Potenciação e Radiciação #1: Potência com expoente natural

 Essa é a primeira postagem sobre potenciação e radiciação, ou seja, estamos iniciando esse assunto aqui no blog. Começaremos com a potenciação com expoente natural e, nas postagens seguintes, trataremos da potenciação com números inteiros negativos, da radiciação, da potenciação com números racionais e irracionais. Veremos também todas as propriedades da potenciação e da radiciação e em quais situações podemos ou não podemos usá-las. Esse assunto de potenciação faz parte do que a gente chama de matemática básica. Eu diria que esse assunto é classificado como básico não por que é simples ou envolve operações simples, mas por que é muito importante, é algo que está na base da matemática, rudimentar. Ele aparece em todas as áreas da matemática. Está nas expressões algébricas, nos polinômios, nas funções, na trigonometria, na geometria, na álgebra, no cálculo, etc.. Então, entender o que é a potenciação com seus diferentes tipos de expoentes e suas propriedades é fundamental para o estudo da matemática, seja qual for o assunto que se está estudando. Vamos lá!

Potenciação com expoente natural

Antes de definirmos qualquer coisa com relação à potenciação com expoente natural, vamos nos lembrar do que é um número natural. O conjunto dos números naturais é o conjunto

$$\mathbb{N} = \{0,1,2,3,4,5, \dots\}.$$

Qualquer número que está no conjunto $\mathbb{N}$ é um número natural. Agora vamos definir potência com expoente natural.

Definição: Considere um número real $a$ qualquer (para saber o que é um número real, clique aqui). Chamamos de potência de base $a$ e expoente natural $n$ o número $a^n$, o qual é definido como segue:

$$\left\{\begin{array}{l} a^0 = 1 \mbox{ se } a \neq 0 \\ a^n = a^{n-1} \cdot a \mbox{ para todo } n \in \mathbb{N} \mbox{ e } n \geq 1.\end{array} \right.$$

Também podemos dizer que $a$ está elevado a $n$. 

Na definição acima, o símbolo $\cdot$ denota a multiplicação e, no decorrer do texto, continuaremos a usar essa notação para a multiplicação. 

A definição acima, da forma que ela está, parece ser um pouco confusa. Vamos entender o que ela está nos dizendo. Essa definição nos explica o que é o número $a^n$ para qualquer número real $a$ e qualquer número natural $n$. Ela nos diz que $a^0=1$ para qualquer $a$ real diferente de zero e que $a^n$ é igual a $a^{n-1}$ vezes $a$. Para ficar ainda mais claro, vamos escrever algumas potências para alguns valores de $n$:

$$\begin{eqnarray} a^0 &=& 1 \\ a^1 &=& a^0 \cdot a = a \\ a^2 &=& a^1 \cdot a = a \cdot a \\ a^3 &=& a^2 \cdot a = a \cdot a \cdot a \\ a^4 &=& a^3 \cdot a = a \cdot a \cdot a \cdot a \\ a^5 &=& a^4 \cdot a = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \\ \vdots & & \\ a^n &=& a^{n-1} \cdot a = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \mbox{ vezes}}  \end{eqnarray}$$

Aqui vimos a definição de potência, isto é, $a^n$ é um potência de $a$ com expoente $n$. Chamamos de potenciação a operação em si, ou seja, o ato de se calcular o valor de $a^n$.

Agora que entendemos as definições de potência e potenciação, vamos ver alguns exemplos numéricos.

Exemplos:

1. $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$;

2. $5^1 = 5$;

3. $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$;

4. $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256$;

5. $\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^5 = \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{32}{243}$;

6. $(-2) ^6 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 64$;

7. $(-1)^7 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$;

8. $-4^2 = - 4 \cdot 4 = -16$;

9. $-10^3 = - 10 \cdot 10 \cdot 10 = -1000$;

10. $(1,25)^8 = 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 \cdot 1,25 = 5,960464478$;

11. $235^0 = 1$.

Observação importante: No exemplo 8, somente o número $4$ está elevado a $2$, o sinal de menos não. Assim, o sinal de menos "fica para fora" da potenciação. No exemplo 9 ocorre algo semelhante, somente o número $10$ está elevado a $3$, o sinal de menos não. Vamos ver mais alguns exemplos envolvendo isso.

12. $-4^5 = -4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = -1024$;

13. $-(-3)^4 = - (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = - 81$;

14. $-(-7)^3 = - (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = - (-343) = 343$.

Sempre que um sinal de menos aparece fora de uma potência, ele permanece no cálculo. Caso o resultado da potência seja negativo e houver um sinal fora da potência, não se esqueça de fazer o jogo de sinal, assim como no exemplo 14.

Veremos agora as propriedades das potências com expoente natural.

Propriedades: Sejam $m,n \in \mathbb{N}$ e $a,b \in \mathbb{R}$. Temos

(i) $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$;

(ii) $\displaystyle\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ se $m \geq n$ (isso para que o expoente continue sendo um número natural);

(iii) $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$;

(iv) $\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^n = \displaystyle\frac{a^n}{b^n}$ se $b \neq 0$;

(v) $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Essas propriedades possuem demonstrações, isto é, provas de que, de fato, elas são verdadeiras. Porém, para fazer a demonstração dessas propriedades é necessário um objeto matemático chamado princípio de indução finita, o que está além do meu objetivo aqui. Por isso, vou omitir as demonstrações dessas propriedades. Vamos ver um exemplo para cada uma delas:

Exemplos:

1. $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$;

2. $\displaystyle\frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3$;

3. $(-4 \cdot 8)^4 = (-4)^4 \cdot 8^4$;

4. $\left(\displaystyle\frac{6}{7}\right)^2 = \displaystyle\frac{6^2}{7^2}$;

5. $(10^3)^9 = 10^{3 \cdot 9} = 10^{27}$.

Observação importante: Considere $a \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$. Sabemos que $(-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$. Dado um número real $n$, se ele for par, ele terá a forma $n = 2k$ com $k \in \mathbb{N}$ e, se ele for ímpar, ele terá a forma $n = 2l+1$ com $l \in \mathbb{N}$. Desse modo, temos, usando as propriedades acima, que

Para $n$ par: $(-a)^n = ((-1)a)^{2k} = (-1)^{2k} \cdot a^{2k} = ((-1)^2)^k \cdot a^{2k} = 1^k \cdot a^{2k} = a^{2k} = a^n$;

Para $n$ ímpar: $(-a)^n = ((-1)a)^{2l+1} = (-1)^{2l+1} \cdot a^{2l+1} = ((-1)^{2l} \cdot (-1)) \cdot a^{2k} = ((-1)^2)^l \cdot (-1) \cdot a^{2l+1} = 1^l \cdot (-1) \cdot a^{2l+1} = - a^{2l+1} =  -a^{n}$.

Acabamos de mostrar que, se $n$ é par, então $(-a)^n = a^n$ e que, se n é ímpar, $(-a)^n = -a^n$. Em outras palavras, potência  de número negativo com expoente par possui resultado positivo e potência de número negativo com expoente ímpar possui resultado negativo. Outra coisa importante é o seguinte, observe que o sinal negativo está "dentro" da potência, é nesse caso que essa regra funciona, $(-a)^n$ é diferente de $-a^n$, na primeira se a usa a regra, na segunda não, o sinal de menos permanece, pois não está dentro da potência.

Vamos ver alguns exemplos disso.

Exemplos:

1. $(-2)^4 = 2^4 = 16$;

2. $(-4)^3 = -4^3 = - 64$;

3. $-5^6 = -15625$;

4. $-8^3 = - 512$.

5. $-(-32)^3 = - (-32^3) = -(-32768) = 32768$;

6. $-\left(-\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 = - \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2 = -\displaystyle\frac{3^2}{4^2} = \displaystyle\frac{9}{16}$.

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Números Reais #11: Propriedades do módulo

Agora que já sabemos o que é o módulo ou valor absoluto de um número real e também a sua interpretação geométrica, podemos passar para as suas propriedades. Saber quais são as propriedades do módulo é fundamental. Elas são muito úteis no estudo de intervalos de números reais,  limites de funções e de sequências, séries numéricas e de potência, derivada e integral de funções (eu poderia citar mais exemplos onde os módulos podem aparecer, mas acredito que esses já justificam o estudo dos módulos). Sem mais demora, vamos às propriedades do módulo.

Observação: Para entender bem essa postagem é necessário ter em mente o que é potenciação (mais especificamente, elevar ao quadrado) e o que é radiciação (mais especificamente, raiz quadrada).

Propriedades imediatas do módulo

Essas são propriedades que seguem imediatamente da definição de módulo e das propriedades dos números reais.

(i) $|x| \geq 0$;

(ii) $|x| = 0$ se, e somente se, $x=0$;

(iii) $|-x| = |x|$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

Vamos fazer a demonstração da propriedade (iii). Se $x=0$, vamos ter $|-0| = |0| = 0$, ou seja, a propriedade vale para $x=0$. Vamos considerar agora $x < 0$, ou seja, $x$ negativo. Assim, se $x$ é negativo, então $-x$ é positivo. Sendo $-x$ positivo, vamos ter, pela definição de módulo, que $|-x| = -x$. Agora, como $x$ é negativo, novamente pela definição de módulo, temos $|x| = -x$. Logo, para $x < 0$, temos $|-x| = |x|$. Considere agora $x > 0$, ou seja, $x$ positivo. Sendo $x$ positivo, segue que $-x$ é negativo e, pela definição de módulo $|-x| = -(-x) = x$. Mas, como $x$ é positivo, vamos ter que $|x| = x$. Logo $|-x| = |x|$ para todo $x>0$. Mostramos então que, para qualquer $x \in \mathbb{R}$, sempre vamos ter $|-x| = |x|$.

Exemplo: Temos $|-5| = |5| = 5$.

Propriedades do módulo e intervalos

As propriedades a seguir relacionam módulos e intervalos na reta real. Para $x, a \in \mathbb{R}$ com $a > 0$, temos:

(i) $|x| \leq a$ se, e somente se, $x \in [-a,a]$ (equivalentemente, $-a \leq x \leq a$).

(ii) $|x| < a$ se, e somente se, $x \in (-a,a)$ (equivalentemente, $-a < x < a$).

(iii) $|x| \geq a$ se, e somente se, $x \in (-\infty,-a]$ ou $x \in [a, +\infty)$ (equivalentemente, $x \leq -a$ ou $x \geq a$).

(iv) $|x| > a$ se, e somente se, $x \in (-\infty,-a)$ ou $x \in (a, +\infty)$ (equivalentemente, $x < -a$ ou $x > a$).

Não faremos a demonstração formal dessas propriedades, mas justificaremos as propriedades (i) e (iii) usando a interpretação geométrica do módulo.

Justificativa da propriedade (i): Dado um número real $x$, pela interpretação geométrica do módulo, sabemos que $|x|$ é a distância de $x$ até o número $0$ na reta real. Desse modo, podemos interpretar a inequação $|x| \leq a$ como sendo o conjunto dos números $x$ tais que suas distâncias para o zero são menore ou iguais a $a$. Na figura abaixo, está marcado em vermelho, os números que estão a uma distância menor ou igual a $a$ do $0$.

Assim, para que a distância de um número $x$ para o zero seja menor ou igual a $a$, ele deve estar em algum lugar desse intervalo em vermelho representado acima. Logo, ele deve estar em $[-a,a]$, ou ainda, vale $-a \leq x \leq a$. Observe que a recíproca também é verdadeira, se $x \in [-a,a]$ ou, de forma equivalente, se $-a \leq x \leq a$, então $x$ está no intervalo pintado de vermelho na figura acima. Isso significa que a distância de $x$ para o zero é menor ou igual a $a$. Logo $|x| \leq a$. Portanto, está justificada a propriedade (i). 

Para justificar a propriedade (ii), basta seguir de forma análoga ao que foi feito em (i), trocando onde está "$\leq$" por "$<$" e trocando na figura as bolinhas fechadas por bolinhas abertas.

 

Justificativa da propriedades (iii): Dado um número real $x$, novamente usando a  interpretação geométrica do módulo, segue que $|x|$ é a distância de $x$ até o número $0$ na reta real. Desse modo, podemos ver a inequação $|x| \geq a$ como sendo o conjunto dos números $x$ tais que suas distâncias para o zero são maiores ou iguais a $a$. Na figura abaixo, está marcado em vermelho, os números que estão a uma distância maior ou igual a $a$ do $0$.

Desse modo, para que a distância de um número $x$ até o zero seja maior ou igual a $a$, ele deve estar em algum desses intervalos destacados em vermelho representados na figura acima. Assim, ele deve estar em $(-\infty,-a]$ ou em $[a, +\infty)$, o que é equivalente a  $x \leq a$ ou $x \geq a$. A recíproca também é verdadeira, se $x \in (-\infty, -a]$ ou $x \in [a, +\infty)$ ou, de forma equivalente, se $x \leq -a$ ou  $x \geq a$, então $x$ está em um dos intervalos pintados de vermelho na figura acima. Isso significa que a distância de $x$ para o zero é maior ou igual  a $a$. Logo $|x| \geq a$. Portanto, está justificada a propriedade (iii). 

Para justificar a propriedade (iv), basta seguir de forma semelhante ao que foi feito em (iii), trocando onde está "$\leq$" e "$\geq$" por "$<$" e "$>$", respectivamente, e trocando na figura as bolinhas fechadas por bolinhas abertas.

Exemplos:

1. Se $|x| \leq 2$, então $x \in [-2,2]$ ou, de forma equivalente, $-2 \leq x \leq 2$.

2. Se $|x| < 1$, então $x \in (-1,1)$ ou, de forma equivalente, $-1 < x < 1$.

3. Se $|x| \geq 3$, então $x \in (-\infty,-3]$ ou $x \in [3,+\infty)$. De forma equivalente, $x \leq -3$ ou $x \geq 3$.

4. Se $|x| > 9$, então $x \in (-\infty,-9)$ ou $x \in (9,+\infty)$. De forma equivalente, $x < -9$ ou $x > 9$.

Outras propriedades importantes do módulo

Nessa seção veremos mais algumas propriedades dos módulos que podem ser bastante úteis.

(i) Para todo $x \in \mathbb{R}$ tem-se $|x|^2 = x^2$.

Demonstração: Se $x \geq 0$, pela definição de módulo, segue que $|x| = x$ e, assim, $|x|^2 = x^2$. Se $x < 0$, novamente pela definição de módulo, temos que $|x| = -x$ e, sendo assim, $|x|^2 = |x||x| = (-x)(-x) = x^2$. Portanto essa propriedade é verdadeira.

Exemplos:

1. $|5|^2 = 5^2 = 25$.

2. $|-8|^2 = 8^2 = 64 = (-8)^2$. 

Observação importante: Para $a \in \mathbb{R}$ com $a \geq 0$, $\sqrt{a}$ indica a raiz quadrada positiva de $a$. Assim, da propriedade anterior, temos

$$\sqrt{x^2} = |x|.$$

Exemplos:

1. $\sqrt{9^2} = |9| = 9$.

2. $\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$.

(ii) Dado $a \in \mathbb{R}$ com $a > 0$, as soluções reais da equação $|x| = a$ são $a$ e $-a$.

Demonstração: Das propriedades imediatas do módulo que vimos no início da postagem, temos que $|x| \geq 0$. Disso, do fato que $a>0$ e de $|x| = a$, segue que $|x|^2 = a^2$. Da propriedade anterior, temos que $|x|^2 = x^2$. Como $|x|^2=a^2$ e $|x| = x^2$, então $x^2=a^2$, ou ainda, $x^2-a^2 = 0$. Essa última igualdade pode ser escrita na forma $(x-a)(x+a) = 0$. Assim, temos um produto de dois números, $x-a$ e $x+a$, igual a zero, logo, as soluções dessa equação são os números onde cada um dos fatores do produto é igual a zero. Então, as soluções da equação $(x-a)(x+a) = 0$ são $a$ e $-a$. Portanto, provamos que, se $|x| = a$, então $x=-a$ ou $x=a$, isto é, a propriedade (ii) é verdadeira.

Exemplo: As soluções da equação $|x| = 10$ são $x=10$ e $x = -10$.

(iii) Se $x,y \in \mathbb{R}$, então $|x||y| = |xy|$.

Demonstração: Como $x$, $y$ e $xy$ são números reais quaisquer, podemos aplicar neles a propriedade (i). Fazendo isso, vamos obter,

$$|xy|^2 = (xy)^2 = x^2y^2 = |x|^2|y|^2 = (|x||y|)^2.$$

Como $|xy| \geq 0$ e $|x||y| \geq 0$ (pois $|x| \geq 0$ e $y \geq 0$), segue que,

$$|xy|^2 = (|x||y|)^2 \mbox{ que implica } \sqrt{|xy|^2} = \sqrt{(|x||y|)^2} \mbox{ que, por sua vez, implica } |xy| = |x||y|.$$

Portanto $|xy| = |x||y|$.

Exemplos:

1. $|2 \cdot 3| = |6| = 6$ e $|2||3| = 2 \cdot 3 = 6$.

2. $|(-1) \cdot 5| = |-5| = 5$ e $|-1||5| = 1 \cdot 5 =5$.

3. $|3 \cdot (-7)| = |-21| = 21$ e $|3||-7| = 3 \cdot 7 = 21$.

4. $|-4 \cdot (-8)| = |32| = 32$ e $|-4||-8| = 4 \cdot 8 = 32$.

(iv) Dados $x, y \in \mathbb{R}$ com $y \neq 0$, vale $\left|\displaystyle\frac{x}{y}\right| = \displaystyle\frac{|x|}{|y|}$.

Demonstração: É análoga à da propriedade anterior.

Exemplos:

1. $\left|\displaystyle\frac{3}{2}\right| = \displaystyle\frac{3}{2}$ e $\displaystyle\frac{|3|}{|2|} = \displaystyle\frac{3}{2}$.

2. $\left|\displaystyle\frac{-6}{5}\right| = \left|-\displaystyle\frac{6}{5}\right| = \displaystyle\frac{6}{5}$ e $\displaystyle\frac{|-6|}{|5|} = \displaystyle\frac{6}{5}$.

3. $\left|\displaystyle\frac{2}{-7}\right| =\left|-\displaystyle\frac{2}{7}\right| = \displaystyle\frac{2}{7}$ e $\displaystyle\frac{|2|}{|-7|} = \displaystyle\frac{2}{7}$.

4. $\left|\displaystyle\frac{-11}{-9}\right| = \left|\displaystyle\frac{11}{9}\right| = \displaystyle\frac{11}{9}$ e $\displaystyle\frac{|-11|}{|-9|} = \displaystyle\frac{11}{9}$.

(v) Para qualquer $x \in \mathbb{R}$, tem-se $x \leq |x|$ e $-x \leq |x|$.

Demonstração: Se $x \geq 0$, temos pela definição de módulo que, $|x|=x$. Assim, já temos que $x \leq |x|$. Como $x \geq 0$, segue que, $-x \leq 0$. Agora, sendo $|x| \geq 0$, obtemos $|x| \geq 0 \geq -x$, ou seja, $-x \leq |x|$. 

Vamos considerar agora $x < 0$. Assim, pela definição de módulo, $|x| = -x$. Consequentemente, já temos que $-x \leq |x|$. Observe que $|x| \geq 0$ e, juntando isso ao fato de que estamos considerando $x < 0$, temos que $x \leq |x|$. Portanto, não importa qual seja $x \in \mathbb{R}$, sempre teremos $x \leq |x|$ e $-x  \leq |x|$.

Exemplos: 

1. $|4| = 4 \geq 4$ e $|4| = 4 \geq -4$.

2. $|-2| = 2 \geq -2$ e $|-2| = 2 \geq -(-2) = 2$.   

(vi) (Desigualdade Triangular) Dados $x,y \in \mathbb{R}$, segue que $|x+y| \leq |x| + |y|$.

Demonstração: Vamos considerar duas possibilidades para $x+y$, são elas, $x+y \geq 0$ e $ x+y < 0$. 

Se $x+y \geq 0$, pela definição de módulo, vamos ter $|x+y| = x+y$. Aplicando a propriedade anterior a $x$ e a $y$, podemos escrever $x \leq |x|$ e $y \leq |y|$. Com isso, usando as propriedades de ordem dos números reais, vale a seguinte desigualdade, $x + y \leq |x| + |y|$. Como $|x+y| = x+y$, concluímos que $|x+y| \leq |x| + |y|$. 

Se $x+y < 0$, da definição de módulo segue que $|x + y| = -(x+y) = -x-y = (-x) + (-y)$. Aplicando novamente a propriedade anterior a $x$ e a $y$, temos $-x \leq |x|$ e $-y \leq |y|$. Disso e das ropriedades de ordem dos números reais, vale a desigualdade, $-x + (-y) \leq |x| + |y|$. Como $|x+y| = -x+(-y)$, concluímos que $|x+y| \leq |x| + |y|$. Portanto, essa propriedade vale para quaisquer números reais $x$ e $y$. 

Exemplos:

1. $|2+3| = |5| = 5$, $|2|+|3| = 2+3 = 5$ e $5 \leq 5$.

2. $|-1+4| = |3| = 3$, $|-1|+|4| = 1+4 = 5$ e $3 \leq 5$.

3. $|6-4| = |6+(-4)| = |2| = 2$, $|6|+|-4| = 6+4 = 10$ e $2 \leq 10$.

4. $|-2-5| = |-2+(-5)| = |-7| = 7$, $|-2|+|-5| = 2+5 = 7$ e $7 \leq 7$.

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Números Reais #9: Interseção de intervalos

Como já sabemos calcular a união de intervalos, vamos aprender agora como calcular a interseção de intervalos. Novamente iremos usar fortemente a representação geométrica dos intervalos e, como se trata da interseção de intervalos, temos que ter em mente a definição e as propriedades da interseção de conjuntos. Assim como a união de intervalos, a interseção de intervalos é muito importante. Só para reforçar o que foi dito no post anterior, os intervalos e as operações de união e de interseção de intervalos estão muito presentes no estudo de funções e de inequações. Conhecer bem os intervalos e essas operações facilitam muito o estudo e a compreensão desses objetos matemáticos, tanto em nível médio como superior. Então, sem enrolação, vamos à interseção de intervalos.

Interseção de intervalos

Como no caso da união de intervalos, a melhor forma de compreender como fazer a interseção de intervalos é por meio de exemplos. Então, vamos aos exemplos.

Exemplos

1. Determine a interseção dos intervalos $(-2,1)$ e $[-1,3)$.

Solução: Para fazer a interseção desses dois intervalos, vamos traçar três segmentos de reta, um acima do outro. Use os dois primeiros segmentos para fazer a representação geométrica dos intervalos, cada um em um segmento, e anote o intervalo representado à esquerda de cada segmento.  No terceiro segmento, anote à esquerda dele o que se quer calcular, ou seja, $(-2,1) \cap [-1,3)$. Vamos obter a seguinte figura:

Em seguida, trace uma linha vertical, perpendicular aos segmentos, em cada extremidade dos intervalos, cruzando todos os segmentos envolvidos na operação. Vamos obter o seguinte:

Agora, no último segmento, marque os extremidades dos intervalos.

A definição de interseção diz o seguinte, um conjunto $A$ interseção com um conjunto $B$ é o conjunto $A \cap B$ formado por todos os elementos que estão em $A$ e em $B$. Usando essa definição com os intervalos $(-2,1)$ e $[-1,3)$ e a figura anterior, a interseção dos intervalos $(-2,1)$ e $[-1,3)$ é o conjunto formado pelos números que estão pintados nos dois intervalos ao mesmo tempo, assim, para visualizar o resultado, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas nos dois intervalos acima. Desse modo, teremos a figura:

Observe que $-1$ pertence aos dois intervalos, pois está pintado no intervalo $(-2,1)$ e é uma bolinha fechada no intervalo $[-1,3)$. Veja também que $1$ pertence ao intervalo $[-1,3)$, mas é representado por uma bolinha aberta em $(-2,1)$. Desse modo, olhando o ultimo segmento da figura, vemos que a interseção dos intervalos vai de $-1$ representado por uma bolinha fechada até o $1$ representado por uma bolinha aberta, isto é,  $(-2,1) \cap [-1,3) = [-1,1)$. 

2. Determine a interseção dos intervalos $[-1,3]$ e $(0,4)$.

Solução: Vamos proceder da mesma maneira como no exemplo anterior, isto é, vamos usar o mesmo processo para construção da figura, mas com os intervalos desse exemplo. A figura ficará dessa forma:

Novamente, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas nos dois intervalos acima ao mesmo tempo. Vamos obter a seguinte figura:

No último segmento temos o intervalo $(0,3]$, logo, $[-1,3]$ $\cap$ $(0,4) = (0,3]$. 

3. Determine a interseção dos intervalos $(-2,1]$ e $[0,+\infty)$.

Solução: Vamos proceder de forma similar aos exemplos anteriores. Com esses intervalos, vamos ter a seguinte figura.

Agora, pintando no terceiro segmento, as partes pintadas, simultaneamente, nos intervalos acima, vamos obter a seguinte figura:

Portanto $(-2,1] \cap [0,+\infty) = [0,1]$.

4. Determine a interseção dos intervalos $(-\frac{1}{2}, +\infty)$ e $[-\frac{1}{2}, 3)$.

Solução: Vamos proceder de forma similar aos exemplos anteriores. Com esses intervalos, vamos ter a seguinte figura.

Olhe para o desenho e observe que $-\frac{1}{2}$ está nas duas representações dos intervalos, no primeiro com bolinha aberta e no segundo com bolinha fechada. Assim, como vamos marcar $-\frac{1}{2}$ no terceiro segmento? Como estamos trabalhando com a interseção de conjuntos, para que um elemento esteja na interseção, ele deve estar nos dois conjuntos. Desse modo, no terceiro segmento, marcaremos o número $-\frac{1}{2}$ como uma bolinha aberta. A figura ficará assim:

Agora, pintando no terceiro segmento, as partes pintadas nos dois intervalos acima, vamos obter a seguinte figura:

Portanto $(-\frac{1}{2}, +\infty) \cap [-\frac{1}{2}, 3) = (-\frac{1}{2}, 3)$.

5. Determine a interseção dos intervalos $(-2,3)$ e $[0,2]$.

Solução: Nesse caso não precisamos fazer as representações geométricas. Basta observar que $[0,2] \subset (-2,3)$. Das propriedades da interseção de conjuntos, sabemos que, dados os conjuntos $A$ e $B$ com $A \subset B$, temos que $A \cap B = A$. Aplicando essa propriedade aos intervalos desse exemplo, vamos obter $(-2,3) \cap [0,2] = [0,2]$.

6. Determine a interseção dos intervalos $(-\infty,1]$, $[-2, 0)$ e $[-1,2]$.

Solução: Nesse exemplo temos que determinar a interseção de três intervalos. Para fazer isso, o procedimento é muito parecido com a interseção de dois intervalos. Vamos traçar quatro segmentos de reta, um acima do outro. Nos três primeiros segmentos, anote o intervalo à esquerda de cada segmento e use os segmentos para fazer as representações geométricas dos intervalos, cada um onde foi anotado.  No quarto segmento, anote à esquerda do segmento o que se quer calcular, ou seja, $(-\infty,1] \cap [-2,0) \cap [-1,2]$. Após fazer isso, trace uma linha vertical, perpendicular aos segmentos, em cada extremidade dos intervalos, cruzando todos os segmentos envolvidos na operação. No último segmento, marque as extremidades dos intervalos. Vamos ter a seguinte figura:

Agora, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas nos intervalos acima, comuns a esses intervalos.

Logo,  $(-\infty,1] \cap [-2, 0) \cap [-1,2] = [-1,0)$.

Acredito que esses exemplos são suficientes para entendermos o processo da determinação da interseção de dois ou mais intervalos. Poderíamos colocar aqui muito mais exemplos, mas a postagem ficaria muito grande e cansativa de ser lida. Estendendo as ideias que vimos aqui para calcular a interseção de intervalos, podemos determinar a interseção de quaisquer intervalos sejam o quanto for.

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Números Reais #10: Módulo ou Valor Absoluto de um número real

Depois de vermos tudo sobre intervalos de números reais (veja as postagens sobre esse assunto aqui), vamos aprender o que é módulo ou valor absoluto de um número real. Na matemática é comum nos depararmos com o módulo de um número real quando estamos lidando com expressões algébricas, funções e inequações. Então, é bom que saibamos em detalhes o que é o módulo de um número real e também as suas propriedades. Vou abordar esse assunto de módulo aqui em duas postagens, nessa primeira trataremos de sua definição e interpretação geométrica e, na postagem seguinte, trataremos de suas propriedades e faremos a demonstração de algumas delas (com certeza, essa é a melhor parte). Sem enrolação, vamos aprender o que é o módulo, também conhecido como valor absoluto, de um número real.

Módulo ou Valor Absoluto de um número real

Definimos o módulo ou valor absoluto de um número real $x$, denotado por $|x|$, como sendo

$$|x| = \left\{ \begin{array}{rcc} x, & \mbox{se} & x \geq 0 \\ -x, & \mbox{se} & x < 0. \end{array} \right.$$

A definição de módulo, escrita dessa forma, parece ser uma coisa confusa, mas, na verdade, é muito simples. Vamos ver alguns exemplos:

Exemplos:

1. Temos que $|5| = 5$. Isso ocorre pelo seguinte motivo: olhando para a definição de módulo, quem é $x$ nesse caso? Nesse caso $x=5$. Observe que na definição de módulo temos dois casos a serem analisados com respeito a $x$, são eles, se $x \geq 0$, então o módulo de $x$ é o próprio $x$ e, se $x<0$, então o módulo de $x$ é igual a $-x$. Nesse exemplo, como $x$ é igual a $5$, que é um número maior que $0$, segue que o módulo de $5$ é o próprio $5$, ou seja, $|5| = 5$.

2. Temos que $|-2| = 2$. Isso ocorre pelo seguinte motivo: olhando para a definição de módulo, quem é $x$ nesse exemplo? Nesse exemplo $x=-2$.  Como no exemplo anterior, os dois casos a serem analisados com respeito a $x$ são,  se $x \geq 0$, então o módulo de $x$ é o próprio $x$ e, se $x<0$, então o módulo de $x$ é igual a $-x$. Nesse exemplo, como $x$ é igual a $-2$, que é um número menor que $0$, segue que o módulo de $-2$ é igual a $-(-2) = 2$, isto é, $|-2| = 2$.

3. Pela definição de módulo, temos $|0| = 0$. Para justificar isso, basta ver que, na definição de módulo, quando $x \geq 0$, o módulo de $x$ é o próprio $x$ e, sendo $0 \geq 0$, segue que $|0| = 0$.

Por esses exemplos é fácil perceber que o que o módulo faz com um número real é o seguinte:

Se $x$ é positivo ou $0$, então o módulo "não faz nada" com o $x$. Se $x$ é negativo, o módulo o transforma em positivo.

Seguindo com os exemplos, temos:

4. $|11| = 11$

5. $\left| -\displaystyle\frac{3}{5}\right| = \displaystyle\frac{3}{5}$

6. $|\pi| = \pi$

7. $| -\sqrt[3]{7}| = \sqrt[3]{7}$

Viu como é fácil? Não há nenhum segredo aqui.

Agora vamos entender o significado geométrico do módulo de um número real.

Interpretação geométrica do módulo

A interpretação geométrica do módulo de um número real é importante para se resolver inequações envolvendo módulos e também para escrever intervalos e outros subconjuntos da reta real. Vamos primeiramente entender a representação geométrica e, no postagem seguinte, vamos ver como usar o módulo para escrever intervalos e outros subconjuntos da reta real.

Dado um número real $a$ qualquer, podemos ver o módulo de $a$ como sendo a distância entre $a$ e o número $0$. Para visualizar isso, considere $a$ positivo e olhe a seguinte figura:

Enxergando o módulo de um número real dessa forma, toda vez que tivermos que calcular $|a|$ para algum número real $a$, podemos pensar da seguinte forma:

$|a|$ = distância de $a$ até $0$.

Os seguintes exemplos trazem o módulo de um número real visto geometricamente.

1. $|\sqrt{2}| = \sqrt{2}$

2. $|-2,5| = 2,5$

3. $\left| \displaystyle\frac{9}{4}\right| = \displaystyle\frac{9}{4}$

4. $|-\pi| = \pi$

Como disse no início da postagem, o assunto de módulo de um número real não acabou. Na próxima postagem usaremos o que foi discutido aqui para aprofundarmos nosso conhecimento sobre módulos.

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Números Reais #8: União de intervalos

Nos dois posts anteriores, aprendemos o que são intervalos de números reais e seus tipos. Além disso, vimos também que cada intervalo tem a sua representação geométrica (veja as postagens anteriores aqui). Tendo visto esses conceitos, estamos aptos para fazer operações com intervalos, ou seja, podemos calcular a união e a interseção de intervalos. Fazer estas operações com intervalos é essencial. Não raramente, para obter informações importantes sobre funções, é necessário estudar o sinal de expressões algébricas, isto é, saber para quais números reais essas expressões serão positivas ou negativas e, esse processo de estudo de sinal, envolve união e interseção de intervalos. Não é somente para isso que usamos as operações de união e interseção com intervalos, essas operações também aparecem na resolução de inequações. Esses são somente dois exemplos, existem muitos outros. Para calcular a união e interseção de intervalos, usaremos fortemente a representação geométrica dos intervalos. Começaremos aprendendo como calcular a união de intervalos. Vamos lá!

União de intervalos

Acredito que a melhor forma para aprendermos como fazer essa operação com intervalos é por meio de exemplos. Então, vamos aos exemplos.

Exemplos 

1. Determine a união dos intervalos $(-1,2)$ e $(3,4]$.

Solução: Para fazer a união desses dois intervalos, vamos traçar três segmentos (pedaços) de reta, um acima do outro. Nos dois primeiros segmentos, anote o intervalo à esquerda de cada segmento e use os segmentos para fazer as representações geométricas dos intervalos, cada um onde foi anotado.  No terceiro segmento, anote à esquerda do segmento o que se quer calcular, ou seja, $(-1,2) \cup (3,4]$. Vamos obter o seguinte desenho:

Em seguida, trace uma linha vertical, perpendicular aos segmentos, em cada extremidade dos intervalos, cruzando todos os segmentos envolvidos na operação.

Agora, no último segmento, marque os extremidades dos intervalos

A definição de união diz o seguinte, o conjunto $A$ unido com o conjunto $B$ é o conjunto $A \cup B$ formado por todos os elementos que estão ou em $A$ ou em $B$. Aplicando isso aos intervalos $(-1,2)$ e $(3,4]$ e usando a figura anterior, a união dos intervalos $(-1,2)$ e $(3,4]$ é o conjunto formado pelos números que estão pintados em algum dos intervalos, incluindo as extremidades representadas com bolinhas fechadas, assim, para visualizar o resultado, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas em algum dos intervalos acima.

 Logo, a união dos dois intervalos será $(-1,2) \cup (3,4]$ (aqui, basta somente escrever a união dos intervalos pois eles são disjuntos, isto é, não possuem elementos em comum). 

2. Determine a união dos intervalos $[-2,0)$ e $(-1, 3)$.

Solução: Vamos proceder de maneira análoga ao exemplo anterior, isto é, vamos usar o mesmo processo para construção do desenho, mas com os intervalos desse exemplo. O desenho ficará dessa forma:

Novamente, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas em algum dos intervalos acima.

Observe que, diferentemente do exemplo anterior, os intervalos aqui possuem números em comum e, assim, quando olhamos na representação geométrica da união dos intervalos, vemos uma bolinha fechada no $-2$ e uma parte pintada, sem nenhum "salto", até uma bolinha aberta no $3$. Desse modo, a união desses intervalos é o intervalo $[-2,3)$, ou seja, $[-2,0) \cup (-1, 3) = [-2,3)$.

3. Determine a união dos intervalos $[-3,1]$ e $(-2,+\infty)$.

Solução: Vamos proceder de forma similar aos exemplos anteriores. Com esses intervalos, vamos ter a seguinte figura.

Agora, pintando no terceiro segmento, as partes pintadas nos intervalos acima, vamos obter a seguinte figura:

Portanto $[-3,1] \cup (-2,+\infty) = [-3,+\infty)$.

4. Determine a união dos intervalos $(-\frac{1}{2}, +\infty)$ e $[-\frac{1}{2}, 3)$.

Solução: Considere o seguinte desenho

Olhe para o desenho e observe que $-\frac{1}{2}$ está nas duas representações dos intervalos, no primeiro com bolinha aberta e no segundo com bolinha fechada. Assim, como vamos marcar $-\frac{1}{2}$ no terceiro segmento? Como estamos trabalhando com a união de conjuntos, para que um elemento esteja na união, basta que ele esteja em um dos conjuntos. Desse modo, no terceiro segmanto, marcaremos o número $-\frac{1}{2}$ como uma bolinha fechada. A figura ficará assim:

Agora, basta pintar no terceiro segmento os números que estão pintados em alguns dos intervalos. Vamos ter:

Portanto, segue que, $(-\frac{1}{2}, +\infty) \cup [-\frac{1}{2}, 3)$ $=$ $[$ $-\frac{1}{2}$, $+\infty$ ).

5. Determine a união dos intervalos $(-1,0]$ e $(-3,1)$.

Solução: Esse é um caso em que não precisamos fazer as representações dos intervalos. Observe que $(-1,0] \subset (-3,1)$. Sabemos das propriedades da união de conjuntos que, se $A \subset B$, então $A \cup B = B$. Aplicando essa propriedade a esse exemplo, temos que $(-1,0] \cup (-3,1) = (-3,1)$.

6. Determine a união dos intervalos $(-\infty,-2)$, $(-1,0)$ e $(0,2]$.

Solução: Nesse exemplo está sendo pedido para determinar a união de três intervalos. Para determinar essa união, o procedimento é muito parecido com a união de dois intervalos. Para fazer a união desses três intervalos, vamos traçar quatro segmentos (pedaços) de reta, um acima do outro. Nos três primeiros segmentos, anote o intervalo à esquerda de cada segmento e use os segmentos para fazer as representações geométricas dos intervalos, cada um onde foi anotado.  No quarto segmento, anote à esquerda do segmento o que se quer calcular, ou seja, $(-\infty,-2) \cup (-1,0) \cup (0,2]$. Após fazer isso, trace uma linha vertical, perpendicular aos segmentos, em cada extremidade dos intervalos, cruzando todos os segmentos envolvidos na operação. No último segmento, marque os extremidades dos intervalos. Vamos ter o seguinte desenho:

Agora, basta pintar no último segmento as partes que estão pintadas em algum dos intervalos acima.

Portanto, a união desses intervalos é $(-\infty,-2) \cup (-1,0) \cup (0,2]$ (Observe que o número $0$ não está em nenhum dos intervalos).  

Observação sobre o exemplo 6: Se no lugar do intervalo $(-1,0)$ estivesse o intervalo $(-1,0]$, o número zero estaria na união, a representação desse número na reta seria uma bolinha fechada, assim, o resultado da união seria $(-\infty,-2) \cup (-1,2]$. O número zero seria a "ligação" ou uma "emenda" do intervalos $(-1,0]$ e $(0,2]$. Algo semelhante aconteceria se no lugar do intervalo $(0,2]$ estivesse o intervalo $[0,2]$.

Acredito que esses exemplos são suficientes para entendermos o processo da determinação da união de dois ou mais intervalos. Poderíamos fazer muito mais exemplos, mas a postagem ficaria muito grande e cansativa de ser lida. Estendendo as ideias que vimos aqui para calcular a união de intervalos, podemos determinar a união de quaisquer intervalos sejam o quanto for.

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Números Reais #7: Intervalos ilimitados

Na postagem anterior, abordamos os intervalos limitados de números reais. Como está no título dessa postagem, além dos intervalos limitados, existem também os intervalos ilimitados (às vezes chamados de intervalos infinitos). Esses tipos de intervalos são tão importantes quanto os intervalos limitados e, da mesma forma que os limitados, aparecem como soluções de inequações e influenciam fortemente o comportamento de funções definidas no conjunto dos números reais. Vamos, então, conhecer esses intervalos ilimitados.

Intervalos ilimitados de números reais

Na tabela abaixo estão tipos de intervalos, a definição deles como conjuntos e as notações que os representam.

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mbox{Notação} & \mbox{Conjunto} & \mbox{Tipo} \\ \hline (a,+\infty) & \{x \in \mathbb{R}: x > a \} & \mbox{Aberto} \\ \hline [a,+\infty) & \{x \in \mathbb{R}: x \geq a\} & \mbox{Fechado} \\ \hline (-\infty,b) & \{x \in \mathbb{R}: x < b\} & \mbox{Aberto} \\ \hline (-\infty,b] & \{x \in \mathbb{R}:  x \leq b\} & \mbox{Fechado} \\ \hline (-\infty,+\infty) & \mathbb{R} & \mbox{Fechado} \\ \hline \end{array}

Os intervalos acima são chamados  intervalos ilimitados (infinitos). Os símbolos $-\infty$ e $+\infty$ são chamados menos infinito e mais infinito, respectivamente. Esses símbolos não são números. O símbolo $-\infty$ carrega consigo a ideia de algo ilimitado, ou seja, algo que sempre está aumentado, que sempre será maior do que qualquer número que se puder imaginar, porém com sinal negativo e, o símbolo $+\infty$, de forma semelhante, representa algo que sempre está aumentado, que sempre será maior do que qualquer número que se puder imaginar, com sinal positivo.

Nos intervalos $(a,+\infty)$, $[a,+\infty)$, $(-\infty,b)$, $(-\infty,b]$ definidos acima, cada um deles possui somente uma extremidade, nos dois primeiros temos $a$ como extremidade e nos dois últimos temos $b$ como extremidade. O intervalo $(-\infty,+\infty)$, que é o conjunto dos números reais, não possui extremidade.

Observação: 

(i) Na notação de intervalo, os parênteses $($ e $)$ podem ser substituídos, respectivamente, por $]$ e $[$. Assim, podemos reescrever os intervalos $(a,+\infty)$, $[a,+\infty)$, $(-\infty,b)$, $(-\infty,b]$ e $(-\infty,+\infty)$ na forma $]a,+\infty[$, $[a,+\infty[$, $]-\infty,b[$, $]-\infty,b]$ e $]-\infty,+\infty[$, respectivamente (eu prefiro usar os parênteses).

(ii) Em cada intervalo definido acima, não se pode colocar colchetes (voltados para "dentro" intervalo) onde estão os símbolos $-\infty$ e $+\infty$, pois o colchete está associado à uma limitação, trás a ideia de que o intervalo vai "parar", e os símbolos de $-\infty$ e $+\infty$ carregam consigo a ideia de não "parar", de que não há limitação.

Os intervalos ilimitados também possuem as suas representações geométricas.

Como no caso dos intervalos limitados, fazer as representações geométricas dos intervalos ilimitados é bem simples. Nos primeiros quatro casos da figura acima, primeiramente devemos marcar a extremidade do intervalo e, se a extremidade pertencer ao intervalo, ela será representada por uma bolinha fechada, caso contrário, será representada por uma bolinha aberta. Depois de se fazer isso, verificar se os elementos do intervalo são maiores ou menores  que a extremidade. No caso de serem maiores, devemos pintar tudo o que está à direta da extremidade e, no caso se serem menores, devemos pintar tudo o que está à esquerda da extremidade. Para fazer a representação do último intervalo da figura acima, basta desenhar um pedaço da reta e pintar.

Veremos agora alguns exemplos.

Exemplos

1. Alguns intervalos escritos na forma de conjunto.

$$(2, +\infty) = \{x \in \mathbb{R}:  x  > 2\};$$

$$\left[-\frac{1}{2},+\infty \right) = \left\{x \in \mathbb{R}: x \geq -\frac{1}{2}  \right\};$$

$$(-\infty,6) = \{x \in \mathbb{R}: x < 6\};$$

$$(-\infty,-4] = \{x \in \mathbb{R}: x \leq -4\}.$$

2. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

(a) $1 \in (0,+\infty)$

(b) $-3 \in [-3,+\infty)$

(c) $-2 \in (-\infty,-2)$

(d) $5 \notin (-\infty,5]$

(e) $1,25 \notin (1,+\infty)$

Solução: 

(a) Verdadeiro. Esse intervalo é formado por todos os números que são maiores que $0$ e, como $1$ é maior que $0$, segue que $1 \in (0,+\infty)$.

(b) Verdadeiro. O intervalo $[-3,+\infty)$ é formado por todos os números reais maiores ou iguais a $-3$, logo $-3 \in [-3,+\infty)$.

(c) Falso. O intervalo $(-\infty,-2)$ é formado pelos números reais menores que $-2$, Portanto $-2 \notin (-\infty,-2)$.

(d) Falso. A extremidade $5$ pertence ao intervalo $(-\infty,5]$, logo $5 \in (-\infty,5]$.

(e) Falso. O número $1,25$ é maior que $1$ e, assim, $1,25 \in (1,+\infty)$.

3. Representações geométricas de intervalos:

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Números Reais #6: Intervalos limitados

 Chegamos a um tópico muito importante dentro do assunto de números reais, chegou a hora de falarmos sobre intervalos. Para um boa compreensão desse tópico é importante se ter estudado anteriormente os tópicos de ordem e completude dos números reais. Mas por que o conceito de intervalo de números reais é importante? Os intervalos (e seus tipos, que veremos logo a seguir) aparecem muitas vezes na matemática como soluções de inequações e também influenciam diretamente o estudos das funções. Quando digo funções, não estou falando somente de funções que vão de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, mas também de funções vetoriais que possuem como uma de suas aplicações o estudos de trajetórias de objetos no plano e no espaço. Assim, estudar os intervalos de números reais não serve somente para se conhecer mais um objeto matemático, mas sim para saber o que acontece na base do comportamento de funções importantes que possuem aplicações em inúmeras áreas do conhecimento. Então, vamos aprender primeiramente, em detalhes, o que é um intervalo limitado de números reais e seus tipos.

Intervalos limitados de números reais

O uso dos símbolos de desigualdade

Na postagem sobre a ordem dos números reais foram apresentados os símbolos de desigualdade, os quais são $<$, $>$, $\leq$ e $\geq$. Esses símbolos podem ser usados em sequência, como por exemplo:

(i) $-2 < 0 < 1$, que significa: $-2$ é menor que $0$, que é menor que $1$, ou ainda, $0$ está entre $-2$ e $1$.

(ii) $-2 \leq -1 < 3$, que significa: $-2$ é menor ou igual a $-1$, que é menor que $-3$.

(iii) $0 < 5 \leq 10$, que significa: $0$ é menor que $5$ que é menor ou igual a $10$.

(iv) $4 \leq 6 \leq 8$, que significa: $4$ é menor ou igual a $6$, que é menor ou igual a $8$.

De um modo geral, dados $a,b \in \mathbb{R}$ com $a < b$, temos o seguinte:

(v) $a < x < b$, que significa: $x$ é menor que $a$, que é menor que $b$, ou ainda, $x$ está entre $a$ e $b$ e não pode ser nem $a$ e nem $b$.

(vi) $a \leq x < b$, que significa: $a$ é menor ou igual a $x$, que é menor que $b$, ou ainda, $x$ está entre $a$ e $b$, podendo ser igual a $a$ mas diferente de $b$.

(vii) $a < x \leq b$, que significa: $a$ é menor que $x$, que é menor ou igual a $b$, ou ainda, $x$ está entre $a$ e $b$, diferente de $a$ mas podendo ser igual a $b$.

(viii) $a \leq x \leq b$, que significa: $a$ é menor ou igual a $x$, que é menor ou igual a $b$, ou ainda, $x$ está entre $a$ e $b$, podendo ser igual a $a$ ou igual a $b$.

Para exemplificar os itens (v), (vi), (vii) e (viii), considere $a=-1$ e $b=3$. Desse modo, dado $x \in \mathbb{R}$, se:

  $-1 < x < 3$, então $x$ é um número maior que $-1$ e menor que $3$, ou ainda, $x$ está entre $-1$ e $3$ e não pode ser igual $-1$ e nem $3$;

  $-1 \leq x < 3$, então $x$ é um número maior ou igual a $-1$ e menor que $3$, ou ainda, $x$ está entre $-1$ e $3$  podendo ser igual $-1$ mas diferente de $3$;

  $-1 < x \leq 3$, então $x$ é um número maior que $-1$ e menor ou igual a $3$, ou ainda, $x$ está entre $-1$ e $3$, diferente de $-1$ mas pode ser igual a $3$;

  $-1 \leq x \leq 3$, então $x$ é um número maior ou igual a $-1$ e menor ou igual a $3$, ou ainda, $x$ está entre $-1$ e $3$, podendo ser igual a $-1$ ou igual a $3$.

Observação: Podemos usar os símbolos $>$ e $\geq$ em sequência para dizer que um número $x$ está entre outros dois, como por exemplo, $4 > 3 \geq 1$, porém isso não é muito comum na matemática. Outra coisa que é bem menos comum, é usar símbolos "opostos" em sequência, como por exemplo, $3 > 1<5$. Apesar de não estar errado, seria melhor escrever $1 < 3 < 5$.

Agora vamos passar de fato à definição de intervalo limitado e seus tipos.

Intervalos

Os intervalos são subconjuntos de $\mathbb{R}$ (da reta) que possuem pelo menos dois números e dados dois números num intervalo, ele contém todos os números entre esses dois. 

Na tabela abaixo estão tipos de intervalos, a definição deles como conjuntos e as notações que os representam.

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mbox{Notação} & \mbox{Conjunto} & \mbox{Tipo} \\ \hline (a,b) & \{x \in \mathbb{R}: a < x < b \} & \mbox{Aberto} \\ \hline [a,b) & \{x \in \mathbb{R}: a \leq x < b\} & \mbox{Semiaberto} \\ \hline (a,b] & \{x \in \mathbb{R}: a < x \leq b\} & \mbox{Semiaberto} \\ \hline [a,b] & \{x \in \mathbb{R}: a \leq x \leq b\} & \mbox{Fechado} \\ \hline \end{array}

Em todos os tipos de intervalos acima, os números $a$ e $b$, são chamados extremidades do intervalo. Como se pode perceber, se ao lado da extremidade do intervalo está um parênteses, a respectiva extremidade não está no intervalo, mas se for um colchete, essa extremidade está no intervalo. Esses quatro tipos de intervalos apresentados acima são chamados de intervalos limitados.

Observação: Na notação de intervalo, os parênteses $($ e $)$ podem ser substituídos, respectivamente, por $]$ e $[$. Assim, podemos reescrever os intervalos $(a,b)$, $(a,b]$ e $[a,b)$ na forma $]a,b[$, $]a,b]$ e $[a,b[$, respectivamente (eu prefiro usar os parênteses).

Os intervalos de números reais podem ser representados geometricamente, no caso dos intervalos limitados, como um pedaço da reta dos números reais. Essa representação geométrica é muito importante para fazemos operações de união e interseção de intervalos, entre outras coisas. Vamos ver como são as representações geométricas de cada tipo de intervalo apresentado aqui.

Fazer essa representação geométrica é bem simples. Dado um intervalo, primeiramente marcamos suas extremidades. Se a extremidade está no intervalo, marcamos uma bolinha fechada para representá-la e, se não estiver, marcamos uma bolinha aberta. Tendo feito isso, basta pintar tudo o que está entre as extremidades do intervalo, como feito acima.

Agora estamos prontos para fazer alguns exemplos.

Exemplos

1. Alguns intervalos escritos na forma de conjunto.

$$(0,1) = \{x \in \mathbb{R}: 0 < x < 1\};$$

$$[-1,5) = \{x \in \mathbb{R}: -1 \leq x < 5\};$$

$$(5,10] = \{x \in \mathbb{R}: 5 < x \leq 10\};$$

$$[-8,-6] = \{x \in \mathbb{R}: -8 \leq x \leq -6\}.$$

2. Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

(a) $1 \in (-1,2)$

(b) $3 \in [3,5]$

(c) $-1 \in [-2,-1)$

(d) $4 \notin (2,4]$

(e) $\pi \notin (3,4)$

Solução: 

(a) Verdadeiro. Como $1$ é maior que $-1$ e menor que $2$, segue que $1 \in (-1,2)$.

(b) Verdadeiro. O intervalo $[3,5]$ é formado por todo $x \in \mathbb{R}$ onde $3 \leq x \leq 5$, ou seja, $x$ pode ser igual a $3$. Logo $3 \in [3,5]$.

(c) Falso. O intervalo $[-2,-1)$ possui como extremidades os números $-2$ e $-1$. Observe que a extremidade $-2 \in [-2,-1)$ e a extremidade $-1 \notin [-2,-1)$. Portanto $-1 \notin [-2,-1)$.

(d) Falso. O intervalo $(2,4]$ inclui o número $4$, logo, $4 \in (2,4]$.

(e) Falso. O número $\pi$ é maior que $3$ e menor que $4$, logo $\pi \in (3,4)$.

3. Representações geométricas de intervalos:

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