Polinômios #2: Soma (adição) de polinômios e suas propriedades

 Na postagem anterior vimos uma maneira de se definir os polinômios. A partir dessa postagem vamos começar a falar sobre as operações com polinômios, que são, soma (adição), subtração (diferença), multiplicação (produto) e divisão. Dessas quatro operações, abordaremos na sequência as três primeiras e a operação de divisão de polinômios ficará mais para frente. Nessa segunda postagem vamos definir a soma de polinômios e estudaremos as suas propriedades. Vamos lá!

Soma (adição) de polinômios e suas propriedades

Considere $p(x)$ e $g(x)$ dois polinômios, onde

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 \mbox{ e } q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0$$

com $n,m \in \mathbb{N}$ podendo ser, eventualmente, diferentes. Vamos considerar esse polinômios com coeficientes em $\mathbb{R}$ ou em $\mathbb{C}$ (independentemente de onde estiverem os coeficientes desses polinômios, a definição da soma será a mesma). 

Definição: Dados os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ como acima, definimos a soma (adição) de $p(x)$ e $q(x)$, denotada por $p(x) + q(x)$, em três casos diferentes

• Se $n < m$, temos

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=&(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0) + (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0) \\ &=& a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 + b_mx^m + \cdots + b_{n+1}x^{n+1} + b_nx^n + \cdots + b_1x+b_0 \\ &=& b_mx^m + \cdots + b_{n+1}x^{n+1} + (a_n + b_n)x^n + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0);  \end{eqnarray}

• Se $n=m$, temos

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=&(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0) + (b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_1x+b_0) \\ &=& a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 + b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_1x+b_0 \\ &=& (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1} + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0);  \end{eqnarray}

• Se $n > m$, temos

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=&(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0) + (b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0) \\ &=& a_nx^n + \cdots + a_{m+1}x^{m+1} + a_mx^m+ \cdots + a_1x + a_0 + b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} +  \cdots + b_1x+b_0 \\ &=& a_nx^n + \cdots + a_{m+1}x^{m+1} + (a_m + b_m)x^m + \cdots + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0).  \end{eqnarray}

A definição acima está bem formal, mas para não ficarmos decorando ou complicando muito as coisas, para somar dois polinômios, basta somar os coeficientes que acompanham a mesma potência de $x$, ou seja, devemos somar o termo independente de $p(x)$ com o termo independente de $q(x)$, o coeficiente de $x$ de $p(x)$ com o coeficiente de $x$ em $q(x)$ e multiplicar por $x$, o coeficiente de $x^2$ de $p(x)$ com o coeficiente de $x^2$ de $q(x)$ e multiplicar por $x^2$ e assim por diante. Isto é, exatamente, somar os temos que são semelhantes. Caso se tenha um $a_r$, coeficiente de $x^r$, em $p(x)$ e não se tenha $x^r$ em $q(x)$, basta considerar o $x^r$ com coeficiente igual a $0$ em $q(x)$. O contrário também pode ser feito. 

Para essa definição ficar mais clara, vamos fazer alguns exemplos.

Exemplos:

1. Calcule a soma de $p(x) = 3x^2+x-1$ e $q(x) = -2x^2+3x+5$.

Solução: Seguindo a definição acima, temos

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& (3x^2+x-1) + (-2x^2+3x+5) \\ &=& 3x^2+x-1  -2x^2+3x+5 \\ &=& (3+(-2))x^2 + (1+3)x + (-1+5) \\  &=& x^2 + 4x + 4. \end{eqnarray}

Observe que este é o caso onde $m=n=2$. Note também que o termo $x^r$ num polinômio possui coeficiente igual a $1$.

2. Calcule $p(x) + q(x)$ onde $p(x) = 3x^4+x^3 - 5x^2 +4x-2$ e $q(x) = x^2-9x-1$.

Solução: Esse é o caso onde $n=4$ e $m=2$, ou seja, $n > m$. Assim, não temos em $q(x)$ termos com $x^4$ e $x^3$ e, sendo assim, eles podem ser considerados em $q(x)$ como possuindo coeficientes iguais a $0$.

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& (3x^4+x^3 - 5x^2 +4x-2) + (x^2-9x-1) \\ &=& 3x^4+x^3 - 5x^2 +4x-2 + x^2-9x-1 \\ &=& 3x^4 + x^3 + (-5+1)x^2 + (4-9)x + (-2+ (-1))  \\ &=& 3x^4+x^3 + (-4)x^2 + (-5)x + (-3) \\ &=& 3x^4+x^3-4x^2-5x-3.   \end{eqnarray}

3. Calcule a soma de $f(x) = x+1$ e $g(x)=x^3+2x^2-4x+8$.

Solução: Esse é o caso em que $n=1$ e $m=3$, ou seja, $n < m$. Note que em $f(x)$ não há termos com $x^3$ ou $x^2$, desse modo, seus coeficientes são considerados como sendo iguais a $0$. Fazendo a soma, temos

\begin{eqnarray} f(x) + g(x) &=& (x+1) + (x^3+2x^2-4x+8) \\ &=& x+1 + x^3+2x^2-4x+8 \\ &=& x^3 + 2x^2 + (1+(-4))x + (1+8) \\ &=& x^3 + 2x^2 + (-3)x + 9 \\ &=& x^3 + 2x^2 -3x + 9.   \end{eqnarray}

4. Sejam $f(x) = x^5 -3x^3+x^2+5x$ e $g(x) = x^6 + x^4 - x^3 +10x^2 +4$. Calcule $f(x) + g(x)$.

Solução: Em $f(x)$ não temos termos com $x^6$, $x^4$ e nem o termo independente, ou seja, ele é igual a $0$ e em $g(x)$ não temos termos com $x^5$, $x^2$ e $x$. Logo, nos respectivos polinômios, os coeficientes desses termos são iguais a $0$. Assim, 

\begin{eqnarray} f(x) + g(x) &=& (x^5 -3x^3+x^2+5x) + (x^6 + x^4 - x^3 +10x^2 +4) \\ &=& x^5 -3x^3+x^2+5x + x^6 + x^4 - x^3 +10x^2 +4 \\ &=& x^6+x^5 +x^4+ (-3+(-1))x^3 + (1+10)x^2 +5x+4 \\ &=& x^6+x^5 +x^4+ (-4)x^3 + 11x^2 +5x+4 \\ &=& x^6+x^5 +x^4-4x^3 + 11x^2 +5x+4.    \end{eqnarray}

5. Efetue a adição dos polinômios $p(x) = x^4 -3x^3-4x+2$ e $q(x) = -2x^3+x^2+10x$. 

Solução: Vamos fazer esse exemplo mais rápido, vamos simplesmente somar os termos semelhantes diretamente.

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& x^4 -3x^3-4x+2 + (-2x^3+x^2+10x) \\ &=& x^4 -3x^3-4x+2 -2x^3+x^2+10x \\ &=& x^4 -5x^3 + x^2+6x+2.  \end{eqnarray}

6. Efetue a adição dos polinômios $p(x) = x^6 - 3x^4-8x^3+ 3x^2+x-5$ e $q(x) = 3x^4+x^3 -4x^2+10x+1$. 

Solução: Vamos proceder como no exemplo anterior.

\begin{eqnarray} p(x) + q(x) &=& x^6- 3x^4-8x^3+ 3x^2+x-5 + (3x^4+x^3 -4x^2+10x+1) \\ &=& x^6- 3x^4-8x^3+ 3x^2+x-5 + 3x^4+x^3 -4x^2+10x+1 \\ &=& x^6 -7x^3 - x^2+11x-4.  \end{eqnarray}

Vamos ver agora algumas propriedades da soma de polinômios.

Propriedades:

Dados $f(x)$, $g(x)$ e $h(x)$ polinômios quaisquer, valem as seguintes propriedades:

(i) $f(x) + g(x) = g(x) + f(x)$ (a soma é comutativa);

(ii) $(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x))$ (a soma é associativa);

(iii) Existe um elemento neutro para a soma de polinômios. Esse elemento é o polinômio $p(x) = 0$, ou seja, é o polinômio constante igual a $0$. Tal polinômio é chamado de polinômio nulo. Ele possui a seguinte propriedade:

$$p(x) + f(x) = f(x) \mbox{ e } f(x) + p(x) = f(x)$$

para qualquer que seja $f(x)$.

(iv) Para cada polinômio $f(x)$ existe um polinômio $q(x)$ tal que $f(x) + q(x) = 0$ e $q(x) + f(x) = 0$, isto é, $q(x)$ somado com $f(x)$, em ambos os lados, é igual ao polinômio nulo. O polinômio $q(x)$ é chamado oposto de $f(x)$. Para obter o polinômio $q(x)$ (oposto de $f(x)$), basta fazer o seguinte: se $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0$, o seu oposto será $p(x) = -a_nx^n - a_{n-1}x^{n-1}- \cdots - a_1x-a_0$, isto é, o oposto do polinômio $f(x)$ é o polinômio formado com a somas das mesmas potências de $x$ de $f(x)$ onde seus coeficientes são os opostos dos coeficientes de $f(x)$. Como por exemplo

 o oposto de $f(x) = x^3+x+3$ é $p(x) = -x^3-x-3$;  

 o oposto de $f(x) = x^4+x^2 - 4x-10$ é $p(x) = -x^4-x^2 + 4x+10$ e

 o oposto de $f(x) = -x^2+5x -8$ é $p(x) = x^2-5x +8$.

O oposto de $f(x)$ é denotado por $-f(x)$. 

Agora que definimos o oposto de um polinômio, podemos definir a subtração (diferença) de polinômios.

Definição: Dados os polinômios

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1x+a_0 \mbox{ e } q(x) = b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x+b_0,$$

definimos a subtração (diferença) dos polinômios $p(x)$ e $q(x)$, denotada por $p(x) - q(x)$, como sendo

$$p(x) - q(x) = p(x) + (-q(x)),$$

isto é, a subtração (diferença) de $p(x)$ e $q(x)$ é a soma de $p(x)$ com o oposto de $q(x)$.

Vamos ver alguns exemplos de subtração de polinômios.

Exemplos:

7. Calcule $p(x) - q(x)$ onde $p(x) = x^2+2x-1$ e $q(x) = 2x^2-4x-10$.

Solução: Para fazer esse cálculo, basta usar a definição de subtração de polinômios e ficar atento com os sinais, pois é necessário fazer jogo de sinais para efetuar a subtração.

\begin{eqnarray} p(x) - q(x) &=& x^2+2x-1 - (2x^2-4x-10)  \\ &=& x^2+2x-1 -2x^2+4x+10 \\ &=& (1-2)x^2 + (2+4)x + (-1+10) \\ &=& -x^2 + 6x + 9.    \end{eqnarray}

Veja que, para passar da primeira linha para a segunda linha, no cálculo acima foi feito jogo de sinal com cada termo do polinômio $q(x)$ e, na segunda linha, temos exatamente a soma de $p(x)$ com o oposto de $q(x)$, que é a definição de subtração de polinômios. Na prática, é assim que as coisas funcionam. Da terceira linha em diante segue a soma de polinômios como definimos anteriormente.

8. Calcule a diferença entre os polinômios $f(x) = 5x^4 + x^3-3x-4$ e $g(x) = 3x^3+2x^2-x-1$.

Solução: Basta proceder como no exemplo anterior.

\begin{eqnarray} f(x) - g(x) &=& 5x^4 + x^3-3x-4 - (3x^3+2x^2-x-1)  \\ &=& 5x^4 + x^3-3x-4  -3x^3-2x^2+x+1 \\ &=& 5x^4 + (1-3)x^3 -2x^2 + (-3+1)x + (-4 +1) \\ &=& 5x^4 + (-2)x^3 -2x^2 + (-2)x + (-3)  \\ &=& 5x^4 -2x^3 -2x^2 -2x -3.    \end{eqnarray}

9. Calcule $p(x) - q(x)$ onde $p(x) = x^3-5x+10$ e $q(x) = 3x^6 - x^2+x+10$.

Solução: Podemos fazer as contas aqui um pouco mais rápido também, assim como nos exemplos 5 e 6, somando os termos semelhantes. 

\begin{eqnarray} p(x)  -  q(x) &=& x^3-5x+10 - (3x^6 - x^2+x+10)  \\ &=& x^3-5x+10 -3x^6 + x^2-x-10  \\ &=& -3x^6 + x^3+x^2 -6x + 0.   \end{eqnarray}

Exemplo em vídeo:

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Polinômios #1: O que são polinômios?

Chegamos ao assunto de polinômios. Que beleza! Os polinômios são muito importantes. Eles aparecem em muitas áreas da Matemática, aparecem no Cálculo, na Álgebra Linear, nas Equações Diferenciais, em Geometria, etc.. Por esse motivo é muito importante saber o que é um polinômio, suas características, fazer contas com polinômios, saber como fatorar um polinômio e calcular suas raízes. Nessa primeira postagem sobre polinômios vamos ver uma forma de defini-los (há mais de uma forma) usando a definição de função. 

O que são polinômios?

Podemos definir um polinômio usando a definição de função, e é o que vamos fazer aqui nessa postagem. Por isso, vamos lembrar a definição de função.

Definição (de função): Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos quaisquer. Uma função de $A$ em $B$ é uma regra (lei) que associa a cada elemento de $A$ um único elemento de $B$.

Exemplos

1. Considere $A$ o conjunto de todas pessoas do mundo e $B$ o conjunto de todos os nomes possíveis. Podemos associar cada elemento de $A$ a um único elemento de $B$ da seguinte forma: cada pessoa está associada a um único primeiro nome. Isso é uma função de $A$ en $B$, ou seja, do conjunto das pessoas no conjunto dos nomes.

2. Considere $A$ conjunto de todos os carros do Brasil e $B$ o conjunto de todas as sequencias finitas de números e letras. Cada carro possui um único número de chassi, assim, associar os carros a seus números de chassi é uma função de $A$ em $B$.

Os exemplos acima são casos bem gerais de funções. Na matemática as funções são muito usadas para associar dois conjuntos numéricos.

3. Considere $A = B = \mathbb{R}$.  Para cada número $x \in A$ vamos associar o número $y=x+1$. Dessa forma temos que $2$ está associado a $2+1 = 3$, $-8$ está associado a $-8+1 = -7$, etc. Esta é uma função entre $A$ e $B$, ou ainda, entre $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}$.

Na matemática usamos as letras para dar nomes às funções, por exemplo, função $f$, função $g$, função $T$. Para dizer que uma função $f$ associa os elementos de $A$ aos elementos de $B$, escrevemos

$$f: A \rightarrow B.$$

O conjunto $A$ é chamado domínio da função $f$ e o conjunto $B$ é chamado contradomínio da função $f$. Escrevemos $f(x)$, que se lê "$f$ de $x$", para designar o número em $B$ que está associado ao número $x$ de $A$. Ou ainda, para dizer que um número $x \in A$ está associado a um número $y \in B$, escrevemos $f(x) = y$, que se lê "f de $x$ igual a $y$". Podemos ainda dizer que $f$ leva $x$ em $y$. Também chamamos $f(x)$ de imagem de $x$ pela função $f$.

Como já visto no exemplo 3, as funções entre conjuntos numéricos são, na maioria das vezes, dadas por expressões algébricas, ou seja, cada $x \in A$ é levado em um $f(x)$ que é igual à uma expressão algébrica que contém $x$. Nesse caso, chamamos $x$ de variável independente e $y = f(x)$ de variável dependente (o valor de $f(x)$ depende de $y$).

4. Considere $f: \mathbb{Z} \rightarrow B$ definida por $f(x) = 2x$. Essa função associa a cada $x \in \mathbb{Z}$ ao número $2x \in \mathbb{Z}$. Vamos calcular $f$ aplicada em alguns valores específicos de $x$, ou seja, vamos substituir o $x$ por alguns números inteiros para saber a quais números estes estão associados. Vejamos

$f(1) = 2 \cdot 1 = 2;$

$f(3) = 2 \cdot 3 = 6;$

$f(-10) = 2 \cdot (-10) = -20$.

Quando trocamos $x$ por algum número e calculamos o valor da função neste número estamos aplicando $f$ em neste número.

5. Seja $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = 2^x$. Temos, para alguns valores de $x$,

$g(0) = 2^0 = 1;$

$g(2) = 2^2 = 4;$

$g(-3) = 2^{-3} = \displaystyle\frac{1}{8}$.

Agora, com a definição de função, conseguimos definir o que é um polinômio.

Definição (de polinômio): Um polinômio é uma função $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que possui a forma

$$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$$

onde $n$ é um número natural e $a_n,  a_{n-1},  \dots, a_1, a_0 \in \mathbb{R}$ são chamados coeficientes do polinômio $p$. Em particular, o termo $a_0$ (que não multiplica nenhuma potência de x) é chamado termo independente do polinômio $p(x)$.

Observação: A definição acima é a definição do que chamamos de polinômio real ou polinômio sobre $\mathbb{R}$ pois é uma função de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ e seus coeficientes estão em $\mathbb{R}$. Na definição acima podemos substituir $\mathbb{R}$ por $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{Z}$ e teremos, respectivamente, as definição de polinômios sobre $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{Z}$.

A seguir estão alguns exemplos de polinômios.

Exemplos

1. $p(x) = 2x+1$ (coeficientes: $2$ e $1$);

2. $q(x) = x^3 - x + 10$  (coeficientes: $1$, $0$, $-1$ e $10$);

3. $h(x) = 10x^5 - 20x^4+x^3-2x$  (coeficientes: $1$, $0$, $-20$, $1$, $0$, $2$ e $0$);

4. $f(x) = x^8-1$ (coeficientes: $1$, $0$, $0$, $0$, $0$, $0$, $0$, $0$, e $-1$);

5. $g(x) = x^6+2x^5+3x^4-\frac{1}{2}x^3 - \pi x^2 + \sqrt{3}x-1$ (coeficientes: $1$, $2$, $3$, $-\frac{1}{2}$. $-\pi$, $\sqrt{3}$ e $-1$);

6. $l(x)= (2-i)x^3 - 2x + 4$ (coeficientes: $2-i$, $0$, $-2$ e $4$).

Nos exemplos de 1 a 5 temos polinômios sobre $\mathbb{R}$ (pois seus coeficientes são números reais) e no exemplo 6 temos um polinômio sobre $\mathbb{C}$ (pois seus coeficientes são complexos).

Dado um polinômio, sobre $\mathbb{R}$ por exemplo, podemos aplicá-lo a qualquer número real (o mesmo raciocínio pode ser aplicado a polinômios definidos sobre os conjuntos numéricos $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{C}$). Por exemplo, aplicando o polinômio $q$ do exemplo $2$ nos números $0$, $1$, $-2$ e $\displaystyle\frac{3}{4}$ temos

$q(0) = 0^3 - 0 +10 = 10$;

$q(1) = 1^3 - 1 + 10 = 1-1+10 = 10$;

$q(-2) = (-2)^3 - (-2) + 10 = -8+2+10 = 4$;

$q\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right) = \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^3 - \displaystyle\frac{3}{4} + 10 = \displaystyle\frac{27}{64} - \displaystyle\frac{3}{4} + 10 = \displaystyle\frac{619}{64}$.

Podemos chamar um polinômio também de função polinomial. Em alguns livros de matemática os polinômios aparecem "sem seus nomes", aparecem somente com a expressão que o define, por em exemplo, ao invés de estar escrito na forma $h(x) = 10x^5 - 20x^4+x^3-2x$, aparece somente $10x^5 - 20x^4+x^3-2x$ .

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Expressões Numéricas #5: Expressões com potências de expoentes racionais

Esse é o quinto e último post sobre expressões numéricas que teremos aqui no blog (veja os outros aqui). Quando pensei em fazer postagens sobre expressões numéricas não achava que renderia tantos posts assim, mas no decorrer das postagens percebi quantos casos diferentes podemos ter de expressões numéricas. Para encerrarmos esse assunto de expressões numéricas falta abordar as expressões que possuem potências com expoentes racionais. Não há muito segredo nesse tipo de expressão, pois uma potência com expoente racional na verdade é uma junção de potências com expoentes inteiros e raízes, ou seja, são casos que já vimos nos posts anteriores. A seguir veremos mais detalhes e exemplos desse tipo de expressões numéricas.

Expressões com potências de expoentes racionais

Já sabemos que, na ordem das operações em uma expressão numérica, as potências e as raízes devem ser feitas primeiro (exceto quanto há parênteses, colchetes ou chaves dando preferencia a outras operações). Como as potências com expoente racional são a junção de potências com expoentes inteiros e raízes, elas também devem ser feitas primeiro (na ordem das operações). Sabendo disso não fica tão complicado lidar com uma expressão numérica que contém uma (ou mais) potências com expoentes racionais, basta lembrar da definição desse tipo de potência (veja a definição aqui). Vejamos alguns exemplos.

1. Calcule o valor da expressão $25 \div (1 + 8^{\frac{2}{3}})$.

Solução: Como em qualquer outra expressão, começamos sempre resolvendo de dentro para fora, isto é, nesse exemplo vamos começar pelo que está entre parênteses. Dentro dos parênteses está uma potência com expoente racional, então, é por ela que devemos começar a resolver.

\begin{eqnarray} 25 \div (1 + 8^{\frac{2}{3}}) &=& 25 \div (1 + \sqrt[3]{8^2}) \\ &=& 25 \div (1 + \sqrt[3]{64})  \\ &=& 25 \div (1 + 4) \\ &=& 25 \div 5 = 5.   \end{eqnarray}

2. Calcule o valor da expressão $2 \times 5^{\frac{3}{2}} - 4 \times [10 \div (5^2 - 17)^{\frac{1}{3}}]$.

Solução: Lembre-se, sempre comece a resolver uma expressão de dentro para fora e siga a ordem das operações. 

\begin{eqnarray} 2 \times 5^{\frac{3}{2}} - 4 \times [10 \div (5^2 - 17)^{\frac{1}{3}}] &=& 2 \times \sqrt[2]{5^3} - 4 \times [10 \div (25 - 17)^{\frac{1}{3}}] \\ &=& 2 \times \sqrt[2]{125} - 4 \times [10 \div 8^{\frac{1}{3}}] \\ &=& 2 \times 5 \times \sqrt{5} - 4 \times [10 \div \sqrt[3]{8}]  \\ &=& 10 \times \sqrt{5} - 4 \times [10 \div 2] \\ &=& 10 \times \sqrt{5} - 4 \times 5 = 10\sqrt{5}-20.   \end{eqnarray}

Por simplicidade, escrevi $10 \times \sqrt{5}$ como $10  \sqrt{5}$, omitido o símbolo de multiplicação. Deixarei o resultado da expressão como $10\sqrt{5}-20$, sem substituir o valor de $\sqrt{5}$ por um valor aproximado. Em expressões com potências com expoentes racionais é comum aparecer raízes que não tem resultados exatos, então é melhor deixar os resultados com as raízes mesmo, pois trocá-las por valores aproximados pode gerar um "acúmulo de erros". Com as raízes, o resultado fica exato. 

3. Resolva a expressão $\displaystyle\frac{8+[5 \times (2^2-8)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+ 16^{\frac{1}{2}})}$.

Solução: Usando o mesmo processo usado nos exemplos anteriores, temos

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{8+[5 \times (2^2-8)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+ 16^{\frac{1}{2}})}  &=& \displaystyle\frac{8+[5 \times (4-8)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+ \sqrt{16})} \\ &=& \displaystyle\frac{8+[5 \times (-4)]^{\frac{1}{3}}}{4 \div (1+4)} \\ &=& \displaystyle\frac{8+\sqrt[3]{-20}}{\frac{4}{5}} \\ &=& \displaystyle\frac{8+(-\sqrt[3]{20})}{\frac{4}{5}} \\ &=& \displaystyle\frac{8-\sqrt[3]{20}}{\frac{4}{5}} \\ &=& (8-\sqrt[3]{20}) \times\displaystyle\frac{5}{4} \\ &=& \displaystyle\frac{ (8-\sqrt[3]{20})  \times 5}{4} \\ &=& \displaystyle\frac{ 40-5\sqrt[3]{20})  }{4} = 10 - \displaystyle\frac{5\sqrt[3]{20} }{4}.       \end{eqnarray}

4. Calcule o valor da expressão $3 \times (2+ 4^2)^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div (3^2 - 3)}\right]^{\frac{4}{3}}$.

Solução: Nessa expressão há um potência racional negativa e também um raiz dentro de uma potência racional. Isso parece ser muito complicado, mas na verdade não é. Basta lembrar que, por definição, quando uma potência é negativa, inverte-se a base e muda-se o sinal do expoente e, para lidar com a raiz dentro da potência racional, pode-se escrever a raiz como uma potência racional e depois usar propriedades de potências.

\begin{eqnarray} 3 \times (2+ 4^2)^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div (3^2 - 3)}\right]^{\frac{4}{3}} &=& 3 \times (2+16)^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div (9 - 3)}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times 18^{-\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{18 \div 6}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times \left(\displaystyle\frac{1}{18}\right)^{\frac{1}{2}} + \left[\sqrt{3}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times \sqrt{\displaystyle\frac{1}{18}}+ \left[3^{\frac{1}{2}}\right]^{\frac{4}{3}} \\ &=& 3 \times \displaystyle\frac{1}{3\sqrt{2}}+ 3^{\frac{2}{3}} =  \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+ 3^{\frac{2}{3}}.    \end{eqnarray}

Nesse exemplo vou deixar a resposta como está mesmo, para não usar uma aproximação com um número decimal.

5. Calcule o valor da expressão $\left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+63 \times \left(1 - \frac{3}{2}\right)\right]\right\}}{4 \times (8^2 - 10 \times 6)}\right)^{\frac{3}{2}}$.

Solução: Essa expressão é enorme, mas não é difícil. Basta ir com calma e resolver sempre de dentro para fora respeitando a ordem das operações.

\begin{eqnarray} \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+63 \times \left(1 - \frac{3}{2}\right)\right]\right\}}{4 \times (8^2 - 10 \times 6)}\right)^{\frac{3}{2}} &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+63 \times \frac{1}{4}\right]\right\}}{4 \times (64 - 60)}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \times \left[\frac{1}{4}+ \frac{63}{4}\right]\right\}}{4 \times 4}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\frac{3}{9} \times16\right\}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=&  \left(\displaystyle\frac{27 \div \left\{\frac{1}{3} \times 16\right\}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \div \frac{16}{3}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{27 \times \frac{3}{16}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{\frac{81}{16}}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{81}{16} \times \displaystyle\frac{1}{16}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{81}{256} \right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\left(\displaystyle\frac{9}{16} \right)^2\right)^{\frac{3}{2}} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{9}{16}\right)^3 = \displaystyle\frac{729}{4096}.     \end{eqnarray}

Esse último exemplo parece assustador, mas só parece. Não há segredos para resolver expressões numéricas, é somente necessário começar a resolver a expressão de dentro para fora, respeitar a ordem das operações e saber as definições de cada operação, o que é o mais básico da matemática.

Exemplo em vídeo:

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Expressões Numéricas #4: Expressões com expoentes negativos

Já abordamos, nos posts anteriores, três tipos diferentes de expressões numéricas, as que não possuem parênteses, colchetes ou chaves, as que possuem e as que possuem quocientes, mas em nenhum desses casos aparecem potências com expoentes negativos. Expressões numéricas com potências com expoentes negativos não são tão mais difíceis de serem calculadas quanto àquelas que não possuem, basta lembrar da definição de potência com expoente negativo, que pode ser encontrada aqui. A seguir vamos ver alguns exemplos de expressões numéricas com potências com expoente negativo.

Expressões com expoentes negativos

Como sabemos, uma expressão numérica pode conter todas as operações. No caso em que aparecem potências e raízes, estas devem ser feitas primeiro (a não ser que parênteses, colchetes ou chaves deem preferência a outras operações), antes de se fazer as multiplicações, divisões, somas e subtrações. Como potências com expoentes inteiros também são potências, esse tipo de potência entra na mesma ordem de cálculo das potências e das raízes. Vejamos alguns exemplos.

1. Calcule o valor da expressão $3 \times (10-8) + 2^{-3}$.

Solução: Nesse exemplo devemos começar pelos parênteses e, depois disso, é só seguir a ordem das operações (potências ou raízes, multiplicação ou divisão, somas ou subtrações).

\begin{eqnarray} 3 \times (10-8) + 2^{-3} &=& 3 \times 2 + 2^{-3} \\ &=& 3 \times 2 + \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^3 \\  &=& 3 \times 2 + \displaystyle\frac{1}{8} \\ &=& 6 + \displaystyle\frac{1}{8} = \displaystyle\frac{49}{8}. \end{eqnarray} 

2. Calcule o valor da expressão $4 \times 5^{-2} + 21 \div [(7+2) \times 3^{-1}]$.

Solução: No exemplo anterior, tínhamos somente um par de parênteses. Nesse exemplo agora temos parênteses dentro de colchetes. Nesse caso usamos a mesma "receita" de sempre, começamos resolvendo a expressão de dentro para fora, respeitando a ordem das operações e, para resolver mais rápido, podemos fazer as operações que podem ser feitas simultaneamente.

\begin{eqnarray} 4 \times 5^{-2} + 21 \div [(7+2) \times 3^{-1}] &=& 4 \times \left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^{2} + 21 \div \left[9 \times \displaystyle\frac{1}{3}\right] \\ &=& 4 \times \displaystyle\frac{1}{25} + 21 \div 3 \\  &=& \displaystyle\frac{4}{25} + 7 =  \displaystyle\frac{179}{25}.\end{eqnarray}

3. Resolva a expressão $(-3)^2 \times \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} - [2 \times (3^2 - 4)^{-3}]$.

Solução: Lembre-se, sempre resolva de dentro para fora, respeitando a ordem das operações.

\begin{eqnarray} (-3)^2 \times \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^{-2} - [2 \times (3^2 - 4)^{-3}] &=&  9 \times \left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)^{2} - [2 \times (9 - 4)^{-3}] \\ &=& 9 \times \displaystyle\frac{16}{9} - [2 \times 5^{-3}] \\ &=& 16 - \left[2 \times \left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^3\right] \\ &=& 16 - \left[2 \times \displaystyle\frac{1}{125}\right] \\ &=& 16 - \displaystyle\frac{2}{125} = \displaystyle\frac{1998}{125}.    \end{eqnarray}

4. Resolva a expressão $6 \times \left(\sqrt{8 \div (3^2-5)}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{2^{-4}+5 }{10}$.

Solução: Nesse exemplo, lembre-se que raízes funcionam como parênteses, chaves ou colchetes. Elas são consideradas na estratégia de resolver de dentro para fora.

\begin{eqnarray} 6 \times \left(\sqrt{8 \div (3^2-5)}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{2^{-4}+5 }{10} &=& 6 \times \left(\sqrt{8 \div (9-5)}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^4+5}{10} \\ &=& 6 \times \left(\sqrt{8 \div 4}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{\frac{1}{16}+5}{10} \\ &=& 6 \times \left(\sqrt{2}\right)^{-3} + \displaystyle\frac{\frac{81}{16}}{10} \\ &=& 6 \times \left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{3} + \displaystyle\frac{81}{160} \\ &=& 6 \times \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{81}{160} \\ &=& \displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}} + \displaystyle\frac{81}{160}.      \end{eqnarray}

Vou deixar o resultado dessa expressão dessa forma mesmo. Não é necessário racionalizar ou fazer essas divisões para se obter um número com vírgula aproximado. Desse modo a resposta fica exata.

5. Calcule o valor da expressão $\left(\displaystyle\frac{3 \times [(4^2-7) \div 6]}{\sqrt[3]{10 \times 8 + 2^0}}\right)^{-4}$.

Solução: 

\begin{eqnarray} \left(\displaystyle\frac{3 \times [(4^2-7) \div 6]}{\sqrt[4]{10 \times 8 + 2^0}}\right)^{-4} &=& \left(\displaystyle\frac{3 \times [(16-7) \div 6]}{\sqrt[4]{10 \times 8 + 1}}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{3 \times [9 \div 6]}{\sqrt[4]{80 + 1}}\right)^{-4}  \\ &=& \left(\displaystyle\frac{3 \times \frac{3}{2}}{\sqrt[4]{81}}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{\frac{9}{2}}{\sqrt[4]{81}}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{\frac{9}{2}}{3}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{9}{6}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{-4} \\ &=& \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{4} = \displaystyle\frac{16}{81}.        \end{eqnarray}

Por meio desses exemplos podemos ver que, quando existem potências com expoentes negativos,  o cálculo do valor da expressão não fica muito mais complicado. Basta colocar esse tipo de potência mesma ordem de cálculo de potências com expoentes naturais e usar a definição de potência com expoente negativo de forma correta. Não há segredos.

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