seja, funções que são o quociente de dois polinômios, são chamadas funções racionais. O raciocínio aplicado no exemplo anterior pode ser aplicado a qualquer função racional. O domínio de qualquer função racional é sempre igual a $\mathbb{R}$ retirando-se os números que anulam o polinômio que está na parte de baixo do quociente.

3. Calcule o domínio da função $f(x) = \sqrt{x-1}$.

Solução: Na função $f$ não temos um quociente, mas temos uma raiz quadrada. Como sabemos, dentro de uma raiz quadrada não pode haver números negativos, sendo assim, a função $f$ só pode ser aplicada em valores de $x$ tais que $x-1 \geq 0$. Desse modo, o conjunto solução dessa inequação é o domínio da função $f$. Resolvendo a inequação, temos

\begin{eqnarray} x - 1 &\geq& 0 \\ x &\geq& 1 \end{eqnarray}

Logo, a solução da inequação é o conjunto $(1, +\infty)$ e, consequentemente $D(f) = (1,+\infty)$.

4. Determine o domínio da função $g(x) =  \displaystyle\frac{\sqrt{4-x^2}}{x + 1}$.

Solução: Na função $g$ tem uma raiz quadrada e também um quociente. Isso nos dá duas condições que os valores de $x$ precisam satisfazer para estarem no domínio de $g$, são elas, dentro da raiz quadrada não pode haver valores negativos, ou seja, $4-x^2 \geq 0$ e a parte de baixo do quociente não pode ser zero, ou seja, $x+1$ deve ser diferente de $0$. Vamos analisar essas casos separadamente. Temos

Inequação $4-x^2 \geq 0$:

Essa inequação pode ser reescrita na forma 

$$(2+x)(2-x) \geq 0$$

Usando análise de sinal de polinômios (ou o gráfico da função $f(x) = 4-x^2$) temos que a solução dessa inequação é o conjunto $S = [-2,2]$. Logo, à priori, $x$ deve estar nesse intervalo para que possamos aplicar a função $g$. Vamos guardar esse resultado e analisar o próximo caso.

Equação $x+1 = 0$:

Observe que queremos que $x+1$ seja diferente de $0$, por isso, vamos resolver a equação $x+1=0$ para saber qual valor de $x$ não podemos ter no domínio de $g$. Temos:

\begin{eqnarray} x+1 &=& 0 \\ x &=& -1 \end{eqnarray}

 Logo, $-1$ não pode estar no domínio de $g$.

Sendo assim, $x$ só pode assumir valores em $[-2,2]$ e  $x$ não pode ser $-1$. Como o $1$ está no intervalo intervalo $[-2,2]$, devemos retirar o $1$ desse intervalo para obtermos o domínio de $g$. Portanto, o domínio de $g$ é o conjunto $[-2,1) \cup (1,2]$, ou, de outra forma, $D(g) = [-2,2]-\{-1\}$.

5. Calcule o domínio da função $p(x) = \displaystyle\frac{x^4-2x+1}{\sqrt[3]{x-2}}$.

Solução: Nessa função temos um quociente e, como sabemos, a parte de baixo do quociente nunca pode ser igual a zero. Olhando para a parte de baixo do quociente vemos uma raiz que possui índice ímpar igual a $3$, ou seja, é uma raiz cúbica. Como o índice da raiz é ímpar, não precisamos nos preocupar com o sinal da expressão que está dentro da raiz, pois as raízes de índice ímpar estão definidas para qualquer número real. Logo, como ela está em baixo no quociente, ela não ser igual a zero somente. Desse modo, temos que resolver a equação $\sqrt[3]{x-2} = 0$. Uma raiz, de qualquer índice, é igual a $0$ se, e somente se, o que está dentro da raiz é igual a $0$. Assim, a equação $\sqrt[3]{x-2} = 0$ é equivalente a $x-2 = 0$ que possui solução $x = 2$. Logo, o único valor no qual a função $p$ não está definida é o $2$. Portanto, $D(p) = \mathbb{R} - \{2\}$. 

6. Determine o domínio da função $l(x) = \displaystyle\frac{x^2}{\sqrt[4]{2x+3}}$.

Solução: Na função $l$ há um quocientes onde temos uma  raiz na parte de baixo. Assim, o que está dentro da raiz não pode ser igual a $0$ e, além disso, como a raíz possui índice par igual a $4$, o que está dentro dela também deve ser estritamente maior que $0$. Desse modo, temos que resolver a inequação $2x+3 > 0$. Temos

\begin{eqnarray} 2x + 3 &>& 0 \\ 2x &>& -3 \\ x &>& -\frac{3}{2} \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução da inequação é $S = \left(-\displaystyle\frac{3}{2}, +\infty\right)$. Portanto $D(l) = \left(-\displaystyle\frac{3}{2}, +\infty\right)$.

7. Determine o domínio da função $f(x) = \displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{4x}{x^2-2}$.

Solução: Na função $f$ temos dois quociente com as expressões $x$ e $x^2-2$, respectivamente, na parte de baixo dos quocientes. Desse modo, nenhuma delas pode ser zero e, assim, devemos resolver as equações $x = 0$ (que já está resolvida) e $x^2-2=0$, pois as soluções delas não estão no domínio de $f$. Temos que as soluções da equação $x^2-2=0$ são $\sqrt{2}$ e $-\sqrt{2}$. Portanto, $D(f) = \mathbb{R} - \{0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}\}$.

8. Determine o domínio da função $f(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{x+1}}{2} - \displaystyle\frac{1}{x+4}$.

Solução: Nessa função, temos uma raiz quadrada com a expressão $x+1$ dentro e um quociente com a expressão $x+4$ em baixo. Desse modo, devemos ter $x+1 \geq 0$ e $x+4$ diferente de $0$. Resolvendo a inequação, temos $x \geq -1$, ou seja, essa é a primeira condição que $x$ tem que satisfazer. Da equação $x+4=0$, temos que $x=-4$, ou seja, $x$ deve ser diferente de $4$ para que esteja no domínio da função. Observe que $x \geq -1$ implica que $x \neq 4$, assim, já é suficiente $x$ satisfazer a primeira condição. Logo, $D(f) = [-1, +\infty)$.

9. Determine o domínio da função $f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+4}} + \displaystyle\frac{4x}{\sqrt{2-x}}$.

Solução: Nessa função temos dois quocientes com raízes quadradas na parte de baixo. Desse modo, elaa não podem ser iguais a $0$ e nem o que está dentro delas ser negativo. Assim, os valores de $x$ que estão no domínio dessa função satisfazem $x+4 > 0$ e $2-x > 0$. Em outras palavras, o domínio dessa função será a interseção dos conjuntos solução dessas duas inequações. Temos:

Primeira inequação:

\begin{eqnarray} x + 4 &>& 0 \\ x &>& -4 \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_1 = (-4, +\infty)$

Segunda inequação:

\begin{eqnarray} 2-x &>& 0 \\ -x &>& -2 \\ x &<& 2 \end{eqnarray}

Logo, o conjunto solução dessa inequação é $S_2 = (-\infty, 2)$.

Portanto, o domínio da função $f$ é $S_1 \cap S_2 = (-4,2)$.

Resumo da postagem e exemplo:

Acredito que, com os exemplos feitos aqui, você será capaz de determinar o domínio de qualquer função algébrica.

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Funções #3 - Funções reais de uma variável real

Nas duas postagens anteriores (acesse-as aqui), vimos o conceito de funções juntamente com os conceitos de domínio, contradomínio e imagem de uma função. Nessa postagem vamos passar para um caso particular de função, que são as funções reais de uma variável real. Essas funções são muito importantes na prática, pois são usadas na modelagem matemática, isto é, são usadas para descrever problemas reais e, assim, elas nos permitem encotrar soluções para esses problemas. Então, vamos entender o que são as funções reais de uma variável real. Vamos lá!

Funções reais de uma variável real

Primeiramente, vamos entender o que significa ser uma função real de uma variável real. Considere uma função qualquer $f: A \rightarrow B$. A função $f$ é chamada de função real se $B \subseteq \mathbb{R}$, ou seja, se o contradomínio de $f$ está contido ou é igual ao próprio $\mathbb{R}$. Como vimos nas postagens anteriores, dado um elemento $x \in A$, escrever $y = f(x)$ significa que $f$ leva $x \in A$ em $y \in B$. Perceba que $y$ depende de $x$, isto é, quando calculamos $f(x)$ para diferentes valores de $x$, eventualmente encontraremos resultados diferentes, ou seja, valores diferentes para $y$. Sendo assim, $x$ recebe o nome de variável independente, pois podemos simplesmente escolhe-lá em $A$, o domínio da função, e $y$ é chamado de variável dependente, pois ela depende do $x$ escolhido. Desse modo, a função $f: A \rightarrow B$ é chamada de função de uma variável real, quando $A \subseteq \mathbb{R}$, ou seja, $A$ está está contido em $\mathbb{R}$ ou é o próprio $\mathbb{R}$. Em outras palavras, $f$ é uma função de uma variável real quando na igualdade $y = f(x)$ o $x$ representa um único número real que varia dentro de um subconjunto de $\mathbb{R}$, podendo ser o próprio $\mathbb{R}$.

Resumindo, uma função $f: A \rightarrow B$ é uma função real de uma variável real quando $A$ e $B$ estão contidos em $\mathbb{R}$, podendo ser um deles ou os dois iguais a $\mathbb{R}$.

Chamamos também $f(x)$ de valor de $f$ em $x$, ou ainda, de imagem de $x$ pela $f$.

Observação: É comum na linguagem de funções usarmos $x$ para a variável independente e $y$ para a variável dependente, mas isso não é uma regra, qualquer letra pode ser usada. Por exemplo, dada uma função $g: X \rightarrow Y$, podemos escrever $g(a) = b$ onde $a$ é a variável independente e $b$ é a variável dependente.

Agora que entendemos o que é uma função real de uma variável real, vamos ver de que forma essas funções geralmente aparecem. Considere uma função real de uma variável real $f: A \rightarrow B$. De que forma $f$ associa os elementos de $A$ com os elementos de $B$? Essa associação ocorre por meio de expressões algébricas (e não algébricas, mas isso ficará para postagens que ainda virão) onde a variável independente da função ($x$) está presente ou não. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

1. Considere a função $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2-1$. A regra $f$ é exatamente a expressão $x^2-1$ a qual contém a variável independente de $f$, o $x$. Para cada valor real que $x$ pode assumir, teremos valores diferentes para $x^2-1$. A função $f$ leva $x$ em $x^2-1$. Também podemos representar a função $f$ (e qualquer outra função) trocando o $f(x)$ pelo $y$. Assim, teremos a função escrita na forma $y = x^2-1$.

2. Um outro exemplo de função real de uma variável real é a função $g: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $g(x) = \sqrt{x}$.

3. Considere a função $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $h(x) = 1$. Observe a expressão que define essa função, ela não contém a variável independente $x$. Qualquer funçao na forma $h(x) = a$ onde $a \in \mathbb{R}$ é chamada de função constante. Isso faz sentido, como $h(x)$ não depende de $x$ ($x$ não está na expressão que define $h$), seu valor será constante para qualquer que seja $x$. 

Então, as funções reais de uma variável real que estudaremos, por enquanto, associam dois subconjuntos de números reais por meio de expressões algébricas.

Vamos ver agora exemplos de como calcular o valor de uma função dados os valores de $x$. Vejamos.

Exemplos:

4. Considere a função $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = x^3-3x+1$. Calcule $f(2)$ e $f(-3)$.

Solução: Antes de qualquer cálculo, vamos entender o significado da notação $f(2)$. A notação $f(2)$ é o valor da função $f$ quando $x$ é substiuído pelo $2$ e pode ser lido como "$f$ aplicada em $2$". O mesmo vale para $f(-3)$ e para qualquer número que pode ser colocado "dentro" de $f$. Para calcular $f(2)$, basta trocarmos o $x$ que aparece na expressão que define $f$ pelo $2$, ou seja, na expressão $x^3-3x+1$ e fazer as contas. Assim, temos:

\begin{eqnarray} f(x) &=& x^3-3x+1 \\ f(2) &=& 2^3 - 3 \cdot 2 + 1 \\ &=& 8 - 6 +1 \\ &=& 3   \end{eqnarray}

Logo, $f(2) = 3$, ou, em palavras, o valor de $f$ aplicada em $2$ é igual a $3$. Também podemos dizer que $3$ é a imagem de $2$ pela função $f$.

De modo análogo, temos:

\begin{eqnarray} f(x) &=& x^3-3x+1 \\ f(-3) &=& (-3)^3 - 3 \cdot (-3) + 1 \\ &=& -27 + 9 +1 \\ &=& -17   \end{eqnarray}

Logo, $f(-3) = -17$. Observe que, quem está dentro de $f$ é o número $-3$ e não somente o $3$, assim, todo $x$ na expressão que define $f$ deve ser substituído por $-3$, usando sempre parênteses, se necessário.

5. Considere a função $q: \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $q(x) = \displaystyle\frac{x^2+1}{(x-1)^2}$. Calcule $q(-1)$ e $q\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)$.

Solução: No exemplos anterior já vimos o significado da notação $q(-1)$ e, então, vamos direto às contas. Temos

\begin{eqnarray} q(x) &=& \frac{x^2+1}{(x-1)^2} \\ q(-1) &=& \frac{(-1)^2+1}{(-1-1)^2} \\ &=& \frac{1+1}{(-2)^2} \\ &=&  \frac{2}{4} \\ &=& \frac{1}{2}   \end{eqnarray}

Logo, $f(-2) = \displaystyle\frac{1}{2}$.

Analogamente, temos:

\begin{eqnarray} q(x) &=& \frac{x^2+1}{(x-1)^2} \\ q\left(\frac{1}{2}\right) &=& \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1}{\left(\frac{1}{2}-1\right)^2} \\ &=& \frac{\frac{1}{4}+1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2} \\ &=&  \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}} \\ &=& \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{1} \\ &=& 5   \end{eqnarray}

Logo, $f \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = 5$.

6. Seja $f: (-\infty, 0] \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \sqrt{-x} + \sqrt[3]{x}$. Calcule $f(-8)$ e $f(-100)$.

Solução: Fazendo os cálculos, temos:

\begin{eqnarray} f(x) &=& \sqrt{-x} + \sqrt[3]{x} \\ f(-8) &=& \sqrt{-(-8)} + \sqrt[3]{-8} \\ &=& \sqrt{8} + \sqrt[3]{-8} \\ &=&  2\sqrt{2} -2,   \end{eqnarray}

Logo, $f(-2) = 2\sqrt{2} -2$.

Analogamente,

\begin{eqnarray} f(x) &=& \sqrt{-x} + \sqrt[3]{x} \\ f(-100) &=& \sqrt{-(-100)} + \sqrt[3]{-100} \\ &=& \sqrt{100} + \sqrt[3]{-100} \\ &=&  10 - \sqrt[3]{100}.   \end{eqnarray}

Logo, $f(-100) = 10 - \sqrt[3]{100}$.

Vamos fazer uns exemplos um pouco diferentes agora.

7. Considere a função $h: \mathbb{R}  \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $h(x) = x^2-x+10$. Determine os valores de $x$ tais que $f(x) = 12$.

Solução: Nesse exemplo, diferentemente dos anteriores, não é pedido que apliquemos a função $h$ em algum valor real de seu domínio, mas sim, para encontrarmos os valores reais em seu domínio tais que suas imagens sejam iguais a $12$, ou como está no enunciado, devemos calcular os valores de $x$ tais que $f(x) = 12$. Para fazer isso, basta substituir $f(x)$ pela expressão que a define na igualdade $f(x) = 12$. Desse modo, temos:

\begin{eqnarray} f(x) &=& 12 \\ x^2-x+10 &=& 12 \\ x^2-x-2 &=& 0.   \end{eqnarray}

Assim, basta resolver a equação do 2º grau $x^2-x-2 = 0$. Usando a fórmula de Bhaskara, temos:

\begin{eqnarray} \Delta &=& b^2 - 4ac \\ &=& (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) \\ &=& 1 + 8 \\ &=& 9   \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x &=&\frac{- b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\ &=& \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \\ &=& \frac{1 \pm 3}{2}.   \end{eqnarray}

Logo, as soluções da equação são $x_1 = 2$ e $x_2 = -1$. Portanto, os valores de $x$ tais que $f(x) =  12$ são $2$ e $-1$.

8. Considere a função $m : \mathbb{R}-\{1, -1\} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $m(x) = \displaystyle\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}}$. Determine o valor de $x$ tal que $m(x) = 0$.

Solução: De modo análogo ao que fizemos no exemplo anterior, para determinar o valor de $x$ tal que $m(x) = 0$, basta resolver a equação $\displaystyle\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}} = 0$.

Observe que, um quociente é igual a zero se, e somente se, a parte de cima for igual a zero e a solução dessa equação não anule a parte de baixo do quociente. Desse modo, basta resolvermos a equação $x+2=0$. Claramente, a solução dessa equação é $x=-2$. Logo, $f(-2) = 0$.

Acima, no texto, eu afirmei que as funções reais de uma variável real aparecem dadas por meio de expressões algébricas e não algébricas . Abaixo veremos dois exemplos de funções que não são dadas por meio de expressões algébricas.

9. Seja $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por: $f(x)$ é o maior inteiro menor ou igual a $x$. Essa função é chamada de função maior inteiro e é denotada por $f(x) = \lfloor x \rfloor$. Por exemplo, $f(0,5)$ é o maior número inteiro menor ou igual que $0,5$, assim, $f(0,5) = 0$. Também, $f(-2) = -2$ e $f(2,3) = 2$.

10. Seja $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por: $g(x)$ é o menor inteiro maior ou igual a $x$. Essa função é chamada de função menor inteiro e é denotada por $g(x) = \lceil x \rceil$. Por exemplo, $f(0,5)$ é o menor número inteiro maior ou igual $0,5$, assim, $f(0,5) = 1$. Também, $f(-2) = -2$ e $f(2,3) = 3$.

Observação: Além dessas funções apresentadas acima, nos exemplos 9 e 10, as funções trigonométricas e logaritmicas são exemplos de funções que não são dadas por expressões algébricas (expressões algébricas são expressões que possuem somente somas, subtrações, potências, multiplicação, divisões e raízes). Embora as funções não algébricas sejam muito importantes, não as abordaremos agora. Por enquanto ficaremos com as funções algébricas. 

Resumo da postagem em vídeo:

Entendendo o que foi exposto aqui nessa postagem, você está apto a continuar os estudos de funções. Nos encontramos na próxima postagem.

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Funções #2 - O que é a imagem de uma função?

 E vamos dar sequência ao assunto de funções com essa segunda postagem. Na postagem anterior, definimos, de forma geral, o que é uma função. Além disso, definimos também o que é domínio e o contradomínio de uma função. Esses conjuntos são inseparáveis do conceito de função. Agora, nessa postagem, vamos falar de um outro conjunto que também é inseparável do conceito de função, vamos falar sobre a imagem de uma função. Então, sem enrolação, vamos lá!

O que é a imagem de uma função?

Bom, vamos começar com a definição (formal e matemática) do que é a imagem de uma função e depois vamos seguir com mais detalhes sobre esse conceito.

Definição: Seja $f: A \rightarrow B$ uma função. Definimos a imagem da função $f$, denotada por $Im(f)$, como segue:

$$Im(f) = \{y \in B: f(x) = y \mbox{ para algum } x \in A\}$$

Podemos ainda encontrar a imagem de uma função definida na forma

$$Im(f) = \{f(x) \in B: x \in A\}$$

Bom, essa é a definição formal, mas não vamos parar por aqui, vamos ver as informações que estão nessa definição.

Observe, primeiramente, que a imagem de uma função é formada por elementos de $B$, ou seja, por elementos do contradomínio da função. Assim, $Im(f)$ é um subconjunto do contradomínio da função, ou ainda, em símbolos, $Im(f) \subset B$.

Agora, veja que há uma condição para que os elementos do contradomímio estejam na imagem. Para que um elemento $y$ do contradomínio esteja na imagem, deve existir pelo menos um $x$ pertencente o domínio tal que $f(x) = y$, isto é, deve existir pelo menos um $x$ no domínio que esteja associado a $y$ pela $f$. Isso nos mostra que, em geral, a imagem de uma função e o contradomínio de uma função são conjuntos distintos.

Para ficar ainda mais claro o conceito de imagem de uma função, vamos determinar a imagem de algumas funções dadas por meio de diagramas em alguns exemplos.

Exemplos:

1. Considere a função $f:A \rightarrow B$ dada pelo seguinte diagrama

Para determinar a imagem da função $f$, devemos olhar para o seu contradomínio, pois como acabamos de ver, a imagem de uma função está contida no seu contradomínio. Agora, dentro do contradomínio, vamos procurar pelos elementos tais que existe pelo menos um elemento no domínio ($A$) que esteja associado a ele. Para o elemento $1 \in B$ temos $f(a) = 1$, para $2 \in B$ temos $f(c) = 2$ e para $3 \in B$ temos $f(b) = 3$. Assim, para cada elemento de $B$, existe pelo menos um elemento $A$ que é levado nele por meio da função $f$. Portanto, segue que $Im(f) = \{1,2,3\}$, ou inda, $Im(f) = B$.

2. Considere a função $g:A \rightarrow C$ dada pelo seguinte diagrama

Assim como no primeiro exemplo, vamos olhar para o conjunto $C$, que é o contradomínio de $g$, e vamos procurar por aqueles elementos para os quais existe pelo menos um elemento no domínio que é levado nele. Temos $f(a) = z$, $f(b) = w$ e $f(c) = x$. Note que não há nenhum elemento em $A$ que é levado no $y$ pela função $g$, logo $y$ não está na imagem de $g$. Portanto $Im(g) = \{x,z,w\}$. Esse exemplo é um caso onde temos $Im(g)$ diferente do contradomínio de $g$.

3. Considere a função $h:A \rightarrow D$ dada pelo seguinte diagrama

Vamos aplicar aqui o mesmo raciocínio que aplicamos nos exemplos anteriores. Temos que $f(x) = a$ e $f(z) = b$ enquanto que não existem elementos em $C$ que são levados pela função $h$ nos elementos $c$ e $d$ de $D$. Portanto $Im(h) = \{a,b\}$.  Observe que também temos $f(y) = a$ e $f(z) = b$. Isso não faz diferença para determinar a imagem de $h$. Para um elemento estar na imagem, basta que exista um elemento no domínio que seja levado nele pela função. Se houver mais de um, não tem problema, pois, se tem mais de um, então tem um, e isso é o que a definição de imagem de uma função exige para que um elemento esteja na imagem.

4. Considere a função $p:A \rightarrow C$ dada pelo seguinte diagrama

Nesse caso temos $p(a) = p(b) = p(c) = w$. Logo, $Im(p) = \{w\}$.

Acredito que, com esses diagramas, o conceito de imagem de uma função ficou claro para você. E sempre lembre-se de que os conceitos de domínio, contradomímio e imagem de uma função são inseparáveis do conceito de função. As funções sempre são acompanhadas desse conjunto.

Resumo da postagem em vídeo:

Na postagem anterior, definimos funções, domínio, contradomínio e imagem usando diagramas. Isso foi somente para entendermos esses conceitos. À partir da próxima postagem, abordaremos as funções reais de uma variável real e revisitaremos esses conceitos no contexto desse tipo de função. Ainda temos muita coisa para ver. Continue seguindo as postagens.

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