Nas últimas duas postagens (acesse-as por aqui) vimos como somar, subtrair, multiplicar e dividir letras em uma expressão algébrica. Mas, numa expressão algébrica há outras operações envolvendo letras além dessas, a saber, as potências e as raízes. Nessa postagem vamos ver o que fazer quando aparecem potências e raízes de letras em expressões algébricas. Para isso, vamos lembrar as definições de potências com expoentes naturais, inteiros e racionias e também a definição de raiz de índice $n$. Já vimos nas postagens anteriores que as letras são chamadas de incógnitas ou variáveis. Daqui em diante as chamaremos incógnitas.
Potências e raízes de letras
Para entender como funcionam ou o que significam as potências e as raízes de uma incógnita basta lembrar que as incógnitas representam números, assim, todas as definições e propriedades envolvendo potências e raízes de números também valem para as incógnitas, a diferença é, como a própria palavra incógnita nos diz, a incógnita é um número que não sabemos qual é.
Definições de potências com expoentes naturais e inteiros
Considere um número real $x$ qualquer ($x$ é uma incógnita). Chamamos de potência de base $x$ e expoente natural $n$ o número $x^n$, o qual é definido como segue:
$$\left\{\begin{array}{l} x^0 = 1 \mbox{ se } x \neq 0 \\ x^n = x^{n-1} \cdot x \mbox{ para todo } n \in \mathbb{N} \mbox{ e } n \geq 1.\end{array} \right.$$
Para ficar ainda mais claro, vamos escrever algumas potências para alguns valores de $n$:
$$\begin{eqnarray} x^0 &=& 1 \\ x^1 &=& x^0 \cdot x = x \\ x^2 &=& x^1 \cdot x = x \cdot x \\ x^3 &=& x^2 \cdot x = x \cdot x \cdot x \\ x^4 &=& x^3 \cdot x = x \cdot x \cdot x \cdot x \\ x^5 &=& x^4 \cdot x = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \\ \vdots & & \\ x^n &=& x^{n-1} \cdot x = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_{n \; fatores} \end{eqnarray}$$
Dado um número real $x$ ($x$ é uma incógnita), diferente de zero, e um número inteiro positivo $n$, definimos a potência de base $x$ e expoente $-n$, denotada por $x^{-n}$, (observe que, se $n$ é positivo, $-n$ será negativo) como sendo
$$x^{-n} = \displaystyle\frac{1}{x^n}.$$
Pela definição acima, vemos que $x^{-n}$, com $x \neq 0$, é o inverso de $x^n$. Também podemos dizer que $x$ está elevado a $-n$.
Definição de raiz de índice $n$
Considere um número natural $n$ maior que $1$ e $x$ um número real (uma incógnita). Chamamos de raiz de índice $n$ ou raiz $n$-ésima do número real $x$ ao número real $b$, de mesmo sinal que $x$, tal que $b^n = x$. Denotamos a raiz de índice $n$ (raiz $n$-ésima) de $x$ por $\sqrt[n]{x}$ onde $n$ é o índice da raiz e $x$ é o radicando.
O símbolo $\sqrt[n]{ \mbox{ }}$ é chamado radical.
Quando o índice é igual a $2$, chamamos a raiz de índice $2$ de raiz quadrada e, no radical que a denota, omitimos o número $2$, ficando na forma $\sqrt{x}$. Quando o índice é igual a $3$, chamamos a raiz de índice $3$ de raiz cúbica. Somente quando o índice é igual a $2$ é que omitimos o índice no radical, assim, os radicais com índice maior ou igual a três devem conter o índice na sua notação, por exemplo, $\sqrt[3]{x}$. Quando o índice da raiz é igual a $4$, chamamos a raiz de índice $4$ de raiz quarta. Se o índice for igual a $5$, chamamos a raiz de índice $5$ de raiz quinta. Seguindo esse raciocínio, nomeamos as raízes de índices superiores.
Na definição de raiz de índice $n$ está explicado o que significa $\sqrt[n]{x}$. Mas quando aparece uma raiz dessa numa expressão algébrica, a intenção não é calculá-la, mas simplificá-la, se possível.
Definição de potência com expoente racional
Dados $x \in \mathbb{R}$ com $x \geq 0$ e $\displaystyle\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$, com $p \in \mathbb{Z}$ e $q \in \mathbb{N}$, $q \neq 0$, definimos a potência de base $x$ e expoente $\displaystyle\frac{p}{q}$ por
$$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p}.$$
A definição de potência com expoente inteiro negativo se extende para o caso em que o expoente é um número racional negativo, isto é,
Dado um número $x$ ($x$ é uma incógnita), diferente de zero, e um número racional positivo $\displaystyle\frac{p}{q}$, com $q \neq 0$ definimos a potência de base $x$ e expoente $-\displaystyle\frac{p}{q}$, denotada por $x^{-\frac{p}{q}}$, como sendo
$$x^{-\frac{p}{q}} = \displaystyle\frac{1}{x^{\frac{p}{q}}}.$$
Guarde bem essas definições, elas são fundamentais na simplificação de expressões algébricas.
Propriedades das potências e das raízes
Propriedades das potências: Sejam $m,n \in \mathbb{Q}$ e $x,y \in \mathbb{R}$ (incógnitas). Temos
(i) $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$;
(ii) $\displaystyle\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$;
(iii) $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$;
(iv) $\left(\displaystyle\frac{x}{y}\right)^n = \displaystyle\frac{x^n}{y^n}$ se $y \neq 0$;
(v) $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
Propriedades das raízes: Sejam $x,y \in \mathbb{R}$, com $x,y \geq 0$ (incógnitas), $m \in \mathbb{Z}$ e $n,p \in \mathbb{N}$ onde $m \neq 0$ e $n,p \geq 2$. Valem:
(i) $\sqrt[n]{x^n} = x$;
(ii) $\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$;
(iii) $\displaystyle\sqrt[n]{\displaystyle\frac{x}{y}} = \displaystyle\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ se $y \neq 0$;
(iv) $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$;
(v) $\sqrt[p]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[p \cdot n]{x}$;
(vi) $\sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n \cdot p]{x^{m \cdot p}}$.
(vii) Se $\sqrt[n]{x} = y$, temos que $x^n = y$. Assim, $(\sqrt[n]{x})^n = y^n = x$ e, portanto, $(\sqrt[n]{x})^n = x$.
Na prática, para simplificar ou reescrever expressões algébricas com potências e raízes, usamos as propriedades das potências e das raízes listadas acima. Vamos ver a seguir exemplos de como usá-las em expressõe algébricas.
Exemplos:
Nos exemplos a seguir, $x$, $y$ e $z$ são incógnitas.
1. $2x^2 \cdot 5x^3= 10x^{2+3} = 10x^5$
2. $3x^5x^{-3} = 3x^{5-3} = x^2$
3. $x\sqrt{x} = 2xx^{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{x^3}$. Observe que nesse exemplo reescrevemos $\sqrt{x}$ em $x^{\frac{1}{2}}$ de acordo com a definição de portência com índice racional e usamos propriedade (i) das potências.
4. $\displaystyle\frac{\sqrt{x}y^2\sqrt{x}}{y} = \displaystyle\frac{\sqrt{x}\sqrt{x}y^2}{y} = \displaystyle\frac{(\sqrt{x})^2y^2}{y} = xy$
Para facilitar a simplificação de produtos de radicais de uma incógnita, podemos escrever os radicais em forma de potência com expoente racional, usar as propriedades de potências e depois, se necessário, escrever o resultado (a simplificação) na forma de radical.
5. $\sqrt{x}\sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{4}{3}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{4}{3}} = x^{\frac{11}{6}} = \sqrt[6]{x^{11}}$
6. $3x^22yx^{-3} = 6x^2x^{-3}y=6x^{-1}y = 6 \cdot \displaystyle\frac{1}{x} \cdot y = \displaystyle\frac{6y}{x}$
7. $x^{-4}y^43x^5\displaystyle\frac{1}{2}y = \displaystyle\frac{3}{2}x^{-4}x^{5}y^4y = \displaystyle\frac{3}{2}xy^5 = \displaystyle\frac{3xy^5}{2}$
8. $x^2yx^{-3}y^{-2} = x^{2}x^{-3}yy^{-2} = x^{-1}y^{-1} = (xy)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{xy}$
9. $\sqrt{x}y\sqrt{y^3}x^{2} = x^{\frac{1}{2}}x^{2}yy^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{5}{2}}y^{\frac{5}{2}} = (xy)^{\frac{5}{2}} = \sqrt{(xy)^5}$
Antes de continuar os exemplos, vamos ver o que acontece quando temos um potência com expoente negativo (que pode ser uma fração) de uma incógnita $x$ no denominador
\begin{eqnarray} \frac{1}{x^{-n}} &=& \frac{1}{\frac{1}{x^n}} \\ &=& 1 \cdot \frac{x^n}{1} = x^n \end{eqnarray}
Podemos concluir então que, se um potência negativa está no denominador, ela pode "subir" trocando o sinal do expoente.
Vamos prosseguir com os exemplos:
10. $\displaystyle\frac{3x^4x^2}{x^3} = \displaystyle\frac{3x^6}{x^3} = 3x^3$
11. $\displaystyle\frac{x^5\sqrt{x}}{4x} = \displaystyle\frac{x^4\sqrt{x}}{4} = \displaystyle\frac{x^4x^{\frac{1}{2}}}{4} = \displaystyle\frac{x^{\frac{9}{2}}}{4}$
12. $\displaystyle\frac{5x^33x^{-2}}{x^{-3}} = \displaystyle\frac{15x^{3}x^{-2}}{x^{-3}} = \displaystyle\frac{15x}{x^{-3}} = 15xx^3 = 15x^4$
13. $\displaystyle\frac{5xx^{\frac{6}{5}}y^{-\frac{1}{2}}}{x^2y} = \displaystyle\frac{5x^{\frac{11}{5}}y^{-\frac{1}{2}}}{x^2y} = \displaystyle\frac{5x^{\frac{11}{5}}x^{-2}}{yy^{\frac{1}{2}}} = \displaystyle\frac{5x^{\frac{1}{5}}}{y^{\frac{3}{2}}}$
14. $\displaystyle\frac{x^{\frac{1}{3}}yz^{4}}{xy^{-2}z^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{3}}x^{-1}yy^2z^{4}z^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{2}{3}}y^3z^{\frac{7}{2}} = \displaystyle\frac{y^3z^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}}$
15. $\displaystyle\frac{x^{\frac{3}{2}}y^{-2}z^2}{x^{-\frac{1}{2}}y^{-3}z} = \displaystyle\frac{x^{\frac{3}{2}}x^{\frac{1}{2}}y^{-2}y^{3}z^2}{z} = xyz$
É muito importante que você saiba todas a propriedades das potências e das raízes para fazer as simplicações nas expressões algébricas. Desse modo, nenhuma delas vai ser um bicho de sete cabeças.
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